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A semana nos arXivs…

sábado, 15 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 Deixe um comentário Go to comments

Diversão garantida…😈

[]’s.

  1. Leonardo
    domingo, 16 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 às 19:55:07 EST

    Daniel, ainda não li, mas está coçando muito em mim esse artigo do Ian M. Tolfree!!! Você deu alguma lida, o que achou?

  2. segunda-feira, 17 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 06:58:01 EST

    Oi Leo,

    Eu li sim… logo que ele saiu nos arXivs, antes de ser publicado (que é o link pra APS acima).

    Lembro que logo que ele apareceu uma das questões que mais me mordeu foi como definir Transformadas de Fourier em espaços curvos, i.e., como definí-la de modo mais genérico [do que é feito hoje em dia].

    A idéia de que a CFT numa geometria curva é dada pela Transformada de Fourier daquele espaço é muito elegante… me deixa “warm and fuzzy inside”.😉

    Estou “preparando” um post aqui pro AP sobre Dualidades de Pontryagin, Transformadas de Fourier, Dualidade de Langlands e “dualidades” em geral… pra ser um “apêndice” à seqüência que o Rafael tem mantido. Vamos ver se fica bom o suficiente pra ser publicado…😳

    []’s.

  3. Leonardo
    segunda-feira, 17 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 10:33:45 EST

    foi o primeiro artigo do rapaz, provavelmente aluno da JHU. Nada mal para um primeiro paper, heim?

  4. Leonardo
    segunda-feira, 17 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 10:36:21 EST

    Por um tempo eu pensei na correspondência AdS/CFT como uma relação de teorema de Stokes nas integrais de trajetória, mas não deu muito certo.

  5. segunda-feira, 17 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 11:53:44 EST

    Oi Leo,

    Acho que no que diz respeito a holografia, como descrita pelo ‘t Hooft, tem muita gente que trata o problema como sendo uma aplicação do Teorema de Stokes:

    Goursat’s problem and the holographic principle.

    Mas, no caso de Integrais de Trajetória… é preciso tomar muito cuidado: o “path space” não é nem topologizável (i.e., não admite uma topologia), quiçá admitir a formulação duma “integral” — veja, e.g., o capítulo 17 de Morse Theory.

    Acho que é por isso que a nomenclatura se estabeleceu como “dualidade” (ao invés de “holografia”) — mas, isso é só especulação.

    Essa idéia de usar Transformadas de Fourier não é nova… mas, de qualquer maneira, o “truque” vai ser ver isso feito para dS/CFT…😉

    []’s.

  6. sábado, 22 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 20:11:26 EST

    O método do Tolfree só funciona, estritamente falando, para teorias de campo livres (i.e., para as quais todas as funções de correlação truncadas de n pontos se anulam para n\neq 2), porque tudo se resume neste caso à análise da função de dois pontos, mais precisamente da representação de Källén-Lehmann desta.

    A “transformada de Fourier” que ele usou foi obtida através de uma instância da chamada transformada de Radon. Ambas estão relacionadas mas _não_ são iguais. No espaço Euclideano, a transformada de Radon de uma função num determinado ponto p é igual à integral da função ao longo do único hiperplano passando por p e ortogonal a \vec{0p}. Equivalentemente, se
    esse hiperplano em \mathbb{R}^d é dado por
    \{x\in\mathbb{R}^d:\langle x,\omega\rangle=s\}, onde \omega\in S^{d-1}, s\in\mathbb{R}, a transformada de Radon de f\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^d) é dada por

    (Rf)(s\omega)=\int\delta(\langle x,\omega-s)f(x)dx.

    A relação com a transformada de Fourier vem do fato de que a transformada de Fourier de f é igual à transformada de Fourier _unidimensional_ de Rf _em s. Esse é o ponto central – essencialmente, o que se faz é representar o delta de Dirac como uma superposição de ondas planas.

    Esse construção pode ser generalizada para a esfera (onde os hiperplanos são substituídos pelos “grandes círculos”, que cortam a esfera em duas metades iguais, e s assume valores num intervalo finito, como no caso de séries de Fourier) e para o espaço hiperbólico (=”Euclidean AdS”), que é o caso contemplado por Tolfree.

