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Um pouco de história da física

sábado, 25 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 Deixe um comentário Go to comments

O Leonardo falou do prêmio que C. Becchi, A. Rouet, R. Stora e I.V. Tyutin vão receber pela descoberta da simetria BRST. É verdade que seria interessante um post sobre o que é essa simetria, um dia eu faço. Por enquanto, vou contar um pouco da história. Acho que é sempre instrutivo saber como essas coisas aconteceram. Antes de mais nada, para quem tiver interesse, os trabalhos originais foram publicados em:

Becchi, Rouet e Stora. Phys. Lett. 52B, CMP 42, Ann. Phys. 98

Tyutin. Int. report FIAN 39 (não publicado), Theor. Math. Phys. 27

A. Rouet foi um dos primeiros alunos de doutorado de R. Stora, no ano de 1970, em Marseille. A idéia deles era usar o método de BPHZ1 em teorias de gauge, mas ninguém conhecia as identidades de Ward2 direito naquela época. Depois de um ano no CERN em 1973, Rouet e Stora publicaram umas notas com Itzykson onde eles basicamente refizeram o trabalho de Slavnov entendendo melhor a ação dos fantasmas3 nas teorias de gauge. Durante esse ano no CERN, eles conheceram C. Becchi que também estava interessado no método de BPHZ e convidaram-no a passar um ano em Marseille (74). Durante esse ano, Becchi, lendo as notas que Rouet e Stora tinham feito, percebeu que a identidade de Slavnov4 era linear, o que indica que é uma simetria. Como todo esse pessoal tinha aprendido TQC com Schwinger e Symanzik, rapidamente Becchi e Rouet introduziram fontes para as variações dessa simetria chegando na forma atual da simetria de BRST.

Os três, a partir daí, começaram a trabalhar com teorias de gauge abelianas, o modelo de Higgs-Kibble, e eles mostraram em 1974, usando os método que desenvolveram, que a física era independente da fixação de gauge. Pouco tempo depois, mostraram a unitariedade da teoria5. Mais tarde, depois de algumas semanas em Saclay, os três entenderam como a consistência de Wess-Zumino6 advinha quase que imediatamente da nilpotência da simetria de BRST e demonstraram a anomalia ABBJ para um grupo arbitrário.

A partir daí, outras pessoas entram na história. Em particular Zinn Justin, que após ler o trabalho do Ann. Phys, entendeu rapidamente como a simetria foi descoberta para o gerador de funcionais de Green conexos e introduziu e aplicou a mesma idéia aos geradores de funcionais de Green 1PI7 chegando ao que hoje é conhecido como formalismo de BV8.

Tyutin, como aconteceu com muitos trabalhos desenvolvidos no Leste Europeu (e na Ásia), teve seu trabalho despercebido por algum tempo pelo ocidente. E, depois que ele percebeu que o trabalho de BRS já havia sido publicado, não teve muito interesse em publicar de novo9, partindo para estudar modelos não-abelianos e publicando em 1976 o trabalho sobre a simetria de BRST aplicada ao modelo de Higgs em SU(2)10. A simetria de BRST por sinal, até não muito tempo atrás, era conhecida simplesmente por simetria BRS.


Notas:

  1. BPHZ é um método sistemático de renormalização de teorias quânticas de campos.
  2. Identidades de Ward são relações entre quantidades renormalizadas em teorias de gauge. Elas dão origem a cancelamentos quase “milagrosos” que tornam essas teorias mais bem comportadas do que aparentam em princípio.
  3. Escrever teorias quânticas como teorias de gauge é na verdade, uma forma redundante de escrevê-las, apesar de útil. Os fantasmas são uma forma conveniente de lidar com essas redudâncias.
  4. Hoje essas identidades são conhecidas como Slavnov-Taylor, mas eles não conheciam o trabalho de Taylor na época.
  5. Existem diversas razões teóricas para se escrever teorias com simetria de gauge (veja nota 3). Uma delas é que é a única forma de se manter invariância de Lorentz com campos vetoriais sem massa. Outra é que elas são as únicas unitárias para esse tipo de campo. Agora, tem gente que não gosta nem de simetria de Lorentz nem de unitariedade… vai entender.
  6. São equações que determinam a forma das anomalias da teoria. Anomalias são simetrias que existem classicamente mas que deixam de existir na teoria quântica.
  7. A relação entre as duas é um transformada de Legendre funcional.
  8. Zinn Justin escreveu \Gamma * \Gamma em vez do \left[\Gamma,\Gamma\right] de BV.
  9. Naqueles dias, na União Soviética, você precisava de autorização do governo para publicar um artigo. Então, no fundo, não era só uma questão de querer.
  10. O que não é desprezível, já que a força da simetria BRST aparece mesmo nas teorias não-abelianas.
  1. terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 09:05:23 EST

    Rafa,

    Só um comentário sobre a sua nota de número 5: até onde eu sei, é preciso se escolher entre causalidade, localidade e unitariedade — não é possível ter os 3 ao mesmo tempo.

    Por outro lado, se vc der uma lida no Local Quantum Physics (do R. Haag), vc verá que é perfeitamente possível de se fazer QFT sem um pré-requerimento de unitariedade. Aliás, não só é possível, como é desejável: as diferentes soluções duma dada QFT, i.e., os moduli duma QFT, são representações da álgebra de operadores que não podem ser transformadas unitariamente entre si.

    (Claro, se formos ser completamente precisos, é necessário dizer que, na verdade, os moduli duma QFT são classificados por classes de equivalência onde elementos duma mesma classe são unitariamente equivalentes, ao passo que elementos de classes diferentes não são unitariamente equivalentes. Esse fenômeno é mais diretamente observável em QFTs com Quebra Espontânea de Simetria, onde a álgebra dos operadores da solução simétrica não é unitariamente equivalente à álgebra de operadores da solução com simetria quebrada. Ou seja, os vácuos nesse particular exemplo são unitariamente inequivalentes, gerando representações das álgebras de operadores que, claro, também são unitariamente inequivalentes.)

    []’s.

  2. lopesdesa
    terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 10:17:33 EST

    Talvez eu tenha entendido errado, mas uma coisa é eu dizer que uma teoria é unitária porque seu operador evolução temporal é unitário, outra coisa é eu dizer que que duas álgebras são unitariamente equivalentes. Mesmo nome, mas conceitos diferentes: num você está considerando o espaço de hilbert dos estados e no outro o espaço de hilbert dos operadores (o que me faz lembrar de teoria de cordas onde há uma equivalência, mas isso é só um comentário, não quero me estender… teorias em duas dimensões são muito especiais). Eu não sei sobre o que o Haag estava falando, mas pegue por exemplo, o caso mais besta de teoria quântica de campos, o campo escalar livre: ele é causal (pelo menos no sentido de microcausalidade), local e unitário (não que isso seja muito relevante, afinal, a teoria é livre).

    Abraços!

  3. terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 14:59:47 EST

    Oi Rafa!🙂

    Pô, desse jeito a coisa vai longe…😉

    Vc está coberto de razão nessa sua colocação bem no começo do seu comentário, sobre os diferentes espaços de Hilbert. Mas, aí eu pergunto: Qual a diferença entre a ‘Scrödinger Picture’ e a ‘Heisenberg Picture’? E como isso está relacionado com a sua pergunta?😉

    Agora, quanto a unitariedade sob evolução temporal… vc acabe me obrigando a puxar um ‘gauntlet’ um pouco mais afiado, o Teorema de Haag. Ou então vc pode dar uma olhada no livro dele (Parte II Cap 3; Partes VI e VII). Ou seja, falando em termos extritamente não-perturbativos, a ‘Interaction Picture’ do Dirac não existe.😦

    Na verdade, não é que ela não exista, ela só não está bem definida. A razão disso é, em muitos aspectos, a mesma que pragueja a Integral de Trajetórias [de Feynman]: como é que se define, de modo matematicamente correto e rigoroso, o processo de limite de pequenos intervalos dt no operador de evolução temporal?

    Resumindo, esse é o famigerado “Limite Termodinâmico” que vc encontra se tentar definir sua teoria (QFT) de modo apropriado, numa rede — note que isso não tem nada de “artificial”, uma vez que toda QFT bem definida tem uma “energy scale” associada, o que automaticamente gera uma “length scale” e, portanto, define um “lattice”. Claro, tudo isso é passível da ação do Grupo de Renormalização… mas, atacar esses problemas de frente implica em algumas coisas cabeludas:

    • Variáveis de Bloco = “natural length scale” = Problema da Medida;

    • Limite Termodinâmico \Leftrightarrow operador de evolução temporal é não-perturbativo \Leftrightarrow “QFT in Equilibrium” e “QFT out of equilibrium” (afinal de contas, é desse ‘jogo’ que aparecem as diferentes fases da teoria!).

    Portanto, tudo que é fisicamente interessante aparece quando vc realmente leva essas coisas a sério…

    E, claro, dada a mania de se lidar com tudo via um pensamento arraigado em métodos perturbativos… todas essas questões ficam muito mais complicadas quando vc tem que desconstruir as “confusões” vigentes pra depois ter que construir algo que realmente tem conteúdo.

    Nessa semana que passou (2008-Oct-20–24), eu fui à Brown pra conversar com o pessoal e, na sexta, assistir à ‘New England String Meeting’. E, vou dizer, foi excelente: sentado com meu (ex-)orientador (G. Guralnik) e com o M. Kosterlitz (que está trabalhando com Mecânica Estística fora do equilíbrio), nós tivemos uma boa conversa sobre tudo isso… e, do jeito que a coisa anda, eu estou cada vez mais convencido de que uma boa construção em termos de D-modules é necessária pra se digerir todas essas nuancas.

    Nessa mesma linha, 3 das palestras dadas na sexta foram de trabalhos motivados por “efeitos não-perturbativos”, i.e., onde as pessoas tiveram que levar a sério o que a Matemática e a Física estão dizendo (foi ótimo de assistir, porque muito daquilo nós já compramos a briga faz tempo, só faltavam ouvidos menos moucos)… e, assim, o mundo ficou mais rico, mesmo que mais complicado.😉

    []’s.

  4. Leonardo
    terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 20:50:11 EST

    eu continuo não convencido, para mim teorias locais são unitárias e o teorema do Haag deve estar errado.

    Sobre as integrais de Feynman, vejam só:

    http://arxiv.org/abs/0810.4293

    Para mim não tem nenhuma novidade nesse paper acima, exceto a parte que eu não entendo: essa história de que a prova “combinatórica” deles (que nada mais é que o teorema de Wick) é mais rigorosa.

  5. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 03:59:40 EST

    Oi Leo,

    Prefiro, nesse primeiro momento, não comentar o artigo que vc citou — vou deixar isso pra mais tarde, uma vez que não adianta prolongar e extender argumentos mais avançados se mesmo o básico ainda está em questão.

    Leo, o que está aí não tem nada que precise de “convencimento” ou não: as demonstrações são rigorosas, basta vc estudá-las com cuidado.

    Ou então, podemos fazer o argumento contrário: Se vc conseguir demonstrar rigorosamente ou a convergência do operador de translação temporal, ou a Integral de Trajetória (que certamente vai ser uma extensão trivial da demonstração anterior), aí fica fácil de dizer que o Teorema de Haag está errado. Mas, dentro do framework [que eu conheço] atual, eu duvido seriamente que vc consiga provar qualquer resultado rigoroso sobre Integrais de Trajetórias… claro, sem usar D-modules, nem coisas sui generis…😛

    []’s.

  6. Caio
    quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 07:09:00 EST

    Daniel, me corrija se estou errado: O teorema de Haag foi demonstrado para QFT’s em espaço plano, não é?

  7. Leonardo
    quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 09:05:32 EST

    Para mim não é uma questão de demonstrar um teorema. As conseqüências da unitariedade do operador evolução temporal, como o teorema óptico, o teorema H, o comportamento das seções de choque a altas energias, o comportamento assintótico da função espectral de Kallen-Lehmann, são fatos experimentais. Um teorema que contradiz fatos experimentais só pode estar errado. Isso lembra-me a controvérsia Heisenberg-Noether: é suspeito enunciar um teorema que prova que algo não existe quando já é sabido experimentalmente que tal coisa existe. Naquele caso, o “teorema” foi provado equivocado mais tarde pelo von Neumann.

  8. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 10:33:04 EST

    Caio,

    Exato, a coisa toda foi feita em Minkowski. Mas, não deixe isso te dar falsas esperanças: em espaços curvos a coisa é bem pior bem antes de se precisar ir tão longe (quanto definir a ‘interaction picture’)!
    😉

    []’s.

  9. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 10:42:33 EST

    Leo,

    Eu acho que ou não estou conseguindo me fazer entender, ou vc está simplificando demais a situação…

    Veja, a situação atual é bem clara e é a seguinte: Dentro dos esquemas perturbativos que se conhecem hoje em dia, tudo isso que vc citou acima é válido. Nesse sentido, o formalismo das integrais de trajetória funciona sem problemas. Portanto, do ponto-de-vista fenomenológico, muita coisa fica resolvida já nesse nível mais simples, onde uma simples aproximação já resolve o problema e dá resultados precisos.

    Porém, a partir do momento que vc quer obter resultados mais robustos e interessantes, é preciso se tratar de esquemas não-perturbativos. E é aí que a coisa toda muda de figura, significativamente.

    Se vc realmente pensa dessa maneira, vc nunca vai ver valor nos trabalhos recentes do Witten… só pra citar um exemplo em particular.😉

    []’s.

  10. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 16:36:19 EST

    Calma, people!

    “Unitariedade” aqui entende-se por “unitariedade da matriz S”! O ponto é o seguinte: não é _tampouco_ necessário ir para a “interaction picture” para construir a matriz S em QFT. As fórmulas de redução LSZ não são obtidas assim, mesmo do ponto de vista de integrais funcionais – para o último, cito uma vez mais meu exemplo favorito: o tratamento feito no livro de QFT do Ryder. O tratamento axiomático definitivo é feito por meio da teoria de Haag-Ruelle (Reed-Simon volume 3, para o tratamento mais “pedestre” que eu conheço, ou o livro de QFT algébrica do Araki para um tratamento mais “hardcore”). Assim, a obstrução à “interaction picture” imposta pelo teorema de Haag não é, de maneira alguma, obstáculo à construção de uma teoria de espalhamento para teorias quânticas de campos (com a graça do Senhor). Os resultados do tipo que o Leo menciona (teorema óptico, relações de dispersão, regras de soma, estimativas de Froissart-Martin, etc.) se aplicam à matriz S e à seção de choque diferencial derivada desta em virtude das fórmulas de redução LSZ, e portanto não entram em conflito com o teorema de Haag.

    O teorema de Haag se manifesta em geral toda vez que a gente tem um número _infinito_ de graus de liberdade. O teorema de Stone-von Neumann _não_ o refuta, uma vez que parte da premissa de um número _finito_ de graus de liberdade. Para teorias com uma estrutura local, que é o caso de QFT e mecânica estatística, isso é uma consequência do limite termodinâmico, que _é_ necessário se queremos falar em espalhamento, uma vez que estados ligados não espalham. O que nos leva ao aspecto relevante para a unitariedade da matriz S: completeza assintótica, que _pode_ ser violada por QFT’s em nível não-perturbativo, por exemplo devido à presença de setores solitônicos. Em nível perturbativo, que é o regime estudado por BRS e T😉 , é natural assumir formalmente completeza assintótica, e verificar as restrições que essa condição impõe para uma descrição perturbativa local e causal da teoria. E o resultado é que fantasmas de Faddeev-Popov devem não só estar presentes como também devem ter vértices de interação com os campos originais, aparecendo contudo apenas em linhas internas dos gráficos de Feynman.

    Outra cousa: o teorema de Haag também se manifesta para campos quânticos acoplados linearmente a um campo externo dependente do tempo, e _também_ é válido (e de maneira muito mais dramática) para teorias quânticas de campo em espaços-tempos curvos não-estacionários. O exemplo típico é o paradoxo de Klein, que nos diz que a taxa de produção de pares “explode” em volume infinito se tomamos um campo externo dependente do tempo. Isso acontece, em particular, em espaços-tempos cosmológicos. A produção de pares, por sua vez, é uma conseqüencia de localidade, causalidade e a existência de interações (aqui, com o campo externo). E é também por isso que não faz sentido falar de matriz S em espaços-tempos curvos não-estacionários.

  11. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 17:05:07 EST

    Oi Pedro,
    🙂

    Vc tem razão… por algum milagre divino, eu oscilo entre os dois extremos dados pelo Peskin & Schröder e pelos livros do Araki e do Haag. O Guralnik, e.g., sempre usa o Ryder… e eu já deveria ter largado-mão do P&S e ficado apenas com o Ryder.😛

    Mas, a razão disso é simples e clara: todos os cursos de QFT que eu conheço, avançados ou não, usam sempre o P&S como “âncora”, como referência principal. E, se bem me lembro, o P&S usa a ‘Interaction Picture’ pra definir a Matriz S. Então, pra evitar “maiores danos”, eu sempre parto desse princípio… e, como vc bem disse, nesse caso valeria mais a pena ter simplesmente usado outra referência.

    De qualquer forma, fica um pedido: seu segundo parágrafo parece estar em desacordo com o primeiro, no sentido de que para se falar em espalhamento (i.e., Matriz S) é preciso um número infinito de variáveis e, portanto, o Teorema de Haag entra em jogo — porém, como vc disse, é possível se contornar essa questão. Será que vc poderia explicar melhor?

    E, já que estou fazendo pedidos mesmo… será que vc pode falar mais sobre a “completeza assintótica” da teoria e as relações que vc menciona acima?
    😉

    []’s.

  12. Leonardo
    quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 17:21:05 EST

    Mas como a matriz S pode ser unitária e o operador de evolução temporal não? Visto que

    S_{\beta \alpha} = \langle \beta \vert \alpha \rangle = \langle \beta_{free} \vert S \vert \alpha_ \text{free} \rangle

    o operador S é

    S = \lim_{\tau \rightarrow \infty \; , \; \tau_0\rightarrow -\infty} U(\tau,\tau_0)

    onde U é a evolução temporal na ‘interaction picture’. O teorema óptico e o teorema H seguem da unitariedade da matriz S. A demonstração de LSZ que eu conheço usa a unitariedade da evolução temporal U de forma explícita, então para ficar claro: no Ryder LSZ é demonstrado sem utilizar em lugar nenhum a unitariedade da matriz S, e o teorema óptico é derivado da fórmula de LSZ?

  13. quinta-feira, 30 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 13:52:23 EST

    Caros Leo e Daniel,

    As perguntas de vocês estão relacionadas, então vou dar uma resposta única e integrada (é bom quando dá pra fazer isso, né?😉 ). Mas preparem-se, porque será um pouco longa, e pretendo também elaborar um pouco o que eu disse no meu comentário anterior – o ideal seria um post dedicado a elas, mas já que o blog não é meu…😛

    O problema com a primeira fórmula do Leo (para a qual também me refiro ao tratamento no Peskin-Schroeder, pág. 104) é que a “interaction picture” assume tacitamente que podemos escrever a hamiltoniana livre e a hamiltoniana interagente no mesmo espaço de Hilbert (a menos de equivalência unitária). Isso é verdade em mecânica quântica com um número finito de graus de liberdade, graças ao teorema de unicidade de Stone-von Neumann.

