Continuação analítica da função de partição…

Continuando no espírito dos posts Teorias Topológicas de Campo e suas Continuações Analíticas e Grothendieck, Sistemas Dinâmicos, Dualidade de Langlands e Higgs Bundles, mais um ingrediente pra temperar essa mistura, dessa vez vindo de Materia Condensada,

• Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation e Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model, por T. D. Lee e C. N. Yang; &
• The Nature of Critical Points, por M. E. Fisher.

Essencialmente, nos dois primeiros artigos, Lee e Yang demonstram o chamado Teorema de Lee-Yang — essencialmente, o teorema mostra que, sob “certas condições” (é muito importante que essas condições sejam satisfeitas), os zeros da função de partição são imaginários; esses são os chamados zeros de Lee-Yang.

Por outro lado, os chamados zeros de Fisher têm origem numa construção muito semelhante a anterior, a diferença relevante entre ambas as construções sendo que, no caso de Fisher, a temperatura é continuada analiticamente [para os Complexos].

Nesse sentido, a construção de Fisher pode ser considerada a continuação analítica dos resultados de Lee-Yang.

A pergunta que se põem sozinha é: “Será que é possível fazer o mesmo em QFT e em Teorias de Gauge?”

A resposta está longe de ser trivial ou conhecida, vide os dois primeiros posts linkados acima. Mas, agora, com um caso mais concreto pra se comparar… quem sabe não é possível se aprender alguma coisa…?!

Grothendieck, Sistemas Dinâmicos, Dualidade de Langlands e Higgs Bundles…

Por falta de coisa melhor pra fazer num sábado de Halloween, à noite, …, eu estou aqui, lendo o artigo

• Grothendieck’s definition of a group,

e pensando na conexão dele com Local Dynamical Systems e Dinâmica Topológica (juntamente com Topological entropy), principalmente no contexto de Higgs bundles and local systems ou The Self-Duality Equations on a Riemann Surface — isso pra não falar em A mad day’s work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich The evolution of concepts of space and symmetry, ou, melhor ainda, na continuação analítica de TFTs.

Taí o que me tira o sono…

(Atualizado (2009-Nov-01 @ 11:30h): Pra “apimentar” ainda mais essa mistura toda, pensar em termos de Discrete gauge theory: from lattices to TQFT também corrói…, afinal de contas, o T. Tao, acima, descreve tudo de modo simplicial, combinatório — e o que é Lattice QFT senão uma versão discretizada, simplicial, de QFTs contínuas? E já existem técnicas robustas pra se discretizar via ‘lattices’ que não são apenas o ingênuo ‘lattice’ cúbico — muito dessa tecnologia foi desenvolvida pra simulações numéricas de GR; aliás, mais ainda, hoje em dia, já é possível até se construir ‘lattices’ supersimétricos. Resumindo: no final das contas, é possível até se pensar em simulações numéricas dessas construções! )

Mas, agora é hora de fazer uma boquinha…

P.S.: Claro, o relógio abaixo também me tira o sono…

Suunto Elementum Terra with the negative display and the stainless steel bracelet