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O problema da seta do tempo

segunda-feira, 7 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 Deixe um comentário Go to comments

Por que podemos ir da esquerda para a direita, mas não temos acesso ao passado? Por que girar um objeto no espaço não causa os mesmos paradoxos que imaginar matar o seu avô?

O problema da seta do tempo é um dos mais célebres problemas fundamentais da Física. Ele deve ter sido percebido pela primeira vez na mecânica de Newton, quando notou-se que tipicamente os sistemas mecânicos conhecidos admitem uma inversão temporal. O que isso quer dizer? Se temos a equação de Newton,

\mathbf{F}(\mathbf{v},\mathbf{x},t) = m\mathbf{a}

e uma de suas soluções

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (t)

então temos automaticamente outra solução:

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (-t)

Isso significa que a equação de Newton não consegue distinguir passado do futuro: se eu tenho uma solução que leva uma condição inicial x_0, v_0, t_0 em x,v,t, é também solução do sistema percorrer o trajeto de x,v, t até x_0, v_0, t_0.

A primeira lei da Natureza descoberta que faz diferença entre passado e futuro é a segunda lei da Termodinâmica, quando enunciada da seguinte forma:

Se considerarmos um sistema físico em equilíbrio, i.e. estamos olhando para um conjunto de observáveis desse sistema X que independem do tempo, então existe uma função S convexa dos valores dessas variáveis tal que se permitimos um ou mais elementos do conjunto X variar, o sistema atingirá equilíbrio novamente de tal forma que S é um máximo com respeito aos valores acessíveis de X.

O que essa afirmação quer dizer é o seguinte. Suponha que você tem um gás dentro de um recipiente de volume total V. Nós dizemos que o volume acessível ao gás é V. O gás poderia ocupar um volume menor, porque não existe nada impedindo isso de acontecer (nenhum vínculo). Existe um vínculo que impede o gás de ocupar um volume maior que V que são as paredes do recipiente. A segunda lei da Termodinâmica diz que o gás ocupará um volume V’ que deve ser tal que a função S(V) é um máximo em V’ dado o vínculo de que V' \leq V. Para um gás, S(V) \propto \log V, então é possível mostrar que o máximo de fato ocorrerá para V' = V. Para resolver esse problema de maximização, é necessário introduzir uma variável extra, conjugada ao volume V, que é conhecida como multiplicador de Lagrange. Essa variável é o que se chama a pressão.

A segunda lei da Termodinâmica é na verdade uma afirmação mais forte que a que eu coloquei nesse texto, mas para o problema da seta do tempo, as demais propriedades da função S não me importam. E é isso mesmo que você está pensando, S é a entropia.

Por que essa lei parece ter algo a ver com a seta do tempo, se em Termodinâmica não existe a variável tempo? É porque se uma vez você permite S aumentar de valor, então os estados com entropia menor agora são fisicamente inacessíveis devido a convexidade de S. Por exemplo, uma função convexa é o logarítmo, então se supormos que para um gás S(V) = \log(V) , uma vez que o volume acessível ao gás V satisfaça V \leq V', o gás sempre será encontrado ocupando um volume V’, e nunca menor.

Durante as décadas de 1860 e 1870, Ludwig Boltzmann e Josiah Willard Gibbs começaram a conectar a termodinâmica com as leis da mecânica, dentro da disciplina que se chamou a Física Estatística. A peça chave para fazer essa conexão foi proposta por Boltzmann. Mas hoje em dia nós entendemos o significado dessa peça chave graças ao trabalho de Edwin Jaynes. Felizmente já há um bom post de blog sobre isso aqui. Boltzmann mostrou que aquela quantidade de informação total contida na descrição de um sistema satisfaz

- \frac{d}{dt} H( \{p_i\}) = -\frac{d}{dt} \sum_i p_i \log p_i \geq 0

Esse é o celebrado Teorema H. Esse teorema hoje pode ser demonstrado de forma genérica como conseqüência direta da mecânica quântica. É tentador identificar a quantidade acima como a entropia, e mais ainda, concluir que o problema da seta do tempo está resolvido porque o teorema supostamente nos diz que a entropia sempre aumenta no tempo. Porém, isso é incorreto em diversos níveis, de diferentes formas.

Uma inconsistência, a mais famosa, foi apontada pelo colega e professor de Boltzmann, Johann Loschmidt. Suponha que existe uma solução da equação de Newton para os constituintes do sistema que leva-o do estado i para o estado f, e suponha que a entropia só depende do estado do sistema, então se S(f) > S(i) e se existe reversibilidade temporal, há uma solução da mesma equação de Newton que leva o sistema de f para i e portanto viola a segunda lei da Termodinâmica. Não há violação do teorema H, e sim da segunda lei da Termodinâmica, pois o teorema H também admite que a informação perdida de um sistema diminua no tempo (ao invés de crescer) se você permite reversibilidade temporal na mecânica. Isso deveria ser óbvio do fato de que você pode tomar dt \rightarrow -dt. Isso levou Loschmidt a apontar que o teorema H não é equivalente a segunda lei da Termodinâmica.

