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Origem do universo e a seta do tempo

quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 Deixe um comentário Go to comments

Uma palestra interessante do Sean Carroll sobre o problema da seta do tempo, em novembro de 2009 na Universidade de Sidney:

http://sciencestage.com/v/21993/the-origin-of-the-universe-and-the-arrow-of-time.-sean-carroll.html

Parte do que se tornou o mais recente livro do Sean. :)

Sean acredita que é possível demonstrar a segunda lei da Termodinâmica, no sentido de que a entropia deve crescer no tempo. Um ovo sempre vira um omelete, ele diz, mas não o inverso. No entanto, o ovo veio da galinha, mas de onde veio a entropia baixa do universo que permitiu ele aumentar em entropia com o passar do tempo?

Mas eu fiquei confuso com o argumento do Sean. Primeiro, ele diz que é possível demonstrar a segunda lei da Termodinâmica. Mas logo em seguida, ele diz:

“[Boltzmann] explica porque se você começar com menor entropia você vai para maior entropia. Mas claramente deixa uma pergunta sem resposta: por que o sistema começou com baixa entropia? (…) É fácil prever usando apenas as idéias de Boltzmann que começando hoje a entropia amanhã será maior. É impossível usando apenas as idéias de Boltzmann dizer porque a entropia era menor ontem. De fato, (…) como as leis da física são invariantes por reversão temporal, você pode provar que a entropia era maior ontem, do mesmo modo que você pode provar que ela será maior amanhã.”

Carroll parece está concordando, no final, com o conhecido paradoxo de Loschmidt (como eu falei neste outro post.), ou, de forma mais transparente na minha opinião, com o fato que, até onde eu saiba, a única equação que parece mostrar uma característica de crescimento no tempo para a entropia é o enunciado do teorema H, e esta equação é também simétrica por inversão temporal, tendo portanto duas possíveis soluções para qualquer processo físico: aumento de entropia ou diminuição de entropia, como função do tempo. A única forma de obter uma única solução para todos os processos físicos, é assumir que não é válida a inversão temporal na equação do teorema H. Contudo, isso está em conflito dentro da minha cabeça com a idéia de que a segunda lei da Termodinâmica pode ser provada.

Além desse argumento confuso, que eu até o momento não consigo concordar, eu tendo a apontar dois outros problemas com essa idéia:

  1. entropia é uma escolha de descrição estatística de sistemas, portanto é estranho dizer que o efeito só aparece por causa de uma escolha de descrição. Em princípio seria possível calcular exatamente a evolução temporal de um gás sabendo as velocidades iniciais e posições de todas as moléculas, e só existiria um único estado microscópico do sistema em cada instante de tempo. É apenas uma questão de escolha de descrição — ou aproximação fisica útil — fazer uma média temporal sobre os estados do sistema e então contar todos os estados possíveis que ele poderia estar, que é a descrição Termodinâmica. Seguindo o raciocínio de E. T. Jaynes, sabemos que essa descrição é de fato a melhor inferência estatística possível de ser feita dada um conjunto de conhecimento a priori e isso independente até mesmo da validade da Termodinâmica — i.e. de quão boa é essa aproximação estatística para a dinâmica do sistema. É muito difícil para mim acreditar que a seta do tempo desapareceria se nós tivéssemos um computador suficientemente poderoso para calcular a dinâmica de um gás ideal…
  2.  

  3. por que a gravitação parece desconsiderar essa simetria de inversão temporal? Pelo princípio de inversão temporal, para cada buraco negro, deve haver um buraco branco no universo, mas isso não é observado. O universo está em expansão com {\dot{H} < 0} e se {\dot{H} > 0} não ocorreria apenas uma inversão temporal como a positividade da energia de um gás ideal — que não é um teorema, mas um preconceito teórico bem razoável — seria violada. Em termos de teorias de campo em universos em expansão, isso se traduziria numa teoria que viola a unitariedade, com um sinal negativo para a energia cinética.

