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Quebra Espontânea de Simetria em Mecânica Clássica

terça-feira, 21 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 Deixe um comentário Go to comments

Como o tema do prêmio Nobel desse ano foi “Quebra de Simetria”, e um dos laureados foi o Yoichiro Nambu, por: “for the discovery of the mechanism of spontaneous broken symmetry in subatomic physics” nós vamos falar um pouco sobre isso usando um exemplo de Mecânica Clássica. O Leonardo já falou um pouco sobre isso no post Prêmio Nobel de Física de 2008, e o caso de Quebra Espontânea de Simetria (QES) em Mecânica Clássica acabou sendo um pouco comentado na parte de comentários desse post.

Antes de começar é bom lembrar que quebra espontânea de simetria e todos os outros vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs são propriedades quânticas. O que queremos aqui é fazer uma analogia para explicar alguns conceitos que aparecem na literatura de física moderna. Como toda analogia, ela terá seus limites de aplicabilidade e isso deve estar sempre na mente do leitor, mas esperamos conseguir expor os conceitos num nível básico. Quase tudo será acessível a um (bom) aluno de ensino médio. No final, faremos alguns comentários mais avançados.

Modelos Mecânicos com Quebra Espontânea de Simetria

Vamos analisar dois modelos mecânicos em que há quebra espontânea de simetria: O primeiro é o de uma conta num aro que está girando com velocidade angular \omega; o segundo é de uma conta numa haste rígida que está ligada a uma mola.

Conta num aro circular

Modelo prototipico da analogia do vácuo das teorias quânticas.

Modelo prototípico da analogia do vácuo das teorias quânticas.

No referencial em que o aro está em repouso, haverá duas forças agindo sobre a partícula: a força da gravidade (não representada acima, mas tomada como uniforme) e a força centrífuga característica de referenciais não inerciais. Podemos estão escrever a energia potencial efetiva sob a qual a partícula estará sujeita como:

V_{\mathrm{efetivo}}=\frac{1}{2}mR^2\sin^2\theta\omega^2+mgR(1-\cos\theta)

onde m é a massa da conta e g é a aceleração da gravidade. O primeiro termo é o potencial da força centrífuga e o segundo o potencial da força da gravidade. A forma desse potencial efetivo varia dependendo da velocidade angular \omega. O nosso leitor, bom aluno de ensino médio, pode facilmente verificar que para \omega^2 < \frac{g}{R} o potencial tem a seguinte forma:

A escala vertical é arbitrária, mas a horizontal mede \theta. Chamamos de vácuo, em teoria quântica de campos, um ponto de mínimo do potencial. Veja no gráfico acima que temos um vácuo em \theta=0. Perceba ainda que se a conta estiver parada sobre ele há uma simetria no problema: ir para a esquerda ou para a direita é equivalente.

Agora vamos considerar a forma do potencial se \omega^2 > \frac{g}{R}:

Veja que surgiram dois pontos novos de vácuo! E mais do que isso, o vácuo que antes era estável se tornou instável, ie, ele deixou de ser um vácuo verdadeiro. Note que agora, quando a partícula está num desses vácuos estáveis, não há mais a simetria esquerda-direita: se ela for para um lado ela vai descer, se ela for para o outro ela vai subir. Dizemos então que houve uma quebra de simetria.

Conta oscilante numa haste

Considere um conta numa haste rígida e ligada a uma mola de constante elástica k como na figura abaixo:

Sistema mecânico de uma conta numa haste fixa.

Sistema mecânico de uma conta numa haste fixa.

A mola tem um comprimento natural l, então a energia potencial da mola é:

V(x) = \frac{1}{2}k \left( \sqrt{a^2 + x^2} -l\right)^2.

Para minimizarmos a energia potencial, encontrando os pontos de equilíbrio (estáveis e instáveis), precisamos considerar dois casos: a<l e a>l.

Caso a>l

Para o caso a>l temos um único ponto que minimiza a energia potencial, o ponto x_0 = 0, e analisando a derivada segunda da energia potencial em relação a x no ponto x_o vemos que:
\frac{d^2 V(x)}{dx^2}\Big|_{x=x_0} > 0, i.e., x=x_o é um ponto de equilíbrio estável para a>l. O gráfico de V(x) para este caso é:

Gráfico de V(x) para a>l.

Gráfico de V(x) para a>l.

É interessante notar que a energia potencial mínima neste caso é: E_0 = \min \left( V(x) \right) = \frac{1}{2}k(a-l)^2.

Caso a<l

Para o caso a<l temos três pontos que extremizam a energia potencial V(x): x_0 = 0 e x_{\pm} = \pm \sqrt{l^2 - a^2}. Da mesma forma que fizemos no caso a>l, vamos analisar a estabilidade destes pontos de equilíbrios. Calculando a derivada segunda de V(x) obtemos:
\frac{d^2 V(x)}{dx^2}\Big|_{x=x_o} < 0 e \frac{d^2V(x)}{dx^2}\Big|_{x = x_{\pm}} > 0, i.e., o ponto de equilíbrio x_0 é instável e os pontos x_{\pm} são de equilíbrio estável. O gráfico de V(x) para este caso é:

Gráfico de V(x) para a<l.

