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Os artigos da fundação da mecânica quântica, comentados

domingo, 24 mai 2009; \21\UTC\UTC\k 21 Deixe um comentário Go to comments

Nota: este post recebeu edições desde a primeira edição. Esta versão (v3, 27/05/09) espero que esteja mais correta!

Estou devagarzinho lendo a nova biografia do Werner Heisenberg do David Cassidy publicada este ano e estou reservando para quando acabar um post dedicado a quem considero a figura histórica mais interessante da física da primeira metade do século 20. Enquanto isso, eu fiz uma rápida pesquisa com relação a fundação da mecânica quântica. Como vocês devem saber, o Heisenberg é considerado o inventor da teoria. A citação do seu prêmio Nobel em 1932 diz “pela criação da mecânica quântica”. Qual foi a contribuição de Heisenberg, e a de outros cientistas para a teoria que talvez seja a mais básica e fundamental da física atual? Vamos aos artigos, para saber a história.

O primeiro conjunto de artigos relevantes até 1925 pode ser encontrado no livro: Sources of Quantum Mechanics, B. L. van der Waerden, da Dover.


1. W. Heisenberg, Z. f. Physik 33 (1925). Recebido em julho 29, 1925.

Esse artigo é o divisor de águas. Antes dele, a expressão mecânica quântica já era utilizada, mas hoje em dia nós chamaríamos a teoria antecedente de pré-quântica. O Heisenberg ilustra bem, no início desse artigo, a problemática da teoria até então: você começa com a equação clássica F = ma, resolve para as órbitas e identifica as constantes do movimento, e então força que essas constantes do movimento sejam um múltiplo inteiro de h:

J = \int \mathbf{p} \wedge d\mathbf{q} = nh

Essa idéia encontra várias dificuldades, entre elas uma descoberta por Heisenberg quando era aluno de graduação: o efeito anômalo de Zeeman (o espectro dos átomos na presença de um fraco campo magnético) requer que o momento angular do elétron no átomo seja um múltiplo semi-inteiro ímpar: 1/2, 3/2, 5/2 … em contradição com o modelo de Bohr-Sommerfeld. Bohr e Sommerfeld em 1922 achavam que Heisenberg estava indo na direção incorreta (cf. D. Cassidy, Beyond Uncertainty, p. 99), e que não fazia o menor sentido utilizar números semi-inteiros. Como sabemos hoje em dia, Heisenberg estava certo, porque o spin do elétron é semi-inteiro ímpar. Mas momento angular antes deste artigo de 25 de Heisenberg não era um operador hermitiano em um espaço linear.

Heisenberg argumenta que é necessário construir uma teoria completamente nova, onde posição, momento, enfim, observáveis físicos, são incorporados desde o início, sem nenhuma alusão a teoria clássica. Ele infere da regra

E_n - E_m = h \nu_{nm}

do espectro do átomo de hidrogênio, que o quadrado do campo elétrico \mathbf{E}^2 não pode ser dado pela expressão clássica, mas sim por um produto que nós reconhecemos imediatamente como a regra do produto de matrizes (cf. as eq. (5)–(8) do artigo). Ele propõe generalizar a regra, e com isso introduz a forma matricial de X e P, e faz uma aplicação ao oscilador harmônico. Ele obtém (pela primeira vez?) o espectro de energia do oscilador harmônico quântico (eq. 27). Foi da inferência do que a combinação de freqüências implicava para o produto de dois campos elétricos que Heisenberg descobriu a representação matricial da mecânica quântica!

Heisenberg não tinha a menor idéia o que era uma matriz. Fica claro isso no artigo dele. Ele faz uma nota explícita de que sua nova regra para os observáveis físicos é não-comutativa. Também parece que nesse artigo que o enfoque sobre a distinção entre observável e não-observável entrou na mecânica quântica.

Heisenberg recebeu o prêmio Nobel essencialmente por causa deste artigo.


2. M. Born, P. Jordan, Z. f. Physik 34 (1925). Recebido em 27 setembro 1925.
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 109 (1925). Recebido em 7 de novembro de 1925.
M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Z. f. Physik 35 (1925). Recebido em 16 novembro de 1925.

Nesses três artigos, a mecânica quântica é elaborada. No primeiro e no segundo, Born e Jordan e de forma completamente independente, Dirac, explicam como as regras de Heisenberg dizem respeito a uma teoria em que os observáveis físicos são tratados como matrizes auto-adjuntas, isso inclui a posição, momento, energia, etc. Eles derivam a condição de quantização canônica: [q,p] = i\hbar. Esses artigos contém a essência básica do formalismo físico matemático da teoria como se entende hoje em dia.

