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Transições de fase em TQC e Sistemas Estatísticos (Parte 2)

quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 Deixe um comentário Go to comments

Na verdade, esse post é a continuação de dois outros posts: o de transições de fase que eu citei no título mas também o de regularização dimensional. Como eu tive um bom feedback nos dois, queria contar outras idéias bobas que andei pensando.

Mas antes disso, vou fazer o que devia ter feito no primeiro, que é explicar de onde vem essa idéia. A maioria das pessoas devem saber isso, mas deixa eu contar de qualquer forma. A idéia é comparar a formulação de integrais de trajetórias (sobre a qual, inclusive, o Leonardo falou recentemente) de uma TQC:

\mathcal{Z} = \displaystyle\int [d\phi]\, e^{-S/\hslash}

com a função partição de um sistema estatístico:

\mathcal{Z} = \displaystyle\sum_{estados} \, e^{-E/k\, T}

Essa equivalência formal é profundamente explorada no que se conhece como lattice gauge theory desenvolvida por Wilson, Polyakov e outros. Não vou falar de lattice aqui, mas vou montar a tabelinha:

Mecânica Estatística Teoria Quântica de Campos
  Energia de interação   Ação clássica
  Soma sobre o estados   Integral de trajetória regularizada
  Limite de escala   Renormalização
  Temperatura kT   “Constante de acoplamento” \hslash

Note que \hslash é tratado como uma constante de acoplamento. Para considerar algo mais concreto vamos conversar sobre modelos sigma não-lineares. Modelos sigma não-lineares em duas dimensões são bem famosos tanto em física de altas energias quanto em mecânica estatística. Em física de altas energias é o que as pessoas conhecem como teoria de cordas, em mecânica estatística é um modelo de magnetização da matéria. Só que teoria de cordas tende a ter 10 campos (as dimensões do espaço-tempo), enquanto o modelo de magnetização mais estudado, o modelo de Ising, tem apenas 1. O modelo de Ising em duas dimensões foi resolvido por Onsager, num trabalho bem impressionante de física teórica, mas acho que é a solução do Kaufman que mostra essa semelhança mais claramente.

Bem, o modelo de Ising N=1 é legal porque existe um ponto crítico em uma temperatura maior que zero, que é a magnetização espontânea. Usando o dicionário acima isso quer dizer que existe algum regime de acoplamento em que há o que as pessoas costumam chamar isso de um ponto fixo não trivial. Tal como no modelo de Ising, há então duas formas de se tomar o limite de escala: por temperaturas maiores que a temperatura crítica e por temperaturas menores – e eles são bem diferentes. Da mesma forma, a teoria quântica de campos terá duas formas de ser renormalizada próxima desse ponto e duas fases diferentes.

No caso N=2 o comportamento crítico já é bem diferente. Não há um ponto crítico isolado, mas sim o que se conhece por temperatura de Kosterlitz-Thouless. Abaixo dessa temperatura todos os pontos são “pontos críticos”. Isto, na linguagem de teoria quântica de campos quer dizer que não há gap de massa: podemos variar o acoplamento e o campo continuará sem massa. Então esse modelo sigma será muito parecido com QED e o fenômeno descrito tem tudo a ver com quebra espotânea de simetria (mas quem sou eu para explicar isso na presença do Daniel, o máximo que eu ia ganhar é um puxão de orelha). Para temperaturas maiores que a temperatura de T_{KT} temos excitações massivas.

Por fim, o caso N>2. Nesse caso, há um ponto crítico na temperatura zero. Em teoria quântica de campos isso se chama liberdade assintótica. Então não há fase fria e só há uma forma de se tomar o limite de escala. Liberdade assintótica é algo que também temos numa teoria de gauge, mas dessa vez na QCD. Em teorias quânticas de campos, tudo que calculamos é com teoria de perturbação que é uma expansão de baixas temperaturas. Não há tal coisa quando a teoria tem um ponto crítico em T=0, você não tem para onde ir! Mas ingenuamente poderíamos pensar numa expansão em alta temperatura e as pessoas fizeram muito disso, veja por exemplo os trabalhos de Oitmaa sobre o modelo de Heisenberg. O problema é que na maioria dos casos nada (muito pouco nos casos em que se tem sorte) se pode concluir sobre o ponto de transição de fase, pois há outras singularidades antiferromagnéticas no meio do caminho. Claro que no caso em três dimensões, como nos trabalhos do Oitmaa, se espera que o ponto crítico esteja em alguma temperatura maior que zero. Em duas dimensões existe o teorema de Mermin-Wagner normalmente ensinado nos cursos de mecânica estatística que mostra a inexistência de fase ordenada. Se você conhece a demonstração é fácil ver que ela quebra em dimensões maiores (mas por outro lado não temos demonstração alguma em D=3).