Gráfico de V(x) para a<l.

A energia potencial mínima para este caso é: E_0 = \min \left( V(x) \right) = 0.

O estado de menor energia no caso a>l possui a simetria por reflexão x \to -x, enquanto que para o caso a<l essa transformação não deixa o sistema invariante, não é uma transformação de simetria. Há uma quebra de simetria da mesma forma que no modelo mecânica anterior da conta num aro circular.

Analisando a energia potencial mínima em função do parâmetro a, E_0 (a), vemos que há uma descontinuidade na segunda derivada \frac{d^2 E_{0}(a)}{da^2} em a=l. Isso é facilmente visto no gráfico abaixo:

Gráfico da energia potencial minima em função de a.

Gráfico da energia potencial mínima em função de a.

Esta descontinuidade na segunda derivada é análoga as encontradas nas transições de fase em segunda ordem da termodinâmica.

Analogia com a Quebra de Simetria da Teoria Quântica de Campos

Essa é a analogia do que acontece no tão falado modelo de Higgs. A presença desse campo introduz uma interação que pode ser entendida como um potencial clássico da seguinte forma:

Perceba a semelhança. Esse potencial, carinhosamente chamado de chapéu mexicano, tem mais graus de liberdade: enquanto movimentos radiais aumentam a energia, movimentos ao redor do chapéu tem mesma energia do vácuo. Isso, na linguagem de teoria quântica de campos, quer dizer que a quebra da simetria é parcial, ainda há uma direção onde há excitações do campo sem massa. Essa excitação sem massa é o fóton e ele é o responsável pela interação eletromagnética. As partículas massivas, que são as excitações correspondentes ao movimento radial no chapéu, são os bósons vetoriais da força nuclear fraca, responsáveis pelos decaimentos radioativos.

Mas voltemos ao nosso primeiro modelo mecânica da conta no aro. Na verdade, o vácuo não é o mínimo do potencial clássico, mas sim do potencial quântico. Vamos introduzir alguns fenômenos quânticos e ver o que acontece. Imagine que a conta está sentada num vácuo, seja ele de simetria quebrada ou não. Ela certamente não tem energia para dar uma volta inteira do aro. No entanto, quanticamente, há um efeito chamado tunelamento em que partículas tem uma certa probablidade de atravessar uma barreira de potencial mesmo que classicamente ela não tenha energia para isso. Então, nesse caso, a partícula sentada no vácuo pode, de repente, dar uma volta inteira no aro! Estranhezas do mundo quântico.

Temos então que imaginar que há uma infinitude de vácuos, um para cada número de voltas que a partícula dá no aro. Algo do tipo:

Em teoria quânticas de campos, o responsável por esse tunelamento são os ínstantons e o vácuo real da teoria é uma superposição de todos esses vácuos. Isso é conhecido em mecânica quântica básica como teorema de Bloch e, no estudo em teoria quântica de campos, como vácuo-\theta.

Esses dois fenômenos: quebra espontânea de simetria e ínstantons, são amplamente estudados em TQC, seja teoricamente, seja fenomenologicamente. E muitas dessa fenomenologia poderá ser explorada no LHC. A idéia de vácuos falsos e a energia que se ganha ao decair para os vácuos verdadeiros também tem aplicações interessantes em cosmologia. 8-)


Escrito em colaboração com Rafael Lopes de Sá

Referência:
LEMOS, N. A. Mecânica Analítica. Editora Livraria da Física. 2004. São Paulo.

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  1. Leonardo
    terça-feira, 21 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 às 10:19:04 EDT

    excelente post Leandro e Rafael! :)

  2. terça-feira, 21 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 às 10:39:02 EDT

    Vcs são broca: Muito bom o post, principalmente pelo esforço em traduzir a linguagem para algo mais acessível. :-)

    Agora… vou dizer: “Ô cocêra!” ;-)

    Na verdade, eu gostaria de fazer uma série de comentários… mas, certamente que todos saíram do propósito do post, que era de manter tudo num nível acessível. :cool:

    Então, vou tentar formular algumas questões de modo a cutucar a ferida… mas só de levinho… ;-)

    Minha primeira questão é a seguinte: pelo que dá a entender do post, existe um parâmetro, dado por \omega^2 ou g/R, que “regula” o vácuo em questão, i.e., ajustando-se esse parâmetro é possível se escolher se estamos num estado com simetria ou num estado em que a simetria foi espontaneamente quebrada. Até aí, tudo bem… a coisa é bem semelhante ao que acontece com supercondutores, onde ajustando a temperatura é possível se ir do estado com supercondução para o estado onde não há supercondução.

    Isso posto, como é que os graus-de-liberdade originais se ‘recombinam’ para darem origem aos graus-de-liberdade finais? Ou seja, uma vez que é possível ajustar tudo “girando um botão” (ou \omega ou o raio R do aro), como é que a Física descrita por um conjunto de valores desse parâmetro se “transforma” na Física descrita pelo outro conjunto — se é que essa transformação acontece?

    Deixo uma diquinha já: argumentos perturbativos (i.e., aproximações em geral — quer sejam em termos da série perturbativa (expansão na constante de acoplamento), ou da aproximação em 1/N, etc) não atacam essa questão, uma vez que não é possível vc estar sentado num vácuo simétrico e, com apenas algumas correções quânticas, ir parar num vácuo sem simetria. ;-)

    []’s.

  3. osvald25
    quarta-feira, 22 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 às 20:21:47 EDT

    Ó os caras aew! Escondendo o jogo! kkkk

    Parabéns, ficou excelente! Por que vocês não transformam em artigo e mandam para o american journal of physics, ou Brazilian Journal, ou mesmo a RSBEF?

  4. osvald25
    quarta-feira, 22 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 às 22:39:05 EDT

    Cara, demorou, mas consegui encontrar o link para o tópico no qual o Rafael colocou como perguntas que educam, e falava sobre esse problema.

    http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs.aspx?cmm=40685&tid=2567083465135750369&kw=educam

  5. zer0s0und
    quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 16:54:42 EDT

    Interessante a analogia, mas, sem ler bem os comentários anteriores, me parece um pouco “misleading” em um aspecto: a quebra de simetria no estado fundamental desses sistemas clássicos é *decorrente* da quebra de simetria na própria hamiltoniana. Por este ângulo, o que o modelo clássico faz (me parece) é usar duas hamiltonianas, que são *formalmente* idênticas, mas cujos parâmetros (em um regime e no outro) descrevem sistemas com simetrias diferentes. Ou seja, são sistemas (com simetrias) diferentes e não apenas estados fundamentais com simetrias diferentes. Na quebra espontânea de simetria, identificamos uma solução não-simétrica para um hamiltoniano que permanece simétrico, com relação a algum grupo.

  6. Leonardo
    quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 17:47:16 EDT

    o que o modelo clássico faz (me parece) é usar duas hamiltonianas, que são *formalmente* idênticas, mas cujos parâmetros (em um regime e no outro) descrevem sistemas com simetrias diferentes.

    Porém não é isso que acontece em teoria de campo também? Escreve-se uma Lagrangeana \phi^4 e você na verdade tem Lagrangeanas formalmente idênticas quando a simetria se manfiesta linearmente, uma delas tem um termo de massa “certo” e outra tem o termo com sinal oposto.

    Eu vejo isso só como um truque de represtações de grupo. Simetrias representadas linearmente são exatas; não-linearmente, espontaneamente quebradas. O truque é começar com uma representação linear do grupo e depois reparametrizar em termos de algo que se transforma não-linearmente, e ai o sujeito não-linear é o campo do espontaneamente quebrado. Inclusive há uma infinitude de escolhas para essa reparametrização: na física de parículas, por exemplo, você pode escrever a Lagrangeana de píons e núcleons em diferentes formas. (A simetria é SU_V(2)\times SU(2)_A/SU(2)_A, e é só isso que importa. Dá para provar que as escolhas diferentes de realização não-linear da simetria tem o mesmo conteúdo físico, embora Lagrangeanas completamente diferentes!).

    Nesse caso da analogia clássica entra a pergunta: a simetria do potencial mudou, mas será que não há graus de liberdade quando a simetria está espontaneamente quebrada que tem a mesma simetria, representada de forma diferente?

  7. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 20:20:30 EDT

    Leo,

    Quebra de Simetria não tem nada a ver com realizações lineares ou não-lineares da simetria em questão.

    Na verdade, uma perguntinha “capiciosa” é a seguinte: A Natureza não sabe se o sinal do termo de massa é um ou outro… então, dinamicamente, como é que os valores dos parâmetros da Lagrangiana são “escolhidos”?

    O caminho é por aí…

    []’s.

  8. Leonardo
    quinta-feira, 30 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 22:47:11 EDT

    Quebra de Simetria não tem nada a ver com realizações lineares ou não-lineares da simetria em questão.

    Bom, não é assim que eu vejo :roll:

    Consideremos 4 campos escalares componentes de um vetor SO(4) e a Lagrangeana renormalizável mais geral por SO(4) numa representação real, excluindo o termo de massa para os escalares e com uma interação renormalizável com dois férmions de Dirac. Poder-se-ia identificar os três primeiros componentes do vetor SO(4) com os píons, os dois férmions como o próton e o nêutron, e calcular espalhamentos entre píons e núcleons (o 4 campo SO(4) entra apenas como linhas internas). Isso é uma teoria física com seus resultados lá bonitinhos. Usando a simetria, dá para calcular a função espectral de Kallen-Lehmann dos férmions e notar que ela não tem um pólo em q^2 = 0.

