Arquivos

Archive for segunda-feira, 6 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41

Dualidades — Parte 1 (Monopolos magnéticos)

segunda-feira, 6 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 3 comentários

Hoje em dia, um dos tópicos mais quentes da física teórica é o estudo de dualidades. Principalmente aquelas conhecidas como dualidade forte-fraca que relacionam, de modo muitas vezes inesperado, uma teoria no seu regime de acoplamento forte com uma outra teoria no seu regime de acoplamento fraco. A idéia é brilhante, já que teorias quânticas de campos são muito difíceis de serem resolvidas exatamente e o que fazemos, em geral, é adotar métodos aproximativos que só são válidos no regime de acoplamento fraco (mais teoricamente, podemos dizer que a hamiltoniana dual define a teoria fortemente acoplada). Isso também torna essas dualidades muito difíceis de serem provadas rigorosamente, no sentido matemático do termo, pois, apesar de podermos fazer testes computacionais na teoria que tem o acoplamento fraco, dificilmente conseguiremos checar esses testes na teoria dual. Contudo, algumas verificações, em algumas teorias, podem ser feitas. Esses testes são “quase triviais”, já que essas teorias são em geral protegidas por muitas simetrias.

Vou começar uma série de posts sobre dualidades desse tipo, tentando manter o nível mais pé-no-chão possível. Meu objetivo é fazer quase uma divulgação científica baseados nos artigos de revisão do Figueroa e do Harvey. Talvez esse tema renda muitos posts e convido qualquer outro editor desse blog a me interromper e continuar a história ou mesmo a apenas fazer um adendo. Meu primeiro objetivo é explicar as dualidades forte-fracas (conhecida no jargão da física como dualidade S) no seu sentido mais tradicional, como proposto por Montonen e Olive. O objetivo final dessa primeira leva é então expor o argumento de Sen a favor dessas dualidades em teorias de Yang-Mills com o número máximo de supersimetrias (\mathcal{N}=4 SYM). Depois nós veremos em que direção a maré nos leva.


Tudo começa com as equações de Maxwell. As equações de Maxwell são um conjunto de 8 equacões diferenciais não completamente independentes (e isso e um ponto importante) que determina o campo elétrico e magnético dada uma distribuição de cargas e correntes elétricas. É um fato da natureza que campos magnéticos e campos elétricos são diferentes. Campos elétricos são gerados por cargas, enquanto campos magnéticos sao gerados por correntes, que são cargas em movimento. Não existe campo magnético num sistema de cargas estáticas. No entanto, essa é a unica diferença. Se imaginarmos uma região sem cargas ou correntes, o sistema ganha uma nova simetria: podemos trocar o campo elétrico pelo magnético e o magnético por (menos) o elétrico que nada muda na natureza. Isso é chamado dualidade eletromagnética, na sua forma mais infantil, é verdade. Infantil demais para ser útil.

Note que após duas mudanças, não retornamos exatamente para os campos elétricos e magnéticos originais, mas ganhamos um sinal. Na maioria dos sistemas físicos (onde estão envolvidas as forças nuclear forte, eletromagnética e gravitacional, mas não a força nuclear fraca), você pode fazer essa mudança, chamada conjugação de carga, a vontade, pois eles são invariantes. Então, a dualidade eletromagnética é como se fosse uma “raiz quadrada” da simetria de conjugação de carga (geralmente representada pela letra C).

Mas e se insistíssemos na presença de cargas e correntes elétricas, o que seria necessário para termos uma simetria semelhante? Precisaríamos que existissem cargas e correntes magnéticas. Então, sob a dualidade eletromagnética, as cargas e correntes elétricas mudariam para magnéticas e as cargas e correntes magnéticas para (menos) as elétricas. Note que agora o nome “conjugação de carga” faz mais sentido. Mas onde estão essas cargas magnéticas?

