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Regularização dimensional

quinta-feira, 13 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 Deixe um comentário Go to comments

Mesmo depois de alguns anos fazendo conta com o método de regularização dimensional, nunca deixo de ficar impressionado. Tudo dá certo! Por mais curioso que seja, nunca vi uma tentativa de formalizar isso, no sentido de teoria matemática de integração para integrais com dimensão não inteira. A única tentativa que li até hoje foi no livro do John Collins de renormalização (usando “matemática de físico”, é verdade), mas é tão confuso que nem sei se vale a pena. Vou tentar contar o que se ensina e se usa no dia a dia, na prática.

Acho que a primeira coisa que encantou as pessoas que trabalhavam com teoria quântica de campos, foi que regularização dimensional não quebra invariância de gauge. Mas tem outras coisas que ficam muito claras com regularização dimensional e que eu, particularmente, não sei ver com outros métodos. Um exemplo é a quebra espontânea de paridade em vácuos solitônicos, que tem algo a ver com efeito hall quântico. Nem tudo são rosas, claro. Por exemplo, regularização dimensional quebra supersimetria. Mas as regularizações supersimétricas são tão, mas tão complicadas, que na prática mais vale continuar usando regularização dimensional.

Para quem não sabe, regularização é um processo pelo qual se dá sentido a integrais divergentes em teorias quânticas de campos. Existem vários métodos de fazer isso e, em princípio, todos eles deveriam ser equivalentes. Mas acho que não existe prova robusta nesse sentido. Na regularização dimensional o que se faz é mudar a dimensão do espaço-tempo em que está se fazendo a conta. Em dimensões menores a teoria tende a ficar mais convergente. Então, se vai para uma dimensão menor, mas arbitrária, se faz a conta e o resultado, para correções quânticas a 1 loop, fica expresso em termos de funções \Gamma(2-d/2) pelo menos para d inteiro positivo. Daí as pessoas fazem um processo de continuação analítica e assumem que o resultado vale para qualquer d complexo. Fica claro que em d=4 há uma divergência. Curiosamente, também fica claro que não divergência em espaços-tempos ímpares. Em espaços-tempos ímpares só há divergências em 2 loops. Claro que isso não faz muito sentido em dimensões a partir de d=5, já que a teoria não é renormalizável, mas me parece que é um fato bem conhecido em d=3.

É mágica não?


Edit: Sobre a questão de supersimetria, vale a pena ver esse trabalho que o Warren Siegel fez há muito tempo atrás:

Categorias:Ars Physica
  1. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 05:00:38 EST

    Oi Rafael,

    Na verdade nao eh magica nao. O metodo em uma dimensao eh conhecido desde o seculo 19, tendo sido desenvolvido por Riemann e Liouville, com desenvolvimentos posteriores feitos por Weyl, Caputo e Karamata. Em dimensoes mais altas, o metodo foi generalizado para obter potencias complexas da funcao de Green do laplaciano (e tambem do operador de Helmholz), das funcoes de Green avancada e retardada do D`Alembertiano (resp. operador de Klein-Gordon) por Marcel Riesz, comecando na decada de 30 e culminando em 1949 (!) na seguinte obra-prima, cuja leitura recomendo fortemente:

    — M. Riesz, L’Integrale de Riemann-Liouville et le Probleme de Cauchy, Acta Math. 81 (1949) 1-222, 223 (Errata).

    Uma das aplicacoes do metodo dele em uma maneira bastante elegante de resolver o problema de Cauchy caracteristico (tambem conhecido como “problema de Goursat”) para as equacoes de onda e de Klein-Gordon, atacado pela primeira vez por Goursat e D’Adhemar no comeco do seculo passado, em que a continuacao analitica na “dimensao” descrita no seu post eh usada para domar as singularidades das funcoes de Green avancada e retardada no cone de luz. Uma aplicacao “moderna” bastante interessante dessa solucao eh:

    — E. Alvarez, J. Conde, L. Hernandez, “Goursat’s Problem and the Holographic Principle” Nucl.Phys. B689 (2004) 257-291, arXiv:hep-th/0401220.

