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Pensamentos não tão aleatórios sobre teoria quântica de campos

sexta-feira, 17 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 Deixe um comentário Go to comments

Edição: corrigida a referência de quem calculou as correções 1-loop para a RG.

Uma das coisas que tira o meu sono é uma característica da teoria quântica de campos de que apenas certas Lagrangeanas fazem sentido. Por exemplo, essa aqui faz pleno sentido como uma teoria clássica:

\mathscr{L}_f + \mathscr{L}_s + g \bar{\psi}\psi \phi (1)

onde o primeiro termo é a Lagrangeana de um campo fermiônico livre \psi e o segundo é a mesma coisa para um campo escalar livre \phi. Essa Lagrangeana não faz sentido físico como uma teoria quântica, porque ela prevê que a taxa de reação do espalhamento de dois bósons \phi é infinita (observe que esse espalhamento a 1 loop contém um loop de férmions que é uma integral imprópria sem limite). É um bom exemplo de como apenas requerer que todos os termos de uma Lagrangeana sejam renormalizáveis não é suficiente para que a teoria quântica só contenha observáveis físicos finitos. A teoria pode ter sentido se adicionarmos um novo termo na Lagrangeana: \lambda \phi^4 .

Em princípio esse fenômeno deve estar relacionado com o fato de que a Hamiltoneana na teoria quântica é escrita na forma

H = H_0 + V (2)

onde tanto H0 como H devem ser um elemento da álgebra de Lie do grupo de Poincaré. Isso impõe condições não-triviais sobre V. O problema é que, se você quer ser bem superficial, pode convencer-se que essas condições são satisfeitas supondo algum tipo de “suavidade” para V — que é a palavra mágica dos físicos que não querem falar de matemática –, e que V pode ser escrito como uma integral de um escalar de Lorentz

\int d^3 x \mathscr{H}(\mathbf{x},t) (3).

Porém só isso não pode ser toda a história, porque (1) satisfaz (3), e no entanto não é uma teoria física.

Então, a pergunta que não me faz dormir é a seguinte: como a teoria quântica de campos já sabia que toda interação (1) requer \phi^4? Em outras palavras, onde está essa informação na formulação relativística e quântica da teoria? Ou ainda: há alguma forma de saber que apenas a Lagrangeana com Yukawa + \lambda \phi^4 faz sentido físico, que não seja através da análise das divergências dos diagramas de Feynman da teoria?

Algo que já é sabido algum tempo é que todas teorias quânticas de campos podem ser feitas finitas, basta escrever a Lagrangeana certa. Por exemplo, a Relatividade Geral (RG) quantizada por si só prevê efeitos infinitos a primeira ordem de perturbação. Mas não a seguinte Lagrangeana, onde apenas o primeiro termo corresponde a teoria clássica da RG:

-\frac{M_P^2}{16\pi} R - \alpha_1 R^2 - \alpha_2 R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}

que foi computada pela primeira vez por De Witt [Phys Rev 162 1967]. Essa Lagrangeana permite calcular observáveis finitos na teoria quântica da gravitação em primeira ordem em qualquer escala de energia menor que M_P.

Eu me pergunto se essa informação, sobre a existência dos dois últimos termos, já não estava de alguma forma contida na teoria quântica de campos. Talvez toda a série de potências já esteja. Se toda essa série de potências tem alguma simetria que permite determinar cada um dos termos possíveis, parece-me natural perguntar se essa mesma simetria não permite fixar relações entre os coeficientes. Por exemplo, ao escrever a Hamiltoneana de Dirac com coeficientes arbitrários, podemos relacionar os coeficientes impondo a simetria de Lorentz. É análogo a escrever

\alpha_1 \nabla^2 + \alpha_2 \partial_t^2

e deduzir que, no caso desta expressão ser invariante de Lorentz, então \alpha_1/\alpha_2 = -1.

Eu sonho…. :)

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  1. sexta-feira, 17 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 22:41:51 EDT

    @ Leo,

    Essa “suavidade” esconde todo o jogo… é um perigo. Por exemplo, Haag’s Theorem (e links lá citados).

