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Archive for quarta-feira, 3 dez 2008; \49\America/New_York\America/New_York\k 49

Imagem do dia…

quarta-feira, 3 dez 2008; \49\America/New_York\America/New_York\k 49 5 comentários

Em comemoração ao tempo/clima de hoje, aí vão algumas fotos esclarecedoras… 😉

Coruja da Neve

Coruja da Neve

Coruja da Neve em vôo

Coruja da Neve em vôo

Coruja da Neve

Coruja da Neve

Para maiores informações, Coruja da Neve na Wikipedia, Coruja da Neve na National Geographic, Músculo e Mágica: Coruja da Neve.

Para algumas fotos mais in loco, divirtam-se em Outono 2008.

[]’s.

Transições de fase em TQC e Sistemas Estatísticos (Parte 2)

quarta-feira, 3 dez 2008; \49\America/New_York\America/New_York\k 49 15 comentários

Na verdade, esse post é a continuação de dois outros posts: o de transições de fase que eu citei no título mas também o de regularização dimensional. Como eu tive um bom feedback nos dois, queria contar outras idéias bobas que andei pensando.

Mas antes disso, vou fazer o que devia ter feito no primeiro, que é explicar de onde vem essa idéia. A maioria das pessoas devem saber isso, mas deixa eu contar de qualquer forma. A idéia é comparar a formulação de integrais de trajetórias (sobre a qual, inclusive, o Leonardo falou recentemente) de uma TQC:

\mathcal{Z} = \displaystyle\int [d\phi]\, e^{-S/\hslash}

com a função partição de um sistema estatístico:

\mathcal{Z} = \displaystyle\sum_{estados} \, e^{-E/k\, T}

Essa equivalência formal é profundamente explorada no que se conhece como lattice gauge theory desenvolvida por Wilson, Polyakov e outros. Não vou falar de lattice aqui, mas vou montar a tabelinha:

Mecânica Estatística Teoria Quântica de Campos
  Energia de interação   Ação clássica
  Soma sobre o estados   Integral de trajetória regularizada
  Limite de escala   Renormalização
  Temperatura kT   “Constante de acoplamento” \hslash

Note que \hslash é tratado como uma constante de acoplamento. Para considerar algo mais concreto vamos conversar sobre modelos sigma não-lineares. Modelos sigma não-lineares em duas dimensões são bem famosos tanto em física de altas energias quanto em mecânica estatística. Em física de altas energias é o que as pessoas conhecem como teoria de cordas, em mecânica estatística é um modelo de magnetização da matéria. Só que teoria de cordas tende a ter 10 campos (as dimensões do espaço-tempo), enquanto o modelo de magnetização mais estudado, o modelo de Ising, tem apenas 1. O modelo de Ising em duas dimensões foi resolvido por Onsager, num trabalho bem impressionante de física teórica, mas acho que é a solução do Kaufman que mostra essa semelhança mais claramente.

Bem, o modelo de Ising N=1 é legal porque existe um ponto crítico em uma temperatura maior que zero, que é a magnetização espontânea. Usando o dicionário acima isso quer dizer que existe algum regime de acoplamento em que há o que as pessoas costumam chamar isso de um ponto fixo não trivial. Tal como no modelo de Ising, há então duas formas de se tomar o limite de escala: por temperaturas maiores que a temperatura crítica e por temperaturas menores – e eles são bem diferentes. Da mesma forma, a teoria quântica de campos terá duas formas de ser renormalizada próxima desse ponto e duas fases diferentes.

No caso N=2 o comportamento crítico já é bem diferente. Não há um ponto crítico isolado, mas sim o que se conhece por temperatura de Kosterlitz-Thouless. Abaixo dessa temperatura todos os pontos são “pontos críticos”. Isto, na linguagem de teoria quântica de campos quer dizer que não há gap de massa: podemos variar o acoplamento e o campo continuará sem massa. Então esse modelo sigma será muito parecido com QED e o fenômeno descrito tem tudo a ver com quebra espotânea de simetria (mas quem sou eu para explicar isso na presença do Daniel, o máximo que eu ia ganhar é um puxão de orelha). Para temperaturas maiores que a temperatura de T_{KT} temos excitações massivas.

Por fim, o caso N>2. Nesse caso, há um ponto crítico na temperatura zero. Em teoria quântica de campos isso se chama liberdade assintótica. Então não há fase fria e só há uma forma de se tomar o limite de escala. Liberdade assintótica é algo que também temos numa teoria de gauge, mas dessa vez na QCD. Em teorias quânticas de campos, tudo que calculamos é com teoria de perturbação que é uma expansão de baixas temperaturas. Não há tal coisa quando a teoria tem um ponto crítico em T=0, você não tem para onde ir! Mas ingenuamente poderíamos pensar numa expansão em alta temperatura e as pessoas fizeram muito disso, veja por exemplo os trabalhos de Oitmaa sobre o modelo de Heisenberg. O problema é que na maioria dos casos nada (muito pouco nos casos em que se tem sorte) se pode concluir sobre o ponto de transição de fase, pois há outras singularidades antiferromagnéticas no meio do caminho. Claro que no caso em três dimensões, como nos trabalhos do Oitmaa, se espera que o ponto crítico esteja em alguma temperatura maior que zero. Em duas dimensões existe o teorema de Mermin-Wagner normalmente ensinado nos cursos de mecânica estatística que mostra a inexistência de fase ordenada. Se você conhece a demonstração é fácil ver que ela quebra em dimensões maiores (mas por outro lado não temos demonstração alguma em D=3).

E aqui que temos a coisa interessante e controversa, mas antes, deixa eu continuar a tabelinha acima:

Mecânica Estatística Teoria Quântica de Campos
T_c=0   Liberdade assintótica (“tipo”-QCD)
T_{KT}>0   “Tipo”-QED
T_c>0   Ponto fixo não-trivial

Imagine que você quer porque quer fazer uma teoria quântica de campos e calcular coisas perturbativas. Uma idéia seria fazer regularização dimensional, sair de D=2, subir de dimensão para D=3 onde há fase ordenada, fazer suas contas e depois voltar para D=2. Formalmente, acredito, não há problema nenhum: as pessoas fazem conta com regularização dimensional todo dia e dá certo. Mas o que seria o análogo disso numa rede? Até que ponto isso é válido?

A título de curiosidade, a página da wikipedia sobre grupo de renormalização é muito bem escrita, talvez valha a pena para complementar isso que discuti aqui.

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