A força do vácuo: o efeito Casimir e a energia escura

Dois objetos são atraídos devido a força do vácuo existente entre eles.^[9]

O efeio Casimir, previsto em 1948 pelo físico holandês Hendrik Casimir da Phillips, só foi demonstrado em 1997, e constitui evidência de que o vácuo tem uma energia associada. É um fenômeno puramente da mecânica quântica e nele reside uma das maiores icógnitas da física contemporânea: o problema da constante cosmológica.

Energia em Física Clássica e Quântica

Embora no nosso quotidiano nós usamos a palavra energia de forma coloquial como sinônimo de vigor, eficácia ou determinação, em Física, energia possui um significado mais específico. Quando descrevemos o movimento de uma partícula de massa m em física clássica, a energia associada a essa partícula é uma função da posição e da velocidade da partícula que é constante ao longo do tempo devido ao fato de que se eu encontro uma solução da equação de Newton, então para um número real arbitrário é também solução da equação de Newton. Incluindo-se efeitos da Relatividade, essa quantidade é



onde é o momento da partícula. Em mecânica quântica, nós podemos ver a origem da energia de forma análoga: introduz-se a energia através da simetria de translação temporal da mecânica quântica, aplicando um teorema devido ao matemático Marshall Stone que diz que a simetria temporal se traduz na existência da energia.

A Energia do Vácuo

Como em física clássica a energia é associada ao movimento de uma partícula, veio então com uma certa surpresa a descoberta de Werner Heisenberg, Pascual Jordan e Max Born de 1925, em um dos artigos de fundação da mecânica quântica^[1], que mesmo uma caixa de volume V sem nenhum fóton dentro deveria ter uma energia associada, segundo a mecânica quântica, de

onde o índice zero em E₀ subentende que é a energia da ausência de todas as partículas (o vácuo) e a soma é sobre todas as possíveis freqüências que podem existir dentro da caixa. Isso é devido ao fato de que se descreve a luz na ausência de qualquer efeito causado por uma partícula carregada como uma oscilação do campo eletromagnético, decomposta em uma soma sobre osciladores harmônicos de freqüência . Como em mecânica quântica o oscilador harmônico possui uma energia mínima de , segue o resultado da energia mínima do campo eletromagnético. O estado físico que se associa a essa energia mínima é o vácuo.

O significado dessa energia do vácuo ficou durante muitos anos obscuro: não se sabia como dar um resultado finito para essa soma, então tipicamente o tratamento de problemas da luz ou outras partículas era realizado negligenciando a soma, sob a justificativa de que pode-se escolher o zero de energia. Porém, há pelo menos duas circunstâncias conhecidas em que isso não é possível: quando efeitos gravitacionais são incluídos, o que dá origem ao chamado problema da constante cosmológica, ou quando há uma mudança no volume da caixa V que contém o vácuo, que produz o efeito Casimir.

Efeito Casimir

Se nós tivermos uma região de vácuo e permitimos que o volume V dessa região mude, então também mudam as energias permitidas existir dentro desse volume. Não é difícil entender porque: se um dos lados da caixa tem comprimento L, o comprimento de onda da luz que poderia existir dentro da caixa não pode ser maior que L (só frações de L são permitidos). Se o comprimento da caixa muda para L + δL, então a soma sobre k da energia do vácuo muda e passa a incluir agora os modos de comprimento de onda L + δL. Variar a energia do sistema requer trabalho, então mudar o tamanho da caixa vai exigir a ação de uma força. A força resultante do trabalho que altera a energia do vácuo ao aumentar a distância d de duas placas metálicas de área A foi calculada por Casimir^[2], do centro de pesquisa da Phillips de Eindhoven, em 1948:

.

Para duas placas de 1 cm² de área separadas por uma distância de 1μm, essa força é um milionésimo do peso de 1 grama na superfície da Terra! Certamente pequena, mas não impossível de ser observada. Se nós colocarmos duas placas metálicas na vertical fixas a uma distância d, então será necessário aplicar a força de Casimir para evitar que o vácuo atraia as duas placas.

