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Yang Mills como um problema de cohomologia

sábado, 5 jun 2010; \22\UTC\UTC\k 22 Deixe um comentário Go to comments

Quero mostrar uma idéia mais ou menos moderna de como reduzir Super Yang Mills a um problema de cohomologia. Esse é um trabalho que o Howe fez em 1991 [3] e eu vou seguir aqui mais ou menos o que tem em [8].

A idéia é estudar a teoria clássica de campos conhecida como Super Yang Mills em 10 dimensões. Teoria de Super Yang Mills é idêntico a uma teoria de Yang Mills mas onde o nosso espaço-tempo é estendido com coordenadas grassmanianas \theta^{\alpha} que estão na menor representação espinorial da “álgebra de Lorentz” \mathfrak{so}(10). Mas vamos com calma, tentando definir o que são esses termos. Um coordenada grassmaniana é o mesmo de uma álgebra em que o produto, invés de ser comutativo como nos números reais ou complexos, é anticomutativo, isto é, vamos pegar duas dessas coordenadas \theta^1 e \theta^2, isso quer dizer:

\theta^1\theta^2 = - \theta^2\theta^1

Certo, essa foi simples, agora deixa eu falar o que é uma representação espinorial de \mathfrak{so}(10). Em \mathfrak{so}(4), podemos especificar a representação em que nosso campo está por dois “spins”. Se você considera os geradores M_{ij} de \mathfrak{so}(4), as duas álgebras de spin são:

\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}T^{jk} e T^{0i}.

Em \mathfrak{so}(10), você pode decompor em 5 geradores de “spin”. Claro que isso é um pouco de abuso de notação, porque se formos fazer como Wigner realmente fez [6], usando representações induzidas, então um campo em 10 dimensões tem 4 “spins”, mas não vou comentar sobre isso aqui. De qualquer forma, existe uma certa representação em que esses cinco spins são (1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2) e outra que tem spins (1/2,1/2,1/2,1/2,1/2). Para construir os geradores dessa representação, uma maneira simples é usar uma álgebra de Clifford, que nesse caso são matrizes 32×32 que obedecem:

\{\Gamma^a,\Gamma^b\}=2\delta^{ab}

onde a,b são índices que estão na representação que define \mathfrak{so}(10), isto é a=0,...,9. Os geradores de \mathfrak{so}(10) serão então:

M_{ab} = \frac{1}{4}[\Gamma_a,\Gamma_b]

Se você calcula esses geradores, eles podem ser colocados em forma bloco diagonal com duas matrizes 16×16, isso quer dizer que as representações são redutíveis, isto é, existe o equivalente às matrizes de Pauli e existe uma representação das álgebra de Clifford em que não há elemento nos blocos diagonais:

\Gamma^a = \begin{pmatrix} 0 & (\gamma^a)_{\alpha\beta} \\ (\gamma^a)^{\alpha\beta} & 0 \end{pmatrix}

Ou seja, há duas representações inequivalentes de \mathfrak{so}(10) que são aquelas que escrevi acima. O leitor deve saber que em 4 dimensões temos que diferenciar os dois tipos de representações por índices com ponto \dot\alpha e sem ponto \alpha. Porém, em 10 dimensões, como fica claro na matriz que escrevi acima, pode-se diferencial a quiralidade do espinor pela posição do índice. Isso se deve ao fato que em 10 dimensões, a matriz de conjugação de carga não é diagonal e não pode ser usada como métrica para subir e descer índices espinorais. Espinores são então vetores desse espaço vetorial sobre o qual essa representação age. Um dado algébrico relevante é que essas matrizes de Pauli em d=10 obdecem à seguinte identidade (de Fierz):