Classicamente, adicionar uma carga magnética não faz muita diferença. Pode-se mostrar que com uma redefinição dos campos, você pode sempre fazê-las zero. Mas vamos supor que a descrição clássica só e válida até uma certa escala (o que é bem razoavel, veja aqui). Que para distâncias muito pequenas, as equações de Maxwell recebam algum tipo de correção (no caso, a mecânica quântica). Então, se resolvermos ignorar essas correções, não temos que procurar soluções para as equações de Maxwell no espaço inteiro, mas sim em todos os lugares menos num ponto (espacial, é uma linha de mundo no espaço-tempo) que gera o campo eletromagnético. Pode parecer uma mudança boba, mas faz toda a diferença. Quando se retira esse ponto, é possível que existam cargas magnéticas pontuais que não podem ser redefinidas. Esses são os monopolos magnéticos de Dirac. Se levarmos em conta mais uma vez a realidade quântica da natureza (por exemplo, a quantização do momento angular), podemos mostrar que a carga magnética sempre é um múltiplo do inverso da carga elétrica fundamental. Mais do que isso, se existir uma carga fundamental, por exemplo a carga do elétron, a diferença entre duas cargas elétricas será sempre um múltiplo desse número (isso é quase o que se chama quantização da carga elétrica, mas não exatamente).

Vamos discutir então um pouco as idéias que envolvem o monopolo magnético. Partindo da suposição que haja uma dualidade eletromagnética, as pessoas imaginam que a teoria quântica dos elétrons tenha uma descrição equivalente através de uma teoria quântica de monopolos mangéticos. Mas note que como a carga do monopolo é um múltiplo do inverso da carga do elétron, quando a teoria quântica de elétrons for fraca, a teoria de monopolos será forte e vice-versa. Repetindo o que eu já disse no início, isso é interessante pois só sabemos resolver a teoria quântica de elétrons (ou quase todas as outras) quando ela é fracamente acoplada. Talvez, estudando a teoria de monopolos fracamente acoplada, usando as mesmas técnicas aproximativas, poderiamos tirar conclusões sobre fenômenos quânticos que acontecem quando a interação entre elétrons é forte. O problema é que não parece ser possível escrever essa teoria. Na verdade, é dificil lidar com os monopolos, já que eles sao soluções singulares e várias das suas propriedades físicas são divergentes (i.e., infinitas).

Será que existe algum outro lugar onde surjam monopolos mas onde eles sejam mais bem comportados? A resposta, descoberta por ‘t Hooft e Polyakov, é que sim. E eles surgem em uma generalização da teoria de Maxwell desenvolvida inicialmente por Yang e Mills que usamos hoje em dia para descrever as interações eletrofracas (incluindo o agora tão famoso mecanismo de Higgs para quebra espontânea de simetria). Esse monopolo é mais bem comportado e, em princípio, parece bem diferente do monopolo de Dirac. Mas se voce vai a fundo na teoria, e estuda uma bela área da matemática chamada conexões em fibrados e a topologia associada a eles, você vê que eles são muitos parecidos.

Apesar de ser uma generalização, essas teorias de Yang-Mills têm muitas diferenças em comparação à teoria de Maxwell. Quando a teoria tem suas simetrias espontaneamente quebradas (o que, sobre vários aspectos, é um nome muito ruim, mas tudo bem), as partículas mediadoras dessa interação quântica, o que seria equivalente ao fóton, se tornam massivas. Lembre-se que o fóton não tem massa. Além disso, nas teorias de Yang-Mills, as partículas mediadoras tem carga. Note mais uma vez que isso é diferente do caso do fóton: ele é responsável pela interação entre objetos com carga, mas ele próprio não tem carga.

Se há diferencas, há tambem semelhancas (como eu já tinha adiantado). A regra de quantização de Dirac da carga magnética continua valendo. Mais do que isso, agora somos capazes de calcular explicitamente não só a carga magnética dessas configurações, mas tambem sua massa. Estudando as massas e as cargas dessas configurações, Bogolmo’nyi descobriu que, nessas teorias com monopolos magnéticos de ‘t Hooft-Polyakov, essas quantidade físicas tem que obedecer uma desigualdade que ficou conhecida como limite de Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfeld (BPS).