    Entretanto, tal teorema falha com um número infinito de graus de liberdade – há uma miríade de representações unitariamente inequivalentes das relações canônicas de comutação neste caso. Ou seja, não há garantia de que ambas as hamiltonianas ajam no mesmo espaço de Hilbert. Se não for o caso, o operador de evolução temporal na “interaction picture” U(\tau,\tau_0) simplesmente _não existe como um operador unitário_ nem no espaço de Hilbert da teoria livre, nem no espaço de Hilbert da teoria interagente. O que o teorema de Haag nos diz é que, de fato, tal possibilidade é realizada: ambas as representações são necessariamente unitariamente inequivalentes.

    Bem, como assim? Às vezes, a melhor maneira de ver como um teorema funciona é ver como sua demonstração funciona (???). Por sorte, o teorema de Haag é uma dessas vezes. Mais precisamente, dado qualquer operador unitário V que mapeia por conjugação o campo livre no campo interagente num mesmo instante do tempo necessariamente mapeia a representação unitária da parte espacial do grupo de Poincaré (i.e. o grupo Euclideano de algum hiperplano tipo espaço \{t=const.\}) do primeiro campo na do segundo – dizemos que V é um “intertwiner” – e leva o vetor de vácuo da teoria livre no vetor de vácuo da teoria interagente. Isso implica imediatamente que _as funções de Wightman de ambas as teorias coincidem em tempos iguais_. Nessa primeira parte, não há nada muito profundo em jogo, apenas a unicidade do vetor de vácuo em cada espaço de Hilbert, que por sua vez é equivalente ao fato de que todos os observáveis das duas teorias podem ser escritos em termos dos operadores de campo após “smearing” com funções teste.

    A segunda parte faz uso da identidade entre as _funções de dois pontos_ de ambas as teorias para tempos iguais, derivada acima. Usando microcausalidade e a representação do grupo de Lorentz da teoria interagente, com um argumento de continuação analítica mostra-se que _ambas as distribuições devem coincidir em todo o espaço-tempo de Minkowski_.

    O argumento é completado pelo seguinte teorema de “trivialidade”, devido a Jost, Schroer e Pohlmeyer:

    “Qualquer teoria quântica de campos microcausal e covariante por translações cujo vácuo satisfaz a condição espectral e tal que a função de dois pontos (truncada) coincide com a função de dois pontos do campo livre de mesmo caráter tensorial e de massa m\geq 0 é necessariamente a teoria livre correspondente à ultima.”

    Ou, refraseando a tese em termos da representação de Källén-Lehmann: a medida espectral da função de dois pontos de uma teoria interagente não pode consistir apenas de um único delta de Dirac centrado em m\geq 0. Esse resultado imediatamente nos leva à conclusão do teorema de Haag: a existência do “intertwiner” unitário V acima para cada instante t implica que a primeira teoria é _precisamente_ a teoria livre! Em particular, se V
    é o operador de evolução temporal na “interaction picture”, isso implica que a hamiltoniana de interação é _zero_!

    Essa é a primeira parte da estória. Ela revela uma falha conceitual grave no tratamento de teoria de espalhamento em livros de QFT como o Peskin-Schroeder. Este último “contorna” os diversos problemas que aparecem ao longo de seu argumento (convido-os a relê-lo com cuidado, para que vejam por si mesmos) para derivar as fórmulas de redução LSZ dando uma série de “desculpas” na seção 4.6, páginas 108-109, e na seção 7.2, páginas 226-227. Não vou reproduzi-las aqui, porque o comentário que estou escrevendo já é longo o suficiente sem elas, me restringindo apenas à seguinte frase no começo da página 227: “A more careful argument _(unfortunately, couched in a rather different language)_ can be found in the original paper by Lehmann, Symanzik and Zimmermann cited at the beginning of this section.” (os grifos são meus).

    A segunda parte da estória é indicar um pouco da “rather different language” que o Peskin-Schroeder parece desprezar mas que é absolutamente necessária à construção da matriz S, e surpreendentemente envolve boa parte das idéias envolvidas na prova do teorema de Haag (outra razão pela qual resolvi discuti-la acima). Antes de mais nada, para que propriedades que dependem apenas da unitariedade da matriz S sejam válidas, é necessário e suficiente que os operadores de Moller avançado e retardado sejam sobrejetores no espaço de Hilbert da teoria interagente, o que implica que os espaços de Hilbert “in” e “out” (num sentido que discutirei em breve) coincidem com o espaço de Hilbert completo da teoria interagente. Essa última propriedade é que é denominada _completeza assintótica_. Se verdadeira, o fato que os operadores de Moller são isométricos (que _de fato_ segue de LSZ ou, mais em geral, da teoria de Haag-Ruelle) automaticamente implica unitariedade da matriz S. O Ryder assume implicitamente completeza assintótica (o que “não é tão ruim” porque prová-la mesmo para teorias massivas sem sólitons é um tremendo problema em aberto) e o fato que os operadores de Moller (definidos implicitamente pelas equações de Yang-Feldman) são isometrias. Ele não demonstra o último fato (peas razões de escopo exibidas acima), mas pelo menos ele não “finge” demonstrá-lo a partir de um operador que, estritamente falando, não existe. O Ryder também não demonstra o teorema óptico (eu nunca disse isso, eu só disse que o jeito do Ryder de mostrar as fórmulas LSZ é mais adequado), mas isso não é difícil de fazer se sabemos que a matriz S é unitária.