O terceiro artigo elabora os métodos da teoria para mais de um grau de liberdade, introduz o conceito de momento angular e demonstra que os auto-valores de J_z podem ser inteiros (como na teoria anterior) mas também semi-inteiros ímpares, de acordo com o modelo de Heisenberg para o efeito Zeeman anômalo. O artigo conclui com a aplicação a mecânica estatística de osciladores harmônicos e deduz a lei de emissão de Planck para corpo negro.

Não está claro para mim, no entanto, que nesse momento eles saibam que os resultados de medidas de um observável devem ser os auto-valores da matriz infinita. Nos dois artigos de Born & Jordan eles já enunciam que na nova teoria, observáveis são matrizes (e não os valores das entradas da matriz), mas a diagonalização das matrizes é vista de forma operacional, para caracterizar as transições entre estados (que eles chamam de saltos quânticos).

3. W. Pauli, Z. f. Physik 36 (1926). Recebido em 27 de janeiro de 1926.
P. A. M. Dirac, Proc. Roc. Soc. A 110 (1926). Recebido em 22 de janeiro de 1926.

O problema do átomo de hidrogênio é resolvido dentro da nova teoria. Isso demonstra que a teoria é completa, sem referência aos métodos de quantização de Bohr-Sommerfeld como adendos a solução clássica.


4. E. Schrodinger, Phys. Rev. 28 6 (1926). Recebido 3 de setembro de 1926.

Inspirado na formulação de de Broglie, Schrodinger propõe que todas as partículas são na verdade ondas físicas. Fazendo as atribuições da dualidade onda-partícula de de Broglie, ele deriva a sua equação para o átomo de hidrogênio apenas para o caso estacionário (eq. 16). A partir do fato de que ele quer que a onda não vá para o infinito, as condições de contorno impõe que se olhe portanto para a parte discreta do espectro de energias. Ele interpreta a função de onda para o átomo de hidrogênio como uma distribuição no espaço para a carga do elétron (p. 1066), após admitir que a interpretação física da função de onda no caso geral é problemática porque a função de onda é sobre o espaço de configurações e não do espaço real. Ele elabora a generalização do formalismo e obtém a famosa equação de Schrodinger para o caso de estados não-estacionários (eq. 32). Schrodinger faz poucas menções a mecânica quântica de Heisenberg, mas é claro do artigo que sua intenção é propor uma alternativa, ele diz na p. 1050 que sua teoria permite uma localização definitiva do elétron no espaço (que é interpretado como uma onda física). A razão desse comentário é que na formulação de Heisenberg não há órbita para o elétron.

O artigo da Phys. Rev. é uma compilação de dois outros artigos mais extensos escritos por Schrodinger para a Ann. der Physik, como ele cita no artigo. A publicação alemã foi recebida em janeiro de 1926. Uma tradução dos originais para o inglês eu achei em E. Schrodinger, Collected papers on wave mechanics. Nos originais da Ann. Physik, Schrodinger trata vários outros problemas, inclusive obtém as funções de onda do oscilador harmônico e seu espectro. Também na mesma compilação há o artigo E. Schrodinger, Ann. der Physik 79 4 (1926), recebido 18 de março de 1926, onde Schrodinger, imediatamente após publicar seus artigos sobre sua teoria quântica, demonstra que ela é matematicamente equivalente a de Heisenberg-Born-Jordan-Dirac. Ele mostra que não apenas é possível começar do formalismo da função de onda e construir as matrizes infinitas, como a recíproca, concluindo que nenhuma das duas pode ser superior. Ele não tenta uma explicação para a diferença física entre as duas abordagens, mas deixa claro que ele entende o aparente paradoxo (início do artigo). Como no artigo de 1926 de Max Born (o próximo item), Born fala que talvez a teoria de Schrodinger seja mais fundamental porque ele conseguiu resolver o problema de espalhamento na formulação de Schrodinger mas não na de matrizes, é patente que Born não conhecia ainda este último trabalho do Schrodinger que demonstrava a equivalência das duas. Isso indica que Born naquele momento estava tentando reintepretar a teoria de Schrodinger em luz a filosofia de Copenhague já aderida por ele, Heisenberg, Jordan, Dirac e Bohr, mas ainda não entendia que as duas teorias eram na verdade a mesma teoria matemática.


Os próximos dois artigos podem ser encontrados no livro: Quantum Theory and Measurement, Wheeler e Zurek (eds), Princeton University Press.

5. M. Born, Z. f. Physik 37 (1926).

A teoria de Schrodinger e de Heisenberg dão os mesmos resultados para o espectro de energia do átomo de hidrogênio, mas a interpretação física das duas é completamente diferente. Born analisa nessa breve correspondência a colisão entre partículas na teoria de Schrodinger e propõe que a função de onda \psi pode ser reinterpretada como uma densidade de probabilidade de posição do elétron. Após o primeiro rascunho do artigo ser enviado para publicação, Born corrigiu o erro e notou que o correto é \vert\psi\vert^2 ser interpretado como a probabilidade de posição. Dessa forma, o elétron não possui uma órbita, mas apenas probabilidades diferentes para observar sua posição.

