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Os princípios de Fermat, de Hamilton e de Feynman

domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 Deixe um comentário Go to comments

Quando dizem que o lema dos físicos da interpretação de Copenhague da mecânica quântica é “cale a boca e calcule” eu fico ofendido :-( Para mim, o propósito da física teórica é encontrar um conjunto mínimo de princípios fundamentais a partir dos quais os resultados dos experimentos se tornem evidentes. A física teórica é uma busca por uma explicação dos fenômenos naturais, e não um simples ajuste de equações com parâmetros aos dados.

Veja por exemplo o princípio de Fermat: a luz se propaga pela trajetória de menor tempo possível. Esta simples hipótese unificou todas as leis da óptica geométrica: com ela, e apenas com ela, é possível demonstrar que a luz se propaga em linha reta em meios homogêneos, que o ângulo de reflexão é igual ao de incidência e que vale a fórmula de Snell-Descartes1.

Minimização da ação

Vista como uma função3 S de uma curva x, a trajetória que respeita as leis de Newton é aquela na qual S é o menor valor possível. Na figura, a trajetória da partícula seria aquela no fundo da parábola.

O princípio de Fermat acabou por ser muito poderoso na Física. Na mecânica clássica, por exemplo, suponha que nos perguntamos qual a trajetória que uma partícula descreve no mundo real para ir de um ponto a até um ponto b. William Rowan Hamilton descobriu no século 19 que, sobre todas as possíveis trajetórias que ligam dois pontos, o movimento que se realiza na Natureza é aquele que faz a soma das diferenças entre a energia cinética e a energia potencial ser a menor possível ao longo da trajetória. Isto é, se p é um ponto de uma curva x(t) que liga os pontos a e b, e V(p) é a energia potencial no ponto p, e definimos a quantidade

S[x(t)] = \displaystyle\sum_p \left(\frac{1}{2}m v^2 - V\right)

onde a soma é sobre todos os pontos da curva x, a trajetória x que a partícula realizará será aquela em que S assume o menor valor possível! As leis de Newton estão encapsuladas no princípio da Natureza manter S sempre em um ponto de mínimo!

A quantidade S é chamada de a ação clássica. A matemática Emmy Nöther descobriu que se podemos realizar uma transformação nas curvas do espaço que leva a curva x(t) na curva x'(t’) de tal forma que S[x] = S[x'] — ou seja, a ação clássica é invariante por essa transformação –, então existirá uma quantidade que se conserva associada a essa transformação. Por exemplo, se x'(t)=x(t)+a, onde a é uma constante qualquer, o que significa que estamos deslocando a origem do sistema de coordenadas, e S[x']=S[x] então o teorema de Nöether diz que a quantidade p = mv se conserva. Por isso entendemos que a homogeneidade do espaço é a explicação de porque o momento se conserva nas leis de Newton. Uma das mais belas conseqüências do teorema de Nöther é que se deslocamos o tempo t’=t+a e a ação permanece invariante, então a quantidade

E = \frac{1}{2}mv^2 + V (1)

é uma constante do movimento. Vemos então que a invariância das leis da Física — uma linguagem bonita para a idéia de que S[x] é a lei física em questão — no tempo é a razão pela qual existe a quantidade chamada energia (que se conserva)1. O teorema de Nöther fornece uma fórmula fechada para calcular a expressão da quantidade que se conserva dada a transformação de simetria da ação clássica.

Para ir do ponto a ao ponto b, a particula fareja diferentes possibilidades.

Para ir do ponto a ao ponto b, a partícula fareja diferentes possibilidades.

E a física teórica vai avançando a medida que começamos a fazer mais perguntas. A próxima que podemos fazer é: como uma partícula sabe qual a trajetória que minimiza S? Será que não existe um mecanismo físico por trás da minimização da ação clássica, e portanto, da validade das leis de Newton? Seria ótimo se existisse algo assim: ao ir do ponto a ao ponto b, a partícula pode “farejar” diferentes trajetórias, porém os desvios da trajetória que respeitam as leis de Newton interferem entre si destrutivamente, enquanto aqueles trechos de trajetória ao longo da curva que respeita as leis de Newton intereferem construtivamente, igual como acontece quando ondas interagem. O fenômeno de interferência de ondas é convenientemente descrito por números complexos, então vamos associar para cada trajetória uma “onda”,

\phi(x) = \exp(i S[x]/\hbar) (2)

Em física tornou-se convenção chamar \phi(x) da amplitude de probabilidade da trajetória x, e definir que a probabilidade associada é o módulo ao quadrado do número complexo (2), P = \vert\phi\vert^2. A constante \hbar é introduzida para que o argumento da exponencial seja um número sem unidades, portanto essa constante só depende do nosso sistema de unidades, e será ajustada experimentalmente.

Pensando nestes termos, a amplitude de probabilidade de uma partícula sair do ponto a e chegar ao ponto b farejando todas as trajetórias possíveis, será a soma

K(b,a) \sim \displaystyle\sum_{x(t)} \exp(i S[x(t)]/\hbar) (3)

e eu usei o símbolo ~ ao invés da igualdade porque estamos fazendo aqui algo esquemático apenas. Desse modo, poderíamos tentar reformular a mecânica da seguinte forma:

Para se movimentar de um ponto a a um ponto b, as partículas caminham sobre todas as trajetórias possíveis, com cada trajetória associada a uma amplitude de probabilidade dada por (2).

Essa não é a mecânica clássica, mas a mecânica quântica. Ela foi formulada — ou descoberta se preferir — assim por Richard Feynman, e a equação esquemática (3) é o que se chama a soma sobre as histórias da partícula, ou a integral de trajetória. Para dar sentido matemático a (3), é necessário dividi-la por uma constante A que normaliza as probabilidades.

É então possível demonstrar, utilizando uma técnica matemática conhecida como aproximação do ponto de sela, que se S/\hbar for um número muito maior que o número 1 (digamos, 1011), então a maioria das curvas que estão na soma se cancelam com uma precisão da ordem do número \hbar, e o único termo que contribui é aquela trajetória em que S é um mínimo. E voilà temos a física de Newton! :)

Inicialmente, Feynman introduziu a eq.(3) inspirado por esta linha de raciocínio. Na época, a mecânica quântica era formulada inteiramente em termos da função de energia, e Feynman estava curioso para saber como a ação clássica entrava no formalismo da mecânica quântica. Um dos primeiros casos analisados por Feynman utilizando a fórmula (3) foi o notório problema da dupla fenda2.

Hoje sabe-se que a fórmula de Feynman é um caso particular da mecânica quântica, aquele em que a energia depende apenas quadraticamente nos momenta, e sistemas importantes fogem desse caso particular, como os férmions. No caso geral é necessário considerar que o momento é independente da função de trajetória (até então estávamos assumindo que a velocidade no ponto p é tangente a curva naquele ponto) e somar sobre não apenas as curvas x mas também sobre os momenta p, e nesse caso a soma não é, necessariamente, sobre a função da ação clássica.

A integral de trajetória tornou-se uma ferramenta fundamental da física teórica. Várias das descobertas das propriedades das teorias que descrevem as forças fundamentais (o Modelo Padrão) foram cálculos com integrais de trajetória (renormalização por exemplo). Essa vantagem das integrais de trajetórias na teoria quântica de campos ficam evidentes a outro método bastante usado na quantização de campos, a quantização canônica, que estabelece uma condição de quantização em tempos iguais, sendo assim claramente não covariante por transformações de Lorentz. Enquanto que no método de integrais de trajetória, a covariância de Lorentz é manifesta. Por esse e outros motivos, as integrais de trajetórias foram e continuam sendo um dos melhores métodos de quantização, e que ainda deverá ser bastante utilizando ainda nos futuros trabalhos de Física teórica, principalmente em Teoria Quântica de Campos e Física de Partículas.

Post escrito em colaboração com Leandro Seixas.

Notas

  1. Para os detalhes, consulte o R. P. Feynman et al. Lições de Física de Feynman, Vol. 2, Editora Bookman
  2. R. P. Feynman e A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill. Este livro está esgotado faz décadas. Eu tive a sorte tremenda de encontrar, por acaso, uma cópia em estado novinho em folha na Livraria da Física, quando eles receberam uma única cópia do livro que estava perdida no galpão da McGraw-Hill de São Paulo!
  3. Diz-se que S é um tipo especial de função chamado funcional porque o argumento de S não é um número real porém uma função, a curva x(t): x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3 e S:\mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}, onde \mathcal{F} é o conjunto de todas as curvas regulares x(t).
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  1. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 11:39:41 EDT

    Posso estar meio enferrujado em história da física, mas “cale a boca e calcule” não é o lema do Max Tegmark (MIT)? :-P

  2. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 11:40:08 EDT

    Ah, a propósito, belo post!

  3. Leonardo
    domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 14:04:21 EDT

    Oi Pedro,

    essa frase parece que é originária do David Mermin de uma coluna da Physics Today de 1989:

    http://scitation.aip.org/journals/doc/PHTOAD-ft/vol_57/iss_5/10_1.shtml

    Mas de lá para cá se tornou bem popular, e a maioria das pessoas fala sem ligar com a fonte original. Na verdade, não sei se o Mermin realmente inventou a frase, mas é o que ele diz :)

  4. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 14:56:18 EDT

    Pelo que eu li do artigo (muito bom, por sinal :-) ), nem o próprio Mermin tem certeza se foi ele ou o Feynman que inventou a frase…

    De qualquer forma… Aff!

  5. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 15:22:26 EDT

    Pô, Max Tegmark? Ninguém merece.

    Quanto a frase, eu diria que é do Mermim, o Feynman já tem frases demais :-D, vamos deixar uma pra ele.

  6. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 17:20:37 EDT

    Pô, Max Tegmark? Ninguém merece.

    Eu sei, eu só quis sacanear um pouco… :-P

    Quanto à pergunta que o Feynman fez para si mesmo para chegar às integrais de trajetória, o Dirac tinha feito a mesma pergunta na década de 30 (num artigo chamado algo como “The Lagrangian in Quantum Mechanics”, publicado em 1933 num periódico obscuro da então URSS), e chegou surpreendentemente perto do conceito, se a gente for ver no “Principles of Quantum Mechanics”.

  7. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 18:29:31 EDT

    Vários comentários aparentemente desconexos…

    (1) O Princípio de Fermat na verdade pode ser derivado do Princípio de Huygens–Fresnel (que também pode ser visto aqui), o que torna tudo muito interessante, uma vez que este último é um tanto mais robusto. Veja, por exemplo, a forte semelhança entre Integrais de Trajetória (mais sobre Integrais de Trajetórias em: Feynman’s path integral, A new perspective on Functional Integration, An Introduction into the Feynman Path Integral, Path Integral Methods and Applications) e Integrais de Fresnel!

    Na verdade, a Integral de Trajetória nada mais é do que o Princípio de Fermat aplicado para cada trajetória radial duma onda esférica: o resultado dessa “soma sobre todas as trajetórias radiais duma esfera” é equivalente a uma soma sobre integrais de Fresnel… o que dá a Integral de Trajetória. É massa, não?! 8) Por várias razões… em particular, quando vc nota que tudo advém do Princípio de Huygens-Fresnel, vc percebe o quão importante é a participação de integrais complexas: escondido nesse fato (aparentemente bôbo) estão toneladas de efeitos não-perturbativos… o que me leva ao meu segundo comentário… ;-)

    (2) A Integral de Trajetória, nessas de “covariância explícita” e “facilitar o uso da teoria de perturbação”, acaba sendo sempre o método escolhido por uma questão de comodidade e facilidade; não por uma questão de “robustez teórica”. Aliás, nas últimas interações que o Guralnik teve com o Feynman, o próprio admitiu que, depois de tanto tempo, achava que o uso da Integral de Trajetória não era das melhores idéias para se quantizar um sistema, nem pra estudar suas propriedades mais sutis. Exemplos disso são: Quebras de Simetrias, Anomalias, Assintoticidade da Série Perturbativa, Ínstantos/Sólitons, e assim por diante.

    Pra citar um exemplo bem concreto disso, lembro da semelhança acima, com Integrais de Fresnel, e o uso específico do Princípio de Huygens-Fresnel: várias análises de comportamento assintótico (“far field and near field diffraction”, que é análogo à análises de IR e UV da teoria!), fenômenos de Stokes e soma de Borel, etc. Esse tipo de estudo dá origem a várias características não-perturbativas da teoria (e.g., as citadas acima).

    (3) Outro detalhe que eu acho fantástico nessa história toda é a evolução do conceito de “Princípios de Mínima Ação”, desde Maupertuis até Hamilton, Huygens–Fresnel, e as formulações modernas. Em particular, a métrica de Jacobi é uma das sacadas mais ferozes dessa seqüência de fato (e a contribuição de Jacobi para a chamada “Teoria de Hamilton–Jacobi”):

    \tilde{g}_E = 2\, (E - V)\, g \; ;

    onde \tilde{g} é a nova métrica, E é a energia do sistema, V é o potencial e g é a métrica original do problema (dada pela forma cinética/quadrática original).

    E, sob essa nova métrica, as equações de movimento não passam das geodésicas de \tilde{g}_E!

    Ou seja, basta vc “absorver” o potencial na métrica (que é uma transformação conforme, como mostrado acima) e calcular as geodésicas — a proximidade com a Relatividade Geral é assombrosa! :-)

    Eu acho que, por enquanto, era tudo que eu queria dizer…
    :twisted:

    []’s.

  8. Tom
    domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 21:57:21 EDT

    Pô, Max Tegmark? Ninguém merece.

    Desculpem, mas não entendi…

  9. domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 22:32:38 EDT

    Tom, lê pelo menos o abstract disso aqui: http://arxiv.org/abs/0704.0646
    não dá pra levar esse cara a sério.

    Eu estou revoltado com o Max Tegmark desde quando li um artigo dele na Sciam em 2005 sobre universos paralelos, se não era “crackpotismo”, era quase isso. :-(

  10. Leonardo
    domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 22:57:44 EDT

    Mas o Tegmark tem muitos papers sérios também.

    Isso deve ser meio que um passa-tempo dele de filosofísica, para emprestar o termo do Paulo Nussen.

    (eu imagino que ele acha esse paper ai sério também, masssssss…)

  11. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 03:44:55 EDT

    Em particular, a métrica de Jacobi é uma das sacadas mais ferozes dessa seqüência de fato (e a contribuição de Jacobi para a chamada “Teoria de Hamilton–Jacobi”):

    \tilde{g}_E = 2\, (E - V)\, g \; ;

    onde \tilde{g} é a nova métrica, E é a energia do sistema, V é o potencial e g é a métrica original do problema (dada pela forma cinética/quadrática original).

    E, sob essa nova métrica, as equações de movimento não passam das geodésicas de \tilde{g}_E!

    Ou seja, basta vc “absorver” o potencial na métrica (que é uma transformação conforme, como mostrado acima) e calcular as geodésicas — a proximidade com a Relatividade Geral é assombrosa!

    Isso se a hamiltoniana for autonoma, ne? A equacao de Hamilton-Jacobi fica diferente se ha uma dependencia explicita no tempo… A proposito, uma belissima demonstracao do principio de Fermat-Huygens-Fresnel (quase sem formulas!) pode ser encontrada no capitulo do livro do Arnold de mecanica classica que trata do principio de minima acao a Maupertuis (que o Arnold mostra que essencialmente segue do principio de Fermat-Huygens-Fresnel ;-) ) e da equacao de Hamilton-Jacobi :-)

    Outra cousa: elaborando um pouco a sua “visao metrica” da equacao de Hamilton-Jacobi, so podemos reduzir o potencial V a uma “forma normal” (=”coordenadas geodesicas normais” para a metrica de Jacobi) por meio de uma transformacao canonica numa vizinhanca dos pontos criticos do potencial. Solucoes globais da equacao de Hamilton-Jacobi em geral nao existem (devido ao aparecimento de pontos conjugados para as geodesicas de Jacobi). Alem do “locus conjugado”, todo tipo de comportamento caotico pode aparecer, em virtude do desdobramento das causticas (ou “catastrofes”), o que expressa o fato que a equacao de Hamilton-Jacobi eh mais util na pratica quando o sistema eh integravel no sentido de Liouville (ou, pelo menos, nas vizinhancas de pontos no espaco de fase onde a dinamica eh integravel).

  12. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 07:45:13 EDT

    @ Leandro, Leo: tudo que vcs estão dizendo é que não curtem muito o famigerado “Landscape”, que apareceu nas Cordas ultimamente… :-P O Tegmark, assim como vários amigos dele (mais e menos famosos, indo do Susskind ao Carrol!) são Landscape-o-logists há tempos…

    Então, não se iludam: isso aí que vcs estão criticando negativamente… muita gente acha o máximo! Portanto, cuidado, mutcho cuidado…

    @ Pedro: Vc está absolutamente correto… “eu tenho tanto/ pra te falar/ mas com palavras/ não sei dizer…” ;-)

    Agora, realmente, o “interplay” entre Maupertuis, Fermat, Huygens e Fresnel… é o máximo… ainda mais pra essa questão tão mágica de minimização da Ação, i.e., da formulação variacional dos problemas.

    Agora, com o uso da Métrica de Jacobi, é possível se transformar a Ação naquilo que, em Teoria de Morse, se chama de “Energia”; portanto, é possível se aplicar a maRvada logo de cara, direto da Ação! E usar Campos de Jacobi bem no sentido do que vc diz no segundo parágrafo, Pedro! 8)

    O legal mesmo é pensar nisso em termos de Campos Quânticos… ;-)

    []’s.

  13. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 10:34:05 EDT

    “eu tenho tanto/ pra te falar/ mas com palavras/ não sei dizer…”

    Ahn??? :-S Po, sai pra la Daniel… :-P

    Agora, com o uso da Métrica de Jacobi, é possível se transformar a Ação naquilo que, em Teoria de Morse, se chama de “Energia”;

    Era exatamente disso que eu estava falando quando eu mencionei a reducao a “forma normal” (de Birkhoff), que nada mais eh do que o lema de Morse aplicado a distancia geodesica associada a metrica de Jacobi. De novo, essa reducao so eh possivel localmente – a colagem das cartas nessa “forma normal” recobrindo o espaco de fase envolve funcoes de transicao nao-triviais que expressam o “pulo” da assinatura da metrica de Jacobi apos o desdobramento de uma caustica, i.e. o indice de Morse (ou, mais em geral, o indice de Maslov-Arnold-Hormander).

    O legal mesmo é pensar nisso em termos de Campos Quânticos…

    Essa parte eu ja vi voce mencionar um tempo atras, mas eu nao entendi… A positividade do produto escalar do espaco de Hilbert do vacuo (ou, equivalentemente, a positividade das funcoes de Wightman de k pontos) nao exclui “pulos” de assinatura (i.e., indices de Morse nao triviais)?

  14. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 10:45:07 EDT

    Faltou mencionar uma cousa no meu ultmo paragrafo acima: “e a positividade da energia”…

  15. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 11:39:29 EDT

    Pedro,

    Não dava pra perder a piada… é que esse assunto, pra mim, abre tantas Caixas de Pandora que realmente tem muita coisa pra ser dita a respeito dele… aí veio a música na cabeça… e a piada tava pronta! ;-)

    Quanto a sua pergunta no segundo parágrafo… preciso pensar nela com “papel e caneta”, até pra ir devagar, porque acabei de sair dum seminário e tô meio pilhado agora… ;-) … Mas, eu acho que a resposta está no fato de que o vácuo não é único, i.e., existem transições de fase (escolha de vácuo), efeitos não-perturbativos, que contribuem.

    Deixa eu falar umas coisas que estão na minha cabeça… e que provavelmente não vão responder sua pergunta… mas, só pra eu “decair” o meu estado “pilhado após seminário”… :-)

    Em primeiro lugar, estou sendo “rasteiro” com ingredientes como “Espaços de Lorentz” (i.e., estou assumindo que existe uma Teoria de Morse para métricas Lorentzianas — algo com que, se não me engano, o D. Tausk já trabalhou; ou então, podemos simplesmente Euclidianizar tudo — os argumentos seguem mutatis mutandis) e coisinhas afins, e.g., no caso de vc começar com uma métrica Lorentziana, a transformação conforme que dá origem à Métrica de Jacobi tem toda uma singularidade para o cone de luz.

    Isso posto, vou usar um exemplo específico só pra fazer uma discussão mais concreta, pé-no-chão: V(\phi) = \mu\, \phi^2 + \lambda\, \phi^4, onde eu estou assumindo que (\mu,\lambda) \in \mathbb{R}^2 definem o Espaço de Parâmetros — na verdade, eu poderia simplesmente me restringir ao espaço projetivo dado por coordenadas \mu/\lambda \in \mathbb{R}, mas isso não vem ao caso agora.

    Bom, nesse caso a Métrica de Jacobi é dada por,

    \tilde{\mathbf{g}}_E = 2\, (E - \mu\, \gamma^2 - \lambda\, \gamma^4)\, \mathbf{g} \; ;

    onde \gamma é uma curva no “Path Space” em questão.

    Obviamente, quando vc tenta resolver a equação da geodésica, vc acaba com algo assim,

    \tilde{\mathbf{g}}_E(\gamma',\gamma') = 1 \; ;

    que vem da simples realização de que a Métrica de Jacobi advém da reparametrização de comprimento de arco. ;-)

    Bom, a observação que eu quero fazer é que essa geodésica vai depender das constantes de acoplamento \mu e \lambda. E, se vc plotar essas geodésicas para todos os possíveis valores das constantes de acoplamento, vc vai ver que elas são muito distintas: ou seja, há classes de equivalência [para valores das constantes de acoplamento] de diferentes geodésicas. Logo, há uma “divisão topológica” natural do problema. E, mais ainda, existe uma “mirror symmetry” que converte essas classes umas nas outras, i.e., existe uma “dualidade” entre essas diferentes soluções pras geodésicas.

    Claro, eu tenho certeza que há vários ‘caveats’ que eu não mencionei e provavelmente uns que eu nem saiba… mas, dá pra gente ir polindo tudo isso com calma… até onde eu sei, os argumentos e conclusões não mudam… ;-) … Mas, já dá pra ir sentindo o gostinho, não?! :twisted:

    []’s.

  16. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 11:45:40 EDT

    P.S.: Esqueci de dizer acima… claro que assumir (\mu,\lambda) \in \mathbb{R}^2 vai dar “treta”, e.g., pra se obter todas as soluções pras geodésicas acima, é preciso que (\mu,\lambda) \in \mathbb{C}^2, i.e., é preciso que se extenda o Espaço de Parâmetros para os Complexos… mas, eu tenho certeza que essa afirmação é bem capaz de começar uma guerra… ;-)

    Mas, só pra fisgar de vez, ela não é diferente daquela que o Witten fez nos artigos de “3-dim Gravity” no ano passado… aliás, essa é a razão pela qual ele (Witten) cita o “nosso” trabalho. ;-)

    []’s.

  17. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 12:11:48 EDT

    Ah tah, voce nao ta falando nem do produto escalar de energia, nem do produto escalar do espaco de Hilbert no vacuo, eh outra cousa – so uma perguntinha: qual eh mesmo a sua definicao de \mathbf{g} acima? Contudo, pensando melhor acerca da minha propria duvida, ha que tomar um certo cuidado aqui – uma cousa eh a assinatura da metrica pontual, outra eh a assinatura da segunda variacao de comprimento de arco (i.e. o “funcional de energia” no linguajar da teoria de Morse).

    De qualquer forma, sim, o Daniel Tausk (com o Paolo Piccione) estudou teoria de Morse em geometria pseudo-Riemanniana, mas essa teoria tem que ser desenvolvida separadamente para o “Path space” restrito a cada carater causal, porque os resultados e tecnicas podem diferir bastante em cada caso. No caso de geometria Lorentziana, a teoria de Morse no “timelike path space” foi desenvolvida por Karen Uhlenbeck na decada de 70.

    Ah, a proposito: onde estao publicadas as cousas que voce escreveu acima? :twisted:

    []’s!

  18. segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 12:29:39 EDT

    Pedro,

    O \mathbf{g} que eu tô falando é \mathbf{g} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1), i.e., é Minkowski:

    L[\phi,\pi] = \mathbf{g}(\pi,\pi) - V(\phi) \; ;

    onde \pi são os momentos e \phi são os campos da teoria. Quando vc reparametriza tudo para o comprimento de arco (equivalente à calcular a Métrica de Jacobi), vc vai mudar os momentos do sistema: \pi \mapsto \tilde{\pi}. Portanto, depois dessa transformação conforme, a Ação fica assim:

    S = \int_{\mathcal{M}} \tilde{\mathbf{g}}_E(\tilde{\pi},\tilde{\pi}) \; .

    Claro, o melhor cenário pra se discutir isso seria em termos de Espaços de Fase… mas, como vc bem sabe, Espaços de Fase em QFT são uns monstrinhos… e, de quebra, eu ainda estou esperando aquele seu post aqui pro AP (tá vendo onde eu quero chegar?)… ;-)

    Quanto à Teoria de Morse em Geometrias pseudo-Riemannianas… exato, vc tem que separar tudo para cada “componente” do espaço: tipo-espaço, tipo-tempo e tipo-luz (que é uma superfície singular, no caso de métricas Lorentzianas).

    Quanto às publicações… eu ainda preciso arrmar minha tese pra colocá-la nos arXivs: o formato que a Brown exigiu era sub-standard demais pra mim… aquilo tava feio demais… então, preciso arrumar e LaTeXar tudo pra deixar mais apresentável. 8)

    Phase Transitions and Moduli Space Topology.

    []’s.

  19. Leonardo
    sábado, 6 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 11:28:38 EDT

    O que eu imaginei que haveria mais dissidentes desse post que era com respeito a relação entre a física quântica e a física clássica dada por grande S/\hbar até que passou desapercebida! :)

  20. sábado, 6 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 17:37:38 EDT

    Oi Leo,

    É que o pessoal aqui é viciado em teoria de campos, pelo jeito… Mas, já que você levantou essa bola, eu posso pegar no seu pé se você quiser :twisted:

    Classicalidade não _necessariamente_ tem a ver com \hbar\rightarrow 0. O próprio Schrödinger já tinha dito, nos seus artigos sobre emaranhamento (“entanglement”), que o último, que é uma conseqüência do _princípio de superposição_ (que não tem nada a ver com o tamanho de \hbar),

    “(…) is not one but the characteristic trait of quantum mechanics.”

    A supressão do princípio de superposição provocada pelo desmaranhamento induzido pelo ambiente (“de(s)coerência”) é que leva à classicalidade
    (apesar de que – verdade seja dita -, se me lembro corretamente, tem havido algumas discussões recentes acerca dessa intepretação nos arXiv’s). Em alguns casos, isso é obtido tomando-se \hbar\rightarrow 0, mas _não_ sempre. Em contrapartida, existem vários fenômenos quânticos macroscópicos (que deveriam ser suprimidos por \hbar\rightarrow 0) sem contraparte clássica, tais como superfluidez, supercondutividade, estrelas de nêutrons, etc.. Aí vem as perguntas: como tratar (1.) sistemas quânticos _abertos_ (que podem exibir de(s)coerência de maneira explícita) e (2.) sistemas quânticos macroscópicos como os exemplos acima com integrais de trajetória? Eu acho que o Hagen Kleinert é capaz de ter feito algo a respeito, mas não tenho certeza… Alguém aí sabe?

    Ah, e o correto é “despercebida”, não “desapercebida”.

  1. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 14:49:18 EDT

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