    A grande diferença do tratamento LSZ é que a condição assintótica é exigida _apenas_ dos elementos de matriz, e não em nível de operadores. Essa é uma grande diferença, e reproduz o que _realmente_ está sendo feito nos livros-texto de QFT após uma série de “contratempos” em virtude de fórmulas formais como a “interaction picture”. Afinal de contas, na prática a gente calcula com funções de Green, não com operadores de campo ou de criação/aniquilação. Estes últimos só tem um análogo na teoria interagente após “smearing” com pacotes de onda “on shell” com energia positiva usando a estrutura simplética covariante da teoria de campos livre e a hipótese da existência de um “gap” de massa. Os campos assintóticos são então obtidos por pelo limite dos elementos de matriz desses operadores ou dos vetores do espaço de Hilbert obetidos pela ação destes sobre o vácuo, mas nunca no sentido de operadores – notar que, portanto, não precisamos de um operador unitário de evolução em “interaction picture”, respondendo finalmente à primeira pergunta do Daniel (ufa!).

    Outro aspecto importante (demonstrado por Ruelle) é que a condição assintótica de LSZ pode ser derivada de microcausalidade, covariância de Lorentz, condição espectral e, uma vez mais, o “gap” de massa.
    A violação da última condição leva ao famigerado _problema de infravermelho_, que é formalmente contornado pelos “teoremas” de Bloch-Nordsieck e Lee-Nauenberg. Não vou entrar nessa questão aqui, porque ela é bastante sutil e, em certos pontos, polêmica.

    As fórmulas de redução LSZ, além de sua óbvia importância prática, são também o canal para provar conseqüências dos postulados básicos de QFT sobre as amplitudes de espalhamento, se usarmos as representações integrais de Källén-Lehmann e/ou de Jost-Lehmann-Dyson para as funções de Green. As relações de dispersão são conseqüência de causalidade, e implicam numa relação entre as partes real e imaginária da amplitude de espalhamento, a menos de subtrações. Um pequeno ponto semântico: não cofundi-las com _leis de dispersão_, que relacionam energia e momento “on shell” para (quase-)partículas livres. Há uma certa tendência em se chamar estas de “relações de dispersão” – eu prefiro reservar este nome para as relações acima, que no caso de mecânica quântica não relativística e espalhamento de luz são também conhecidas como “relações de Kramers-Krönig”.
    Se combinarmos estas com a representação de Källén-Lehmann e a existência de uma expansão de produto de operadores, o resultado são as chamadas regras de soma espectrais, que juntamente com um “input” fenomenológico sobre o comportamento da medida espectral em baixas energias permitem fazer predições não-perturbativas sobre o comportamento de baixas energias de determinados processos, por exemplo em QCD. As estimativas de Froissart-Martin, por sua vez, são uma conseqüência das relações de dispersão e, portanto, de causalidade. Elas impôem, por exemplo, um limite do tipo O((\log s)^2) para o crescimento da amplitude de espalhamento de duas partículas A(s,t) em variáveis de Mandelstam à medida que s\rightarrow\infty. Elas são uma das sondas favoritas de quebra de microcausalidade, por exemplo, em teorias de cordas.

    Bom, acho que vou parar por aqui, pessoal, já podem acordar…😛 Posso ter esquecido de alguma cousa no caminho, portanto avisem-me se for o caso… Ciao!

  14. quinta-feira, 30 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 15:41:18 EST

    Pedrão,

    Eu sabia que vc não ia desapontar!😉

    Minhas perguntas não foram feitas sem querer, como vc certamente percebeu… afinal de contas, deu pra matar tudo com uma cajadada só, não?!😈

    E, claro, como resultado… vc falou todas as “palavras mágicas” que eu queria ouvir… massa! 8)

    Essa conversa ainda vai dar muito rock… então, se vc quiser pensar num “guest post” aqui pro AP… sinta-se à vontade! Aí a gente pode abrir formalmente essa Caixa de Pandora… e ver se dá pra caçar alguma “Esperança” no meio de tantos Demônios…😉

    []’s.

  15. quinta-feira, 30 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 15:45:14 EST

    E só pra dar uma “abelhudada”: É por isso que sempre que aparecem discussões sobre interpretações da Mecânica Quântica e bixos afins na Comunidade de Física do Orkut, eu sempre repito o mesmo mantra: Mecânica Quântica não é QFT — elas são intrinsecamente diferentes! Ohm…

    (É o “Paradoxo de Zeno” disfarçado, de vestido novo…😉 )

    []’s.

  16. Leonardo
    quinta-feira, 30 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 17:48:10 EST

    Pedro, hoje está corrido, mas vou ler seu post com cuidado, desde já agradeço pela resposta!🙂

  17. Leonardo
    sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 10:37:40 EST

    Pergunta: mas quaisquer dois espaços de Hilbert nos complexos de dimensão infinita não são isomorfos?