Born recebeu o Prêmio Nobel por causa dessa rápida nota.

A palavra probabilidade já estava sendo usada mesmo por Heisenberg em seu artigo de 1925. Eu não sei quando ela foi introduzida, mas a natureza probabilística da teoria ainda não estava completamente fundamentada. Por exemplo, Born fala explicitamente no início do artigo que ele não associa as transições entre diferentes estados de energias com probabilidades.(Ele diz “a mecânica quântica de Heisenberg foi aplicada exclusivamente a estados estacionários e amplitudes de vibrações associadas a transições (eu evito propositalmente a expressão probabilidade de transição)”, porém nos artigos de 1925 eles insistem que os elementos de matrizes devem ser interpretados como probabilidades de transição. Levando em conta os artigos de 1925, essa coloção de Born não está clara.)


6. W. Heisenberg, Z. f. Physik 43 (1927).

Escute o próprio (em inglês com sotaque alemão :) ) explicar a origem desse artigo.

Heisenberg argumenta que embora a teoria esteja matematicamente estabelecida, falta compreender o significado físico da posição e momento dentro do novo formalismo. Ele elabora uma bela discussão inicial, claramente inspirado no estilo de Einstein do artigo de relatividade de 1905, sobre o fato de que o significado de posição e velocidade de um móvel só faz sentido em termos do instrumento de medição. Ele argumenta que a transferência de momento de um fóton para o elétron é indicativo de que com uma melhor localização da posição de espalhamento (que requer menor comprimento de onda do fóton, devido ao critério de Rayleigh) há uma maior indeterminação na velocidade do elétron (que será atingido por um fóton de maior momento, e portanto, devido ao efeito Compton, tem uma região muito ampla de momento para adquirir). Ele conclui que o princípio da incerteza é a interpretação física da regra de quantização canônica [q,p]= i\hbar. Ele apresenta a idéia de que a interpretação de probabilidade da função de onda não é devido a uma incerteza puramente experimental do espaço de fases — e cita que aparentemente Dirac pensava assim; certamente era o caso de Einstein –, e sim é intrínseco da teoria porque ela impede fisicamente que exista a trajetória do elétron. Ou seja, há uma incerteza inerente física do produto da posição e momento que não é devido a estatística clássica. Ele deriva rigorosamente as relações de incerteza para momento e posição e também energia e tempo partindo da quantização canônica (cf. sec. 2 do artigo, eq. 3a-6). A interpretação de Copenhague da teoria é explicitamente apresenta no artigo, e eu diria que de forma completa.

Em vista desse artigo, Max Born audaciosamente anunciou mais tarde naquele ano durante a conferência de Solvay que “consideramos a mecânica quântica como uma teoria completa quais hipóteses físicas e matemáticas não estão mais suscetíveis a modificação”.

Heisenberg principiou a formulação física da nova teoria em 1925 e em certo sentido a finalizou em 1927.


Ainda me falta entender alguns detalhes:

  1. Quem percebeu que os observáveis deveriam ser auto-adjuntos? (Born e Jordan, 1925, item 2)
  2. Embora Heisenberg tenha defendido no artigo de 1927 com a descoberta do princípio da incerteza que a teoria tem probabilidades intrínsecas independentes da mecânica estatística, quem introduziu a noção de transições de probabilidades que Heisenberg já faz uso no artigo da descoberta da representação matricial da teoria de 1925?
  3. Quem introduziu o conceito de que \psi representa o estado do sistema?
  4. Quem introduziu o formalismo de espaços de Hilbert?
  5. Quem anunciou que o resultado de medidas de um observável é o espectro do operador?

Para o item 4, talvez tenha sido von Neumann no seu livro Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Comentários do von Neumann no seu livro parecem indicar que foi Dirac (Proc. Roc. Soc. 113 (1926)) e independente dele, Jordan (Z. f. Physik 40 (1926)), que introduziram o item 3.

Atualização 06/10 : Bohr, H. Kramers e J. Slater introduziram a interpretação probabilística para o formalismo da mecânica quântica em Phil. Mag. 47 785-802 (1924). Uma reprodução se encontra no Sources. Um comentário mais completo desse artigo fica para o futuro.

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  1. Paulo E.
    terça-feira, 26 mai 2009; \22\UTC\UTC\k 22 às 15:46:14 EDT

    Muito legal esse post Leonardo, parabéns.
    Não li o post inicial que você menciona de 2005 mas achei esse bem legal e esclarecedor.

    Um abraço e parabéns a todos os membros do Ars Physica, acompanho diariamente.

  1. terça-feira, 2 mar 2010; \09\UTC\UTC\k 09 às 22:47:54 EDT

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