Uma observação curiosa é que os bósons massivos da teoria com quebra de simetria saturam esse limite. Então esperamos que, se quisermos ter uma teoria com dualidade eletromagnética, temos que ter os monopolos magnéticos também saturando o limite BPS. Essa é a proposta de Montonen e Olive (na verdade, a proposta deles é um pouco mais que só isso, mas eu comento numa outra chance): uma teoria dual não mais entre elétrons e monopolos e sim entre bósons vetoriais massivos e monopolos magnéticos saturando o limite de BPS. É possivel construir uma família de soluções de monopolo que saturam esse limite. As variáveis que classificam os membros dessa familia formam o que se conhece como espaço de módulos, um conceito que ainda voltaremos algumas vezes aqui. Tudo parece estar convergindo para que os problemas se resolvam e para que a teoria dual possa ser escrita. Porém, ainda há um problema: esses bósons tem spin 1 enquanto o monopolo tem spin 0! Nao é possivel fazer a identificação dual com spins diferentes. Na verdade, nesse estágio, temos dois problemas:

  1. Spins diferentes entre bósons e monopolos, impossibilitando a identificação
  2. Correções quânticas podem fazer com que o limite BPS não seja mais saturado, impossibilitando a identificação.

Esses dois problemas tem solução, que reside na introdução de férmions na teoria. Mas não a introdução de qualquer forma: é importante que os férmions e os bósons formem uma teoria com supersimetria. Mas isso fica para o próximo post…


Edit (10/07): O Daniel me passou esse link com outro blog onde o autor dá uma visão bem didática complementando isso que eu discuti. É interessante.

Acesso Livre…

segunda-feira, 6 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 Deixe um comentário

Hoje em dia, o movimento que visa o acesso livre vai de vento-em-popa e já praticamente dispensa apresentações; principalmente no Brasil, onde a CAPES já até desenvolveu o famoso Portal de Acesso Livre.

Porém, o que muitos não sabem é a história de como tudo isso começou, em meados de 1991, quando Paul Ginsparg (sim, aquele já conhecido pelos férmions de Ginsparg-Wilson) deu início aos arXivs.

A entrevista abaixo é uma das poucas que o Ginsparg já deu, e é excelente, recheadas de ‘causos':

É importantíssimo também lembrar que sem o TeX, dado de presente e mão beijada para o mundo todo pelo Don Knuth, nada disso teria sido possível — o TeX é uma das primeiras linguagens de markup.

Outro ingrediente importante foi a criação da WWW por Tim Berners-Lee. Como o próprio Ginsparg conta na entrevista, TBL o contactou pessoalmente… e assim os arXivs foram levados dum servidor de FTP para um de WWW… e assim surgiu o primeiro, :!: , servidor da web no mundo!


N.B.: o servidor da HET Brown foi um dos primeiros também (se não me engano, foi o terceiro), logo em seguida dos arXivs: foi um dos meus predecessores (chamado Stephen Hahn) que o instalou, na sala de número 625 no prédio chamado Barus & Holley, e até pouco tempo atrás (quando eu atualizei e reconfigurei tudo pra rodar via Apache 2.0.63), tudo rodava naquele mesmo servidor original (um verdadeiro rinoceronte :smile: )! Enquanto isso, no Brasil, o DFMA teve uma das primeiras páginas da USP, assim como o Ciências Moleculares, que certamente foi a primeira página sobre um curso de bacharelado da USP (quiçá do Brasil — ainda me lembro do dia em que instalei o primeiro servidor HTTP no servidor do CM, ainda chamado lnx00, e começamos a brincar com HTML)! Foi nessa mesma época que nasceu o Projeto Sócrates, do qual tive a sorte de participar (mas essa é outra estória).


Bom, essa é a história do Acesso Livre, não só no mundo, mas no Brasil também… que, como vcs vêm, tem tido uma participação bem sólida nisso tudo. :smile:

[]’s.

Seguir

Obtenha todo post novo entregue na sua caixa de entrada.

Junte-se a 69 outros seguidores

%d blogueiros gostam disto: