Massa e Energia em Relatividade

O orkut é uma fonte infindável de discussões repetidas sobre relatividade restrita. Um dos fenômenos que parece causar mais confusão é a relação entre massa e energia. Em particular a diferença entre massa relativística e massa invariante (de repouso). Existe muita discussão se o conceito de massa relativística deve ser abandonado. Não há nada de intrinsicamente ruim no conceito de massa relativística, é só um outro nome para energia. E aí que mora o perigo, a energia depende do observador e isso causa uma miríade de confusão. Ainda mais quando se envolve gravidade.

Então, para não dizerem que eu abandonei o blog, vou fazer um texto rápido onde, através de um exemplo, espero elucidar essas diferenças e definir conceitos. O caso que eu vou estudar é de uma partícula que está orbitando um “planeta” sendo observado por alguém que está sentado na superfície do planeta. Inicialmente eu vou considerar o “planeta” sem gravidade, e depois eu coloco a gravidade onde é o seu lugar.

A relatividade é uma teoria onde a gravidade é descrita pela métrica do espaço-tempo. Uma métrica com curvatura não-nula indica a presença de gravidade. Por exemplo, num ambiente sem gravidade, vamos considerar a seguinte métrica sem curvatura em coordenadas esféricas:

Uma partícula, na ausência de qualquer outra força seguirá uma geodésica do espaço-tempo. Vamos considerar que a partícula em questão está orbitando no equador, o que não é uma geodésica. Precisamos então de um agente externo, mas vamos apenas supor que ele existe. Como o balanço energético, que é o importante para essa discussão, não é alterado, acho que não vai me prejudicar muito:

Para definir massa é necessário definir o que é momento. A maneira mais intuitiva de fazer isso é procurar qual a ação que resulta no movimento geodésico. Praticamente pela definição de geodésica, a ação é o próprio intervalo de espaço-tempo. Massa é então definida como o módulo do momento, que é considerada uma propriedade intrísinca e constante da partícula:

onde é um multiplicador de lagrange que assegura nossa definição. Se você resolver as equações de movimento de , você pode descobrir que as equação canônica de Hamilton nos ensina que:

É fácil mostrar que se é um vetor de Killing da métrica então é uma quantidade conservada na direção da geodésica (novamente: aqui não temos uma geodésica, mas é fácil provar que para o movimento considerado, as conclusões continuam valendo). é chamado de quadrivelocidade da partícula. Na métrica acima temos um vetor de Killing imediato , então, eu vou definir a energia como a quantidade que é justamente invariante por essa simetria:

Para o nosso movimento orbital, ainda preciso de mais uma definição. Na métrica acima, também é um vetor de Killing que dá origem à momento angular (conservado):

A definição de massa invariante é então . Essa é a famosa relação de Einstein, que vale para qualquer partícula até mesmo quando a massa é zero! Mas o que essas quantidades tem a ver com as quantidades medidas por um observador? A energia que um observador mede depende da quadrivelocidade do observador. Vamos supor que o observador esteja parado vendo a partícula orbitar sobre sua cabeça, isto é . A energia que esse observador mede será:

perceba que nesse caso é exatamente a energia que tínhamos definido antes. A massa relativística nada mais é então que a energia e a razão entre a massa invariante e a massa relativística, chamado fator de Lorentz, pode ser calculado:

onde definimos a quantidade que coincide com a velocidade Newtoniana. Mas é muito ruim ter que introduzir quantidades não covariantes. A melhor idéia para trabalhar com relatividade é manter tudo covariante, independente do observador e independente do referencial.

Mantendo isso em mente, vamos agora introduzir a gravidade. A solução esfericamente simétrica das equações de Einstein, parecida com nossa gravidade na Terra, é:

Agora o movimento orbital é inclusive geodésico:

E temos os mesmos vetores de Killing:

e

No entanto todo o resto muda. Primeiro muda a relação de dispersão:

E muda também a energia medida pelo observador que tínhamos considerado :

Note que , num movimento em que a coordenada varia, não é conservado. Isso dá origem ao redshift gravitacional. Agora que começa a confusão verdadeira: como vamos definir a massa relativística, ou o “fator de Lorentz”, nesse caso?

1)

2)

Note que as definições são equivalentes quando . Eu tendo a preferir a segunda, pois você pode interpretar o último termo como uma velocidade medida localmente. Acho que é a escolha da maioria das pessoas também, mas o problema é tem um tanto outro de pessoas que não nota essa diferença e isso causa várias confusões. Essas mesmas pessoas que preferem a segunda forma escrevem a relação de dispersão como , que tem a mesma estrutura do caso sem gravidade.

Claro que não é de se espantar que haja modificação no caso da gravidade, afinal, a gravidade realiza trabalho e é fácil identificar o potencial na relação de dispersão (mas note que há um termo extra, que não existe na gravitação Newtoniana!). Se considerássemos o agente externo no caso sem gravidade ele também teria um potencial. Mas isso não quer dizer que seja totalmente equivalente. A energia da gravidade depende da estrutura geométrica do espaço-tempo, e somente em casos muito especiais conseguimos uma definição consistente.

Is energy conserved in General Relativity (por Michael Weiss e John Baez)

Agora que eu dei o exemplo, deixa eu dar a opinião. Eu não gosto de massa relativística. Acho, no mínimo, supérfluo. Mas essa é uma discussão longa. Veja aqui:

Relativistic Mass (por Philip Gibbs e Jim Carr)

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