    Agora considere SO(4) numa representação real não-linear (qualquer uma serve) 4 dimensional, e escreva a Lagrangeana para 4 campos escalares mais geral renormalizável em que 3 escalares se transformam não-linearmente sobre um dos SU(2) e o quarto é um escalar deste SU(2), mas os primeiros três estão numa representação linear do outro SU(2), mas sem termo de massa para os escalares. Fazendo o mesmo procedimento anterior, vai ter outros resultados para os espalhamentos. Dessa vez o propagador dos férmions tem um pólo em q^2 != 0 (que vem da interação com o escalar SO(4)). São teorias diferentes, obtidas por exercício de “escrever a Lagrangeana mais geral que satisfaz uma dada simetria”.

    Portanto, eu vejo que sim, a quebra espontanea de simetria tem a ver com representações lineares ou não-lineares de grupos.

    A Natureza não sabe se o sinal do termo de massa é um ou outro… então, dinamicamente, como é que os valores dos parâmetros da Lagrangiana são “escolhidos”?

    Acho que depende da simetria que estamos falando. Se for a do ferromagnetismo ou da supercondutividade, quem escolhe é o agente externo que controla a temperatura; ou no exemplo desse post, é o agente que gira o aro — isso imagino é consenso, certo? :roll: Se for da física de partículas, eu diria que essa escolha não existe: a Lagrangeana para mésons leves e nucleons com simetria SU(3)xSU(3) representada linearmente nos campos dos mésons não é a que dá as respostas certas para seções de choque. A que dá as respostas certas é a representação não-linear para o SU(3)_A. Não existe dinâmica neste caso: não tem um agente externo que vai lá e escolhe uma temperatura e muda a fase do sistema de simetria quiral exata para outra fase com simetria espontaneamente quebrada. Uma vez que se escreve as regras de transformação dos campos pela simetria desejada, representá-la linear ou não-linearmente leva a diferentes termos admissíveis na Lagrangeana, e é só isso.

    No caso da simetria quiral que dá origem aos mésons leves, um argumento de porque a simetria tem que ser realizada na forma espontaneamente quebrada é aquele do ‘t Hooft sobre cancelamento de anomalias.

  9. sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 08:10:38 EDT

    Leo,

    Falando mais genericamente, é claro que se vc trocar a representação dos campos, vc vai obter resultados diferentes… porém, eu preciso fazer uma ressalva, que é a de que todas as vezes que eu vejo algo dessa natureza feita (uma comparação entre realizações/representações lineares e não-lineares) o tratamento dos grupos não costuma ser feito com carinho… e.g., a escolha da componente conexa ou não, de uma das representações, para comparar com a respectivamente componente da outra representação — é comum vc ver a componente conexa de uma representação ser comparada com a não-conexa da outra representação… e, num caso desses, a coisa nada tem a ver com as representações, mas sim com uma comparação de “bananas” com “laranjas”.

    A quebra de uma simetria global (Nambu-Goldstone) ou local (GHK-HBE) é algo completamente bem entendido do ponto-de-vista “clássico”, no sentido de Reduções de Fibrados Principais, i.e., os fibrados associados aos seus respectivos grupos, G \rightarrow H, onde H\subset G — ou seja, quando vc reduz o grupo de simetria, naturalmente vc reduz os fibrados associados, e tudo funciona de modo “bem comportado”… em particular, o que isso quer dizer é que as representações não mudam.

    Quanticamente falando, o que tem que ser feito é se calcular a carga da simetria em questão; na verdade, o comutador da carga com o campo — essa é a regra de superseleção dos estados de vácuo da teoria (por exemplo, nos casos que vc cito acima).

    Um certo “resumo histórico” pode ser feito assim: classicamente, só existem simetrias globais, uma vez que “estruturas interna” (e, portanto, simetrias de gauge) são um conceito completamente quântico — o Nambu-Goldstone é essencialmente motivado por isso. Depois, com a descoberta de “simetrias locais” (i.e., graus-de-liberdade de gauge), é possível se “contornar” o Teorema de Goldstone, usando-se as simetrias dessa ‘estrutura interna’ — é isso que é chamado de “Mecanismo de GHK-HBE (Guralnik-Hagen-Kibble—Higgs-Brout-Englert)”. Em nenhum momento, em toda essa história, aparece a idéia de que as representações da simetria sejam algo relevante. Algumas referências que eu considero particularmente úteis são as seguintes:

    Global Conservation Laws and Massless Particles, G. S. Guralnik, C. R. Hagen, and T. W. B. Kibble.

    Spontaneous Breakdown of Symmetry in Axiomatic Theory, R. F. Streater (em particular, Seção 4).

    Spontaneous symmetry breaking in local gauge quantum field theory; the Higgs mechanism, F. Strocchi.