\delta^{ab}(\gamma_a)_{(\alpha\beta}(\gamma_b)_{\gamma)\delta}=0

O interlúdio de álgebra para por aqui e podemos voltar à geometria. Então, esse espaço tem coordenadas que formam um desses espinores quirais e podemos escolher \theta^{\alpha}, isto quer dizer que \alpha=1,\ldots 16 enquanto as coordenadas usuais formam um vetor x^m. Uma teoria de Super Yang Mills é exatamente igual a uma teoria de Yang Mills, mas nesse (super)espaço estendido. Essas teorias são interessantes pois há uma mistura entre a parte bosônica (comutativa) e fermiônica (anticomutativa) do espaço: se você anda num paralelogramo infinitesimal pelas direções fermiônicas, quando você volta ao ponto de origem, você percebe que sofreu um pequeno deslocamento na direção bosônica. Geometricamente, isso quer dizer que há uma torção no seu superespaço [7]. Geometricamente, isso quer dizer que mesmo no caso sem gravidade, o superespaço tem uma derivada covariante com uma certa conexão não nula. Especificamente:

D_A = (\frac{\partial}{\partial x^a},\frac{\partial}{\partial\theta^{\alpha}}-\frac{i}{2}(\gamma^m\theta)_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^m}) \Rightarrow \{D_{\alpha},D_{\beta}\}=-i\gamma^m_{\alpha\beta}\frac{\partial}{\partial x^m}

onde eu vou usar a convenção de que índices latinos maiúsculos é uma abreviação para tanto as coordenadas bosônicas quanto fermiônicas. Ainda sobre índices, no caso sem gravidade não há distinção entre índices de espaço tangente a,\alpha (começo do alfabeto) e índices curvos m,\mu (final do alfabeto), mas vou tentar manter a distinção que será útil mais tarde. Isso vem da relação mais geral:

\{D_A,D_B\}=R_{AB} + T_{AB}^CD_C

onde os índices são considerados genéricos para qualquer derivada covariante D e isso quer dizer que temos uma torção não-nula T^a_{\alpha\beta}=-i\gamma^a_{\alpha\beta}. Esse resultado pode ser escrito utilizando a seguinte forma para a tetrada desse superespaço:

E^M_A = \begin{pmatrix} \delta^m_a & 0 \\ - \frac{i}{2}(\gamma^m\theta)_{\alpha} & \delta_{\alpha}^{\mu} \end{pmatrix} e o inverso E^A_M = \begin{pmatrix} \delta^a_m & 0 \\ \frac{i}{2}(\gamma^a\theta)_{\mu} & \delta_{\mu}^{\alpha} \end{pmatrix}

Eu sei que nesse caso é muito simples, mas vale a pena ensinar aqui como se faz o inverso de uma supermatriz:

\mathcal{M}=\begin{pmatrix}A & \beta \\ \gamma & D\end{pmatrix} \Rightarrow \mathcal{M}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} + A^{-1}\beta D^{-1}\gamma A^{-1} & -A^{-1}\beta D^{-1} \\ -D^{-1}\gamma A^{-1} & D^{-1} + D^{-1}\gamma A^{-1}\beta D^{-1}\end{pmatrix}

Se você olha, por exemplo, em [8] onde há uma derivação análoga, você vai notar a diferença de um fator i. Vamos argumentar o que ele está fazendo aí. Uma coisa que o leitor tem que notar é que a derivada fermiônica é hermitiana, diferente da derivada bosônica, que é antihermitiana. Além disso, há outro fato interessante sobre espinores de \mathfrak{so}(10): eles são quirais e reais ao mesmo tempo. Isso quer dizer que se quisermos que D_A tenha hermiticidade bem definida então o i tem que estar aí.

Construir uma teoria de YM é simples: você precisa construir um fibrado principal sobre esse espaço [5]. Em termos muito mais simples, isso significa que você precisa adicionar à sua derivada um termo com uma conexão que estará na representação adjunta de alguma álgebra de Lie semi-simples. No caso, estarei pensando sempre em \mathfrak{su}(n). Ou seja, eu defino a nova derivada covariante:

\nabla_A = D_A + A_A(x,\theta)

Atentando ao mesmo detalhe algébrico anterior, vale a pena frisar que escolhemos geradores antihermitianos para \mathfrak{su}(n), por isso a ausência de i. Vamos dar uma parada na geometria e voltar um pouco para física. Os campos físicos como conhecemos, dependem apenas de x^m e a maneira mais pé no chão de reobtê-los é expandir A_A em \theta^{\alpha}. Como essas variáveis são anticomutativas, essa expansão em série de Taylor será finita. Da mesma forma que a série de Taylor usual, os campos usuais são então derivadas covariantes D_{\alpha} agindo sobre o supercampo calculadas em \theta=0. O problema aqui é que mesmo considerando a redundância dada pela invariância de gauge:

\delta A_A = \nabla_A\Omega(x,\theta)

há muito mais campos físicos nesse supercampo do que apenas o glúon a_m e o gluíno \chi^{\alpha} que são os campos que queremos descrever na teoria de Super Yang Mills \mathcal{N}=1 através da ação mais simples que existe – Yang Mills com um espinor na representação adjunta minimamente acoplado:

S = \text{Tr}\,\int\, d^{10}x\, \left[\frac{1}{2}f_{ab}f^{ab} + \bar{\chi}\gamma^a\nabla_a\chi\right]

onde f_{ab}=\partial_a a_b-\partial_b a_a e, como \chi é um espinor real, tanto faz tirarmos a adjunta de Dirac ou de Majorana \chi^TC_{10}^- = i\chi^{\dagger}\gamma^0 Também vale notar que uso a normalização Tr(T^AT^B)=-\frac{1}{2}\delta^{AB} na representação adjunta.

Isso quer dizer que temos que impôr vínculos extras nesse supercampo. Como queremos que esses vínculos não quebrem a simetria de gauge, eles têm que ser impostos sobre quantidades que são invariantes de gauge. As quantidades invariantes de gauge são as intensidades de campo, que são definidas exatamente da mesma forma que no caso de YM tradicional:

F = [\nabla,\nabla] = E^AE^BF_{AB} onde \nabla = E^A\nabla_A

onde as chaves são anticomutadores se as duas derivadas forem fermiônicas. Geometricamente, a intensidade de campo é a curvatura desse espaço fibrado. Quando queremos apenas as componentes locais F_{AB} da curvatura e temos torção, temos que ter cuidado de retirá-la. A expressão abaixo pode ser obtida dessa acima só tirando as derivadas com cuidado:

F_{\alpha\beta} = \{\nabla_{\alpha},\nabla_{\beta}\} + i(\gamma^a)_{\alpha\beta}\nabla_a = D_{(\alpha}A_{\beta)}+\{A_{\alpha},A_{\beta}\} + i\gamma^a_{\alpha\beta}A_a

F_{\alpha b} = [\nabla_{\alpha},\nabla_{b}] = D_{\alpha}A_b-\partial_bA_{\alpha}+[A_{\alpha},A_b]

F_{ab} = [\nabla_{a},\nabla_{b}] = \partial_aA_b-\partial_bA_a+[A_a,A_b]

Em componentes, a invariância de gauge é:

\delta A_{\alpha} = \nabla_{\alpha}\Omega
\delta A_a = \nabla_a\Omega

O vínculo que se sabe impôr e que funciona é F_{\alpha\beta}=0 ou, usando o resultado obtido acima, \{\nabla_{\alpha},\nabla_{\beta}\}=-i\gamma^a_{\alpha\beta}\nabla_a. Esse vínculo parece inocente, não? Mas ele não só restringe os campos físicos àqueles de Super Yang Mills mas também implica na equação de movimento para esses campos! No jargão, as pessoas dizem que só conhecemos esse supercampo na camada de massa. Precisamos saber um pouco mais de geometria e álgebra para saber porque isso acontece.

A simetria de um campo de gauge implica que a intensidade de campo é uma 2-forma fechada. Isso vem de uma equação algébrica conhecida como identidade de Jacobi e que, na linguagem de formas e derivadas exteriores, é traduzida como d^2=0. Nas direções fermiônicas, a derivada exterior comuta em vez de anticomutar. Então, a identidade de Bianchi é, na verdade, não uma equação algébrica sempre satisfeita, mas uma equação diferencial que tem que ser resolvida.

