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Comparando transições de fase em TQC e sistemas estatísticos

terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 Deixe um comentário Go to comments

Não tem um seminário de altas energias que você vai que não se fale em fases de uma teoria quântica de campos. E nem mais só nos de teoria. Depois que pessoal de física nuclear começou a fazer experimentos de colisão de íons então tudo que se houve, mesmo nos seminários mais “aplicados”, é sobre fases de teoria quântica de campos.

Eu não vou negar que acho o assunto interessante, mas mal consigo entender o que é essa fase. Fases, nesse sentido, são bem entendidas em sistemas estatísticos. Quando atingimos o limite termodinâmico, o espaço de fase do sistema se divide em regiões em que os microestados podem ficar um tempo indeterminado: são as fases ergódicas da teoria. Em cada uma dessas regiões, o potencial termodinâmico é uma função analítica das suas variáveis. Uma descrição interessante de como acontece a transição de fase foi desenvolvida por Yang e diz respeito aos zeros da função partição. Num sistema finito, esses zeros estão sempre fora do eixo real, só que quando vamos atingindo o limite termodinâmico, os zeros podem ir se condensando em torno do eixo real e se você conseguir mostrar que no limite eles tocam no eixo, eis sua transição de fase. Para quem quiser ler:

Yang, Lee. Statistical Theory of Equations of State and Phase Transition, PR 87, pg 404-419 (partes I e II)

Em alguns sistemas que são completamente integráveis dá para ver isso acontecendo, em particular, um caso que todo mundo estuda é o modelo de Ising… impressiona qualquer aluno (ou pelo menos me impressionou).

Aí a gente se pergunta: o que teorias quânticas de campos tem a ver com isso? Bem, TQC também tem uma função partição parecida com sistemas estatísticos e nada te impede de procurar os zeros dela. Tem gente que faz isso. Pode-se inclusive perfeitamente pensar em estudos numéricos. Estudo numérico aqui pode significar séries perturbativas, mas esse tipo de estudo é complicado para transições de fase, porque você nunca pode chegar no ponto da transição. Sobre estudos numéricos, tem algumas vantagens para TQC e tem algumas vantagens para sistemas estatísticos: as séries perturbativas em sistemas estatísticos costumam convergir, as de TQC não. Por outro lado, sistemas estatísticos não admitem o mesmo tipo de expansão “de alta temperatura” que os de TQC (fora os sistemas definidos em redes, como o de Ising, por sinal). Os potenciais realísticos de sistemas estatísticos não tem nem transformada de Fourier. O que é comum fazer em sistema estatístico é estudar expansões na “densidade” (como as séries do virial e de Mayer).

E aí eu chego na questão, sobre a qual nada sei, mas que acho interessante: quais são os microestados de uma teoria quântica de campos? Isso não é conhecimento de “curso” de TQC. Se há uma fase é de se esperar que haja microestados. Acho que a forma tradicional de ver isso é considerar que o “lugar natural” de uma TQC é numa rede (lattice QFT) e daí tomar um limite termodinâmico no mesmo estilo de sistemas estatísticos. Não sei se isso é tão natural para mim, fiz poucas coisa de lattice QFT na minha vida até hoje e talvez seja simplesmente falta de conhecimento.

Você também ouve por aí pessoas falando que o microestado dos campos quânticos seriam as supercordas. Eu também não sei como entender essa frase (mas se alguém souber e quiser me explicar nos comentários eu agradeço). Eu sei que a teoria de supercordas eluciodou, por exemplo, os estados microscópicos da gravitação, como no caso do entropia do buraco negro calculada por Strominger e Vafa (e as diversas correções que as pessoas já calcularam depois deles). É também verdade que o mesmo sistema que é fonte de campo gravitacional é fonte de campos de gauge em outro limite da teoria, e desse estudo que nasceu a famosa conjectura AdS/CFT. Mas eu não sei se é nesse sentido que as pessoas falam.

Bem, é um post com mais “não sei” do que sei. Espero que no futuro eu possa rir dele.😛

  1. Leonardo
    terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 20:57:30 EST

    quais são os microestados de uma teoria quântica de campos

    Rafael, eu não entendi a pergunta. Para mim, a resposta são os auto-estados dos campos bosônicos e o equivalente disto para os fermiônicos, como se vê calculando a função de partição de uma teoria quântica de campos qualquer, como feito no apêndice A do cap. 23 do Weinberg vol. 2. Nesse paper aqui,

    http://prola.aps.org/abstract/PRD/v34/i2/p373_1

    eles constroem a função de partição de uma teoria de campo de um jeito equivalente, partindo de uma coleção de osciladores harmônicos e tomando o limite do contínuo.

    Você poderia passar uma referência sobre esse paper do Strominger e Vafa em que eles teriam calculado a entropia de buracos negros partindo de estados microscópicos de cordas?

  2. lopesdesa
    terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 22:43:40 EST

    A. Strominger and C. Vafa, Phys. Lett. B379 p.99

  3. terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 23:56:43 EST

    Se eu Wick-rotate o campo e escrevo o funcional gerador como uma integral de trajetória de uma ação euclidiana não é sugestivo que os microestados são as configurações do campo no espaço-tempo? As diferentes fases seriam dadas por diferentes vácuos?

    Não sei… eu sei tão pouco de TQC.

    Mas eu realmente não consigo resistir ver pesos probabilísticos para os configurações dos campos quando olho para integrais de trajetória euclidianas ou quando vejo quantização estocástica.

    O problema com essa analogia é que em Mec. Estatística as diferentes fases são selecionadas mudando-se os acoplamentos. Em TQC os acoplamentos são fixos, não? Isso também me faz pensar em grupo de renormalização: mudando-se as escalas, mudam-se os acoplamentos e as diferentes fases se realizam.

    Sei lá.

  4. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 04:34:54 EST

    Só pra deixar por aqui o mesmo que está na Comunidade… e continuar esse diálogo…😉

    Bom, quero só notar algo que, particularmente, acho que é importante termos em mente enquanto estivermos lidando com essas analogias: quebra de simetria nao eh nada mais do que o fenomeno de que as solucoes duma eq diferencial (no caso, das eqs de movimento) nao precisam, necessariamente, ter as mesmas simetrias da eq em si. Uma referencia importante sobre isso é:

    • “Applications of Lie Groups to Differential Equations”, http://www.amazon.com/Applications-Lie-Groups-Differential-Equations/dp/0387950001/ .

    Alias, é uma pena que esse assunto nao seja mais extensivamente abordado, quer seja na graduacao, quer seja na pos-graduacao — resolver eqs diferenciais é, essencialmente, tudo que nós fazemos… entao, lidar com isso de um modo mais direto e honesto seria mais util para todos.
    Isso posto, o que vem a seguir fica mais simples de ser digerido: quando um fibrado principal tem seu grupo de simetria reduzido de G para H; é isso que se chama de “quebra de simetria” em teorias classicas (campos ou particulas).
    A grosso modo, o que acontece quando se lida com o problema levando os efeitos quanticos em questao eh que o sistema “naturalmente” escolhe um ou outro vacuo — ao contrario do que acontece classicamente (onde nao ha nada que faca com que o sistema saia dum estado fundamental de minima energia e vá para outro).

    Uma outra maneira de se analisar o fenomeno de quebra de simetria é via uma análise do Espaço de Parâmetros, que tambem é uma variedade [diferenciavel]. Porem, quando essa analise do espaco de parametros é levada a serio e feita com carinho… o que se está fazendo nada mais é do que aquilo que é estudado no livro acima!😛

    Nesse caso, a Quebra de Simetria acontece quando ha fenomenos de “catastrofe” na variedade — http://en.wikipedia.org/wiki/Catastrophe_theory .

    []’s.

  5. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 08:49:45 EST

    Oi Rafa,

    Pois é… é essa a pergunta que não quer calar… a “Quem matou Odete Roithman?” dos tempos modernos [na Física]!😉

    E veja o quão profusa são as respostas pra essa pergunta que vc fez, “Quais são os microestados em QFT?” — isso implica o quê sobre o Grupo de Renormalização (e o fluxo das soluções sob esse grupo — como é que os graus-de-liberdade se rearranjam sob esse fluxo?); ditto para transições de fase; e assim por diante.

    Antes de continuar a falar sobre como atacar esses resultados altamente não-perturbativos e que contém tudo que chamamos de “interessante” em QFT… deixa eu acrescentar outro ingrediente dentre os que vc citou no post: Stokes Phenomena.