    Agora, não é só \lambda\,\phi^4 que estabiliza o vácua dessa teoria, é? :wink:

    A palavra mágica é: estabilidade do vácuo. Por que o vácuo desse seu exemplo não é estável? (E nada de argumentos perturbativos… existe uma resposta não-perturbativa… :cool: )

    A Natureza só sabe que o vácuo é estável… o modo como isso se realiza na prática é outra estória. Por exemplo, esse negócio de ficar colocando sempre polinômios invariantes que são ‘bounded from below’, i.e., que permitem que o vácuo seja estável; isso é só um truquezinho… e bem xulé, digasse de passagem — porque é baseado numa quantização via integral de trajetória sem a definição duma medida ‘bem comportada’.

    Em particular, eu recomendo o capítulo 10 de The global approach to quantum field theory (Vol 1).

    []’s.

    • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 05:28:37 EDT

      @Daniel-san & Leo,

      Há ainda que lembrar que dizer que \phi é o “campo fundamental” da teoria só por ser o que aparece na Lagrangiana é apenas uma questão de convenção.

      Nada impede que façamos uma “mudança de coordenadas”, i.e. reescrevamos a teoria em termos de outros campos (que seriam “compostos” do ponto de vista de \phi), e aí a forma da Lagrangiana de interação pode mudar completamente – pode inclusive sumir (e.g. modelo de Schwinger) ou simplesmente não fazer mais sentido falar de uma Lagrangiana. De fato, o que realmente importa é que a teoria tem um “ground state” relativístico.

      O ponto é o seguinte: se substituírmos \phi por qualquer campo de mesmo caráter tensorial e que
      comute com \phi em pares de pontos com separação tipo espaço (dizemos que o novo campo é _relativamente local_ com respeito a \phi), a teoria de campo resultante tem a _mesma_ matriz S e os _mesmos_ observáveis locais. Este fato surpreendente (que é uma generalização do teorema de Haag e foi demonstrado por Borchers) foi uma das motivações para o desenvolvimento da teoria quântica de campos algébrica (batizada mais tarde por Haag, seu criador, de “Física Quântica Local”).

      A classe de tais campos determinada por \phi é portanto conhecida em QFT axiomática como “a classe de Borchers de \phi“. Por exemplo, a classe de Borchers de um campo escalar livre é gerada pelos monômios de Wick (possivelmente com derivadas).

      Qualquer elemento desta classe pode ser tomado como campo fundamental – que possamos fazer tal escolha, é elemento fundamental na construção da teoria de espalhamento (de Haag-Ruelle), e está por trás de qualquer procedimento rigoroso de renormalização (e.g. Epstein-Glaser ou construtiva), como enfatizado por R. Stora (o “S” do BRST).

      Raciocinando agora de maneira “efetiva” (à Weinberg) e elaborando um pouco mais sobre os últimos parágrafos do posto do Leo e sobre a questão de renormalização que levantei acima, podemos pensar que a classe de Borchers de \phi também determina todos os possíveis termos de interação compatíveis com as simetrias que buscamos impôr na nossa teoria. Quais termos “sobrevivem” em que escala, parece ser ditado (ao menos parcialmente) pelo grupo de renormalização – digo “parece” porque estou sendo propositalmente vago sobre o que eu entendo por escala. Para quem quiser saber mais precisamente no que estou pensando, recomendo a leitura do seguinte artigo:

      R. Brunetti, M. Dütsch, K. Fredenhagen, “Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups”. arXiv:0901.2038 [math-ph]

      Posto de maneira simples, “há ainda muito a ser contado a nós”…

      []’s!

      • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 06:30:21 EDT

        Ah, já ia me esquecendo: outro aspecto a ser levado em consideração no cenário efetivo descrito acima, e que ainda não é totalmente compreendido, é a questão de “asymptotic safety”, que aparece de certa forma no trabalho do ‘t Hooft e do Veltman e que foi levantada de maneira explícita por Weinberg em 1979. O último conjecturou na época que, essencialmente, desta forma seria possível precisar melhor a classe de “interações relevantes”.

        A saber, sabemos que a ação de Einstein-Hilbert não é renormalizável ao redor de nenhuma métrica de fundo _fixa_ (afinal de contas, este é um problema de curtas distâncias). Entretanto, se fizermos também a métrica de fundo “fluir” pela ação do grupo de renormalização (afinal de contas, campos de fundo podem ser vistos também como “parâmetros dimensionais” da teoria), de maneira tal que a estrutura dos observáveis da teoria seja _independente_ do fundo (requerimento expresso por meio de certas identidades de Ward), pode ainda haver um ponto fixo no ultravioleta. Em particular, pode have um fluxo na direção de um estado de referência estável (prefiro não usar o termo “vácuo” porque este não faz sentido em espaços-tempos gerais), que determina uma certa métrica de fundo. O procedimento acima é empregado de maneira parcial, por exemplo, em teorias de cordas (digo “parcial” porque o argumento usado neste exemplo é perturbativo).

        Apesar de invocado no trabalho linkado acima para gravitação, o argumento de “asymptotic safety” combinado com “background independence” é bastante geral e pode ser usado, por exemplo, em Yang-Mills (juntamente com o “background field method” do ‘t Hooft e do Veltman), até mesmo em situações não-perturbativas. O trabalho de Magnen, Rivasseau e Sénéor sobre a construção de Yang=Mills em 4 dimensões em volume finito usa tais idéias de maneira essencial.

        []’s.

        • Leonardo
          sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 10:53:17 EDT

          Uma das coisas que eu não entendo na idéia do ponto-fixo do UV é como um conjunto de EDOs não-lineares com infinitas enumeráveis variáveis y_n(x) pode ter um ponto fixo de dimensão finita! Isso nunca vi explicado…

          • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 13:36:51 EDT

            Nem eu, Leo. Eis o mistério… B-)

            Por isso que eu disse que “asymptotic safety” é um aspecto longe de ser totalmente compreendido. Este cenário é tomado por Weinberg como uma _definição_ de renormalizabilidade não-perturbativa, e cuja validade em geral é apenas conjecturada.

            No caso de gravitação, há resultados numéricos parciais (vide o link que eu mandei), e para certos modelos perturbativamente renormalizáveis construídos não-perturbativamente, como Gross-Neveu em 2 dimensões e Yang-Mills _em volume finito_ em 4 dimensões, o ponto fixo é unidimensional, dado pela seção zero (i.e. o vácuo).

      • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 07:08:53 EDT

        @ Pedrão,

        Sensacional! :smile:

        Eu estava deixando as discussões sobre renormalização e sobre o fato dos campos serem compostos ou não pra continuação do meu comentário acima… mas, vc já veio e matou-a-pau. :cool:

        []’s.

        P.S.: tem dois links que não estão funcionando nos seus posts, Pedrão… se vc quiser me mandar os danados… eu conserto tudo. :wink:

    • Leonardo
      sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 10:25:24 EDT

      Agora, não é só \lambda\,\phi^4 que estabiliza o vácua dessa teoria, é?

      Eu acho que é sim, de que outro modo você removeria o infinito da seção de choque de espalhamento de dois bósons?

      • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 14:31:26 EDT

        @ Leo,

        Por exemplo, numa teoria \phi^3 (que é análoga ao seu modelo, não :wink: ), eu estabilizaria o vácuo escolhendo uma medida mais apropriada pra integral de trajetória — como mostrado na referência que eu já passei acima.

        Em particular, eis uma formulinha mágica, para a versão mais correta da integral de trajetória,

        \mathcal{Z} = \langle \mbox{out} | \mbox{in} \rangle = \displaystyle\int\, \biggl(\int d\alpha\,\int d\beta\, e^{i\, S[\alpha,\beta ;\phi] + J\, \phi}\biggr)\, \mathcal{D}\phi \; .

        Uma das integrais é com respeito a \mathcal{D}\phi, as outras duas são com respeito a \alpha e \beta, que representam um conjunto de parâmetros associados respectivamente aos estados de vácuo \langle \mbox{out} | e | \mbox{in} \rangle que aparecem em \mathcal{Z}.

