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Cálculo Exterior para Elementos Finitos…

sábado, 6 mar 2010; \09\UTC\UTC\k 09 Deixe um comentário

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O artigo Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability trata dum tópico que eu gosto muito: análise numérica feita com ferramentas modernas (e.g., Cohomologia de de Rham e Teoria de Hodge).

Meu interesse sobre esse tipo de tópico começou cedo, quando na graduação eu comecei a lidar com problemas numéricos. A noção de que a estabilidade e convergência do método numérico deveria variar com a particular discretização (“mesh”) escolhida sempre ficou atrás da minha orelha. Mas, naquelas épocas, ainda estando na graduação, pouco era possível se fazer. Mas a vontade de aplicar essas idéias em Lattice Gauge Theory sempre me provocou. :wink:

Um pouco mais tarde, já na pós (mestrado), eu trombei com alguns artigos interessantes que, novamente, morderam essa mesma pulguinha,

Meu interesse por esses artigos era claro: o esquema de discretização deles tenta preservar as simetrias de Lie do problema original. Isso é particularmente importante se o objetivo é simular problemas que envolvem Quebra de Simetria! :idea: :cool:

Um pouco de tempo depois… me aparece o seguinte artigo, A Discrete Exterior Calculus and Electromagnetic Theory on a Lattice; que, mais tarde, seria seguido pelos seguintes artigos: Discrete Differential Geometry on Causal Graphs e Differential Geometry in Computational Electromagnetics.

A idéia, então, era novamente clara: aplicar esse mecanismo de Cálculo Exterior Discreto em Teorias de Gauge! :idea: :cool:

Afinal de contas, quem sabe, não daria pra juntar ambas as idéias: usar Cálculo Exterior Discreto de forma a preservar as simetrias [de Lie] do problema no contínuo :!: O que será que poderia sair daí?! (De fato, não tenho a menor noção, infelizmente nunca tive tempo de voltar e morder essa questão. Mas, taí um problema prum doutorado… :wink: )

Bom, depois de tudo isso, aparece o artigo que motivou esse post — eu tinha que falar alguma coisa a respeito dele.

Na verdade, esse artigo vai mais longe, extendendo o trabalho feito anteriormente, definindo apropriadamente uma Teoria de Hodge para Elementos Finitos, e avaliando as conseqüências para a consistência (“well-posedness of the Cauchy problem”; algo que varia muito com as particularidades da questão em mãos) e estabilidade numérica do problema. Portanto, as técnicas disponíveis agora são muito mais robustas! (O que só me deixa cada vez mais curioso pra saber a resposta das questões acima… :wink: )

É isso aí: a leitura é excelente, a diversão é garantida… e eu não me responsabilizo por noites de sono perdidas (por causa das questões acima)! :twisted:

Referências

  • Arnold, D., Falk, R., & Winther, R. (2010). Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (2), 281-354 DOI: 10.1090/S0273-0979-10-01278-4

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