Cálculo Exterior para Elementos Finitos…

O artigo Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability trata dum tópico que eu gosto muito: análise numérica feita com ferramentas modernas (e.g., Cohomologia de de Rham e Teoria de Hodge).

Meu interesse sobre esse tipo de tópico começou cedo, quando na graduação eu comecei a lidar com problemas numéricos. A noção de que a estabilidade e convergência do método numérico deveria variar com a particular discretização (“mesh”) escolhida sempre ficou atrás da minha orelha. Mas, naquelas épocas, ainda estando na graduação, pouco era possível se fazer. Mas a vontade de aplicar essas idéias em Lattice Gauge Theory sempre me provocou.

Um pouco mais tarde, já na pós (mestrado), eu trombei com alguns artigos interessantes que, novamente, morderam essa mesma pulguinha,

• Continuous Symmetries of Difference Equations;
• From continuum to lattice theory via deformation of the differential calculus, Noncommutative differential calculus and lattice gauge theory;
• Lie symmetries of finite-difference equations; &
• Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations.

Meu interesse por esses artigos era claro: o esquema de discretização deles tenta preservar as simetrias de Lie do problema original. Isso é particularmente importante se o objetivo é simular problemas que envolvem Quebra de Simetria!

Um pouco de tempo depois… me aparece o seguinte artigo, A Discrete Exterior Calculus and Electromagnetic Theory on a Lattice; que, mais tarde, seria seguido pelos seguintes artigos: Discrete Differential Geometry on Causal Graphs e Differential Geometry in Computational Electromagnetics.

A idéia, então, era novamente clara: aplicar esse mecanismo de Cálculo Exterior Discreto em Teorias de Gauge!

Afinal de contas, quem sabe, não daria pra juntar ambas as idéias: usar Cálculo Exterior Discreto de forma a preservar as simetrias [de Lie] do problema no contínuo O que será que poderia sair daí?! (De fato, não tenho a menor noção, infelizmente nunca tive tempo de voltar e morder essa questão. Mas, taí um problema prum doutorado… )

Bom, depois de tudo isso, aparece o artigo que motivou esse post — eu tinha que falar alguma coisa a respeito dele.

Na verdade, esse artigo vai mais longe, extendendo o trabalho feito anteriormente, definindo apropriadamente uma Teoria de Hodge para Elementos Finitos, e avaliando as conseqüências para a consistência (“well-posedness of the Cauchy problem”; algo que varia muito com as particularidades da questão em mãos) e estabilidade numérica do problema. Portanto, as técnicas disponíveis agora são muito mais robustas! (O que só me deixa cada vez mais curioso pra saber a resposta das questões acima… )

É isso aí: a leitura é excelente, a diversão é garantida… e eu não me responsabilizo por noites de sono perdidas (por causa das questões acima)!

Referências

• Arnold, D., Falk, R., & Winther, R. (2010). Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (2), 281-354 DOI: 10.1090/S0273-0979-10-01278-4

A semana nos arXivs…

• Nonassociative Riemannian Geometry by Twisting. (arXiv:0912.1553v1 [math.QA])
• Positive curvature can mimic a quantum. (arXiv:0912.1535v1 [hep-th])
• Instantons, Topological Strings and Enumerative Geometry. (arXiv:0912.1509v1 [hep-th])
• Spontaneous compactification and nonassociativity. (arXiv:0912.1729v1 [hep-th])
• From covariant to canonical formulations of discrete gravity. (arXiv:0912.1817v1 [gr-qc])
• Encoding simplicial quantum geometry in group field theories. (arXiv:0912.1546v1 [gr-qc])
• Time and Spacetime: The Crystallizing Block Universe. (arXiv:0912.0808v1 [quant-ph])
• Self-organizing urban transportation systems. (arXiv:0912.1588v1 [nlin.AO])
• Critical points of Green’s function and geometric function theory. (arXiv:0912.1223v1 [math.CV])
• On Unitary Evolution in Quantum Field Theory in Curved Spacetime. (arXiv:0912.0556v1 [hep-th])
• Circular Symmetry in Topologically Massive Gravity. (arXiv:0912.0708v1 [gr-qc])
• Quantum nonlocality: How does nature do it?
• Are black holes really two dimensional?
• Quark Colors Unbound
• Cobordism and Topological Field Theories Week 3, Cobordism and Topological Field Theories Week 4, Cobordism and Topological Field Theories Week 5, This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 285), This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 286)
• Random covariance matrices: Universality of local statistics of eigenvalues
• Using NVIDIA GPUs and PyCUDA, MIT and Harvard researchers demonstrate a better way for computers to ‘see’
• Irrationality of π

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• Opinion: Can science fight media disinformation?
• The Numerati reviewed by a “numerati wannabe”
• The Obama administration wants OA for federally-funded research: Acesso Aberto para pesquisa feita com dinheiro público!
• What Is Living and What Is Dead in Social Democracy?: uma resenha moderna do que se chama de “Social-Democracia” atualmente
• Japanese scientists call on peers to help save science funding: não é só a atual crise econômica, é um grande relaxo devido ao nosso atual nível de conforto, como se não fosse mais necessário se avançar em nada…
• The Noisy and Prolonged Death of Journalism
• Exercise Boosts Telomerase, Reduces Erosion of Telomeres: sensacional!
• Bohr-Einstein Debates
• 50 Years of Nobel Memories in High Energy Physics
• Fiat Lux

Transcendental Meditation

A semana nos arXivs…

• A Brief Introduction to Wilson Loops and Large N. (arXiv:0906.4487v1 [hep-th])
• On the eigenvalues of the twisted Dirac operator
• Black holes, information, and decoherence
• Branes, instantons, and Taub-NUT spaces
• Fractional quantum Hall effect via holography: Chern-Simons, edge states and hierarchy
• Zeros of Airy Function and Relaxation Process. (arXiv:0906.3666v1 [math.PR])
• Constructive Field Theory in Zero Dimension. (arXiv:0906.3524v1 [math-ph])
• Quantum gravity as sum over spacetimes. (arXiv:0906.3947v1 [gr-qc]), In Search of Fundamental Discreteness in 2+1 Dimensional Quantum Gravity. (arXiv:0906.3547v1 [gr-qc])
• Prospects for constraining quantum gravity dispersion with near term observations. (arXiv:0906.3731v2 [astro-ph.HE])
• Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl
• This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 275)
• A force by any other name…

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• Dyson’s stance on climate change: excelente entrevista, contendo mais detalhes e contextualizando apropriadamente a postura do Dyson — e olha que ele nem falou nada sobre plânctons, algas e recifes (e metano)!
• Increasingly Popular Research Yields Increasingly Unreliable Results
• Melhores machos têm menos filhos ou Good males are bad fathers
• Is Science Journalism Breaking the Convention? e The Priesthood of Science Journalism
• Splish! Splash! Hydrotherapy for chronic back pain is pretty good!
• Opinion: Invest in UK science says Martin Rees
• Editors in Web2.0
• Hide files in an image
• Conference Networking e Networking Tips for the Introverted
• [Editorial] Science Journalism Goes Global
• Science can bridge national divides | David Kerr, Are we witnessing the end of science? | Ehsan Masood
• Quantum Mechanics Visible In Everyday Life?
• O papel da universidade, artigo de Gil da Costa Marques
• Fair Research Assessments Require Extensive Deliberation, On article-level metrics and other animals, Impact Factor Boxing 2009
• 7 Man-Made Substances that Laugh in the Face of Physics
• Ciência em ação e Apoio inédito a pesquisa