        Uma escolha judiciosa dessas condições de contorno (parâmetros) define apropriadamente a medida da integral de trajetória… e, assim, define um vácuo diferente daquele que é canonicamente explicado nos textos que se vê por aí — aliás, essa referência que eu passei foi exatamente por essa razão: explicitar esse detalhe, que de pequeno não tem nada, mas que está muito longe de aparecer nas discussões usuais (eu aconselho fortemente a vc dar uma olhada nessa referência); e, talvez nessa linguagem, seja mais fácil de entender e assimilar, do que aquela que eu costumeiramente uso.

        []’s.

        • Leonardo
          sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 16:40:58 EDT

          Eu vou dar uma olhada no De Witt. Porém, de alguma forma essa readaptação vai ter que entrar como um termo novo na Lagrangeana, porque ninguém sabe calcular essa integral de trajetória fechada para dizer a seção de choque de espalhamento de dois bósons. É necessário fazer a conta perturbativa, e nesse caso o que vale são as regras de Feynman. ;) Perdoe o meu pragmatismo… hehehe Então se você removeu o infinito com uma mudança na medida da integral de trajetória, você fez alguma mágica na Lagrangeana na visão perturbativa. Se não fez, o infinito ainda está lá! :P

          • sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 17:10:47 EDT

            @ Leo,

            Não é, necessariamente, um novo termo na Lagrangiana — mas, claro, há sim uma mudança… como a notação da Ação deveria indicar. :wink:

            Ergo, há sim uma mágica… mas, o milagre eu já contei… o santo…

  2. sábado, 18 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 05:53:17 EDT

    Ooops, esqueci da conexão spin-estatística…

    Em meu terceiro parágrafo: substituir “comute” por “anti-comute” se \phi tiver spin semi-inteiro.
    :-P

  3. domingo, 19 abr 2009; \16\UTC\UTC\k 16 às 10:04:29 EDT

    Post legalzim…

    A resposta está na idéia (chame de filosofia, se quiser) por tráz das teorias de campos efetivas. Existe uma teoria mais fundamental, que vamos dizer que não sabemos qual é :), e a TQC é uma aproximação em grandes escalas dessa teoria. Nesse sentido, nenhum termo dito “relevante” na teoria de fenômenos críticos pode ser ignorado se você está próximo de um ponto fixo gaussiano. O \lambda\phi^4 é um caso complicado pq ele é marginal, então depende do que está além da linearização do grupo de renormalização em torno do ponto fixo. O fato de existir esse infinito na tua conta, mostra que ele é, de fato, relavante. Essa era a informação: quais são os termos que te levam distante do ponto fixo! Você pode dizer heuristicamente que: mesmo que você não os considere classicalmente, o grupo de renormalização vai gerá-los.

    Bem, o que nos leva ao segundo ponto. Como você bem disse, a simetria de Lorentz existe nessas grandes escalas. É possível que haja mais simetria que isso, eu diria que é até provável, mas vamos nos manter conservadores :). Essa simetria implica que para campos vetoriais não massivos, a ação quântica tem que ter uma simetria extra que se relaciona com a simetria de gauge clássica. Dessa forma, sua frase

    Algo que já é sabido algum tempo é que todas teorias quânticas de campos podem ser feitas finitas,

    é bem exagerada. Eu diria que é errada, mas vamos manter a cordialidade. Existe teorias cujas divergências não obedecem às identidades de Ward e aí, não tem forma de manter essa simetria da ação quântica e ao mesmo tempo torná-la finita.

    • segunda-feira, 20 abr 2009; \17\UTC\UTC\k 17 às 03:33:39 EDT

      @Rafael,

      Valeu pela expricação direto ao ponto! Era mais ou
      menos um dos pontos a que queria chegar usando meu próprio “mindset”, e seu post completou minha intenção esplendidamente.

      Antes de mais nada, só confirmando: o seu último parágrafo se refere ao problema de anomalias, correto? Se sim, poderíamos, por exemplo, enfraquecer a afirmação do Leo na seguinte forma:

      “Quanta simetria estamos dispostos a jogar fora em nome da finitude da teoria?”