E aqui que temos a coisa interessante e controversa, mas antes, deixa eu continuar a tabelinha acima:

Mecânica Estatística Teoria Quântica de Campos
T_c=0   Liberdade assintótica (“tipo”-QCD)
T_{KT}>0   “Tipo”-QED
T_c>0   Ponto fixo não-trivial

Imagine que você quer porque quer fazer uma teoria quântica de campos e calcular coisas perturbativas. Uma idéia seria fazer regularização dimensional, sair de D=2, subir de dimensão para D=3 onde há fase ordenada, fazer suas contas e depois voltar para D=2. Formalmente, acredito, não há problema nenhum: as pessoas fazem conta com regularização dimensional todo dia e dá certo. Mas o que seria o análogo disso numa rede? Até que ponto isso é válido?

A título de curiosidade, a página da wikipedia sobre grupo de renormalização é muito bem escrita, talvez valha a pena para complementar isso que discuti aqui.

  1. IG
    quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 00:27:28 EST

    Very nice. I love this blog Rafael: I can learn some physics and Portugese. I think I got most of the content here since it is so similar to Spanish.

  2. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 15:39:50 EST

    Oi Rafa,

    Eu sabia que isso ia dar rock — tenho vários comentários “soltos” pra fazer…😉

    (1) Assisti uma palestra sobre Kosterlitz-Thouless nessa segunda — tá tudo ainda quente na cabeça: mais coincidência, impossível.🙂

    (2) O teorema de Mermin-Wagner tem um análogo em QFT, chamado de Teorema de Coleman. Se vc olhar bem a história da coisa, vai ver que tudo isso não passa duma “massagem” do Modelo de Schwinger — aliás, compare Kosterlitz-Thouless com o Modelo de Schwinger e depois me conta… (quebra de simetria através dum condensado de ínstantons/sólitons…😉 )

    (3) Apesar dos pesares, eu sempre tive uma pergunta: “Quanto que esse tipo de resultado (Teorema de Coleman) depende do esquema perturbativo?” No caso do trabalho de Coleman–Weinberg, eu sei que tem uma ‘resummation’ da série perturbativa; o que acaba misturando os diferentes vácuos da teoria e dando o resultado desejado. Porém, rigorosamente falando, essa ‘resummation’ não é permitida, uma vez que a série perturbativa é asintótica e não [absolutamente] convergente.

    (4) O pessoal costuma dizer que, quando a temperatura é igual à temperatura crítica, T = T_c, vc “fluiu para uma teoria conforme”, no sentido de não haver escalas naturais no problema. E essa é uma imagem que eu acho bem apropriada para Modelos Σ (lineares ou não).

    (5) E, já que eu mesmo abri as portas pra Modelos Σ não-lineares… é “curioso” e estremamente fortuito o fato de que para d > 2 (onde d é a dimensão do sistema) eles não sejam renormalizáveis.😛 Ou seja, enquanto Modelos Σ forem a base do raciocínio sendo usado, nós não temos uma descrição fundamental do problema, mas apenas uma “teoria efetiva” — ela pode até ser boa e precisa e satisfatória, mas não é fundamental.😛

    (6) Ou seja, precisamos de algo que nos diga, fundamentalmente (microscopicamente, no sentido de que precisamos dum ‘UV-completion’ pra teoria), o que está acontecendo nessas transições de fase. Num certo sentido, responder essa pergunta é praticamente análogo a resolver o problema do Mass Gap (o que, se não me engano, é análogo a se construir uma teoria de “melting” em 3-dim).