Contudo um ponto de encontro: eu acho que posso concordar com a questão reformulada da seguinte forma: porque existe uma condição de contorno para a equação do teorema H de que o valor inicial da entropia é menor que o final? Isso é apenas uma reformulação do problema.

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  1. quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 16:25:00 EDT | #1

    Existe uma “prova da 2ª lei da termodinâmica” em teoria de informação. Claro que não é uma prova tão geral assim.

    O teorema vai na seguinte direção: se você tiver uma cadeia de Markov X_1, X_2, … X_N, então a entropia relativa:

    D(P_j(X) | P0(X))

    Sempre aumenta. Aqui P_j(X) é a distribuição de probabilidades no passo j da cadeia de Markov e P0(X) é a distribuição estacionária (de equilíbrio).

    Isso é meio óbvio – a distribuição fica cada vez mais próxima da distribuição de equilíbrio.

    O que é meio embaraçoso nisso e que se X1 -> X2 -> … -> XN forma uma cadeia de Markov, então XN -> X_{N-1} -> … -> X1 também forma. :P

    • quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 18:21:39 EDT | #2

      Rafa, eu não discordo que se você tem um gás em um volume V e libera o vínculo do volume para 2V, o número de arranjos dos átomos em 2V é maior que em V e portanto a entropia em 2V é maior. Mas supor que o gás vai ocupar o volume 2V é uma suposição específica sobre a seta do tempo: você está supondo que o movimento das moléculas em V vai para um movimento ocupando o volume 2V ao invés de permanecerem todas em V. O que faz com que as moléculas, dinamicamente falando, em função do tempo, passem a ocupar um volume 2V? Estatisticamente apenas não existe nenhuma razão para as moléculas passarem a ocupar o volume 2V, independente do fato da entropia de 2V ser maior.

      A segunda lei da Termodinâmica é a afirmação de que o gás vai ocupar o volume 2V se ele for acessível. Essa lei não tem demonstração estatística. É uma lei física. Como provar essa lei? O paradoxo de Loschmidt é a afirmação de que para todo movimento que leva o gás de V para 2V, existe por inversão temporal o movimento que leva o gás de 2V para V. Se os dois movimentos são permitidos, então o gás poderia ocupar tanto o volume V como 2V em qualquer instante de tempo.

      (depois penso mais sobre isso… deixa eu voltar para meu trabalho…)

      • quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 21:20:31 EDT | #3

        Eu vou continuar repetindo o mantra: “Ergodicidade… ergodicidade!” :razz:

        » Se o sistema é “ideal”, então a hipótese ergódica entra em jogo (por definição de “ideal”) e não há muito o que se discutir.

        » Se o sistema não é ideal, por definição, há ganho entrópico… logo, segue o resultado desejado.

        Eu posso até estar errado… mas continuo achando que o Carrol só quer vender livros… :razz:

        • quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 21:39:54 EDT | #4

          Ergodicidade é o fato de que a média temporal das medidas da termodinâmica corresponde a média no espaço de fases. Ou seja, em Termodinâmica, o princípio de média estatística é o seguinte: a cada instante de tempo t, o sistema está em uma certa condição para os valores de posição e velocidade de cada partícula. Se fosse possível resolver as equações de movimento de todas as partículas, esse seria o valor da solução no tempo t dada as condições iniciais. Mas como não se quer determinar o estado microscópico do sistema no instante t, se faz uma média sobre um tempo T >> t sobre todos os estados visitados pela solução da equação do movimento durante o intervalo T. Essa média é temporal. A mecânica estatística assume que essa média temporal, medida em laboratório, corresponde a outra média: sobre o volume de todos os valores possíveis de posição e velocidade dado os vínculos do sistema. Mas nada foi dito sobre a distribuição de probabilidades da média ergódica. Inclusive, você só pode provar se o sistema é ou não ergódico após assumir qual a distribuição de probabilidades que você vai usar para obter as médias do espaço de fase que serão comparadas com as médias temporais. Em mecânica estatística, isso se resume a segunda lei da Termodinâmica: a distribuição correta é aquela que satisfaz a segunda lei (p.ex. é a distribuição uniforme se o sistema tem U,V e N fixos).