    Detalhe: nesse artigo M. Riesz faz tudo tambem em espacos-tempos _curvos_ (aqueles que ja brincaram de calcular “heat kernel coefficients” vao se sentir perfeitamente em casa😉 ), e tudo isso _antes_ do advento da teoria de distribuicoes! Por outro lado, o metodo de M. Riesz foi de fato sistematizado pela ultima, em particular no primeiro volume do livro “Generalized Functions”, de Gel’fand e Shilov. La eles mostram que o metodo consiste em identificar as singularidades das potencias complexas das funcoes de Green (incluindo em particular o propagador de Feynman, que nao foi tratado por M. Riesz) vistas como distribuicoes dependentes de um parametro complexo (aqui a potencia ou “dimensao”) atraves de integracao por partes apos “smearing” com uma funcao teste qualquer, e ai nao eh dificil ver que os residuos dos polos “dimensionais” sao a regularizacao desejada, a menos de normalizacao. No caso unidimensional de Riemann e Liouville

    f(x)\mapsto (x^{\alpha}_{+} \ast f) (x) \doteq \displaystyle\int^\infty_0 f(x-t)\, t^\alpha dt \;;

    a normalizacao correta para a potencia \alpha\in\mathbb{C} eh dada por \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}, que subtrai certinho todos os polos dimensionais, e ai a gente obtem

    f(x)\mapsto I^{\alpha} f(x) \doteq \displaystyle\frac{1}{\Gamma(\alpha)} (x^{\alpha-1}_{+} \ast f)(x)\;;

    que eh igual a f^{(k)}(x) para \alpha=-k,k=0,1,2,\ldots e igual a \int^x_{-\infty} f(t)dt (i.e., a “funcao de Green avancada” do operador diferencial \frac{d}{dx}, pelo teorema fundamental do Calculo) para \alpha=1 (note que eu nao escrevi \alpha-1 na formula acima sem querer!😈 ). Por causa disto, a “integral de Riemann-Liouville” definida acima tambem eh conhecida como operador de integracao/diferenciacao fracionaria. No caso em que \frac{d}{dx} eh substituido por \Delta(+m^2) ou \Box(+m^2) em dimensoes mais altas, o fator \frac{1}{\Gamma(\alpha)} eh substituido por um produto mais complicado de funcoes gama, relacionado com a integral de e^{-x^0} sobre a esfera unitaria ou sobre o hiperboloide de massa unitaria. Em todos os casos, a famila de distribuicoes obtida, apos “smearing” com uma funcao teste qualquer, eh inteira analitica em \alpha, i.e. para todo \alpha\in\mathbb{C}.

    E sim, o metodo _eh_ equivalente a regularizacao por “cutoff”, introduzida por Hadamard. Eu recomendo a leitura da Secao 3.2 do livro “The Analysis of Linear Partial Differential Operators I” de L. Hormander para uma exposicao sistematica e transparente do que eu descrevi acima.

    Fecho aqui com um pouco mais da “genealogia” desse metodo em teoria quantica de campos. O metodo tornou-se conhecido entre os fisicos apos o trabalho seminal de 1972 do ‘t Hooft e do Veltman sobre renormalizacao em teorias de calibre, onde eles introduzem e usam extensivamente o metodo de regularizacao dimensional, pelas razoes que voce descreveu no seu post. Todavia, o metodo tambem foi usado com o mesmo proposito (no caso abeliano, i.e. QED) por Bollini e Giambiagi em dois trabalhos praticamente simultaneos, publicados muito pouco antes no mesmo ano (os preprints sao inclusive do mesmo mes, fevereiro!). Detalhe: so os trabalhos de B&G citam Gel’fand-Shilov, e nem B&G nem ‘tHV citam o trabalho do M. Riesz, onde essencialmente todo o metodo eh desenvolvido em detalhe numa situacao ateh mais dificil (o propagador de Feynman _no espaco de configuracoes_ eh singular so na origem, enquanto que as funcoes de Green avancada e retardada sao singulares resp. nos cones de luz passado e futuro)!

    []’s!

  2. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 05:02:16 EST

    Alguem pode corrigir os erros de LaTeX no meu comentario, por favor? Valeu antecipadamente!

  3. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 06:33:18 EST

    Pedro,

    Feito, bixo! Espero que as correções estejam corretas… qualquer coisa, me avisa.😉

    Também aproveitei pra colocar links pras suas 2 referências — aliás, repare que, na primeira, eu ‘cacei’ 2 links pra ela. (Bow before me, for I am ‘root of Google’!😈 )

    []’s.

  4. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 07:31:36 EST

    Rafael,

    Só pra constar, vou responder uma de suas perguntas aqui também — pra quem tem conta no Orkut, o começo dessa discussão apareceu por lá:

    Teorias quânticas em dimensão ímpar.

