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A semana nos arXivs…
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Diversão garantida… 😈
[]’s.
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Daniel, ainda não li, mas está coçando muito em mim esse artigo do Ian M. Tolfree!!! Você deu alguma lida, o que achou?
Oi Leo,
Eu li sim… logo que ele saiu nos arXivs, antes de ser publicado (que é o link pra APS acima).
Lembro que logo que ele apareceu uma das questões que mais me mordeu foi como definir Transformadas de Fourier em espaços curvos, i.e., como definí-la de modo mais genérico [do que é feito hoje em dia].
A idéia de que a CFT numa geometria curva é dada pela Transformada de Fourier daquele espaço é muito elegante… me deixa “warm and fuzzy inside”. 😉
Estou “preparando” um post aqui pro AP sobre Dualidades de Pontryagin, Transformadas de Fourier, Dualidade de Langlands e “dualidades” em geral… pra ser um “apêndice” à seqüência que o Rafael tem mantido. Vamos ver se fica bom o suficiente pra ser publicado… 😳
[]’s.
foi o primeiro artigo do rapaz, provavelmente aluno da JHU. Nada mal para um primeiro paper, heim?
Por um tempo eu pensei na correspondência AdS/CFT como uma relação de teorema de Stokes nas integrais de trajetória, mas não deu muito certo.
Oi Leo,
Acho que no que diz respeito a holografia, como descrita pelo ‘t Hooft, tem muita gente que trata o problema como sendo uma aplicação do Teorema de Stokes:
• Goursat’s problem and the holographic principle.
Mas, no caso de Integrais de Trajetória… é preciso tomar muito cuidado: o “path space” não é nem topologizável (i.e., não admite uma topologia), quiçá admitir a formulação duma “integral” — veja, e.g., o capítulo 17 de Morse Theory.
Acho que é por isso que a nomenclatura se estabeleceu como “dualidade” (ao invés de “holografia”) — mas, isso é só especulação.
Essa idéia de usar Transformadas de Fourier não é nova… mas, de qualquer maneira, o “truque” vai ser ver isso feito para dS/CFT… 😉
[]’s.
O método do Tolfree só funciona, estritamente falando, para teorias de campo livres (i.e., para as quais todas as funções de correlação truncadas de
pontos se anulam para 
), porque tudo se resume neste caso à análise da função de dois pontos, mais precisamente da representação de Källén-Lehmann desta.
A “transformada de Fourier” que ele usou foi obtida através de uma instância da chamada transformada de Radon. Ambas estão relacionadas mas _não_ são iguais. No espaço Euclideano, a transformada de Radon de uma função num determinado ponto
é igual à integral da função ao longo do único hiperplano passando por 
e ortogonal a 
. Equivalentemente, se
é dado por
, onde 
, a transformada de Radon de 
é dada por
esse hiperplano em
A relação com a transformada de Fourier vem do fato de que a transformada de Fourier de
é igual à transformada de Fourier _unidimensional_ de 
_em 
. Esse é o ponto central – essencialmente, o que se faz é representar o delta de Dirac como uma superposição de ondas planas.
Esse construção pode ser generalizada para a esfera (onde os hiperplanos são substituídos pelos “grandes círculos”, que cortam a esfera em duas metades iguais, e
assume valores num intervalo finito, como no caso de séries de Fourier) e para o espaço hiperbólico (=”Euclidean AdS”), que é o caso contemplado por Tolfree.
Neste último caso, os hiperplanos são substituídos por horociclos, que podem ser visualizados da seguinte forma: imagine o espaço hiperbólico
-dimensional como uma “concha de massa” no futuro da origem do espaço-tempo de Minkowski 
-dimensional, e restrinja a transformada de Radon 
dimensional a hiperplanos normais a vetores tipo luz no cone de luz futuro. A interseção destes planos com a concha de massa são os horociclos, e $s$ assume valores só em
– o valor 
só é assumido no infinito (conforme) do espaço hiperbólico! A transformada de Radon horocíclica também é conhecida como transformada de Gel’fand-Graev. A “transformada de Fourier no espaço hiperbólico”, aqui obtida pela relação no parágrafo anterior, é conhecida como transformada de Fourier-Helgason.
A relação no trabalho do Tolfree é completada visualizando o espectro de massas da CFT (onde a medida de Källén-Lehmann vive) como o espaço “Fourier-dual” a
.
Em geral, a transformada de Radon (e, por conseguinte, a transformada de Fourier-Helgason) pode ser tomada (apenas!) em espaços homogêneos ou simétricos associados a algum grupo de Lie. Esta foi a contribuição do Helgason, espcialmente no caso não-compacto. Isso exclui, contudo, geometrias curvas mais gerais.
Tem uma cousa neste trabalho que me deixa um pouco mordido (no mau sentido 😉 ): o que o Tolfree fez já tinha sido feito em assinatura Lorentziana por Dütsch e Rehren em 2002, e _nenhuma_ menção desse fato é feita!
– M. Dütsch, K.-H. Rehren, “Generalized free fields and the AdS-CFT correspondence”. Annales Henri Poincaré 4 (2003) 613-635.
A reação extremamente agressiva da comunidade de cordas aos trabalhos do Rehren em AdS/CFT, juntamente com a ausência de “buzzwords” na referência acima, devem ter contribuído para o esquecimento. Não obstante, o que mais me intriga nessa idéia é que essencialmente a mesma cousa é feita no método de abaixamento de Hadamard (i.e. a representação da função de Green avançada/retardada da equação de onda / Klein-Gordon em
dimensões por meio da função de Green avançada/retardada da equação de onda em 
dimensões) e, mais em geral, na demonstração da representação de Jost-Lehmann-Dyson para a função de dois pontos, o que sugere que, apesar de tudo, o método pode em última instância não ter nada a ver com teoria de representação de grupos de Lie no sentido usual (que é o contexto dento do qual as transformadas de Gel’fand-Graev e de Fourier-Helgason foram criadas), uma vez que o método de abaixamento de Hadamard funciona também em espaços-tempos curvos.
Para concluir, para mim dS/CFT não passa de teoria de espalhamento com nome novo, até porque as “CFT’s Euclideanas” associadas ao infinito passado e ao infinito futuro de dS não podem estar associadas a nenhuma teoria física (positividade por reflexão na esfera é violada, o que impossibilita reconstruir o espaço de Hilbert físico dessas teorias, quiçá fazer rotação de Wick). No caso (assintoticamente) plano, holografia para QFT’s livres se reduz a um problema de Cauchy característico – neste caso, os vínculos entre os dados iniciais em virtude do caráter causal do infinito tipo luz produz uma dinâmica residual não-trivial no fininito conforme, que respeita a ação do grupo BMS. Daí a relação com o “teorema de Stokes”. Para mais detalhes, ver:
– C. Dappiaggi, V. Moretti, N. Pinamonti, “Rigorous steps towards holography in asymptotically flat spacetimes”. Rev.Math.Phys. 18 (2006) 349-416.
Sob esse ponto de vista, AdS/CFT é o caso mais sutil de todos, porque você tem QFT (ou teoria de cordas) “de verdade” (i.e., com dinâmica não-trivial e tudo o mais) dos dois lados. Isto é relacionado com o fato de que, dos 3 casos acima, só AdS não é um espaço-tempo “dinamicamente fechado” (i.e. globalmente hiperbólico) e só sua fronteira conforme é uma hipersuperfície “inicial” para a qual o “problema de Cauchy” não é bem posto (isso é mais fácil de ver se estamos em assinatura lorentziana!), e, portanto, não podemos reduzir o raciocínio a um “problema de Cauchy” como nos outros casos.
Acho que comi bola nas tags HTML acima… 😛
Corrigido, Pedro. 😉