          Se o sistema é ergódico, as duas médias são as mesmas. É só isso que quer dizer ergodicidade.

          No exemplo que eu dei do gás ideal, a questão da seta do tempo é saber porque o sistema quando as trajetórias poderiam estar ocupando um volume V do espaço de fases agora ocupam um volume 2V. A ergodicidade não nos diz nada sobre porque isso acontece. Inclusive o sistema poderia ser ergódico e a média sobre o tempo ser exatamente igual a V assim como a média sobre o espaço de fase. No exemplo de um gás em um cubo de volume 2V, isso seria a média ergódica de uma distribuição de probabilidades que é 1 se a molécula está a esquerda e 0 se a molécula está a direita de um plano imaginário que divide o cubo no meio. A única razão que isso não acontece é que essa distribuição de probabilidades não é a que satisfaz a segunda lei da Termodinâmica.

          • terça-feira, 13 abr 2010; \15\UTC\UTC\k 15 às 17:28:09 EDT | #5

            @Leo,

            Se o sistema é ergódico, as duas médias são as mesmas. É só isso que quer dizer ergodicidade.

            Não, não é “só isso” o significado de ergodicidade.

            Num sentido um pouco mais genérico, ela significa que vc percorre todos os pontos do Espaço de Fases (acessíveis ao sistema, claro).

            Ou seja, dada a sua “sub-manifold solução” (i.e., aquela “porção” do Espaço de Fases que é acessível ao sistema), a ergodicidade garante que o sistema vai passar por todos os pontos dessa sub-variedade.

            Não é, simplesmente, uma questão apenas de “médias”.

            Então, o ponto importante dessa questão que eu levantei é que pra vc passear por todos os pontos da sua “sub-variedade solução”, não é possível haver uma direção preferencial nas leis que regem o comportamento dos micro-estados.

            É claro que, como disse o Calsaverini, abaixo, a Hipótese Ergódica pode ser algo um pouco forte demais. Entretanto, pra vc poder fazer argumentos robustos e suficientemente rigorosos… é preciso alguma base.

            Agora, se o negócio é falar qualquer coisa, sem base nenhuma… aí é a “festa-do-caqui da especulação”… e, claro, nenhuma afirmação vai ter valor. :razz:

            :wink:

            • terça-feira, 13 abr 2010; \15\UTC\UTC\k 15 às 21:25:11 EDT | #6

              A parte de visitar todos os pontos vem como um colorário apenas quando a distribuição escolhida para as médias é a uniforme. (e possivelmente quando a distribuição não se anula em uma parte grande do espaço de fases também…)

              Edição:

              A ref. que eu tenho sobre esse assunto é o livro do Arnold. Lá, o Arnold define ergodicidade como a igualdade entre as médias temporais e médias nos espaços de fases. Ele dá um exemplo específico:

              \dot{\phi_i}(t) = \omega_i

              onde 0 \leq \phi_i \leq 2\pi e \omega_i são constantes. Okay, acho que todos podem concordar que a média temporal é em física sempre a mesma: se f(\phi) é um observável, a média é sempre sobre a distribuição uniforme: eu meço f no tempo 1, depois em 2, depois em 3… somo tudo e divido pela soma do intervalo de tempo. Mas e a média sobre o espaço de fases? Ai o Arnold assume explicitamente que ela é uniforme também:

              \langle f \rangle_1 = (2\pi)^{-n} \int f d\phi

              e ai ele pode mostrar que no limite T \rightarrow \infty, se as freqüências são incomensuráveis, então todas as soluções de \phi_i(t) para todas as condições iniciais possíveis são sempre densas no intervalo 0,2\pi. Isso ele demonstra como o corolário da definição de ergodicidade como uma igualdade entre médias. Isso é o que você quis dizer com o sistema visita todo o espaço de fases. Há uma demonstração completamente diferente em um toy model de gás ideal no belíssimo livro do M. Kac, Statistical Independence.