    Vc diz,

    (…) regularização é um processo pelo qual se dá sentido a integrais divergentes em teorias quânticas de campos. Existem vários métodos de fazer isso e, em princípio, todos eles deveriam ser equivalentes. Mas acho que não existe prova robusta nesse sentido.

    Essa demonstração que vc está procurando, de que todos os caminhos levam à Roma, é feita nos trabalhos de K. Wilson e K. Wilson & Kadanoff. Aliás, pelo que eu sei (através do H. Maris, que trabalhou com o Kadanoff durante o período que ele esteve na Brown), o objetivo histórico desses trabalhos era exatamente esse, o de demonstrar que o esquema de regularização não afetava a Física.

    Isso posto, eu recomendo a leitura de Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach, por Günter Scharf. Uma análise bem completa também pode ser vista em Quantum Field Theory II: Quantum Electrodynamics, Eberhard Zeidler. O nome do jogo, aqui, é Causal Perturbation Theory.

    Ou seja, como eu disse na discussão no Orkut, não é necessário haver um processo de regularização… até porque, veja só, sempre que existe uma “escala de energia” no jogo, existe uma “lattice regularization” natural no problema: ou seja, sua escala de energia naturalmente limita o que seu aparato experimental ou seu arcaboço teórico podem “medir”, podem te dar como resposta. Se vc definir “blocos” cujo tamanho é dado pelo comprimento determinado pela sua escala de energia, vc está definindo as “Variáveis de Bloco” da sua Teoria Quântica de Campos; vc pode ler mais em, Statistical Field Theory (G. Parisi) e Fascinating field theory: Quantum field theory, renormalization group, and lattice regularization (P. Hasenfratz, F. Kleefeld and T. Kraus).

    Portanto, quando vc estabelece sua “escala de energia” e, portanto, suas “variáveis de bloco”, vc naturalmente está “splitting points”, que é o problema fundamental que está sendo discutido aqui: “Como multiplicar distribuições?” Afinal de contas, donde vêm as tais divergências?!😉

    Então, o que isso mostra é que esse processo de “regularização”, de remoção dessas divergências, não é algo “natural”, não é algo necessário pra sua teoria. Por outro lado, o processo de Renormalização… esse é outra estória: ele diz respeito a vc “fluir” a sua escala de energia, i.e., é ele quem te permite mudar não só sua escala de energia, mas também o tamanho das suas variáveis de bloco e, em última instância, fazer o limite em que os “split points” se aproximam cada vez mais. (Aliás, essa seqüência de limites é importantíssima pra se definir os chamados “limite termodinâmico” e “limite da caixa”, do volume tendendo a infinito. Mas, essa é outra estória.😉 )

    Ou seja, dum ponto-de-vista mais “axiomático”, if you will, vc pode começar definindo a sua OPE (resp. Vertex Operator Algebra, VOA) e, nesse sentido bem claro, essa definição é completamente equivalente a se estabelecer uma escala de energia (ou as variáveis de bloco) da sua teoria! E, assim, vc nunca tem que enfrentar questões de regularização. Claro, vc ainda tem que se perguntar como funciona a Renormalização da teoria… mas, essa questão está fundamentalmente ligada a escolha da sua OPE (resp. VOA).

    Bom, já falei demais… agora é hora de começar o dia…!
    🙂

    []’s!

  5. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 08:52:11 EST

    Valeu, Daniel, pelas correcoes e pelos links! Faltou so por o “latex” na formula e^{-x^0}…😛 A proposito, voce poderia tambem substituir os “pairings” com colchetes japoneses nas formulas acima por produtos de convolucao (e.g. \langle u,f\rangle(x)\rightarrow u*f(x))? Agradeco antecipadamente.

    Quanto ao seu segundo post, meu, voce nao pode falar do meu ganha-pao atual (i.e. “Causal Perturbation Theory”) na minha frente… Ce faz ideia do prurido que isso da? Ai eu nao trabalho mais!😉 Mas me aguardem…😈 []’s!

    P.S.: o acesso ao Zentralblatt Math eh aberto? Porque ao MathSciNet nao eh…

  6. lopesdesa
    sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 09:13:00 EST

    Você não acha que o Daniel faz isso de propósito?

    O LaTeX já tá corrigido.