  18. sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 11:36:02 EST

    Sim, mas so se ambos forem separaveis (i.e., se possuirem um subconjunto enumeravel denso), pois isto implica que ambos possuem bases ortonormais enumeraveis, e, portanto, ambos sao unitariamente equivalentes a l_2. Um espaco de Hilbert separavel nao pode ser isomorfo a um nao-separavel, por uma mera questao de cardinalidade.

    Mais importante, tal isomorfismo unitario, mesmo se existir, nao necessariamente eh um “intertwiner” dos operadores de campo, ou seja, nao eh necessariamente um “intertwiner” das respectivas representacoes da algebra de relacoes canonicas de comutacao. Eh a este ultimo caso que os teoremas de Stone-von Neumann e de Haag se aplicam.

    Um aspecto interessante relacionado a ambos os fenomenos acima eh o fato que a algebra de relacoes canonicas de comutacao na forma de Weyl (i.e., algebra CCR em forma exponencial, gerada por operadores unitarios) admite representacoes fieis (i.e., apenas o operador zero eh representado por zero. Como essa algebra nao possui ideais, suas representacoes sao todas fieis) tanto em espacos de Hilber separaveis (e.g. espacos de Fock) como tambem nao separaveis, _caso a dimensao do espaco simpletico associado a ela seja infinita_, como ocorre em teorias de campo.

    (Uma vez mais, desculpas pela falta de acentos)

  19. sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 11:45:34 EST

    Ah, ainda sobre o primeiro paragrafo do meu comentario anterior: mais em geral, como, no caso nao separavel, a existencia de bases ortonormais eh obtida de maneira nao construtiva (i.e., invocando-se o lema de Zorn), o argumento de isomorfia unitaria no caso separavel nao pode ser aplicado para mostrar equivalencia no caso nao separavel, pois nada sabemos sobre a cardinalidade das respectivas bases, mesmo se soubermos a priori que ambos os espacos de Hilbert possuem a mesma cardinalidade _como conjuntos_.

  20. sexta-feira, 31 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 18:59:18 EST

    Só por curiosidade (e honestidade intelectual…😛 ), resolvi perguntar pro K. Fredenhagen, meu atual supervisor, como é que funcionaria a demonstração do teorema de Haag em espaços-tempos curvos, e ele me disse que uma demonstração do mesmo grau de generalidade da que eu descrevi acima infelizmente não existe, porque a invariância por translações e a condição espectral exercem um papel bastante importante, e tais conceitos não existem em espaços-tempos curvos. Mais precisamente, tais condições implicam certas propriedades de analiticidade para as funções de n pontos que levam imediatamente aos resultados desejados. Em espaços-tempos curvos, é possível substituir a condição espectral e a invariância por translações pelo seu remanescente (micro)local, mas as propriedades de analiticidade necessárias só são novamente obtidas (pelo menos localmente) se o espaço-tempo for real-analítico.

    Ele também me explicou que resultados como o paradoxo de Klein, embora também devidos em parte à presença de um número infinito de graus de liberdade, são de natureza diferente da do teorema de Haag, pois ao passo que o último está relacionado ao limite termodinâmico, o efeito de uma métrica dependente do tempo é estritamente local e ocorre mesmo se as superfícies de Cauchy do espaço-tempo forem compactas, o que no caso de uma métrica plana contornaria o teorema de Haag em virtude das condições de contorno periódicas. Mais precisamente, o fato de a evolução temporal não ser isométrica (ou, mais em geral, não preservar os campos externos) leva a divergências ultravioleta na hamiltoniana dependente do tempo. Isso implica que a evolução temporal não é mais unitariamente implementável,
    embora ainda exista para as álgebras de observáveis
    em nível abstrato, i.e., independente de representações. Um trabalho relativamente recente que prova o resultado acima é:

    – C. G. Torre, M. Varadarajan, “Functional Evolution of Free Quantum Fields”. Class.Quant.Grav. 16 (1999) 2651-2668, arXiv:hep-th/9811222

    Esse resultado depende, contudo, da dimensão do espaço-tempo: o problema não ocorre para dimensões 1 (porque aí é só mecânica quântica não relativística e o teorema de Stone-von Neumann se aplica) ou 2 (porque a representação de Fock das relações canônicas de comutação num determinado instante é _localmente_ unitariamente equivalente à representação de Fock em qualquer outro instante), mas ocorre em dimensões \geq 3.