    Indo agora a caminho das soluções… veja, nos idos dos anos 60, quando os Modelos Duais nasceram pra explicar as Amplitudes de Veneziano, bifurcando a linha evolutiva da HET naquilo que viria a ser Teoria de Cordas e Local Quantum Physics (Algebraic/Axiomatic QFT; LQP), as questões que estavam em voga eram de ordem mais primária, no sentido de que as pessoas estavam em busca de como fundamentar melhor a recém-nascida QFT.

    Hoje, com a boa fortuna de poder olhar pra trás em 40 anos de pesquisa, nós podemos dizer sem dó nem piedade que Teoria de Cordas não passam de QFTs… logo, a primeira pergunta que vem a minha cabeça é a seguinte: “Como reconciliar o que foi aprendido em Cordas com o que foi aprendido em Local Quantum Physics?”

    Essa pergunta é o fulcro de muito do que vai ser a resposta pra essa sua pergunta… aliás, IMHO, definir apropriadamente um dicionário entre LQP e ST deve ser algo tão, ou mais (!), frutífero do que os resultados de quando Dyson “traduziu” Feynman em Schwinger e vice-versa! 8)

    Por exemplo, como é que se define Espaço de Fases em QFT? Se vc for pelo caminha da LQP, vc tem que entrar no mérito da “nuclearidade”, etc; e se vc for via ST, vc fala em termos de Moduli Spaces. Eu, pessoalmente, ainda não vi ninguém comentando sobre as semelhanças/diferenças entre os dois… mas, aos meus olhos, a coisa é clara… basta por no papel…

    Uma vez que vc percebe isso… o mundo fica um pouco mais colorido… porque, aí, vc pode trazer pra discussão um bixo chamado de Higgs Bundles. E, a partir daí, discutir o Moduli Space do Higgs Bundle que vc tiver em mãos: vai ser a partir daí que as “fases” da QFT vão emergir e as respostas pra essas perguntas que vc fez (e que também são minhas) vão começar a aparecer.😉

    Mas, a coisa não é tão docinha assim… trazir Higgs Bundles para o jogo, assim como seus respectivos Moduli Spaces, é um bixo-de-7-cabeças, pois vc tem que começar a falar em termos de Non-Abelian Hodge Theory (i.e., Non-Abelian Cohomology e o estudo de como Formas Harmônicas classificam a topologia em questão), D-Modules, Topological Transitions, e dualidades em geral, e.g., Langlands Duality, Mirror Symmetry, AdS/CFT, etc.

    Por exemplo, dê uma olhada nesses 2 artigos do Witten: Three-Dimensional Gravity Revisited e Quantum Gravity Partition Functions in Three Dimensions. Vc percebe como o Witten navega esses problemas não-perturbativos… e, usando Modular Symmetry como uma ‘dualidade’, chega ao resultado de que transições de fase são Hawking-Page!

    Mais ainda, se vc olha na seqüência recente de publicações dele, vc percebe como ele vem estudando novos efeitos de instantons em ST, Dualidades e Geometric Langlands, Mirror e Modular symmetry, Condições de Contorno e Branes como Quantização, etc. Isso já deve ser mais-do-que-suficiente pra marcar o caminho que deve ser seguido pra atacar essas questões tão fundamentais que vc levantou.

    Agora, mutatis mutandis, compare esse “caminho das pedras” descrito acima com a seguinte lista de artigos:

    Phase Transitions and Moduli Space Topology, Complex Langevin Equations and Schwinger-Dyson Equations, Complexified Path Integrals and the Phases of Quantum Field Theory, Theta Vacua and Boundary Conditions of the Schwinger Dyson Equations.
    😉

    [Eu acho que já está na hora de por a minha tese nos arXivs… vou trabalhar em arrumar o layout dela (porque, pra submeter “oficialmente”, vc tem que criar um monstro😛 ) e submeter… mas já sei que vai aparecer problemas com os plots.]

    Veja, na minha opinião, um dos maiores problemas é que isso que está aqui, nesse seu post e nos comentários, é que são muito poucas pessoas que realmente entendem com profundidade o que está em jogo nisso tudo. Não é à toa que é só o Witten e um grupinho ao redor dele que estão publicando sobre esse assunto (!) — e, vou dizer, tentar romper essa barreira, com outra linguagem, é bem difícil!