  7. sexta-feira, 14 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 09:39:40 EST

    Pedrão,

    Acho que arrumei seus asteriscos apropriadamente… mas, qualquer coisa, já sabe…😉

    O errinho que passou é devido ao vício em TeX: vc olha e já vê a fórmula… complicado. Mas, o Rafa já pegou.😛

    Agora… “prurido”… putz, prurido é uma dessas palavras que me faz “voltar às origens” — adivinha só o porque! A priemeira vez que eu ouvi essa palavra foi no contexto de oxiúros… então, imagina só onde é que era o tal “prurido”…😆 Mas, vcs vivem estragando meus dias de trabalho por aqui… eu também tenho direitos!:mrgreen:

    E, concordo com vc, não sei qual é o problema com o MathSciNet…😛

    Só no aguardo…

    []’s!

    P.S.: Rafa, juro que não é de propósito… eu sou absolutamente péssimo pra saber quem trabalha com o quê ou com quem… essas coisas da “comunidade”… sou um completo fracasso. Falei porque foi o prurido que eu não consegui segurar mesmo… aliás, foi o mesmo que eu pus lá na Comunidade!

    Pessoalmente, eu vejo que, hoje em dia, a qualidade dos trabalhos (relacionados a esse tipo de assunto) têm me parecido um pouco “discutível”… então, quando eu vejo algo como esse seu post e essas suas questões… eu queria que a gente pudesse estar junto e conversando sobre isso, se divertindo! Mas, o blog vai ter que servir!😉

    []’s!

  8. Henrique Fleming
    sábado, 15 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 05:43:03 EST

    Curioso, Pedrinho, que o artigo do Bollini-Giambiagi não cite Marcel Riesz. Em seus seminários Giambiagi sempre o citava: foi ali que, pela primeira vez, ouvi falar do segundo irmão Riesz.

    Quanto ao Gelfand-Shilov, Swieca dizia que o primeiro volume era a Bíblia do Giambiagi, que o conhecia praticamente à memória. E ele, Giambiagi, me disse que tinha sido levado ao estudo do G-S por recomendação do matemático argentino Gonzalez-Domingues.

  9. sábado, 15 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 17:26:45 EST

    Oi Fleming!

    Olha, saber o conteúdo do Gel’fand-Shilov 1 de cor não é para qualquer um…😯 Quando eu quis aprender teoria de distribuições no começo do meu doutorado e comentei com o Barata que “eu estava pensando em começar pelo Gel’fand-Shilov, porque o primeiro capítulo me parecia tranqüilo” (silly me) ele me respondeu que eu não podia querer aprender a escalar “começando pelo K2″…😀

    Então, eu descobri que o Giambiagi começou a brincar com regularização dimensional no meio da década de 60, mas com as próprias amplitudes de matriz S e não com os gráficos de Feynman. Nesses trabalhos (publicados a partir de 1965) sim ele cita o trabalho do M. Riesz. Mais precisamente, ele usou as fórmulas de redução escritas à la Glaser-Lehmann-Zimmermann, i.e. com funções retardadas e não ordenadas no tempo, do jeito que o Källén gostava de fazer, e aplicou a representação de Jost-Lehmann-Dyson, para fazer aparecer as funções de Green retardadas do operador de Klein-Gordon. Aí é so aplicar no método do M. Riesz nestas últimas.

    Eu acho que a razão dele ter citado só Gel’fand-Shilov no trabalho de 1972 é que potências complexas do propagador de Feynman foram tratadas de fato pela primeira vez lá, embora não com esse nome (o M. Riesz só tratou as funções de Green avançada e retardada). Ainda assim, considero uma falha em retrospecto, porque esse trabalho também é bastante citado e hoje em dia a maioria dos físicos que usa regularização dimensional no seu dia-a-dia nunca ouviu falar de Marcel Riesz. Também pode ser que seja exagero da minha parte, porque eu sou simplesmente apaixonado por esse artigo do M. Riesz…😉

    Entre os matemáticos, a situação é bem outra – os chamados “potenciais de Riesz” são uma ferramenta clássica em análise harmônica “hard”, particularmente na escola de Calderón, Marcinkiewicz e Zygmund, que produziu mestres como Stein, Weiss, Cotlar, Strichartz, Fefferman e Tao.

    Curiosidade: você sabia que os dois irmãos (Frigyes e Marcel) Riesz só tem um único artigo juntos?

    Abraços!

  1. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 14:03:54 EST

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