A identidade de Bianchi é a seguinte proposição que pode ser mostrada verdadeira por simples combinatória:

-[\{\nabla_{\alpha},\nabla_{\beta}\},\nabla_{\gamma}]-[\{\nabla_{\beta},\nabla_{\gamma}\},\nabla_{\alpha}]-[\{\nabla_{\gamma},\nabla_{\alpha}\},\nabla_{\beta}] = 0

E o equivalente para as outras combinações de índices, mas vamos resolver essa primeiro já que, devido ao vínculo, essa equação diferencial se torna algébrica. Usando então o vínculo proposto acima:

\gamma^a_{(\alpha\beta}F_{\gamma)b} = 0

onde a simetrização pode ser feita completa já que \gamma^a é uma matriz simétrica. Usando a identidade de Fierz que eu já comentei lá em cima, essa equação tem como solução:

F_{\alpha b} = (\gamma_b)_{\alpha\beta}W^{\beta}

onde W^{\beta} é um outro supercampo que em breve daremos a interpretação física apropriada. Para fazer isso, vamos resolver a equação de Bianchi mais complicada:

[\{\nabla_{\alpha},\nabla_{\beta}\},\nabla_c]+\{[\nabla_c,\nabla_{\alpha}],\nabla_{\beta}\}-\{[\nabla_{\beta},\nabla_c],\nabla_{\alpha}\}=0

substituindo o vínculo e a solução da equação de Bianchi obtida acima:

-i(\gamma^a)_{\alpha\beta}F_{ac}-(\gamma_c)_{\alpha\gamma}\nabla_{\beta}W^{\gamma}-(\gamma_c)_{\beta\gamma}\nabla_{\alpha}W^{\gamma} = 0

Contraindo com (\gamma^c)^{\alpha\delta}:

-i(\gamma^{ca})^{\delta}_{\quad\beta}F_{ac}-10\nabla_{\beta}W^{\delta}-(\gamma^c)^{\alpha\delta}(\gamma_c)_{\beta\gamma}\nabla_\alpha W^{\gamma} = 0

Note que fui especialmente cuidadoso com os índices de (\gamma^{ca})^{\delta}_{\quad\beta}. Isso porque essa matriz é um gerador de \mathfrak{so}(10) e por isso é antisimétrica. Logo, trocando a ordem dos índices causa uma mudança de sinal. O problema é como resolver o último termo, me tomou algum tempo para fazer isso com detalhes, mas o truque no fim é multiplicar a expressão por (\gamma^d)_{\kappa\delta}(\gamma_d)^{\beta\lambda}. Quase todos os termos podem ser tratados diretamente com a álgebra de Clifford:

(\gamma^d)_{\kappa\delta}(\gamma^c)^{\delta\alpha}=-(\gamma^c)_{\kappa\delta}(\gamma^d)^{\delta\alpha}+2\delta^{cd}\delta^{\alpha}_{\kappa}

note que como o último tensor é simétrico, não precisamos ter cuidado com a ordem dos índices. Por exemplo, o primeiro termo:

(\gamma^d)_{\kappa\delta}(\gamma^{ca})^{\delta}_{\quad\beta}(\gamma_d)^{\beta\lambda} = 6(\gamma^{ca})_{\kappa}^{\quad\lambda}=-6(\gamma^{ca})^{\lambda}_{\quad\kappa}

Para tratar o último tempo, precisamos de outra identidade algébrica em 10 dimensões, essas expressões que o Peter van Nieuwenhuizen diz ser a razão do mundo existir:

(\gamma_{ab})_{\alpha}^{\quad\beta}(\gamma^{ab})_{\gamma}^{\quad\delta}=4(\gamma_a)^{\beta\delta}(\gamma^a)_{\alpha\gamma}-2\delta_{\alpha}^{\beta}\delta_{\gamma}^{\delta}-8\delta_{\alpha}^{\delta}\delta_{\gamma}^{\beta}

Então podemos fazer:

(\gamma^d)_{\kappa\delta}(\gamma^c)^{\delta\alpha}(\gamma_c)_{\gamma\beta}(\gamma_d)^{\beta\lambda} = [(\gamma^{dc})_{\kappa}^{\quad\alpha}+\delta^{dc}\delta_{\kappa}^{\alpha}][(\gamma_{cd})_{\gamma}^{\quad\lambda}+\delta_{cd}\delta_{\gamma}^{\lambda}]

