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Filosofia, reducionismo e física

sexta-feira, 3 out 2008; \40\UTC\UTC\k 40 Deixe um comentário Go to comments

Costuma-se dizer que Astronomia é um exercício de humildade. Que nos colocamos frente ao nosso universo tão grande e percebemos quão pequenos nós somos. Nesse sentido, algumas pessoas poderiam dizer que a física microscópica é um exercício de arrogância. A idéia, conhecida como reducionismo, é que você pegue sua teoria do tudo favorita e tente descrever o universo a partir daí. O reducionismo tem uma história muito longa, principalmente na forma do atomismo. Feynman disse uma vez que o atomismo era uma das maiores idéias da humanidade:

If, in some cataclysm, all of scientific knowledge
were to be destroyed, and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what
statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic
hypothesis…or atomic fact…

Alguém poderia dizer nesse momento que reducionismo e atomismo não é a mesma coisa, mas para esse ensaio isso não é importante. Isso aqui é um blog e não um exercício de filosofia. Outras pessoas não dão um papel tão importante ao reducionismo. Por exemplo, Anderson faz uma diferença interessante entre reducionismo, que para ele é só o fato de que há escalas em física, com o construcionismo que é a habilidade de reconstruir uma escala maior a partir da outra menor. O construcionismo seria o reducionismo aplicado na prática, mais ou menos o que eu estava falando antes. Nesse sentido, a física microscópica parece muito mais humilde. Deixe-me explicar porque.

Quando queremos estudar como uma escala menor se relaciona com uma escala maior, fazemos a hipótese de que somos ignorantes. De que o objeto observado tem muito mais graus microscópicos do que nossas capacidades macroscópicas de armazenamento e processamento. Algo meio Platônico. Note que isso não é óbvio, embora pareça depois de ter sido dito. No nosso cotidiano, em geral, o observador e o observado tem capacidade de informação parecidas. Em teorias como a mecânica Newtoniana então, o observador tem muito mais capacidade de informação que o observado. Quando Boltzmann, Gibbs, Maxwell e cia. começaram a fazer uma física estatística, foi uma quebra da forma de se ver a natureza. Como pode ser lido no texto do Anderson, quando a quantidade de partículas microscópicas do sistema fica muito grande, várias coisas interessantes podem acontecer. Podemos começar a observar ordenamentos macroscópicos na natureza que em nada se parecem com as leis e simetrias da escala microscópica. Somente em casos muito especiais temos o comportamento microscópico conectado com o macroscópico (ainda que esses casos especiais sejam muito interessantes).

Descrever essa conexão entre as escalas, essas diferentes fases que surgem, é um exercício complicado que ainda não conseguimos para casos curiosamente mundanos. Se considerarmos a teoria do tudo mais simples possível, mas não tão simples a ponto de ser inútil: núcleos e elétrons interagindo por uma força coulombiana; e tentamos mostrar que a matéria é estável, entramos num problema que, embora tenha sido resolvido (vários nomes estão associados a isso: Ruelle, Dyson, Lenard, Lieb… numa quantidade massiva de trabalhos), apresenta uma dificuldade imensa. Curiosamente, esse sistema só é estável quando se considera a mecânica quântica. Por outro lado, partindo de uma descrição microscópica, até hoje ninguém provou a:

  • Existência de cristais em três dimensões (espaciais)
  • Existência de da transformação líquido-gás em fluídos
  • Existência de um ponto triplo sólido-líquido-gás
  • Existência de ordem ferromagnética (imãs) num modelo de interação de spin em 3 dimensões com 3 componentes
  • Existência de cristais líquidos em três dimensões
  • Veja como muitas coisas do cotiadiano simplesmente não tem explicação microscópica! Pense nisso, pense nisso principalmente quando alguém vier com respostas prontas para todas as perguntas. Teorias do tudo nem de longe descrevem tudo, é apenas um nome infeliz.

    1. sexta-feira, 3 out 2008; \40\UTC\UTC\k 40 às 09:05:58 EST

      Oi Rafa,

      Ô martelada…!🙂

      Sabe que faz um bom tempo já que eu venho pensando sobre esse assuntinho mágico que é a “troca de escala”, ou transição de fase.

      Num certo sentido, a pergunta que eu gostaria de poder atacar é a de como os graus-de-liberdade microscópicos se “transformam” (por falta dum termo melhor) nos graus-de-liberdade macroscópicos. Afinal de contas, é aí que vai estar escondida toda a “mágica” da troca de escala, i.e., o modo como os as variáveis microscópicas se combinam pra dar origem às variáveis macroscópicas.

      Sob a luz da Teoria Quântica de Campos, essas diferenças entre as fases não passam apenas de diferentes vácuos da teoria, que naturalmente representam diferentes “quantidades intrínsecas” de energia para cada fase: é a diferença de “energia” entre os vácuos falsos e verdadeiros da teoria que distingue as diferentes soluções da teoria. Porém, é a combinação dessas soluções que gera cada fase. E é nesse sentido que eu coloco minha questão acima.