O mito de que a segunda lei da Termodinâmica pode ser “provada” a partir de uma mecânica reversível continuou. Em 1971, E. T. Jaynes encontrou a recíproca do paradoxo de Loschmidt: é possível satisfazer a segunda lei da Termodinâmica e violar o teorema H.

O paradoxo de Loschmidt pode ser facilmente generalizado para a mecânica quântica. Se temos um sistema no tempo t_i descrito por uma matriz de densidade \rho_i e em t_f por \rho_f e uma evolução temporal que satisfaz o teorema H que leva o sistema do estado inicial \rho_i para o estado final \rho_f, supondo que existe um operador anti-unitário anti-linear T que representa a ação t \rightarrow -t, então ao aplicar T a equação do teorema H obtemos uma solução que leva T \rho_f T^{-1} como estado inicial para T \rho_i T^{-1} como estado final. Se de fato a entropia é uma função de estado, uma dessas soluções do teorema H viola a segunda lei da Termodinâmica.

Portanto, infelizmente, nós não podemos compreender a irreversibilidade da Termodinâmica sem assumir uma seta do tempo nas leis microscópicas da física. Isso é um indicativo, em outros, de que o problema da seta do tempo não é um efeito macroscópico.

Existe uma discussão moderna sobre o problema da seta do tempo que tenta transferir esse problema a uma natureza puramente de condição inicial. Você vai encontrar por ai a afirmação de que se for possível explicar porque o universo começou em um estado de “baixa entropia”, então “segue da física de Boltzmann” que o universo aumenta entropia. Naturalmente que isso é incorreto, baseado na idéia falsa de que a segunda lei da Termodinâmica do aumento da entropia pode ser de alguma forma derivada da mecânica. Além do fato que me parece incorreta essa afirmação por causa disso, como fica claro da construção da entropia feita por Jaynes, esta quantidade é “subjetiva” no sentido de que ela não depende do sistema mas de uma escolha de descrição de quem faz inferências estatísticas. O que eu quero dizer com isso é que se eu de fato fosse resolver a evolução temporal do sistema em toda sua glória, eu não precisaria da física estatística para obter a entropia do sistema e aplicar o princípio de maximização da entropia para saber o estado final. Há outra falha que posso apontar, que é a de que a segunda lei da Termodinâmica só é válida quando o número de partículas e o volume do sistema físico é “grande”. É possível demonstrar matematicamente que a probabilidade do sistema ser encontrado em estados que violam a segunda lei da Termodinâmica tende a zero no limite que o número de partículas vai a infinito, mas se você não tomar esse limite, pode existir uma probabilidade não-nula e observável de violar a segunda lei da Termodinâmica. Isso naturalmente só ocorre para sistemas mesoscópicos e microscópicos, onde já se espera que a Termodinâmica não seja válida. Ainda assim, é possível definir passado e futuro, sem se preocupar com o fato de que eventualmente a entropia pode espontaneamente descrescer.

No presente momento não há nenhuma explicação para a natureza da seta do tempo. Também não é possível traduzir o problema em termos de condições iniciais ou de contorno. Todas essas idéias de reduzir o problema da seta do tempo a entropia ou outras coisas na verdade abriga o nosso preconceito de raciocinar em termos de passado e futuro, o próprio conceito que estamos tentando explicar.

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  1. segunda-feira, 7 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 19:27:00 EDT | #1

    @Leo,

    Muito bom o post, principalmente no que diz respeito ao fato de que a 2ª Lei não pode ser demonstrada a partir de “primeiros princípios”.

    Por outro lado, eu continuo recomendando uma boa e sólida leitura do capítulo 27 do The Road to Reality — incluindo as referências que ele propõem.

    Entretanto, eu concordo com o seguinte: todas as atuais “Leis da Física” são invariantes por inversão temporal — em última análise, a Relatividade Geral é invariante; assim como QFT também o é (incluindo PCT). Porém — e é aqui que se esconde o mistério —, a pergunta é: O que acontece, e.g., em QFT em Espaços Curvos? E, claro, a pergunta mais fundamental seria: Como isso funciona na Gravitação Quântica?

    Em última instância, essa é uma questão que envolve os graus-de-liberdade mais fundamentais do que conhecemos atualmente — uma vez que os que a gente já conhece são claramente invariantes por inversão temporal. O único lugar onde a gente pode encontrar graus-de-liberdade ainda mais fundamentais é numa possível teoria quântica da gravitação. Nesse sentido, essa questão está fundamentalmente relacionada com a Entropia de Buracos Negros e com o chamado Paradoxo da Informação.

    Então, na verdade, a gente tem que buscar por graus-de-liberdade mais fundamentais do que esses que a gente já conhece… o que não é tarefa nada fácil. Até porque, o que a gente já sabe da combinação de QFT com GR… a coisa é osso duro de roer.

    Só um “PS” de saidêra… não adianta fulano ficar fazendo argumentos que envolvem a “mecânica quântica”, pois a gente já sabe que o mundo funciona de acordo com as leis da QFT. E, no final das contas, não existem muitos argumentos que envolvem a QFT nesse assunto… :wink:

    []‘s.

    • Leonardo
      quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 08:39:12 EDT | #2

      Comentário rápido: quando eu falo MQ me refiro a teoria quântica, de modo que a TQC é um caso particular da MQ, uma escolha de Hamiltoneana. Estou seguindo as definicoes de MQ e TQC que o Weinberg usa.

      • quinta-feira, 10 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 08:22:50 EDT | #3

        @Leo,

        Se vc puder me passar essa referência do Weinberg pra eu poder entender melhor os detalhes em jogo, nesse caso, eu agradeço.

        Porque, no meu entender, MQ é que é um caso especial de QFT: o caso onde a QFT só tem 1 dimensão, o tempo.

        Portanto, construir uma QFT 1-dimensional é um caso muito diferente de uma QFT 2-dimensional ou n-dimensional (pra n ≥ 3). Infelizmente, as diferenças vão muito além duma simples escolha de Hamiltoniana… existem simetrias em n-dimensões (QFT) que simplesmente não existem em 1-dimensão (QM) — e essa mal é a ponta desse iceberg.

        Então, eu acho que, agora, os detalhes começam a ser cada vez mais importantes.

  2. terça-feira, 8 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 20:03:43 EDT | #4

    Ni!

    Do que estudei e pensei a respeito, entendo que a “seta do tempo” só precisa ser definida corretamente. Ficar procurando ela onde não está é que dá esse monte de rolo, que sobre a questão em si parece-me mais pensamento circular.

    O que é de fato observado é muito mais simples e deixa claro que às leis da termodinâmica não se deve aplicar status de lei fundamental.

    O que chamamos de seta do tempo é uma afirmação sobre o comportamento probabilístico de projeções dos estados físicos acessíveis a um sistema.

    O que acontece é que o volume da probabilidade total do maior macroestado para cada projeção cresce, relativo ao volume dos demais, rapidamente com o tamanho do sistema, levando a probabilidade de desvios dessa projeção a aproximar-se de zero em observações macroscópicas.

    Esse volume é o que chamamos de entropia, tomando o logaritmo pela conveniência da aditividade, e o crescimento do maior macroestado é meramente um fato combinatórico.

    A seta do tempo que observamos não diz nada sobre irreversibilidade microscópica ou do comportamento das leis da física, senão que elas devem gerar uma condição que cumpra o papel da “hipótese ergódica”, ou seja, garantir que a probabilidade de ocupação dos macroestados distribua-se pelo volume de suas projeções.

    A origem dessa ergodicidade na física fundamental é diretamente o fato de os estados já representarem probabilidades com evolução extensa. Mas mesmo na física clássica, adotando condições iniciais aleatorizadas pela física fundamental, a dinâmica não-linear de muitos corpos, com tais condições iniciais, já garante o necessário.

    Ninguém ainda observou irreversibilidade nos fenômenos fundamentais da física como os entendemos hoje, nem há qualquer indício de que irá observar. Irreversibilidade é uma ilusão, um artefato de observar-se projeções arbitrárias ao invés de estados físicos.

    Penso que se há alguma conexão entre a física fundamental e a termodinâmica é pela questão da medida, na definição de observador e, aí sim, do que isso implica para a descrição da nossa experiência do tempo.

    (há também as coisas do Prigogine sobre densidades irredutíveis, mas já ouvi dizerem que isso não é muito certo e nunca as estudei formalmente.)

    Abraços,

    abdo
    ~~

    • quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 07:17:56 EDT | #5

      @Abdo,

      Excelente comentário. :cool:

      Mas, antes deu continunar e falar qualquer outra coisa, é importante notar o seguinte: Existem vários conceitos denominados de “seta do tempo” — pruma lista, basta dar uma olhada no seguinte link, Setas do Tempo.

      Em geral, misturar esses conceitos é um erro e só causa mais confusão. Nos artigos ou livros de divulgação científica, esse tipo de distinção não costuma ser feita… o que gera vários problemas, uma vez que, em geral, se costuma misturar, pelo menos, duas dessas “setas do tempo”.

      Isso posto, e deixando de lado as idéias do Prigogine… eu acho que essa sua colocação é bastante pertinente,

      O que é de fato observado é muito mais simples e deixa claro que às leis da termodinâmica não se deve aplicar status de lei fundamental.

      Esse é o grande truque que esconde pontos sutilíssimos…

      Eu ia adicionar um comentário extra aos que fiz acima, mas acabei deixando… mas, agora, com essa sua observação, meu comentário que não apareceu cai como uma luva. :smile: A pergunta é: como definir uma “entropia” pras forças fundamentais? Ou seja, como definiar uma entropia pros campos das forças que a gente já sabe quantizar (fraca, eletromagnetismo, e forte) e praquela que nós ainda não sabemos (gravitação)? Será que essa pergunta faz sentido (i.e., será que faz sentido perguntarmos sobre a definição duma “entropia fundamental”)?

      Num certo sentido, acho que tudo isso seria mais fácil de se responder se a gente tivesse uma noção mais “palpável” para o Espaço de Fases de QFTs e de Teorias de Gauge. Nesse sentido, minha especulação pessoal é de que Moduli Spaces e Quantum Phases têm algo importante pra dizer sobre isso… mas, isso ainda não passa de especulação (mesmo que devidamente embasada :wink: ).

      De qualquer modo, ainda tem muito chão pela frente… chão esse que, infelizmente, parece meio “confuso”… :wink:

      []‘s!

      • Leonardo
        quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 09:01:43 EDT | #6

        Claro que é possível definir entropia para as forças fundamentais. Basta escrever a função de partição da Hamiltoneana correspondente: Z = exp(-\beta H). Essa função de partição tem uma forma de integral de trajetória bem conhecida, que permite fazer cálculos em TQC quando você joga alguns graus de liberdade fora. Além disso, como já se sabe toda vez que você tem um sistema quântico descrito por um conjunto de observáveis {X,Y}, ao omitir os observáveis Y e construir uma base exclusiva para um subconjunto X, você automaticamente ganha misturas, matrizes de densidade, e portanto entropia. O Sorkin et al. mostrou como toda vez que você pega qualquer TQC com campos definidos em Minkowski e remove todos os operadores \Phi(x,t) dentro de uma região do espaço V^3 você automaticamente obtém uma entropia para esse volume removido que é proporcional a área superficial desse volume.

        Mas isso é completamente irrelevante porque entropia é um conceito subjetivo de escolha da descrição estatística do sistema e não é a entropia que “causa” a noção de tempo. A entropia só parece causar essa noção de tempo porque existe essa lenda de que essa é a única lei da física que faz distinção entre passado e futuro, o que não é verdade. As equações de Maxwell ou a gravitação já fazem essa distinção. Eu diria que a sutileza está em sair desse lugar comum de achar que a seta do tempo é efeito de contar microestados e não uma característica embutida nas leis da física fundamentais. É falso achar que porque as equações da mecânica não fazem distinção entre passado e futuro que a física fundamental não faz, e inclusive em todo o nosso arcabouço de aplicação dessas equações a distinção é feita. Um exemplo claro disso é a teoria de espalhamento.

        • quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 11:54:41 EDT | #7

          @Leo,

          Lamento dizer, mas a definição de entropia (e a própria idéia de contar graus de liberdade) em TQC não é tão simples assim. A razão é a seguinte: há uma grande diferença entre definir uma função de partição numa caixa e contar graus de liberdade numa caixa finita para a teoria já no limite termodinãmico. Em princípio, são teorias diferentes, e somente a segunda possui uma teoria de espalhamento (ou um “closed-time-path framework”, se você quiser) e, portanto, pode ser comparada com experimentos. Propriedades como “clustering” e ergodicidade não podem sequer ser definidas no primeiro caso.

          É possível provar que, no segundo caso, qualquer estado de temperatura finita possui um número infinito de graus locais de liberdade – intuitivamente, isto segue da estrutura local dos observáveis em TQC e do princípio de incerteza. Essa análise já tinha sido feita na década de 30 por Bohr e Rosenfeld para o eletromagnetismo. A idéia por trás é que medições de campo eletromagnético nas proximidades das paredes da caixa causam flutuações que levam a produção de pares cada vez mais intensa, quanto melhor tentamos localizar quão próximos das paredes estamos. Isso já pode ser visto no efeito Casimir, ao escrevermos a densidade de energia do vácuo em função da distância às paredes. Em princípio, a entropia numa caixa vai ser então infinita. Em particular, essa operação proposta por Sorkin vai cair no mesmo problema (vou ser mais preciso a respeito disto no próximo parágrafo), porque a polarização do vácuo (no sentido amplo
          da palavra) é uma característica universal de qualquer TQC interagente local, causal e com um vácuo estável. Matematicamente, isto é uma conseqüência do fato de que as álgebras locais não contém projeções de dimensão finita no espaço de Hilbert (outra manifestação do princípio de incerteza em TQC) e, portanto, não admitem uma noção de traço, que é necessária até mesmo para definir a funcão de partição quântica.

          É importante lembrar, contudo, que tal resultado advém do fato de tentarmos dar uma localização estrita para as paredes da caixa, o que é obviamente uma idealização não justificada do ponto de vista da TQC, à luz da discussão acima. Para campos livres e teorias em que a densidade de níveis de energia acessíveis a partir do vácuo por meio de operações locais não cresce rápido demais com a energia (propriedade esta que recebe o nome técnico de “nuclearidade” em QFT algébrica), é possível obter uma subálgebra da álgebra de observáveis locais dentro da caixa e que contém a álgebra de observáveis locais dentro de uma caixa menor cujas paredes não tocam as da caixa maior (intuitivamente, esta subálgebra está contida numa caixa com paredes “difusas”), que, esta sim, possui projeções de dimensão finita e admite uma noção de traço. Nesta subálgebra, podemos definir uma “função de partição local” e, portanto, uma entropia, que é finita e possui as propriedades encontradas pelo Sorkin. Só há um probleminha: não há necessariamente uma única subálgebra com tais propriedades, e por causa disto a definição da função de partição é obtida maximizando a entropia associada. Neste contexto, infelizmente, não podemos usar a caracterização variacional de estados de Gibbs e obter a fórmula bonitinha que a gente espera, porque estes estados não existem em TQC em virtude das razões descritas no parágrafo anterior (o substituto adequado é a condição KMS, que sobrevive ao limite termodinãmico).

          Postos os pingos nos i’s no que concerne à entropia em TQC (tendo dado, espero, pro Daniel um gostinho do que eu pretendia falar no meu eterno post por escrever :-P ), uma possibilidade interessante para a seta no tempo, sugerida pelo estudo de emaranhamento e decoerência em MQ (no sentido que o Leo usa ;-) ), pode ser pelo fato de que não seja possível acessar todos os graus fundamentais de liberdade de um sistema por meio de operações locais. Isto é, não podemos isolar completamente um subsistema local, o que pode explicar também o próprio fato de que observamos boa parte do universo como tendo um comportamento “clássico”. Agora, se esta limitação é prática ou fundamental, não faço idéia…

          Enfim, só o meu tostão…

          []‘s!

          • Leonardo
            quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 15:17:51 EDT | #8

            Oi Pedro!

            Eu não sou um cara bem versado nessa disciplina de excelência sua e do Daniel além da Física, a matemática. Eu acho que entendi o que você quis dizer com as objeções acima, e para isso eu deixo uma frase do Arnold que você deve conhecer e só um ponto de informação:

            A Z de uma TQC tem uma integral de trajetória, e calculando-a através das regras de Feynman, parece que em mat-cond. já foi possível obter progresso em cálculos de expoentes críticos. Então parece que essa Z assim calculada bate com os experimentos. Então pode haver umas dificuldades matemáticas envolvidas, mas há uma prescrição formal para calcular essa Z. O que exatamente significa a conta pode ser sutil, o que se está contando (se é que é uma contagem).

            “We claim that the system (2) is a ‘good approximation’ to system (1). We note that this principle is neither a theorem, an axiom, nor a definition, but rather a physical proposition, i.e. a vaguely formulated and strictly speaking, untrue assertion. Such assertions are often fruitful sources of mathematical theorems.”
            :)

            • quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 16:22:17 EDT | #9

              OK, Leo, sem querer continuar a ser chato mas sendo…

              Eu só quis dar uma esclarecida sobre algumas sutilezas sobre a questão da contagem de graus de liberdade num nível fundamental como a TQC, já que vocês estavam se referindo a esta questão neste nível.

              Em relação ao exemplo que você deu, precisamente o fato de você estar usando regras de Feynman para calcular expoentes críticos mostra que, neste cálculo, usa-se bem menos informação do que a formulação funcional sugere. O que está realmente sendo feito e comparado com experimentos neste (e na maioria dos) caso(s) é um cálculo perturbativo de funções de Green – a “integral de trajetória”, para todos os efeitos práticos, está servindo só para condensar as regras de cálculo.

              Uma vez que é possível recuperar a estrutura algébrica da teoria a partir das funções de Green, caímos na situação que eu descrevi, com uma ressalva: checar a validade a condição de “nuclearidade”, que permite definir as funções de partição locais de facto, requer um conhecimento detalhado do espectro de energia-momento e jamais foi feito com sucesso em teoria de perturbação. Assim sendo, ainda caímos na frase do Arnol’d, com a qual concordo plenamente. Só acho que se deve ter o cuidado de não elevar uma notação conveniente para o cálculo que está realmente sendo feito à categoria de princípio, o que infelizmente ocorre com bastante freqüência.

              Pronto, não vou mais encher… (por enquanto :-P )

              []‘s!

        • quinta-feira, 10 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 09:18:48 EDT | #10

          @Leo,

          Como o Pedro já expressou boa parte do que eu mesmo poderia dizer… eu vou deixar essa ‘thread’ em prol duma outra — assim como também vou deixar o Abdo com o ‘thread’ dele. (Ou seja, vou me concentrar só num dos aspectos que vc levantou… divide and conquer :wink: )

          De saída, eu quero dizer que o livro que vc mencionou, The physical basis of the direction of time, é realmente muito bom. Excelente sacada! E uma das melhores coisas que esse livro faz é dividir as “setas do tempo” em cada caso diferente que elas aparecem…

          Essencialmente, ele divide o problema em 5 casos, visíveis logo no índice do livro. Desses 5 casos, eu considero “robustos” apenas os 3 primeiros. Minha razão pra isso é simples: Termodinâmica de Buracos Negros e Cosmologia Quântica — que são as 2 últimas fontes de ‘seta do tempo’ listadas no livro — implicam diretamente num tratamento quântico da gravitação. Esses temas são originários de “dicas” que a gente obtém advindas da aplicação de QFT em espaços curvos… e, em muitos aspectos, os problemas fundamentais que esse tema levanta não são tratados em nenhum approach que eu já tenha visto, inclusive nesse livro!

          Por exemplo, pra deixar a afirmação acima bem concreta: uma das primeiras coisas que vc aprende quando faz QFT em espaços curvos é que não existe um “conceito fundamental” de partículas — mais ainda, não existe um vácuo único! Isso é um fato extremamente pesado e muitíssimo pouco discutido (quantas pessoas sabem que o conceito de partículas é inútil? :razz: ).

          Dessa forma, pra se tratar essa questão com alguma precisão mais rigorosa, eu prefiro me concentrar nos 3 primeiros casos. Note que a gente pode muito bem conversar e discutir sobre os dois últimos casos… mas, aí, eu pessoalmente iria preferir um rigor matemático maior, o que não acontece nem nesse livro que vc citou, uma vez que isso torna o tratamento dessa questão muito mais intrincado. (Em particular, note que a discussão feita no Capítulo 5 desse livro, tratando do problema em GR, cai exatamente no caso que eu disse acima: gravitação semi-clássica. Por outro lado, no Seção 5.4, o autor faz um tratamento da Geometrodinâmica em termos da chamada “Formulação ADM“. Eu não tenho problema nenhum com essa formulação da GR, desde que fique absolutamente claro TODOS os detalhes envolvidos. Essa formulação efetivamente se restringe a um caso muito particular de espaços-tempos, o caso onde há hiperbolicidade global; ou, se vc preferir, o caso onde é possível se escolher globalmente uma foliação de codimensão 1 e associá-la ao tempo; ou significados análogos. Essa é uma classe muito especial de variedades, que certamente é menor do que aquela permitida pelas Equações de Campo de Einstein. Portanto, se algum “fenômeno especial” aparece aqui, isso não implica que ele aparecerá na GR de forma mais geral! Então, é preciso se tomar muito cuidado… :oops: )

          Assim sendo, das 3 setas que sobram, 2 delas eu acho que são bem entendidas: a termodinâmica (essencialmente, devida a entropia) e a quântica (efetivamente dada por descoerências).

          O que nos deixa apenas com a seta do tempo na radiação — que se resume, basicamente, a escolha das soluções (pra equação de ondas) admissíveis na Física. Assim sendo, dado o potencial de Liénard–Wiechert, eu pergunto: “Onde está o problema?”

          Falando de outra maneira, quando se vê as Eqs de Maxwell como a curvatura dum ‘line bundle’, o efeito da orientação do espaço-tempo fica claro e imediato (dica: operador *-Hodge). É importante notar que a orientação da variedade (ou do ‘bundle’, pra ser mais generalista) é um dos dados de entrada da teoria: se o bundle não for orientável, não existe nem integração! Então, isso (i.e., a existência duma orientação) é fundamental. Entretanto, fica a pergunta: “O que acontece com as Eqs de Maxwell quando vc troca a orientação do bundle?”

          Se vc quiser descer pro lado mais especulativo da coisa… a gente pode dizer o seguinte: é possível se escolher essa orientação dinamicamente — isso deve fazer parte duma teoria da gravitação quântica, onde vc pode ter todo tipo de “transições topológicas”, incluindo escolhas de orientação. Então, como eu disse anteriormente, é bem possível que uma “solução final”, mais taxativa, pra essa questão só venha com uma teoria mais robusta pra gravitação quântica. Todavia, dizer que a troca de orientação afeta as Eqs de Maxwell de modo a criar uma seta do tempo… :razz:

          []‘s.

          • quinta-feira, 10 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 09:59:03 EDT | #11

            @Leo,

            Eu nunca li o livro do Zeh (agora vou ser obrigado ;-) ), então não tinha como saber que a seta do tempo que sugeri no meu primeiro comentário é o que o Daniel chama acima de “seta do tempo quântica” (a menos do ponto sobre acessibilidade local dos graus de liberdade e classicalidade que eu levantei lá).
            Vivendo e aprendendo…

            @Daniel-san,

            Em relação à seta “radiativa” do tempo, são necessárias condições de contorno adicionais ao suporte avançado / retardado das funções de Green para definir univocamente os potenciais avançado / retardado se o espaço-tempo não for globalmente hiperbólico, mesmo que ele ainda seja estavelmente causal (i.e. admita uma função de tempo global) e, portanto, ainda orientável no tempo, no espaço, causal e tudo o mais. O exemplo típico é o espaço-tempo anti-de Sitter. Portanto, uma definição global unívoca para a seta do tempo “radiativa” requer hiperbolicidade global, o que exclui transições topológicas. Isso também é verdade para as equações de Einstein, pois o problema de Cauchy modulo difeomorfismos para elas só é bem posto no interior do domínio de dependência dos dados iniciais, que é por definição uma região globalmente hiperbólica.