      Aí pode mesmo acontecer que o preço a ser pago para determinados modelos seja alto demais…

      Eu pessoalmente não sou muuuito fã da maneira como hoje em dia a idéia de teorias efetivas é elevada à categoria de princípio fundamental de QFT (o que eu
      veementemente rejeito), mas o método e, particularmente, sua extensão para campos de fundo (a tal “asymptotic safety” do Weinberg) são de fato ferramentas bastante eficazes. Considero, contudo, que essas técnicas são melhor compreendidas se vistas à luz dos princípios fundamentais “de facto” de QFT – a saber: simetrias, estabilidade e causalidade local.

      Em particular, a forma específica dos contratermos relevantes depende da nossa escolha de “campo fundamental”, que também pode ser alterada em nome de um “bom conjunto de coordenadas” para teoria de espalhamento (vide a questão de confinamento em QCD) ou mesmo em virtude de renormalização, conquanto no último caso a liberdade de escolha é de fato ditada pelo grupo de renormalização de Stückelberg-Petermann, que inclui o “grupo” de renormalização usual e é, de fato, um grupo. Diferentes escolhas possíveis satisfazendo tais “desiderata” podem levar a uma estrutura de termos relevantes e marginais completamente diferente. Isto vem do fato de que o grupo de renormalização de Stückelberg-Petermann é _maior_ que o “grupo” de renormalização usual. O que realmente importa é que a redefinição (correção?) de campos (ou dos termos de interação) seja compatível com os princípios acima. A “subclassificação” dos elementos da classe de Borchers (que, de novo, gera todos os contratermos possíveis, sejam eles relevantes, irrelevantes ou marginais com respeito a qualquer escolha de campo fundamental) por meio de escalas é fisicamente importantíssima (daí seu uso onipresente), mas não é a mais geral possível.

      Era esse o ponto do primeiro post do Daniel (creio eu) e do meu. O artigo que eu citei no final do meu primeiro post precisa bem várias das considerações acima.

      É, é sempre bom este diálogo entre diferentes “patois”… ;-)

      []’s!

  4. segunda-feira, 20 abr 2009; \17\UTC\UTC\k 17 às 09:01:10 EDT

    @ Pedro, Rafa,

    De fato, esse bate-bola é, de longe, a melhor coisa que há, porque ajuda a refrescar a mente, dar um chacoalhão nas idéias… no melhor estilo “Sobrinhos do Ataíde” (que não existem mais há tempos, por isso não posso nem passar um linkzinho histórico :razz: ), como eles dizem lá, “this is our watercooler”! :cool:

    Mas, voltando à vaca fria (e esférica), Pedro, vc está correta quanto a idéia inicial do meu comentário: o fato é que o vácuo (e, claro, sua conseqüente estabilidade) depende do grupo de renormalização, i.e., o vácuo tem um ‘renormalization group flow’.

    Eu não quero acabar saindo pela tangente com digressões… então, pra ir direto ao ponto, a minha pergunta (que considero fundamental) é: “Como os graus-de-liberdade se recombinam?”

    Ou seja, vamos admitir (por uma simples questão de simplicidade, mas não há perda de generalidade no argumento) que temos ‘a’ teoria fundamental, com o vácuo fundamental; e, a partir daí, começamos a ‘dial in’ o ‘renormalization group flow’… o vácuo inicial vai se “transformando” (i.e., os graus-de-liberdade original vão se recombinando) e vamos passando por vários mínimos (na verdade, por vários ‘pontos críticos’) do fluxo do grupo de renormalização, o que nos dá os “vácuos compostos” (pense em termos de quarks gerando prótons ou nêutrons)… até chegarmos num ‘ponto fixo’ da coisa toda. O que eu quero saber é como isso acontece, como esse processo de recombinação dos graus-de-liberdade funciona.

    Num certo sentido, essa resposta certamente resolveria a questão do Leo; além de abrir uma Caixa de Pandora que eu particularmente acho bastante bacana… :wink:

    []’s!

  1. segunda-feira, 20 abr 2009; \17\UTC\UTC\k 17 às 02:34:37 EDT

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