A primeira demonstração de que o efeito provavelmente existia, foi feita por Marcus Sparnaay também da Phillips, em 1958, utilizando placas metálicas planas paralelas (um capacitor!)^[3]. Acontece que como a força é muito pequena, é experimentalmente difícil obter precisão suficiente no deslocamento das placas devido a problemas de alinhamento, e Sparnaay conseguiu observar o efeito de atração das placas, mas não foi capaz de medir o valor exato. A verificação do resultado numérico em detalhe só foi possível em 1997 em um experimento realizado por Steve K. Lamoreaux^[4], então na Universidade de Washington em Seattle, que observou a existência do efeito Casimir entre uma placa metálica e outra esférica com d variando entre 0.6μm a 6μm — uma ordem de grandeza! Esse experimento demonstra o contra-intuitivo fenômeno quântico que o vácuo de fato tem energia associada a ele!

Desde a descoberta de Lamoreaux, o efeito já foi medido para materiais e geometrias diferentes. Um grupo na Itália em 2002 conseguiu com menor precisão medir o efeito para a geometria original de placas paralelas^[7]. Já foi até medido o efeito Casimir repulsivo no final de 2008 — i.e. levitação quântica!

Roberto Onofrio (esq.), e seu aluno de pós-graduação, Michael Brown-Hayes, e um esquema experimental típico com uma câmera de vácuo para medida da força de Casimir, neste caso entre um cilindro e um plano (dezembro de 2005, Dept. de Física, Dartmouth College). Crédito da foto: Vox of Dartmouth, 12/05.

No experimento original de Lamoreaux, dois filmes finos de cobre revestem uma placa plana fixa e outra esférica móvel. A placa móvel pode deslocar-se ao longo de um círculo de raio R presa a uma barra, de modo a encontrar a placa fixa em um ponto desse círculo. A barra é presa a um fio metálico para formar um pêndulo de torsão. A medida precisa da força atuando entre as placas no vácuo é feita mantendo a balança parada usando uma voltagem regulável que aplica uma força eletrostática ao extremo oposto da barra com respeito a posição da placa esférica (dois desenhos esquemáticos podem ser encontrados no artigo original de Lamoreaux)^[8].

A energia do vácuo por todo o universo: o problema da constante cosmológica

Quando a energia do vácuo foi descoberta, não se sabia dar um significado físico a ela, pois o número de freqüências que pode existir dentro de uma caixa é infinita, então a soma parece ser infinita. Porém, emergiu dentro da física uma visão de que se nós incluirmos na teoria apenas fótons, a teoria só é válida até um certo limite de tamanho mínimo, a partir do qual outros efeitos se tornam relevantes, digamos como a unificação eletrofraca quando os fótons passam a se misturar com o bóson Z. Ou mesmo que seja possível levar em conta todas as partículas conhecidas do Modelo Padrão, o limite de comprimento passa a ser o comprimento de Planck, que é a escala de tamanho a partir da qual efeitos quânticos da gravidade se tornam importantes. Assim, uma primeira forma de calcular aproximadamente o valor da energia do vácuo é truncar a soma no valor máximo do comprimento de onda, e o resultado é^[5]:

onde é o valor máximo que nós podemos aceitar do comprimento de onda. Suponhamos que nosso limite de validade é o raio do próton (), então a densidade de massa equivalente dada por para essa energia seria de 2×10⁹ ton/cm³! Ou seja, em um centímetro cúbico do espaço, existiria uma massa de um bilhão de toneladas. Tanta massa assim geraria um campo gravitacional gigantesco, porém nenhum tal campo gravitacional é observado. Em contraste, a densidade de massa total do universo observada no diagrama de Hubble é de 1.0×10^-29 g/cm³, uma diferença de 44 ordens de grandeza. Colocando o valor de para valores menores, como a massa do top quark — que podemos tomar como o presente limite de validade das teorias de partículas quânticas –, ou a escala de Planck, só aumenta o valor da energia do vácuo. As vezes isso é incorretamente interpretado como uma previsão da teoria que não condiz com os dados experimentais. Na verdade, uma análise mais cuidadosa do cálculo da energia do vácuo^[6] revela que somos obrigados a adicionar um termo que está faltando na soma original que é uma constante arbitrária que a teoria da física de partículas não pode determinar:

onde eu indiquei que o valor observado, ou real, é igual a contribuição dos modos que dão origem ao efeito Casimir, , mais a densidade de energia livre que não pode ser determinada em teoria. O que nós podemos fazer, então, é usar a astronomia (ou quem sabe no futuro, experimentos em laboratórios terrestres) para determinar e então usar o valor observado para calibrar . Mas independente de qual a escolha certa para o comprimento de onda que usemos para obter a energia do vácuo, nós podemos ver que o valor observado já é, dentro da nossa primeira estimativa, 44 ordens de grandeza menor que a densidade do vácuo, o que implica que o parâmetro livre é negativo e idêntico ao valor da energia do vácuo em pelo menos 44 ordens de grandeza de modo a cancelar esse valor muito fina e precisamente para resultar em um pequeno:

1.0 × 10^-29 g/cm³ = 2.0 × 10¹⁵ g/cm³ – 1.99…90 × 10¹⁵ g/cm³.

Por que ocorre esse cancelamento perfeito? Que mecanismo físico, princípio fundamental ou simetria da Natureza é responsável por isso? E de onde vem o resíduo da diferença? Esse é o problema da constante cosmológica: o ajuste fino entre e necessário para que o campo gravitacional do universo seja pequeno.

Até o momento não há nenhuma explicação razoável para o mecanismo físico desse cancelamento. Há experimentos em andamento (e.g. no grupo de S. K. Lamoreaux na Universidade de Yale) para testar possíveis efeitos gravitacionais na força de Casimir, observando se há alguma variação na força que acompanha o movimento da Terra no campo gravitacional do Sol. Por enquanto, não creio que parece claro na teoria da gravitação porque qualquer fenômeno desse tipo aconteceria, mas isso não é impedimento para os físicos experimentais irem atrás de um possível efeito! Então, se você estava procurando um problema de física tanto teórica como experimental bem difícil e interessante, ai está um para ir trabalhando.

Notas

1. Z. f. Physik 35 557 (1925). Eu comentei anteriormente sobre esse artigo no blog aqui.
2. Casimir, H. G. B., Kon. Ned. Akad. Wetensch. Proc. 51 p. 793-795 (1948), online.
3. Physica, 24 751 (1958).
4. Phys. Rev. Lett. 78 p. 5-8 (1997), online.
5. Para deduzir essa fórmula, você deve transformar a soma em uma integral e escrever para a densidade de estados que . Você deve lembrar que a soma para E₀ vira uma integral sobre número de onda vezes o volume V, daí a relevância da densidade de energia.
6. Digamos, através da minimização da ação quântica efetiva , ou de um simples argumento de renormalização de que a Hamiltoneana pode conter um termo constante livre. Só é possível renormalizar introduzindo um parâmetro livre para a energia do vácuo (que não pode ser zero, embora a soma do termo livre com a contribuição dos modos zero de vibração pode!).
7. G. Bressi et al., Phys. Rev. Lett. 88, 041804 (2002), online.
8. Esse tipo de arranjo experimental é muito comum. Parece que o princípio básico foi introduzido por Coulomb para medir a força eletrostática, e depois dele, Cavendish, para medir G, e atualmente é empregado para várias medidas de precisão, como violação do princípio da equivalência, além do efeito Casimir.
9. Versão artística da força de Casimir, imagem de Jay Penni/Federico Capasso, revista Nature, 8 de janeiro de 2009.

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