    Por outro lado, o condensado de ínstantons/sólitons que aparece nas transições de Kosterlitz–Thouless, só o faz porque, naquelas condições, o balanço energético (necessário pra formação do mesmo) é alterado pela Entropia do sistema. A pergunta, então, se transforma no seguinte: “Existe uma definição ‘fundamental’ de Entropia em QFT?” Ou seja, se eu te der uma Lagrangiana, vc pode me devolver a “entropia intrínseca” dos campos em questão?

    Essa pergunta, como posta acima, não está nem bem definida… portanto, é complicado de se considerá-la sob qualquer contexto. Porém, eu aposto como a existência de várias soluções (pruma dada Lagrangiana), i.e., a multiplicidade dos vácuos (o Moduli Space da teoria), tem tudo a ver com essa resposta.😉

    []’s.

  3. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 16:01:53 EST

    P.S.: Só pra completar… o ‘pior’ de tudo é que faz cerca de 1 semana que eu tô ‘ensaiando’ pra começar uma série de videocasts sobre QFTs em 0-dim pra ilustrar alguns conceitos fundamentais (que, a meu ver, costumam passar batido pelos cursos que eu vejo por aí afora). E, a partir daí, mostrar quais seriam os caminhos pra se construir as dimensões, indo para teorias com n-dim, mostrando como a Física muda com a introdução desses [infinitos] graus-de-liberdade.

    Dessa forma é possível se atacar questões não-perturbativas, como anomalia e quebra de simetria, de uma maneira bem direta e honesta. Em particular… quando o assunto vira teorias de gauge… passa a ser relevantíssimo pras questões discutidas nesse seu post.😉

    []’s.

  4. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 17:42:54 EST

    Cê tá me provocando, né Daniel?😈

    Agora, quanto a aspectos não-perturbativos do teorema de Coleman…

    • J. Bricmont, J.-R. Fontaine, and L. Landau; “Absence of symmetry breakdown and uniqueness of the vacuum for multicomponent field theories“; Commun. Math. Phys. Volume 64, Number 1 (1978), 49-72.

    Além disso, até onde eu me lembro, há uma discussão bastante completa num dos capítulos do livro de J. Glimm e A. Jaffe, “Quantum Physics – A Functional Integral Viewpoint” (2nd. ed., Springer, 1987).

  5. quarta-feira, 3 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 17:59:19 EST

    Pedrão,

    Juro que não tô… mas, já tô começando a ficar com medo de escrever qualquer coisa aqui… afinal de contas, parece que eu tô sempre “beliscando” um…😳

    Agora, já que vc já foi cutucado…:mrgreen:

    Putz, vc tem razão, tinha um treco me incomodando e eu não sabia o que era… era o livro do Glimm–Jaffe! Já tô correndo pra re-ler…😎

    []’s.

  6. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 02:42:17 EST

    Neh, Daniel, so to te enchendo…😛 (interjeicoes alemas…)

    Ah, a proposito: a quem interessar possa, Glimm-Jaffe, secao 16.3, pagina 330-333😉 Eles se referem ao artigo de Bricmont-Fontaine-Landau que citei acima para o caso do limite do continuo e a questao da unicidade do vacuo.

    []’s!

  7. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 02:52:35 EST

    Mais uma referencia, dos mesmos autores:

    • J. Bricmont, J.-R. Fontaine, and L. Landau; “On the uniqueness of the equilibrium state for plane rotators”; Commun. Math. Phys. Volume 56, Number 3 (1977), 281-296.

  8. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 07:32:19 EST

    Comentário meio tangente…

    Pra mim, o grande truque que as dualidades (“modular symmetry”, “mirror symmetry”, “geometric Langlands”, etc) introduziram é a capacidade de se estudar as propriedades analíticas da Função de Partição sem a necessidade de se involver o “scaling limit” (i.e., o equilíbrio entre o limite do contínuo e o termodinâmico) no jogo: é um jeito de se catalogar teorias através de combinações (e classes de equivalência) dos graus-de-liberdade.

    E é exatamente aqui que eu acho que há espaço para essa definição mais “fundamental” de entropia…

    Mas, isso ainda está amadurecendo…😉

    []’s.