    Neste último caso, os hiperplanos são substituídos por horociclos, que podem ser visualizados da seguinte forma: imagine o espaço hiperbólico d-dimensional como uma “concha de massa” no futuro da origem do espaço-tempo de Minkowski (d+1)-dimensional, e restrinja a transformada de Radon (d+1)-dimensional a hiperplanos normais a vetores tipo luz no cone de luz futuro. A interseção destes planos com a concha de massa são os horociclos, e $s$ assume valores só em
    \mathbb{R}_+ – o valor s=0 só é assumido no infinito (conforme) do espaço hiperbólico! A transformada de Radon horocíclica também é conhecida como transformada de Gel’fand-Graev. A “transformada de Fourier no espaço hiperbólico”, aqui obtida pela relação no parágrafo anterior, é conhecida como transformada de Fourier-Helgason.

    A relação no trabalho do Tolfree é completada visualizando o espectro de massas da CFT (onde a medida de Källén-Lehmann vive) como o espaço “Fourier-dual” a s.

    Em geral, a transformada de Radon (e, por conseguinte, a transformada de Fourier-Helgason) pode ser tomada (apenas!) em espaços homogêneos ou simétricos associados a algum grupo de Lie. Esta foi a contribuição do Helgason, espcialmente no caso não-compacto. Isso exclui, contudo, geometrias curvas mais gerais.

    Tem uma cousa neste trabalho que me deixa um pouco mordido (no mau sentido😉 ): o que o Tolfree fez já tinha sido feito em assinatura Lorentziana por Dütsch e Rehren em 2002, e _nenhuma_ menção desse fato é feita!

    M. Dütsch, K.-H. Rehren, “Generalized free fields and the AdS-CFT correspondence”. Annales Henri Poincaré 4 (2003) 613-635.

    A reação extremamente agressiva da comunidade de cordas aos trabalhos do Rehren em AdS/CFT, juntamente com a ausência de “buzzwords” na referência acima, devem ter contribuído para o esquecimento. Não obstante, o que mais me intriga nessa idéia é que essencialmente a mesma cousa é feita no método de abaixamento de Hadamard (i.e. a representação da função de Green avançada/retardada da equação de onda / Klein-Gordon em d dimensões por meio da função de Green avançada/retardada da equação de onda em d+1 dimensões) e, mais em geral, na demonstração da representação de Jost-Lehmann-Dyson para a função de dois pontos, o que sugere que, apesar de tudo, o método pode em última instância não ter nada a ver com teoria de representação de grupos de Lie no sentido usual (que é o contexto dento do qual as transformadas de Gel’fand-Graev e de Fourier-Helgason foram criadas), uma vez que o método de abaixamento de Hadamard funciona também em espaços-tempos curvos.

    Para concluir, para mim dS/CFT não passa de teoria de espalhamento com nome novo, até porque as “CFT’s Euclideanas” associadas ao infinito passado e ao infinito futuro de dS não podem estar associadas a nenhuma teoria física (positividade por reflexão na esfera é violada, o que impossibilita reconstruir o espaço de Hilbert físico dessas teorias, quiçá fazer rotação de Wick). No caso (assintoticamente) plano, holografia para QFT’s livres se reduz a um problema de Cauchy característico – neste caso, os vínculos entre os dados iniciais em virtude do caráter causal do infinito tipo luz produz uma dinâmica residual não-trivial no fininito conforme, que respeita a ação do grupo BMS. Daí a relação com o “teorema de Stokes”. Para mais detalhes, ver:

    C. Dappiaggi, V. Moretti, N. Pinamonti, “Rigorous steps towards holography in asymptotically flat spacetimes”. Rev.Math.Phys. 18 (2006) 349-416.

    Sob esse ponto de vista, AdS/CFT é o caso mais sutil de todos, porque você tem QFT (ou teoria de cordas) “de verdade” (i.e., com dinâmica não-trivial e tudo o mais) dos dois lados. Isto é relacionado com o fato de que, dos 3 casos acima, só AdS não é um espaço-tempo “dinamicamente fechado” (i.e. globalmente hiperbólico) e só sua fronteira conforme é uma hipersuperfície “inicial” para a qual o “problema de Cauchy” não é bem posto (isso é mais fácil de ver se estamos em assinatura lorentziana!), e, portanto, não podemos reduzir o raciocínio a um “problema de Cauchy” como nos outros casos.

  7. sábado, 22 nov 2008; \47\UTC\UTC\k 47 às 20:12:24 EST

    Acho que comi bola nas tags HTML acima…😛

  8. Tom
    segunda-feira, 24 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 às 09:31:40 EST

    Corrigido, Pedro.😉

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