              Mas se eu mudar a escolha de probabilidades para definir as médias do espaço de fases isso não é mais necessariamente verdade. Então, por exemplo, suponha que eu escolha que a média de f é

              \langle f \rangle_2 = (\pi)^{-n}\int f \theta(\phi - \pi) d\phi.

              e agora o sistema nunca visita a região com \phi < \pi. No exemplo do Kac, é só eu mudar a medida da reta de usual \mid x - y \mid para outra coisa.

              O problema da Mecânica Estatística é escolher essa distribuição de probabilidades de estados j, P_j, para que a média temporal experimental medida em Termodinâmica seja igual alguma média sobre o espaço de fases. O que eu quis dizer é que a escolha correta de qual é a P_j que garante que o sistema vai visitar todo o espaço de fases é feita escrevendo o limite termodinâmico do potencial adequado (entropia, energia livre de Helmholtz, etc.) e então salvaguardando a segunda lei da Termodinâmica, que operacionalmente é resolver o problema variacional com vínculos, p.ex. maximizar S com U,N e V fixos para deduzir a P_j certa.

              Se você disser que escolhe a distribuição P_j para garantir ergodicidade, então está sendo circular: assumiu o que queria provar.

              Espero que tenha ficado mais claro.

              Moral da história: o problema da seta do tempo é muito difícil.

              • quarta-feira, 14 abr 2010; \15\UTC\UTC\k 15 às 09:04:30 EDT | #7

                @Leo,

                Quer ver uma coisa que vc nunca vê mencionada nessas discussões?

                Concentration of Measure (essa não é a melhor referência sobre o assunto… mas, já serve pra dar um gostinho… :wink: ).

                254A: Notes 1: Concentration of Measure.

                Esse é o tipo de coisa que, pra mim, dá uma certa intuição sobre o que pode acontecer com os estados permitidos ao sistema… mas, é muito raro vc ver qualquer discussão séria que leve em conta esse tipo de construção.

  2. quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 16:53:06 EDT | #8

    @Leo,

    Essa confusão que o Carrol faz com as setas do tempo… realmente, me incomodam: ou ele tá de sacanagem, ou ele realmente não sabe alguns detalhes fundamentais (que, IMHO, ele deveria saber nessas alturas do campeonato :razz: ).

    Por exemplo, nunca ouço um comentário que leve a Hipótese Ergódica em consideração. Também não me parece que ele conhece o B-A-BÁ do Road to Reality.

    O Penrose tem um capítulo inteiro dedicado apenas a isso “Big Bang’s Thermodynamic Legacy”, onde ele discute tudo isso direitinho. :razz:

    Mais ainda, no seu post que vc linkou no meio do texto, os comentários lá postados são extremamente relevantes… e, claro, nunca vi o Carrol comentar sobre nada do que foi levantado lá.

    Ou seja, ele está pegando um problema “nível Bach” e transformando em música pop dos anos 80. É duro de engolir. :razz:

  3. quinta-feira, 8 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 21:43:34 EDT | #9

    :)

  4. sexta-feira, 9 abr 2010; \14\UTC\UTC\k 14 às 11:18:00 EDT | #10

    Eu ainda acho que ergodicidade é uma hipótese forte demais. Há diversos modelos que você que não são ergódicos, mas que quando você faz um tratamento de mecânica estatística tradicional ainda dá os resultados corretos, físicamente observados. Um bom exemplo disso são spin glasses.

    Devem haver coisas bem mais fracas que ergodicidade que justificam a mecânica estatística, e para mim isso vai mais no sentido de teoria da informação do que da hipótese ergódica.

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