    From superconductors and four-manifolds to weak interactions, E. Witten.

    Symmetry Breaking, F. Strocchi.

    Na verdade, o primeiro trabalho que eu conheço onde a representação duma simetria é escolhida dinamicamente numa teoria de gauge é um modelo de Chern-Simons que eu considero na minha tese (que eu pretendo postar em breve nos arXivs).

    [Quando vc escolhe representar suas simetrias, num determinado problema, dum determinado modo, vc não pode simplesmente mudar as regras do jogo e deduzir resultados novos; como eu disse, aí vira "laranjas e bananas". Num certo sentido, atualmente essa questão é tratada do mesmo modo que "acoplamento mínimo" ou "minimal subtraction scheme" (em renormalização), no sentido de que essa é uma escolha arbitrária, "feita a mão": não há absolutamente nenhuma razão para o "acoplamento mínimo" (para campos de gauge), nem para a "subtração mínima" (em renormalização), nem para as representações duma simetria sempre serem lineares e adjuntas. É por isso que esse trabalho que eu mencionei, na minha tese, tem relevância: é a primeira vez que se constrói um mecanismo dinâmico para a escolha da representação da simetria em questão.]

    Finalmente, no que diz respeito aos “fatores externos”, que vc mencionou como reguladores dos parâmetros da Lagrangiana… esse assunto está relacionado com a discussão que tivemos em Comparando transições de fase em TQC e sistemas estatísticos.

    Num certo sentido, esses “fatores externos” apenas regulam como os graus-de-liberdade da teoria se recombinam, i.e., servem apenas pra escolher a regra de superseleção vigente (e, assim, escolher o vácuo apropriado). É por isso que regras de superseleção são importantes… daí o fato deu mencioná-las explicitamente acima, quando falei do comutador da carga com o campo (como foi feito em GHK, e o Strocchi usa na formulação matematicamente rigorosa do fenômeno).

    Então, esse “agente externo” é quem “não existe”; o que existe são as regras de superseleção, tanto em Mecânica Estatística quanto em QFT. (O uso dum campo magnético, ou coisa que o valha, só serve pra nos habilitar a fazer uma escolha pertinente de superseleção.)

    Eu acho que isso explica todas as questões que estavam em aberto no seu comentário acima… fora que esse comentário já está ficando longo demais… hora de começar o dia por aqui! ;-)

    []’s.

  10. Leonardo
    sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 11:29:04 EDT

    Daniel, embora não tenha entendido tudo o que você falou, acho que estamos falando de coisas diferentes.

    Que a representação do grupo que age *sobre* os campos muda de linear para não-linear quando a simetria é exata ou espontaneamente quebrada é um fato. Por exemplo, a simetria de escala age sobre um campo escalar quando ela é exata assim:

    \phi (x) \rightarrow exp(\lambda ) \phi (e^\lambda x) (1)

    Essa ai é chamada de linear. Quando ela é espontaneamente quebrada, o campo que contém os operadores de criação-destruição da partícula de spin 0 no espectro se transforma assim:

    \sigma (x) \rightarrow \sigma (e^\lambda x) + \lambda / v (2)

    onde v é uma escala de energia, que precisa entrar por simples análise dimensional. É claro olhando para 1 e 2 que são representações diferentes das transformações do espaço-tempo

    x \rightarrow \exp (\lambda ) x

    no espaço de funções. É muito claro que uma Lagrangeana com a simetria (1) vai ser diferente de uma com a simetria (2), em particular, ao incluir outros campos na teoria que se transformam como (1) na presença de um escalar que se transforma como (1), não é possível incluir nenhum termo de massa para ninguém, mas ao incluir campos na representação (1) interagindo com um escalar na representação (2), a Lagrangeana mais geral contém termos de massa para todos os campos, exceto para o bóson \sigma .

    A representação que você provavelmente está pensando que não muda é quando já se assumiu a transformação na forma (2), mas escreveu-se a Lagrangeana em termos de um outro campo escalar que se transforma como (1) — que é o truque para obter (2): começar com um campo que se transforma linearmente, fazer algo como mudar o sinal da massa para forçar a representação do campo físico ser como (2).

    Que a simetria linear vai se manifestar no espectro, mas a simetria não-linear não, vem do fato de que a ação quântica é invariante automaticamente por toda transformação linear que mantém a ação clássica invariante. É assim que eu vejo a origem das regras de seleção que você falou.

  11. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 07:33:55 EDT

    Oi Leo,

    De fato, talvez estejamos falando de coisas realmente diferentes… mas, eu já ouvi essa mesma crítica que vc está fazendo (realizações lineares ou não-lineares) como “justificativa” de quebra de simetria outras vezes… e, até que se prove que isso não passa dum problema de “interpretação”, pro meu entendimento, isso é um erro (que, diga-se de passagem, é bem mais comum do que eu podia imaginar :-( ).