= -4(\gamma_d)^{\alpha\lambda}(\gamma^d)_{\kappa\gamma}+2\delta^{\alpha}_{\kappa}\delta^{\lambda}_{\gamma}+8\delta^{\alpha}_{\gamma}\delta^{\lambda}_{\kappa}+10\delta^{\alpha}_{\kappa}\delta^{\lambda}_{\gamma}

Vou deixar para o leitor mostrar que o terceiro termo não contribui. Para isso, multiplique a equação original por (\gamma^c)^{\alpha\beta} e conclua que \nabla_{\alpha}W^{\alpha}=0. Juntando tudo:

i(\gamma^{ca})^{\lambda}_{\quad\kappa}F_{ac}-2\nabla_{\kappa}W^{\lambda}-(\gamma^d)_{\kappa\delta}(\gamma_d)^{\beta\lambda}\nabla_{\beta}W^{\delta} = 0

Subtraindo da equação de Jacobi após contração com (\gamma^c)^{\alpha\delta}:

\nabla_{\kappa}W^{\lambda}=-\frac{i}{4}(\gamma^{ac})_{\kappa}^{\quad\lambda}F_{ac}.

Agora podemos usar a última identidade de Jacobi:

[[\nabla_{\alpha},\nabla_b],\nabla_c]+[[\nabla_c,\nabla_{\alpha}],\nabla_b]+[[\nabla_b,\nabla_c],\nabla_{\alpha}]=0

Subsitutindo o vínculo e o resultado da primeira identidade de Jacobi que trabalhamos:

\nabla_{\alpha}F_{bc}=(\gamma_{[b})_{\alpha\beta}\nabla_{c]}W^{\beta}

Parar usar o resultado da segunda identidade de Jacobi que trabalhamos, fazemos:

\nabla_{(\gamma}\nabla_{\alpha)}W^{\beta}=-\frac{i}{4}(\gamma^{ab})_{(\alpha}^{\quad\beta}\nabla_{\gamma)}F_{ab}

usando o vínculo:

(\gamma^a)_{\gamma\alpha}\nabla_aW^{\beta}=-\frac{1}{4}(\gamma^{ab})_{(\alpha}^{\quad\beta}\nabla_{\gamma)}F_{ab}

Para podermos substituir de volta, temos que contrair \delta_{\beta}^{\alpha}. Note, novamente, que como \gamma^{ab} são geradores de \mathfrak{so}(10), o traço dessa matriz é nulo. Logo, apenas uma componente da simetrização do lado direito sobrevive:

(\gamma^a)_{\gamma\alpha}\nabla_aW^{\alpha} = \frac{1}{4}(\gamma^{ab})_{\gamma}^{\quad\alpha}\nabla_{\alpha}F_{ab}

Substituindo o resultado da última identidade de Jacobi que trabalhamos:

(\gamma^a)_{\gamma\alpha}\nabla_aW^{\alpha} =\frac{1}{4}(\gamma^{ab})_{\gamma}^{\quad\alpha}(\gamma_a)_{\alpha\delta}\nabla_bW^{\delta}=-\frac{9}{4}(\gamma^a)_{\gamma\alpha}\nabla_aW^{\alpha}

e logo (\gamma^a)_{\gamma\alpha}\nabla_aW^{\alpha}=0. Isso tem a cara da equação de Dirac, mas temos que lembrar que W^{\alpha}(x,\theta) é um supercampo. Contudo é simples ver que ser interpretarmos W^{\alpha}|_{\theta=0}=\chi^{\alpha} temos a equação de movimento correta. A expansão em \theta começa com:

W^{\alpha}=\chi^{\alpha}+(\gamma^{bc}\theta)^{\alpha}k_{bc}+\cdots

Para termos a interpretação de k_{bc}, é mais simples escrever k_{bc}=(\nabla\gamma_{bc}W)_{\theta=0}. Isso é possível porque podemos usar a componente \theta de \Omega para escolher um gauge onde A_{\alpha} não a componente de menor dimensão (perceba que a dimensão de massa é [\theta]=-\frac{1}{2}). Contraindo \nabla_{\kappa}W^{\lambda}=-\frac{i}{4}(\gamma^{ac})_{\kappa}^{\quad\lambda}F_{ac} com (\gamma_{cd})^{\alpha}_{\quad\beta} obtemos:

(\nabla\gamma_{bc}W) = -2iF_{cd}

É natural querermos interpretar a componente \theta=0 de F_{cd} como f_{cd}, mas claro que isso só é possível se o vínculo implicar na equação de movimento para o campo de Yang-Mills. Vamos ver que esse é o caso. Aplicando (\gamma^d)^{\alpha\delta}\nabla_d em (\gamma^c)_{\gamma\alpha}\nabla_cW^{\alpha}=0 e sabendo que:

\nabla_{\delta}\nabla_c = [\nabla_{\delta},\nabla_c]+\nabla_c\nabla_{\delta} = F_{\delta c}+\nabla_c\nabla_{\delta}=(\gamma_c)_{\delta\gamma}W^{\gamma}+\nabla_c\nabla_{\delta}

e que \nabla_{\delta}W^{\beta}=-\frac{i}{4}(\gamma^{ef})_{\delta}^{\quad\beta}F_{ef}, obtemos que:

\nabla^cF_{cd} = -\frac{i}{2}(\gamma_d)_{\alpha\beta}\{W^{\alpha},W^{\beta}\}

E é claro que a componente \theta=0 dessa expressão é a equação de movimento clássica de Yang-Mills. Mostramos então que:

W^{\alpha}=\chi^{\alpha}+\frac{i}{4}(\gamma^{bc}\theta)^{\alpha}f_{bc}+\cdots

Ou seja, escrevemos a equação de movimento para o glúon e para o gluíno, usando o supercampo W^{\alpha}, que é escrito como função de A_{\alpha} e A_b, mas como esses dois supercampos se relacionam? É possível escrever tanto o glúon quanto o gluíno como componentes de qualquer um dos dois, então ainda temos uma redundância. Existe um outro vínculo, chamado vínculo convencional que dá a relação entre eles:

(\gamma_c)^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}=0

Os dois vínculos que vinculam os supercampos podem parecer artificiais. Mas esse é o exato análogo do que se faz em 4 dimensões com a única diferença de quem em 10 os vínculos implicam as equações de movimento, enquanto em 4 só implicam que que o campo auxiliar é real [7]. Vamos trabalhar a consequência desse vínculo:

(\gamma^c)^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta} = 2(\gamma^c)^{\alpha\beta}(D_{\alpha}A_{\beta}+A_{\alpha}A_{\beta}) + 16iA^c = 0

\Rightarrow A_c=-\frac{i}{8}(\gamma_c)^{\alpha\beta}(D_{\alpha}A_{\beta}+A_{\alpha}A_{\beta})

A forma mais análoga ao YM usual de proceder seria trabalhar com A_m(x,\theta), mas com o vínculo convencional, é perfeitamente equivalente trabalhar com A_{\alpha}(x,\theta) e essa escolha será mais útil ao nosso objetivo.

Vamos voltar a falar de álgebra. Um biespinor, como F_{\alpha\beta}, sempre pode ser decomposto como:

F_{\alpha\beta} = \frac{1}{16}(\gamma^c)_{\alpha\beta}(\gamma_cF) + \frac{1}{16\cdot 3!}(\gamma^{cde})_{\alpha\beta}(\gamma_{cde}F) + \frac{1}{16\cdot 2\cdot 5!}(\gamma^{cdefg})_{\alpha\beta}(\gamma_{cdefg}F)

Levando em conta que F_{\alpha\beta} é simétrico e (\gamma^{cde})_{\alpha\beta} é antisimétrico, o terceiro termo é zero. Levando em conta ainda o vínculo convencional, podemos escrever:

F_{\alpha\beta}=\frac{1}{32\cdot 5!}\gamma^{abced}(\gamma_{abcde}F)

e o vínculo com o qual começamos é apenas:

(\gamma^{abcde})^{\alpha\beta}(D_{\alpha}A_{\beta}+A_{\alpha}A_{\beta})=0.