    []’s!

  6. quarta-feira, 29 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 às 09:17:15 EST

    Agora, indo pro comentário do ‘outro’ Rafael, o Calsaverini…

    Rafa, o que vc falou no primeiro e quarto parágrafos do seu comentário está completamente correto. Sim, as excitações do campo são os “microestados”… mas, aí vem a pergunta: “Como é que eles se recombinam para dar origem às outras fases?” É aí que a porca torce o rabo…😉

    Infelizmente, a visão “canônica” em termos de Integrais de Trajetória está incompleta: é preciso se extender tudo para os Complexos. Aliás, é possível se fazer ainda mais: se extender de escalares para matrizes e para ‘Lie Algebra-valued fields’, tanto sobre os Reais quanto sobre os Complexos! 8)

    É exatamente dessa forma que aparecem uma série de resultados modernos poderosíssimos, como os apresentados nos papers do Witten que eu citei acima, assim como aqueles obtidos por Kontsevich nos modelos matriciais dele (que podem ser extendidos para Álgebras de Lie), etc.

    Mas, tenta contar pra alguém que (1) Integrais de Trajetórias precisam ser extendidas para os Complexos; e, depois, que (2) transições de fase são fenômenos fora do equilíbrio, logo a QFT que se aprende em livros não está apta pra lidar com esses fenômenos… mas, ao mesmo tempo, ninguém parece estar interessado no real significado de “QFT fora do equilíbrio”!

    Diga-se de passagem, é essa tal de “Rotação de Wick” que esconde tudo que é bom e confuso na teoria… por exemplo, se vc pensar em termos do Limite Termodinâmico, vc vê que é preciso que várias regiões de não-analiticidade apareçam para que a teoria seja “interessante”. É por isso que eu bato nessa tecla consistentemente… esse é o meu ‘sambinha duma nota só’.😉

    Só pra não deixar passar… Rafael [Lopes], eu sei que já falei isso em algum lugar, só não me lembro onde foi (comunidade, aqui no AP em algum comentário, …): A definição natural de toda e qualquer QFT é na rede/lattice: basta vc designar a escala de energia em questão que o resto segue naturalmente \Rightarrow com uma escala de energia natural ao problema, vc automaticamente tem uma escala de distância natural associada ao problema \Rightarrow isso implica que as “variáveis de bloco” naturais ao seu problema já estão determinadas: os “blocos” são do tamanho da escala de comprimentos em questão \Rightarrow isso implica que as medidas possíveis nesse problema são de um determinado tipo, atacando assim o Problema da Medida em QFT. E, depois de tudo isso, vc “roda a manivela do Grupo de Renormalização [à la Wilson]”, e muda a escala de energia em questão! 8)

    Isso é tão importante… eu nem sei como frisar tudo mais fortemente… porque é nesse sentido de “Variáveis de Bloco” que a pergunta do Rafael Calsaverini é respondida: Sim, os modos do campo são os graus fundamentais… mas, até quando e onde é que vc pode rodar essa manivela do Grupo de Renormalização e remover as escalas de energia naturais do problema?! Agora, quando vc remover essa escala, vc vai acabar com uma QFT Conforme… e aí, o que acontece?! (Só pra constar, todo ponto de transições de fase duma QFT é conforme, uma vez que não há uma escala natural do problema… é como dizer que na mistura entre água e gelo não há uma escala natural…)

    De quebra, é importantíssimo de se notar que isso que estamos conversando aqui são fenômenos infra-vermelhos… pode parecer que não, ainda mais depois que eu introduzi o RG, mas não é verdade.

    E, junto nessa mistura toda, vêm todos os “milagres” da QFT: quebra de simetria, confinamento, liberdade assintótica, transições de fase, etc…

    O truque é o seguinte: fazer tudo isso pra campos escalares não é tão complicado — essencialmente, esse foi o trabalho que eu fiz para a minha tese. Agora, generalizar tudo isso para Teorias de Gauge, i.e., para \mathrm{tr}(F^2), é outra estória… e é aqui que o trabalho do Witten começa a ficar mais robusto… porque é daí que nasce a oportunidade pra usar branas pra quantização…😉

    Mas… por agora chega… hora de ir trabalhar!🙂

    []’s.

  1. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 12:18:50 EST

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