            Em suma, a seta do tempo “radiativa” é bem compreendida sim, conquanto seu escopo se dê com a devida precisão. Acho que, fazendo coro com o Leo, “o buraco é mais embaixo” – a seta do tempo radiativa é tão somente uma instância particular de escolha de condições de contorno, e não um fenômeno dinãmico como você parece sugerir (corrija-me se eu estiver enganado… ;-) ), enquanto que a seta do tempo no sentido que o Leo levantou no post dele é um fenômeno que emerge dinamicamente. Por isso é que volto a pensar na interação entre localidade e decoerência, mas com um certo desconforto por não ser provavelmente (se mesmo uma parte, para começar) toda a estória…

            []‘s!

            • quinta-feira, 10 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 12:24:46 EDT | #12

              @Pedrão, :smile:

              Perdão se fui meio prolixo ou soei de forma a dar margens à confusão no meu comentário acima — não foi essa a intenção.

              Então, deixa eu tentar ser mais claro: Eu estou de completo acordo que tudo não passa duma escolha de condições de contorno. Meu único ponto aqui é o seguinte: se mudássemos essa escolha, o que aconteceria? Ou melhor, o efeito dessa mudança de escolha de condições de contorno seria fisicamente relevante? (Foi a isso que eu quis aludir com meu comentário sobre a orientabilidade do ‘bundle’ e, portanto, à escolha do operador *-Hodge.)

              Isso posto, a dinâmica que eu sugeri não é no nível do E&M, nem mesmo no da QFT (ou QED, pra nos mantermos dentro do caso em questão), nem no da GR, nem mesmo no da Gravitação Semi-Clássica. Qualquer tipo de dinâmica pra escolha de orientações ou transições topológicas tem que necessariamente ser algo que pertence à Gravitação Quântica — que é algo cuja discussão eu, a priori, descartei no meu post acima; pela simples razão de que tudo ainda é muito especulativo nesse âmbito, e, portanto, é impossível de se fazer qualquer tipo de “decisão”. Eu só quis abrir uma ‘janelinha’ na proibição que eu mesmo [me] fiz, e especular um pouco… só pra dar alguma perspectiva e contexto ao problema. :wink:

              []‘s!

    • Leonardo
      quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 08:48:30 EDT | #13

      Abdo,

      As coisas não são tão simples assim, infelizmente. Eu também pensava assim no início, mas há muitos mais detalhes que essa idéia não tem como explicar. A seta do tempo não vem pura e simplesmente de contar estados, não é um efeito macroscópico ausente na física fundamental.

      Eu digo isso porque se a seta do tempo resumisse a contar estados, você teria que me explicar porque das duas funções de Green que satisfazem a mesma condição de contorno da equação da onda só uma é aceitável para construir soluções em física. A solução matemática mais geral da função de onda é uma soma de duas soluções, uma delas viola a causalidade (a seta do tempo). Você vai ter que me explicar porque nós observamos buracos negros, de acordo com a idéia de que o espaço-tempo é tempo-orientável. Sem essa exigência, a geodésica que percorre o passado no exterior de um buraco negro para o futuro no interior pode ser percorrida de um estado passado dentro do buraco negro paro o exterior, e o buraco negro de negro não teria nada. De fato, mesmo exigindo que o espaço-tempo seja tempo-orientável, embora em um mesma região causalmente conectada só pode existir uma única solução (assim como a separação de passado e futuro exige uma única função de Green para a equação de onda), eu posso ter tanto um espaço-tempo em que não é possível sair de dentro do BN como um em que o futuro de um observador dentro do horizonte de eventos é sair (buraco branco). Como todo buraco negro estacionário tem que ser um dos três tipos básicos conhecidos e todos eles tem um buraco branco na extensão máxima, você teria que me explicar na física fundamental porque não observa-se um buraco branco para cada buraco negro no universo.

      Existe tanto uma seta de tempo na entropia como existe nas teorias clássicas de campo a temperatura zero.

      • Leonardo
        quarta-feira, 9 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 09:10:45 EDT | #14

        Existe uma referência interessante sobre esse assunto,

        H. Dieter Zeh, The Physical Basis of the direction of time, Springer

        onde ele discute em detalhes cada uma das diferentes facetas da seta do tempo, como a exigência sobre a escolha de funções de Green (que ele chama “seta do tempo da radiação”), a segunda lei da Termodinâmica e porque do que se sabe hoje não se pode derivá-la da mecânica estatística, e os efeitos da gravitação clássica.