    Alguns comentários antes de qualquer coisa:

    • o termo “quebra de simetria” tem um significado bem claro: as equações de movimento tem um determinado conjunto (grupo ou álgebra, como preferir) de simetrias; ditto para as soluções dessas equações. O ponto é que nãonenhuma razão que implique que esses dois conjuntos sejam os mesmos (ou equivalentes de alguma outra forma). Isso é claro, e.g., quando vc lê o trabalho Applications of Lie Groups to Differential Equations. Seguindo esse raciocínio, não há nada de “realizações não-lineares”, são, simplesmente, simetrias diferentes mesmo. Em linguagem de fibrados, é a ‘redução’ que eu mencionei — o “livro das três senhouras” têm uma discussão a respeito disso no segundo volume, Analysis, manifolds and physics, part II. Revised and enlarged edition. Esse tipo de análise inclui, inclusive, sólitons — coisa que normalmente não acontece em cursos arroz-feijão de QFT.

    • O ponto anterior é mais facilmente digerido sob o ângulo das Equações de Schwinger-Dyson: se vc tem uma ação dada por S[\phi] = \partial_{\mu}\phi \,\partial^{\mu}\phi - V[\phi] e se lembra de que \phi \mapsto -i\, \delta/\delta J = -i\, \delta_J, vc obtém imediatamente as equações de movimento quânticas, não-perturbativas:

    (-i\, \Box\, \delta_J - V'[-i\, \delta_J] - J)\, \mathcal{Z}[J] = 0 \; .

    São essas equações quânticas de movimento (não-perturbativas) que podem ter um grupo de simetrias enquanto que suas soluções têm grupos diferentes.

    Se vc quiser um exemplo completamente trivial, podemos considerar \phi^{4} em 0-dimensões: toda estrutura da teoria está presente, só não há dinâmica, e matematicamente falando, se a gente sabe a solução em 0-dim, não é difícil de se construir tudo dimensionalmente (é aqui que entram os tais D-Modules). O exemplo fica assim:

    (\mu\, \delta_J + \lambda\, \delta^3_J - J)\, \mathcal{Z}[J] = 0 \; .

    Se vc fizer a análise do livro que eu recomendei, acima, vc vai ver, primeiro, que o único parâmetro importante da equação acima é \mu/\lambda (uma vez que \lambda não pode ser identicamente nulo, senão o modelo não faz sentido), o que já prepara o terreno pra Renormalização (mas isso fica pra outra vez). Em segundo lugar, as soluções da equação acima são bem conhecidas, e vêm sob o nome de “Funções Cilíndricas Parabólicas” (vc também pode ler mais sobre elas aqui, apesar de que essa referência é bem mais direta): com um pouco de massagem, vc obtém as três soluções que a equação acima tem que ter: uma delas corresponde àquela que pode ser obtida via métodos perturbativos, i.e., é a solução que têm as mesmas simetrias que a equação; a segunda solução não tem as mesmas simetrias que a equação e, portanto, é chamada de “symmetry breaking solution”; e, finalmente, a terceira solução é solitônica. Uma equação diferencial do 3o grau com 3 soluções — faz sentido, não? Claro, pra garantir que isso seja verdade foi preciso que vc assumisse que tudo é complexo… isso é o análogo do que eu já venho falando há tempos: “É preciso extender a Integral de Trajetória pra que se obenha todas as soluções que uma QFT têm.” De quebra, se vc estudar as simetrias envolvidas, a coisa faz ainda mais sentido: são os valores permitidos aos parâmetros dessa equação – i.e., os intervalos permitidos a \mu/\lambda – que determinam quais as simetrias que as soluções satisfazem.

    Isso tudo faz completo e absoluto sentido do ponto-de-vista da análise de equações diferenciais ou sistemas dinâmicos: todos os ingredientes estão aí e foram levados em consideração. Agora, se vc quiser, pode abrir mão duma construção dimensional via D-Modules, para cada uma das diferentes soluções, obtendo suas respectivas Integrais de Trajetória — esse é o famigerado “limite termodinâmico” dessa teoria. O que vc vai obter dessa construção são as extensões complexas da Integral de Trajetória, e seus respectivos contornos de convergência.

    Bom, isso tudo posto, vc vê que, claramente, não se trata duma questão de realizações lineares ou não das simetrias — essa questão nunca entra em jogo. O que faz completo sentido: se vc fosse escolher representar uma simetria não-linearmente, qual seria essa representação? Ou seja, qual é a forma não-linear mais natural para uma representação dessas? De fato, não há… e, pra piorar essa situação, vc ainda teria que considerar como tudo isso iria acontecer dinamicamente (i.e., a pergunta que eu já fiz anteriormente: como é que a Natureza escolheira, dinamicamente, uma representação não-linear), o que causaria todo tipo de problemas e traumas insolúveis.