    Intuitivamente, isto ocorre porque o número de graus locais de liberdade cresce com a dimensão, “piorando” o comportamento no ultravioleta. O problema é similar ao que ocorre em teoria quântica de campos construtiva, e está na origem do fato que, por exemplo, a teoria \lambda\phi^4 é trivial em dimensões \geq 5 – ou, em linguajar de grupo de renormalização, tal termo de interação se torna irrelevante em tais dimensões. O cenário acima também ocorre mesmo em Minkowski se resolvermos usar uma coordenada temporal que não é dada pelas órbitas de um campo de Killing. Do ponto de vista das simetrias da teoria, isto não é tão surpreendente, pois simplesmente expressa o fato que a evolução temporal não mais é uma simetria do vácuo (quando o último existe), mas revela um aspecto bastante profundo da teoria quântica de campos: a intepretação física do estado pode mudar radicalmente de acordo com a escolha de coordenada temporal que parametriza a dinâmica.

  21. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 06:19:57 EST

    Pedro,

    Só pra fazer um comentário, sem grandes aspirações, só pra fazer uma observação mesmo…

    Quando vc diz, no final do último parágrafo (do comentário imediatamente acima) que as interpretações físicas mudam de acordo com a escolha da coordenada temporal… num certo sentido, isso já era de se esperar, não: em espaços-curvos, acho que a coisa é clara o suficiente que nem é preciso dizer nada; agora, mesmo em Minkowski, se vc tem um vácuo que não tem alguma forma de “simetria de evolução temporal”… num certo sentido, vc não tem nada — afinal de contas, é o tal campo de Killing (global em Minkowski) que nos permite definir um vácuo único.

    Ou seja, mutatis mutandis, é o mesmo problema que aparece em espaços curvos: a não existência duma coordenada tipo-tempo global.

    Anyway, era só um pitaco mesmo…🙂

    []’s.

  22. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 07:32:06 EST

    Sim Daniel, isso foi exatamente o que eu comentei com respeito ao ponto de vista das simetrias do vácuo; o que os fenômenos que citei ilustram é de que maneiras isso pode ocorrer e os mecanismos subjacentes a elas. Na verdade, eu só quis desfazer uma impressão que creio ter passado no meu primeiro comentário, de que o teorema de Haag seria responsável por tais mecanismos.

    Só quero elucidar um pouco agora sua última assertiva.
    Funções temporais que são isométricas mas não são globalmente definidas conduzem, em particular, a uma interpetação de temperatura finita para o vácuo (i.e. efeito Unruh). Mas esta não é a única possibilidade, e tampouco é aquela sobre a qual comentei acima.

    Se o espaço-tempo é globalmente hiperbólico, o Geroch mostrou que uma coordenada temporal _global_ sempre existe (vide o livro do Wald de relatividade geral e/ou os trabalhos mais recentes do Bernál e do Sánchez que resolvem o problema de diferenciabilidade da função tempo global), e pode ser escolhida tal que suas superfícies de nível são todas superfícies de Cauchy. É para esses espaços-tempos que o problema de Cauchy para EDP’s hiperbólicas (em particular, equações de movimento de teorias de campo) é bem posto em nível clássico, e, na verdade, até mesmo em nível quântico _para as álgebras locais_ – para o último resultado, ver o trabalho do Torre e do Varadarajan que citei, e também

    – J. Dimock, “Algebras of local observables on a manifold”. Commun.Math.Phys. 77 (1980) 219-228;

    – Romeo Brunetti, Klaus Fredenhagen, Rainer Verch, “The generally covariant locality principle – A new paradigm for local quantum physics”. Commun.Math.Phys. 237 (2003) 31-68, arXiv:math-ph/0112041

    – Bruno Chilian, Klaus Fredenhagen, “The time slice axiom in perturbative quantum field theory on globally hyperbolic spacetimes”. arXiv:0802.1642 [math-ph]

    O ponto é que somente em espaços-tempos estáticos tal coordenada temporal global pode ser escolhida como um parâmetro de Killing. Agora, se quando você disse “coordenada tipo-tempo global” você estava se referindo apenas a este último caso, aí tudo bem, era só uma questão de semântica…😉

    Isso nos leva a um outra instância interessante do fenômeno que eu descrevi: se temos duas superfícies de Cauchy _quaisquer_, uma no futuro cronológico da outra, sempre podemos construir uma função tempo global cujas superfícies de nível são de Cauchy e “interpolando” entre as duas superfícies, i.e., ambas são superfícies de nível da função em instantes diferentes. Entretanto, obviamente tal função é um parâmetro de Killing se e somente se as superfícies forem isométricas. Então, se quisermos descrever como uma teoria de campos evolui de uma superfície para outra, caímos no mesmo problema que descrevi no meu comentário anterior. Essa questão foi considerada por Dirac, Schwinger e Tomonaga, mas só foi posta por terra no trabalho do Torre e do Varadarajan.

    De qualquer forma, peço desculpas se “chovi no molhado”. É que essas questões do tipo “What if…?” por vezes me intrigam. Bom, pelo menos é assim que acontece comigo…🙂

    Ciao!

  23. sábado, 1 nov 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 07:44:51 EST

    Nada de desculpas: isso é ótimo! Assim todo mundo pode ver a importância que um “dicionário” [entre os termos] tem numa conversa dessas!😉

    O que importa é que quando a gente começa a chover no molhado alheio… é aí que estamos começando a nos entender…😈

    []’s!

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