      A questão central nisso tudo é, entretanto, um tanto simples: precisamos atacar esse tipo de questão sem fazer aproximações, sem “aprochutadamentes”… ou, como se diz, de modo não-perturbativo. E é nessa palavrinha, estranha para os não-iniciados😉 , mas comum, que mora todo o perigo dessa empreitada.

      Infelizmente, existem pouquíssimos métodos não-perturbativos desenvolvidos… aliás, às vezes até alguns truques que alguns consideram “não-perturbativos”, de fato, têm origem numa aproximação de uma forma ou de outra.

      O nosso paradigma atual é complicado… e fazer afirmações sobre o arcaboço em si não é fácil… essencialmente, o caminho que se encontrou até agora vem sob o nome de dualidade, quer seja AdS/CFT, quer seja Mirror Symmetry, quer seja Langlands…

      Um outro caminho que, acho eu, ajudaria pacas… é o de se definir Transformadas de Fourier em espaços curvos/Riemannianos. Num certo sentido, isso nos habilitaria a definir uma Teoria Quântica de Campos em espaços curvos do mesmo modo como fazemos em espaços planos: via Teoria de Representação (no sentido de von Neumann), usando essas Transformadas de Fourier “curvas”.

      Mas… é isso aí: chega de devaneios pela manhã!😉

      []’s.

    2. Leonardo
      sexta-feira, 3 out 2008; \40\UTC\UTC\k 40 às 10:26:09 EST

      Sobre o comentário do Daniel:
      Talvez eu esteja falando o que todo mundo já sabe, mas ao meu ver esse problema em TQC já foi resolvido faz tempo, mas queria ver o que vocês tem a dizer. Partindo de uma teoria de campos \phi (x), você pode separar a integral de trajetória da função de partição Z[J] nos termos d\phi (x) para x > \Lambda e x < \Lambda , e então integrar sobre todos os termos x < \Lambda , o que resulta numa Z[J] em termos de operadores O(x) dados pela OPE. Combinando, por exemplo, \bar{\psi}\psi você pode formar um campo escalar. Desse modo QCD vira a Lagrangeana quiral SU(3)\times SU(3). Claro, os coeficientes da expansão não podem ser calculados diretamente, a não ser em algo como Lattice QCD, mas a razão pela qual a transição acontece é bem clara, é a matriz de densidade reduzida (ou de emaranhamento, como ficou mais conhecida na literatura de termodinâmica de buracos negros).

      A pergunta do Daniel é interessante, mas do meu ponto de vista não há nenhum mistério. Graus de liberdade microscópicos não se “transformam” em graus de liberdade macroscópicos. Um gás ideal de N partículas continua a ter lá as velocidades e posições de cada partícula. O que acontece é que nós, na hora de modelar o sistema, podemos intencionalmente ignorar todos esses graus de liberdade internos e falar apenas de um conjunto mínimo de graus coletivos, como U, N e V. (Ou ignoramos os graus de liberdade internos por uma questão de resolução do aparato experimental; ou porque não temos mesmo como medi-los — como acontece em buracos negros). Os graus de liberdade microscópicos não desapareceram: foram ignorados, o que automaticamente insere a entropia S na história por causa da informação em falta. Os artigos originais do E. T. Jaynes são muito bons para explicar esse ponto de vista. Eu também já postei sobre isso no meu antigo blog.

    3. sexta-feira, 3 out 2008; \40\UTC\UTC\k 40 às 14:28:02 EST

      Oi Leo,

      Como eu disse no meu comentário, há vários métodos que são considerados “não-perturbativos” mas que, na verdade, têm uma origem perturbativa. A idéia de teorias efetivas (que é o que vc descreveu acima) é um exemplo clássico — daí a razão de eu não tê-las mencionado (ou vc achou que eu esqueci😉 ).

      Essencialmente, o problema começa com a representação em termos de Integral de Trajetória: não que eu tenha problemas com ela, pelo contrário, mas é preciso se saber o que se está fazendo. Em primeiro lugar, a integral de trajetória não lida com todas as soluções da teoria, apenas com aquelas que, em geral, são acessíveis via teoria de perturbação — mas, às vezes, nem essas são tratadas pela integral de trajetória. O motivo é simples: vc só está integrando [os campos] sobre os reais. Isso, infelizmente, é um erro antigo mas que continua ser propagado indiscriminadamente. Infelizmente, apesar do Feynman saber desse “problema” com a representação via integrais de trajetória (para as soluções duma dada QFT), não houve tempo pra se “corrigir” os mais hábitos que já haviam se formado. Para se informar mais sobre isso, vc pode ler os seguintes artigos:

      Theta Vacua and Boundary Conditions of the Schwinger Dyson Equations e Complexified Path Integrals and the Phases of Quantum Field Theory;
      Complex Langevin Equations and Schwinger-Dyson Equations e Mollifying Quantum Field Theory or Lattice QFT in Minkowski Spacetime and Symmetry Breaking;
      Phase Transitions and Moduli Space Topology;
      Three-Dimensional Gravity Revisited e Quantum Gravity Partition Functions in Three Dimensions;
      S-Duality of Boundary Conditions In N=4 Super Yang-Mills Theory e Supersymmetric Boundary Conditions in N=4 Super Yang-Mills Theory;
      Branes and Quantization;
      Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program, Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program, Gauge Theory And Wild Ramification, Geometric Endoscopy and Mirror Symmetry.

      Como vc pode ver, é necessário fazer uma extensão natural do moduli space duma QFT genérica, de real para complexo, pois é só sobre um complex moduli space que vc pode resolver completamente uma QFT e achar todas as suas soluções. A integralo de trajetória, na melhor das hipóteses, só representa uma dessas soluções, aquela que pode ser obtida apenas com um real moduli space. Por exemplom, pra citar um caso bem típico, vc pode pensar em termos de \phi^3, onde temos o seguinte:

      \mathcal{Z}[J] = \mathcal{N}\, \displaystyle\int_{\Gamma} e^{i\, (\partial_{\mu}\phi\, \partial^{\mu}\phi + \phi^3/3 - J\, \phi)}\,\mathcal{D}\phi \; ;

      Não é difícil de ver que essa integral de trajetória, sobre uma certa curva \Gamma (claro, não necessariamente os reais, pode ser qualquer curva que garante algumas propriedades básicas de convergência da integral de trajetória), não passa do modelo descrito por Kontsevich no artigo,

      Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function.

      Aliás, pra que essa representação acima seja a mesma usada por Kontsevich (no artigo acima), basta que vc extenda os campos \phi de scalar-valued para matrix-valued ou Lie algebra-valued (o Varadarajan tem um trabalho bacana sobre isso, e vc pode achar a referência pra ele no artigo linkado acima sobre “Moduli Space Topology”).

      Veja, os trabalhos que eu fiz com o Guralnik sobre isso (ver as referências acima) lidam com o caso geral, mas tratam de exemplos com campos escalares. Quando vc começa a querer manipular teorias de gauge, a coisa complica bastante… e é aqui que o trabalho do Witten sobre Geometric Langlands Duality entra forte — aliás, esse último artigo dele sobre “Branes and Quantization” é exatamente isso: um esforço de lidar com as “condições de contorno” (que estão expressas na forma do \Gamma que vc escolhe pra sua integral de trajetória) em teorias de gauge.

      É claro que tudo isso tem relação com teorias efetivas e tudo mais… mas não nesse sentido simplista que tudo é feito, onde vc simplesmente “integrate out” os graus-de-liberdade abaixo dum determinado cut-off. Essa é uma ilusão extremamente alimentada pelas raízes perturbativas que ainda impreguinam alguns cantos mais obscuros da QFT.

      É exatamente a tecnologia de D-modules que permite vc a combinar os graus-de-liberdade microscópicos e encontrar os relevantes macroscópicos. Aliás, uma pergunta extremamente fundamental é como a Entropia aparece no meio disso tudo: a coisa é bem mais complicada do que simplesmente a estória que é contada via o formalismo microcanônico. Isso pra não entrar no mérito da questão de que Mec. Estatística é feita em espaços Euclidianos, enquanto que QFT é feita em espaços Lorentzianos: a existência da simetria de Lorentz é um ingrediente fortíssimo nisso tudo: causalidade e localicade é tudo que é necessário pra se definir apropriadamente uma QFT.

      Bom, o comentário já está ficando grande demais… mas, eu espero que tenha dado pra clarificar uma coisa ou outra das dúvidas que vc expôs acima.

      []’s.

    4. lopesdesa
      sexta-feira, 3 out 2008; \40\UTC\UTC\k 40 às 18:22:17 EST

      As transições de fase que vcs estão falando são transições de fase de segunda ordem… eu estava me referindo àquelas de primeira ordem (na linha de pensamento do livro do L&L-> simetrias e componentes ergódicas). Sobre TQC, o Daniel tem razão… as pessoas calculam grupo de renormalização perturbativamente. Quer dizer, você consegue calcular funções de correlação nos pontos críticos, mas a hamiltoniana em si, é outra história. E aí que as dualidades entram. Do mais, os comentãrios do Daniel são perfeitos nesse ponto, afinal, ele é um verdadeiro especialista nesse assunto. Parabéns pelos excelentes artigos com o Guralnik… a idéia é fantástica.

    1. segunda-feira, 6 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 às 20:12:23 EST

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