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Massa e Energia em Relatividade

segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 Deixe um comentário Go to comments

O orkut é uma fonte infindável de discussões repetidas sobre relatividade restrita. Um dos fenômenos que parece causar mais confusão é a relação entre massa e energia. Em particular a diferença entre massa relativística e massa invariante (de repouso). Existe muita discussão se o conceito de massa relativística deve ser abandonado. Não há nada de intrinsicamente ruim no conceito de massa relativística, é só um outro nome para energia. E aí que mora o perigo, a energia depende do observador e isso causa uma miríade de confusão. Ainda mais quando se envolve gravidade.

Então, para não dizerem que eu abandonei o blog, vou fazer um texto rápido onde, através de um exemplo, espero elucidar essas diferenças e definir conceitos. O caso que eu vou estudar é de uma partícula que está orbitando um “planeta” sendo observado por alguém que está sentado na superfície do planeta. Inicialmente eu vou considerar o “planeta” sem gravidade, e depois eu coloco a gravidade onde é o seu lugar.

A relatividade é uma teoria onde a gravidade é descrita pela métrica do espaço-tempo. Uma métrica com curvatura não-nula indica a presença de gravidade. Por exemplo, num ambiente sem gravidade, vamos considerar a seguinte métrica sem curvatura em coordenadas esféricas:

d\tau^2 = - dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2

Uma partícula, na ausência de qualquer outra força seguirá uma geodésica do espaço-tempo. Vamos considerar que a partícula em questão está orbitando no equador, o que não é uma geodésica. Precisamos então de um agente externo, mas vamos apenas supor que ele existe. Como o balanço energético, que é o importante para essa discussão, não é alterado, acho que não vai me prejudicar muito:

1= -\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2+r^2\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2

Para definir massa é necessário definir o que é momento. A maneira mais intuitiva de fazer isso é procurar qual a ação que resulta no movimento geodésico. Praticamente pela definição de geodésica, a ação é o próprio intervalo de espaço-tempo. Massa é então definida como o módulo do momento, que é considerada uma propriedade intrísinca e constante da partícula:

S=\int d\tau \left[p_mx^m-e(p^mp_m+M^2)\right]

onde e é um multiplicador de lagrange que assegura nossa definição. Se você resolver as equações de movimento de e, você pode descobrir que as equação canônica de Hamilton nos ensina que:

p^m=M\frac{dx^m}{d\tau}=Mu^m

É fácil mostrar que se \xi^m é um vetor de Killing da métrica então g_{mn}\xi^mu^n é uma quantidade conservada na direção da geodésica (novamente: aqui não temos uma geodésica, mas é fácil provar que para o movimento considerado, as conclusões continuam valendo). u^n é chamado de quadrivelocidade da partícula. Na métrica acima temos um vetor de Killing imediato \partial / \partial t, então, eu vou definir a energia como a quantidade que é justamente invariante por essa simetria:

E=-Mg_{mn}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^mu^n=M\left(\frac{dt}{d\tau}\right)

Para o nosso movimento orbital, ainda preciso de mais uma definição. Na métrica acima, \partial / \partial \theta também é um vetor de Killing que dá origem à momento angular (conservado):

L=Mg_{mn}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^mu^n=Mr^2\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)

A definição de massa invariante é então -M^2=-E^2+L^2/r^2. Essa é a famosa relação de Einstein, que vale para qualquer partícula até mesmo quando a massa é zero! Mas o que essas quantidades tem a ver com as quantidades medidas por um observador? A energia que um observador mede depende da quadrivelocidade s^m do observador. Vamos supor que o observador esteja parado vendo a partícula orbitar sobre sua cabeça, isto é s^m=\partial / \partial t. A energia que esse observador mede será:

E_{local}=-g_{mn}s^mp^n=E

perceba que nesse caso é exatamente a energia E que tínhamos definido antes. A massa relativística nada mais é então que a energia e a razão entre a massa invariante e a massa relativística, chamado fator de Lorentz, pode ser calculado:

\frac{M_{rel}}{M}=\frac{E}{M}=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}

onde definimos a quantidade v=L^2/E^2r^2 que coincide com a velocidade Newtoniana. Mas é muito ruim ter que introduzir quantidades não covariantes. A melhor idéia para trabalhar com relatividade é manter tudo covariante, independente do observador e independente do referencial.

Mantendo isso em mente, vamos agora introduzir a gravidade. A solução esfericamente simétrica das equações de Einstein, parecida com nossa gravidade na Terra, é:

d\tau^2=-(1-2m/r)dt^2+dr^2/(1-2m/r)+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2

Agora o movimento orbital é inclusive geodésico:

1=-(1-2m/r)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2+r^2\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2

E temos os mesmos vetores de Killing:

E=M(1-2m/r)\left(\frac{dt}{d\tau}\right) e L=Mr^2\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)

No entanto todo o resto muda. Primeiro muda a relação de dispersão:

-M^2=-E^2/(1-2m/r)+L^2/r^2

E muda também a energia medida pelo observador que tínhamos considerado s^m=(1/\sqrt{1-2\frac{m}{r}})\left(\partial / \partial t\right):

E_{local}=E/\sqrt{1-2m/r}

Note que E_{local}, num movimento em que a coordenada r varia, não é conservado. Isso dá origem ao redshift gravitacional. Agora que começa a confusão verdadeira: como vamos definir a massa relativística, ou o “fator de Lorentz”, nesse caso?

1) \frac{M_{rel}}{M}=\frac{E}{M}\Rightarrow \frac{1}{\gamma^2}=\frac{1}{1-2m/r}+v^2

2) \frac{M_{rel}}{M}=\frac{E_{local}}{M}\Rightarrow \frac{1}{\gamma^2}=1+(1-2m/r)v^2

Note que as definições são equivalentes quando r\rightarrow \infty. Eu tendo a preferir a segunda, pois você pode interpretar o último termo como uma velocidade medida localmente. Acho que é a escolha da maioria das pessoas também, mas o problema é tem um tanto outro de pessoas que não nota essa diferença e isso causa várias confusões. Essas mesmas pessoas que preferem a segunda forma escrevem a relação de dispersão como -M^2=-E^2_{local}+L^2/r^2, que tem a mesma estrutura do caso sem gravidade.

Claro que não é de se espantar que haja modificação no caso da gravidade, afinal, a gravidade realiza trabalho e é fácil identificar o potencial 1/r na relação de dispersão (mas note que há um termo extra, que não existe na gravitação Newtoniana!). Se considerássemos o agente externo no caso sem gravidade ele também teria um potencial. Mas isso não quer dizer que seja totalmente equivalente. A energia da gravidade depende da estrutura geométrica do espaço-tempo, e somente em casos muito especiais conseguimos uma definição consistente.

Is energy conserved in General Relativity (por Michael Weiss e John Baez)

Agora que eu dei o exemplo, deixa eu dar a opinião. Eu não gosto de massa relativística. Acho, no mínimo, supérfluo. Mas essa é uma discussão longa. Veja aqui:

Relativistic Mass (por Philip Gibbs e Jim Carr)

  1. Adriano
    segunda-feira, 1 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 17:44:32 EST

    Ótima discussão, Rafa. A meu ver, não tem mesmo melhor jeito de mostrar a dificuldade intrínseca ao conceito de “massa relativística” do que discutindo o caso de um espaço-tempo curvo, no qual a própria definição dessa quantidade fica complicada.

    Como você comentou, isso gera muita confusão até em Minkowski, como nós temos observado continuamente na comunidade. O lado bom é que isso parece ficar restrito aos leigos interessados, ao pessoal do ensino médio e, quanto a profissionais, no máximo àqueles que não estudaram relatividade mais a fundo. Num ambiente como o do IFT, por exemplo, onde a maioria estuda física de altas energias, nada disso é um problema.

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