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Gravidade em d=3

domingo, 12 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 Deixe um comentário Go to comments

Faz tempo que estou com vontade de voltar a escrever alguma coisa em blog. Aproveitando a fase, vou falar um pouco de coisas que tem surgido na Física por ai.

Porque é interessante estudar gravitação em um número tão baixo de dimensões?

A maioria das pessoas ouvem falar em teorias com dimensões extras. Muitas vezes essas teorias tem a intenção de serem teorias fundamentais, mas isso não ocorre na gravitação em 2+1. Lá estudamos a teoria realmente como um toy model. Alguma vantagem temos em estudar esse toy model?

A gravidade é uma teoria geométrica do espaço. As propriedades de curvatura no espaço estão expressas em uma entidade chamada Tensor de Riemann. Em 4 dimensões, é um resultado bem conhecido que esse tensor tem 20 componentes indepedentes. Como nesse número de dimensões temos 10 equações de movimento para a teoria (as chamadas Eq. de Einstein), ainda temos dez componentes ‘livres’. Agora em tres dimensões uma mágica acontece. O número de componentes do tensor de Riemann é seis, que é o mesmo número de equações de movimento. Isso mostra que propriedades geométricas serão unicamente determinadas pelas equações de movimento.

Esse é um dos motivos da simplicidade da gravidade 2+1. De outro modo, você pode tentar contar o número do ‘gráviton’ da teoria. Para isso determinaremos a quantidade de graus de liberdade locais. Teremos n\frac{n+1}{2}-n componentes, mais suas derivadas temporais, o que resulta em n(n-1). E dessas podemos eliminar n componentes via escolha de coordenadas e n vínculos nas equações de Einstein. Isso da uma quantidade total de n(n-3).

Em d=4 isso são 4 graus de liberdade, e em d=3 são zero! Isso significa que não existem grávitons na teoria em d=3. Isso é outra amostra da simplicidade da teoria, que mais pra frente permite que efetivamente a quantizemos.

No próximo post tento explicar quais consequencias saem dessa simplicidade, o que nos gera efetivamente três manerias de descrever a teoria!

  1. Leonardo
    domingo, 12 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 às 15:07:17 EST

    É uma pena que não se ensina pelo menos um pouco sobre teorias em 2 e 3 dimensões nos cursos tradicionais, porque elas tem várias das características das teorias mais realistas com a vantagem de serem solucionáveis analiticamente. Outro exemplo interessante é a QED em 1+1 (conhecida como modelo de Schwinger) que é análoga a QCD: possui instantons, vácuo teta e confinamento. É possível resolver exatamente a QED em 1+1 e demonstrar que só há mesons no espectro. Mais recentemente, o Georgi estudou a QED 1+1 com massa para o bóson de gauge (conhecida como modelo de Sommerfield) e mostrou que ela possui um ponto fixo do grupo de renormalização no infra-vermelho, igual a teorias de gauge não-abelianas com um número muito grande de férmions. Nesse caso novamente é possível calcular exatamente as dimensões anômalas dos operadores da teoria, em contraste com 4D onde precisa usar a OPE.

    O melhor e mais útil artigo para fazer cálculos com essas teorias que eu encontrei foi este: C. M. Naon, Phys. Rev. D 31, 2035 – 2044 (1985).

    Falando nisso, Caio, você vai falar algo sobre o ponto fixo do UV da gravitação pura em baixas dimensões?

  2. Leandro Seixas
    domingo, 12 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 às 19:33:50 EST

    As vezes se ensina um pouco disso, lembro ter estudado um pouco da teoria de Chern-Simons no curso de Mecânica analítica (Eletromagnetismo em 2+1), na parte final sobre sistemas contínuos. Quanto ao modelo de Schwinger ou modelo de Sommerfeld, aí acho difícil de se ensinar isso na graduação, só se for num curso de Teoria Quântica de Campos da pós-graduação.

    Em Mecânica Estatística é mais comum se estudar modelos em dimensões “reduzidas”. O modelo de Ising em uma dimensão é quase sempre estudado nos cursos de Mecânica Estatística, fora outros modelos que são estudados em uma ou duas dimensões e não em três.

  3. Leonardo
    domingo, 12 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 às 19:40:30 EST

    Esses modelos são todos de teoria quântica de campos, é para cursos de TQC que estava me referindo mesmo😉

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