        Em particular ele mostra uma falha lógica nessa idéia sobre contar microestados, ao argumentar que não existe nenhuma razão a priori para que estados improváveis no passado sejam levados para estados prováveis no futuro. Numa física perfeitamente reversível no tempo, estados prováveis do passado deveriam ser encontrados em estados improváveis no futuro. Ou ainda, falta explicar porque estados improváveis simplemsente não são levados a estados improváveis. Assim como no caso do teorema H, contar microestados e assumir que os sistemas físicos caminham para estados mais prováveis é uma escolha de seta de tempo.

        • quinta-feira, 10 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 05:13:44 EDT | #15

          Ni!

          Err.. como disse o daniel e você fez bem, vamos separar as coisas: não estou falando de funções de green e causalidade, apenas de termodinâmica. Não acho que faça sentido igualar causalidade com seta do tempo, são coisas bem diferentes. Estou falando aqui apenas de termodinâmica, da seta do tempo que se costuma associar à entropia.

          Nesse contexto, não há nenhuma razão para um estado provável do passado não poder ir para um estado improvável no futuro, ou qualquer dessas outras alternativas. Aliás, teoricamente isso acontece o tempo todo, guardadas as probabilidades diminutas que tornam difícil sua observação.

          Na física estatística de não-equilíbrio, a teoria de resposta linear e teoremas de flutuação prevêem essas “saídas” do equilíbrio e outros decréscimos de entropia.

          Há experimentos que confirmam o comportamento previsto por eles, onde mede-se em laboratório a variação da entropia, ou seja, a taxa de transição para estados de menor ou maior valor, tanto em sistemas em equilíbrio como fora dele.

          Essas taxas são razoavelmente bem descritas pela teoria, ainda que haja muito trabalho a ser feito na área, e correspondem a probabilidades advindas da contagem de volume dos macroestados, mostrando que a seta do tempo entrópica – a taxa de variação da entropia – é uma ilusão na observarção de projeções do espaço de fase.

          É claro que, cosmologicamente, observar-se qualquer crescimento da entropia implica no universo estar num estado de entropia menor que o equilíbrio, o que deveria ser improvável pela própria segunda lei. Mas tampouco isso é um problema. Há várias propostas de modelos cosmológicos bastante plausíveis (dentro do que se entende por plausível nessa área) que dão conta do recado.

          Por fim, nada disso tem a ver com Teorema H, que trata um caso particular com muitas simplificações, mas especialmente pressupõe condições iniciais especiais na sua demonstração, embutindo a assimetria temporal, razão pela qual não faz sentido falar em reverter temporalmente o teorema: você estará falando de um sistemas que irá para condições finais muito especiais e assim, obviamente, vai concluir que a aproximação da entropia diminui. Por outro lado, se você mantiver as condições especiais no início, pode reverter a dinâmica que a aproximação da entropia, vulga função H, aumentará como esperado.

          Abs,

          ale
          ~~

          • domingo, 13 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 07:52:07 EDT | #16

            @Abadão,

            Desculpe o atraso no aparecimento do seu post: por alguma razão vc foi pego como ‘spam’ — de novo! :sad:

            Mas, problema resolvido… e muito bem, diga-se de passagem: ótimo comentário! :twisted:

            []‘s!

          • domingo, 13 set 2009; \37\UTC\UTC\k 37 às 13:47:26 EDT | #17

            Abdus, salaam!

            A hipótese em questão adotada por Boltzmann é chamada
            de “caos molecular” ou (diretamente do original) Stosszahlansatz, e é precisamente a resposta ao “paradoxo” de Loschmidt pois ela não é bem uma “condição inicial”, mas sim uma perda da “memória” das condições iniciais do sistema e, portanto, de reversibilidade temporal, você
            lembrou muito bem (eu não lembrava se essa hipótese tinha mesmo ou não a ver com o teorema H)…

            Aliás, o resultado do Jaynes que o Leo discutiu mostra que tal hipótese é, de certa forma, essencial à assertiva do teorema H, e, embora simplfique consideravelmente as contas em teoria cinêtica, sua violação pode ser obervada em várias situações, como você mencionou. Agora, infelizmente termodinâmica (suficientemente) fora do equilíbrio até hoje é em grande medida terra incognita
            basta ver o número de diferentes escolas (Bruxelas, Catalunha, etc.). Em cosmologia, pessoalmente sou cético no que existe na área até o momento, até porque efeitos quânticos, mesmo em nível semi-clássico (anomalia de traço, etc.) podem ter um papel essencial, e mesmo o pouco que sabemos sobre termodinâmica fora do equilíbrio pode por isso mesmo ter que ser repensado – para ter um gostinho disto, recomendo este e este artigos.

            []‘s!

  1. quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 00:36:45 EDT | #1

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