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Espinores, Lorentz e algumas besteiras

sábado, 11 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 Deixe um comentário Go to comments

O Leonardo, no post sobre o prêmio Nobel citou muito brevemente sobre o papel dos ínstantons em teorias quânticas. Ínstantons são soluções clássicas da teoria de Yang-Mills euclidiana com ação finita. Em geral, procura-se por soluções que sejam auto duais ou anti auto duais. Mas isso não é estritamente necessário. Em grupos grandes, como SU(4) é fácil ver que existem soluções sem dualidade bem definida que são ínstantons, só considerar dois mergulhos de SU(2) (não tem ínstantons na teoria do Maxwell) que comutem, um auto dual e um anti dual. Se tais soluções existem para SU(2) é algo que eu desconheço. Se alguém conhecer, por favor, coloque no comentário.

Ínstantons são interessantes por um monte de razões fenomenológicas. O grande nome associado a essas idéias é o de ‘t Hooft. Meu objetivo aqui não é falar de ínstantons, contudo. Eis um bom review para quem quiser:

Stefan Vandoren, Peter van Nieuwenhuizen. Lectures on instantons

Note que ínstantons são definidos no espaço euclidiano. Quando se considera excitações de campos espinoriais sobre esse background, pode-se encontrar todo tipo de confusão entre álgebras de Clifford em espaços euclidianos e espaços lorentzianos. Acho que vale a pena lembrar que SO(1,3) (ou SO(3,1)) é muito diferente de SO(4). A começar que no caso Lorentziano, o grupo não é compacto e logo não tem representações unitárias com dimensão finita. Então, quando se busca representações de SU(2)\times SU(2) o que se está fazendo é tomando representações de SO(4) e não do grupo de Lorentz (pelo menos não unitárias). Com espinores não é diferente. É um resultado bem bonitinho, que usa um monte de resultado de álgebra, que as propriedades das álgebras de Clifford \mathcal{C}(m,n) dependem do número |m-n|(mod\, 8). Ninguém então deve esperar que o caso 2(mod\, 8) tenha algo a ver com 4(mod\, 8).

Na verdade, há algo mais interessante. Para se construir a álgebra de Clifford, não temos que considerar os grupos SO(1,3) ou SO(3,1), mas sim seu grupo de recobrimento Spin(1,3) e Spin(3,1). Numa linguagem básica, isso vem a dizer que uma rotação completa não deixa o espinor invariante, mas introduz um sinal. Spin(1,3) e Spin(3,1) são isomórficos, então até aí não há diferença na escolha. No entanto, se adicionarmos reflexões – gerando os grupos Pin(1,3) e Pin(3,1), esses grupos deixam de ser isomórficos. A idéia é similar à rotação, só que agora temos que refletir quatro vezes para que o espinor volte ao seu estado original! Os primeiros a notarem isso foi Yang e Tiomno, no caso de Pin(1,3) duas operações de paridade geram a unidade, enquanto no caso de Pin(3,1) geram menos a unidade (no caso euclidiano, Pin(0,4) é isomorfo a Pin(4,0) )

Se eles fossem isomorfos, poderíamos continuar tendo todo mundo que trabalha com partículas usando Pin(1,3) e todo mundo que trabalha com gravitação usando Pin(3,1). :lol: Mas tudo muda de figura sem esse isomorfismo, porque essa diferença pode ser verificada experimentalmente. Uma questão interessante é se neutrinos são espinores de Majorana, ou seja, se neutrinos são sua própria anti-partícula. Se forem, podemos imaginar um decaimento beta duplo onde o neutrino é emitido numa e absorvido na outra, não havendo neutrino no estado final – algo do tipo 2d\rightarrow 2u + 2e^{-}. É uma reação rara, mas que pode perfeitamente ser procurada experimentalmente seja em decaimentos de núcleos instáveis, seja em reações de partículas tipo K^{+}\rightarrow \pi^{-}+ 2e^{-} (veja, novamente, o post do Leonardo sobre o prêmio Nobel onde ele fala da matriz de CKM). A questão é que espinores de Majorana em teorias que conservem paridade só são consistentes em Pin(3,1). Em teorias euclidianas, a condição de Majorana nem pode ser satisfeita. Veja, por exemplo, o artigo do Nieuwenhuizen acima. Contudo, a definição dele de espinores de Majorana é um pouco fora do comum, embora interessante por si só, já que chama de espinores de Majorana coisas que podem reverter todo esse pensamento.

Então veja que faz diferença! Se você quiser ser bem chato, tem que tomar cuidado ao mudar de \eta^{\mu\nu}=(+,-,-,-) para \eta^{\mu\nu}=(+,+,+,-) e para \eta^{\mu\nu}=(+,+,+,+). Essa assinatura experimental é bem óbvia. Tem outras menos óbvias. Por exemplo, em espaços com topologia não triviais, os dois grupos admitem existência de correntes diferentes. Isso pode não ser relevante em teorias gravitacionais (ou até pode, mas ainda não temos uma determinação experimental), mas pelo menos em teoria de cordas isso é relevante. Na formulação de RNS, há espinores na folha-mundo, que admite todo tipo de topologia estranha, principalmente quando se considera cordas não orientadas. Então, a existência de várias estruturas de spin é relevante. Mas há formulações melhores da teoria de cordas, como a de espinores puros, onde não há espinores na folha-mundo (os espinores puros são espinores no espaço-tempo).

Para maiores detalhes, tem praticamente tudo que eu falei aqui:

M. Berg, C. DeWitt-Morette, S. Gwo, E. Kramer. The Pin Groups in Physics: C, P, and T

E aqui:

John Baez. This week finds in mathematical physics #93 (e várias outras semanas… procure por álgebras de Clifford e espinores na página do Baez)

Mas rapidamente votando ao caso de teorias no espaço-tempo, eu queria fazer uma pergunta, que pode ser muito fácil de ser respondida, mas não estou conseguindo chegar numa conclusão agora: como se faz um aparelho experimental que implementa a conjugação P nas partículas?

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