    Só pra dar um gostinho… se vc quiser, pode pensar em termos de como todo esse arcaboço funciona em termos de escalas do parâmetro em questão, i.e., analisar a homogeneidade, análise dimensional, do problema em questão! E, pasme (!), o resultado que vc obtém… está relacionado ao Grupo de Renormalização do problema — ou seja, esse estudo do problema te diz como funcionam as “escalas características” em questão: é a definição do Grupo de Renormalização! 8)

    Agora, tudo isso pode ser extendido para teorias de gauge… e é aí que a porca começa a torcer o rabo mais oficialmente… aliás, é aqui que, de fato, passa a ser possível de se escolher dinamicamente a representação do grupo de simetria em questão — fato esse que é análogo a escolha dos valores permitidos pros parâmetros escalares presentes em QFTs de campos escalares. E tudo isso faz completo sentido, uma vez que os únicos parâmetros disponíveis em teorias de gauge são as constantes de estrutura dos grupos de simetria!

    Então, tudo isso está muito bem amarradinho, faz sentido completo. Mas, é preciso ter calma e prestar atenção a todos os detalhes, por mais diminutos que possam parecer… porque os resultados deles são sólidos e muito bem mensuráveis. ;-)

    []’s.

  12. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 08:19:59 EDT

    Cáspite, o que que não aparece de um olhar diferente sobre um tópico simples… :-) Parabéns a todos!

    Em caráter de provocação, gostaria de fazer duas cousas: primeiro, gostaria de passar duas referências complementares às do Daniel para quebra espontânea de simetria (global) em TQC:

    – J.A. Swieca, “Goldstone theorem and related topics”, in: “Cargèse Lectures in Theoretical Physics”. Vol. 4 (D. Kastler, ed.), Gordon and Breach (1970), 215-233;

    – D. Buchholz, S. Doplicher, R. Longo, J.E. Roberts, “A New look at Goldstone’s theorem”. Rev.Math.Phys. Special Issue 1 (1992) 49-83.

    Em particular, a última referência exibe algumas instâncias de quebra espontânea de simetria global sem a necessidade da ausência de “gap” de massa. Infelizmente, não tenho o trabalho comigo e não vou poder descrever o mecanismo, mas fica como sugestão. O trabalho do Swieca traz provavelmente a primeira demonstração completa e rigorosa do teorema de Goldstone, e em particular apresenta uma construção cuidadosa do comutador com o operador de carga, baseada em localidade e causalidade. Creio que o livro do Strocchi discute essa demonstração, mas eu tenho minhas próprias reservas em relação a esse cara, e acho que é importante lembrar as contribuições que o Brasil já deu à compreensão desse problema. Ademais, o Swieca escrevia bem pra caramba, e recomendo a leitura de qualquer um dos artigos dele…

    Minha outra provocação vem na forma de um pedido: Daniel, vira e mexe você menciona marginalmente o papel de “D-Modules” neste e em outros tópicos. Como eu comecei a participar das discussões deste blog há pouco tempo, pode ser que só eu esteja boiando, mas você poderia explicar melhor esse papel, incluíndo o que você entende por “D-Module”? A definição que eu conheço não deixa essa relação nem um pouco clara para mim…

    []’s!

  13. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 08:45:52 EDT

    Pedro,

    Só vc mesmo… :-)

    Vou morder a isca apenas parcialmente… prometo morder com uma vontade mais “mastino napolitano” se vc contar o que tem contra o Strocchi… ;-)

    Aí vai uma referência, com algumas outras interessantes dentro dela, para esse assunto:

    Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory I. Finite Size Hermitean 1-Matrix Model.

    Em particular, a notaa-de-rodapé da página 9 sempre me deixa “warm and fuzzy inside”… ;-)

    O problema é que quando vc abre essa Caixa de Pandora, em particular, começam a sair voando todos os demônios da Langlands Duality, por exemplo

    http://www.math.umass.edu/~mirkovic/QFT/qft.html (em particular, as referências no final da página)

    http://www.math.umass.edu/~mirkovic/0.SEMINARS/seminars.html

    http://math.berkeley.edu/~frenkel/

    http://math.berkeley.edu/~frenkel/houches.pdf

    E aí que a coisa começa a ficar interessante… :twisted:

    []’s!

  14. terça-feira, 4 nov 2008; \45\UTC\UTC\k 45 às 05:19:01 EDT

    Muito bem Daniel, você respondeu minha primeira provocação com outra provocação, então serei forçado a treplicar com outra… :twisted:

    OK, eu digo… A maior parte dos trabalhos que eu conheço do Strocchi e seus colaboradores mais próximos contém erros e imprecisões devidos a um uso descuidado de espaços de Hilbert de produto escalar indefinido (também conhecidos como espaços de Krein). Quero dizer, não há nada de errado com os exemplos, mas ele tenta aplicar as idéias do formalismo de Wightman nesse contexto, no qual a positividade das funções de n pontos exerce um papel técnico fundamental. Por exemplo, o trabalho do Strocchi e do Wightman sobre a regra de superseleção de carga elétrica está correto sobre este ponto em particular, mas a proposta de um formalismo axiomático com produto escalar indefinido que se segue no restante do artigo está cheia de problemas. A saber:

    1.) A teoria de espaços de Krein é repleta de sutilezas técnicas – por exemplo, o teorema espectral não vale mais, porque operadores auto-adjuntos em espaços de Krein podem possuir espectro residual não vazio, o que implica em índices de deficiência diferentes de zero e torna necessário o estudo das extensões auto-adjuntas (se existirem!) com respeito a um produto escalar positivo definido associado à topologia do espaço de Krein (ou, equivalentemente, com respeito a uma involução de Krein, que relaciona o produto escalar indefinido ao produto escalar positivo definido escolhido). Como esse produto escalar não é único, a própria determinação das extensões auto-adjuntas (e, portanto, do espectro) se torna ambígua na ausência de informação adicional, que normalmente vem do modelo sendo considerado.

    2.) A positividade das funções de n pontos garante uma boa dose de regularidade a priori. Por exemplo, uma função de dois pontos positiva é necessariamente a transformada de Fourier de uma medida de Radon, fato fundamental na determinação da representação de Källén-Lehmann e do seu comportamento em altas energias. Se esta propriedade falha, não temos nenhum controle sobre a regularidade das funções de n pontos que seja independente de modelos. No momento em que o Strocchi encerra a discussão de modelos livres e perturbativos (em que não há muito espaço para erros desse tipo, pois a forma das funções de Green é explicitamente conhecida) e passa a discussão para o nível axiomático, ele freqüentemente parece ignorar esse aspecto, que é juntamente com o ponto (1.) uma das principais razões pelas quais trabalhos de QFT axiomática “sérios” evitam lidar com métrica indefinida a todo custo, o que é frustrante mas um fato da vida. A última só pode ser tratada com segurança e com a nossa tecnologia atual em modelos, e aí são necessárias idéias realmente novas para avançar (alguém aí se habilita? ;-) ).

    Em síntese, o problema do Strocchi é o seguinte: ele _alega_ proceder de maneira matematicamente rigorosa, o que em pontos cruciais dos trabalhos dele é _falso_. Bom, pelo menos foi o que pude ver no que eu li dele até hoje (o que não necessariamente inclui o livro que você citou – como eu já expliquei, eu tenho um “bloqueio” com a leitura desse livro justamente pelas razões acima), salvo raras exceções em virtude do padrão de excelência de colaboradores ocasionais. É por isso que o pessoal de QFT axiomática / algébrica mais ferrado diz que não existe prova matematicamente rigorosa do mecanismo de Higgs, e que ainda há várias lacunas na compreensão desse efeito em nível quântico não-perturbativo.

    Passando para a segunda provocação, a primeira referência é realmente intrigante, e para mim de uma forma que você nem imagina… :twisted: Stay tuned!

    Quanto à dualidade de Langlands geométrica, vou te contar um segredo: eu comecei a me interessar por esse assunto em 2006, pouco depois que o trabalho do Kapustin e do Witten saiu, por influência de conversas com um aluno de doutorado do Prof. Paulo Teotônio que tinha ficado muito entusiasmado com o conceito. Em agosto de 2007 assisti no IME um minicurso do Ed Frenkel sobre o assunto dentro de um programa de álgebras de vértice financiado pela Escola de Altos Estudos da CAPES, organizado pelo Prof. Michael Forger e ministrado também pelo Prof. Vyacheslav Futorny e (pasme!) pelo Victor Kac. As notas de Les Houches que você citou acima eram uma das referências. Para mim, a parte mais reveladora do curso (do qual entendi muito pouco, o nível era bem mais alto até mesmo que o do minicurso do Kac) foi uma discussão no intervalo, na qual o Frenkel, respondendo a uma pergunta de um dos participantes, explicou o que era a transformada de Fourier-Mukai usando o exemplo mais idiota possível, o da transformada de Fourier na reta real (ver o segundo parágrafo após a fórmula 4.5, página 53). Foi aí que eu finalmente entendi o que é a essência da dualidade de Langlands geométrica: ela consiste em _geometrizar a análise harmônica de um grupo_ convertendo-a num problema de “moduli”. Aí ficou muito mais clara a necessidade de vários dos conceitos envolvidos. Todavia, devo confessar que meu interesse neste tópico até o momento tem sido essencialmente matemático. Sei, lá, quem sabe eu escreva algo sobre o assunto no futuro… :-)

  1. quinta-feira, 31 mar 2011; \13\UTC\UTC\k 13 às 12:46:21 EDT
  2. quinta-feira, 23 ago 2012; \34\UTC\UTC\k 34 às 13:36:45 EDT
  3. sexta-feira, 24 ago 2012; \34\UTC\UTC\k 34 às 11:35:54 EDT
  4. terça-feira, 18 set 2012; \38\UTC\UTC\k 38 às 22:03:55 EDT

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