O que mostramos é que esse vínculo é matematicamente equivalente às equações de movimento e agora estamos em posição de, como prometi no início, traduzir isso num problema de cohomologia. Para fazer isso, a idéia é estender novamente o espaço em que estamos trabalhando, introduzindo mais uma vez coordenadas numa representação espinorial, só que dessa vez esses são número usuais (bosônicos). Para ser completamente honesto, isso só é possível de se fazer no caso em que o grupo de gauge é abeliano, quando então o vínculo se reduz a:

(\gamma^{abcde})^{\alpha\beta}D_{\alpha}A_{\beta}

Vamos chamar essas coordenadas extras de \lambda^{\alpha} e o vamos construir uma diferencial:

Q=\lambda^{\alpha}D_{\alpha}

Veja que a invariância de gauge de A_{\alpha} pode ser escrita como \delta (\lambda^{\alpha}A_{\alpha}) = Q\Omega. Para que o problema de cohomologia dessa diferencial tenha solução, é essencial que ela seja nilpontente, isto é:

Q^2 = \frac{1}{2}\{Q,Q\} = -\frac{i}{2}\lambda^{\alpha}(\gamma^m)_{\alpha\beta}\lambda^{\beta}\partial_m = 0

o que por sua vez implica que \lambda\gamma^m\lambda = 0. Note que como (\gamma^m)_{\alpha\beta} é uma matriz real e simétrica, se \lambda^{\alpha} for real, a única solução para isso é a trivial. Então, o que queremos é que \lambda\neq 0 e que ele seja complexo. Inspirado pela invariância de gauge, a equação de movimento deveria ser escrita como Q\mathcal{U}=0 onde \mathcal{U}=\lambda^{\alpha}A_{\alpha}, com efeito:

Q\mathcal{U} = \lambda^{\alpha}\lambda^{\beta}D_{\alpha}A_{\beta} = (\gamma^{abcde})^{\alpha\beta}(\lambda\gamma_{abcde}\lambda)D_{\alpha\beta} = 0\Rightarrow (\gamma^{abcde})^{\alpha\beta}D_{\alpha}A_{\beta} = 0.

Esse tipo de vínculo que \lambda^{\alpha} satisfaz faz dele um espinor puro. Em dimensões pares, temos sempre a seguinte identidade para um espinor \xi^{\alpha}

\xi^{\alpha}\xi^{\beta}=\frac{1}{D}(\gamma^{m_1})^{\alpha\beta}(\xi\gamma_{m_1}\xi) + \frac{1}{D\cdot 3!}(\gamma^{m_1m_2m_3})^{\alpha\beta}(\xi\gamma_{m_1m_2m_3}\xi) + \cdots + \frac{1}{D\cdot 2 \cdot (d/2)!}(\gamma^{m_1m_2m_3\ldots m_{d/2}})^{\alpha\beta}(\xi\gamma_{m_1m_2m_3\ldots m_{d/2}}\xi)

onde D=2^{d/2-1}. Um espinor puro é tal que:

\xi_{PS}^{\alpha}\xi_{PS}^{\beta}=\frac{1}{D\cdot 2 \cdot (d/2)!}(\gamma^{m_1m_2m_3\ldots m_{d/2}})^{\alpha\beta}(\xi\gamma_{m_1m_2m_3\ldots m_{d/2}}\xi).

Referências:

[1] W. Siegel, Phys. Lett. B 80, 220 (1979).
[2] E. Witten, Nucl. Phys. B 266, 245 (1986).
[3] P. S. Howe, Phys. Lett. B 258, 141 (1991) e Phys. Lett. B 273, 90 (1991).
[4] N. Berkovits, JHEP 0004, 018 (2000).
[5] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics.
[6] E.P. Wigner, Ann. Math. 40, 1 (1939).
[7] J. Wess e J. Bagger, Supersymmetry and Supergravity.
[8] C. R. Mafra, arXiv:0902.1552v3 [hep-th]

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