  9. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 10:43:43 EST

    Ainda no mesmo espírito do comentário imediatamente acima… eu acho que a leitura de Residues and Duality (ver mais em Coherent Duality, Serre Duality) pode ser fundamental… afinal de contas esses ingredientes estão enterrados bem no meio da Langlands Duality: 2007 LMS Lectures on Geometric Langlands (Lecture Notes from the Special Program on New Connections of Representation Theory to Algebraic Geometry and Physics).
    😕

    []’s.

  10. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 15:56:43 EST

    Só uma cousinha Daniel, sem querer ser desmancha-prazeres, mas já como um “teaser” pro meu post…

    Os trabalhos que eu citei acima são de QFT construtiva, i.e., construção matematicamente rigorosa de modelos. Nesse contexto, é dificílimo incorporar dualidades geométricas ou mesmo semi-clássicas (“D-Modules”, etc.) se você quer seguir as regras do jogo, i.e., mostrar que tais cenários seguem de primeiros princípios. Mesmo o argumento de Peierls, que invoca a dualidade de Kramers-Wannier (que pode ser vista como uma versão “discreta” da dualidade de Poincaré😉 ), só foi tornado rigoroso décadas depois, após uma dose cavalar de Análise (expansões de Mayer, desigualdades de correlação), por Pirogov, Sinai, Dobrushin, Glimm, Jaffe e Spencer. É por causa dessa e doutras cousas que eu sou meio cético em relação aos limites de aplicabilidade desses conceitos que Witten e outros vêm advogando pra explicar, digamos em particular, o confinamento em QCD, pelo menos “without further hitherto unforeseen hindsight” (momento “Harry Potter”…) – ainda cheira demais a “wishful thinking”… 😕

    []’s.

  11. quinta-feira, 4 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 17:40:12 EST

    Pedro,

    Eu entendo… mas, nesse sentido, já fiz minha paz com esse tipo de “falta de sincronia” entre a Física e a Matemática.🙄

    Apesar de que o “julgamento” de onde colocar o equilíbrio entre “rigor matemático” e “avanço físico” é extremamente subjetivo… e esconde todo tipo de crackpotice e devaneios de várias noites de verão.

    Mas, veja, se fosse assim, nós teríamos pena saído da fase onde provamos rigorosamente a estabilidade da matéria… nada de QFT com interações, muito menos teorias de Gauge, nem modelos de ‘3-dim melting’, nem nada mais…

    Essas “conjecturas” (se é que se pode chamá-las assim)… umas são mais “robustas” que outras… e, infelizmente, só dá pra se ter certeza científicamente rigorosa de qual é qual a posteriori. Um certo ‘quê’ de genialidade é saber em qual delas apostar sua carreira científica💡 … taí o Witten que não me deixa mentir (acompanhado de muita gente boa que ‘vouch’ por ele😉 ).

    Mas, eu tento manter meu crackpotismo sob controle… nada melhor do que aquela dose de realidade de um bom banho de água fria… faz parte do jogo.😎

    []’s.

  12. sexta-feira, 5 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 03:49:57 EST

    Daniel,

    Eu entendo… mas, nesse sentido, já fiz minha paz com esse tipo de “falta de sincronia” entre a Física e a Matemática.🙄

    Sem stress, eh que faz parte da minha profissao (filosofia, religiao?😯 ) _nao_ fazer paz com a tal “falta de sincronia”…😈

    Mas, veja, se fosse assim, nós teríamos pena saído da fase onde provamos rigorosamente a estabilidade da matéria… nada de QFT com interações, muito menos teorias de Gauge, nem modelos de ‘3-dim melting’, nem nada mais…

    Bom, ja que voce leu o Glimm-Jaffe, convem por o adjetivo “realisticas” em “QFT com interacoes” acima😉 Independente disto, eu nao sou pessimista – isso so significa que ainda ha muitas batalhas a travar!

    (Em particular, nao vamos ficar sem emprego tao cedo…😛 )

    Eu insisto nessa minha “guerra particular” porque acho um pouco injusta a falta de dialogo (nao estou falando nem de sincronia) que existe atualmente entre essas duas maneiras de fazer fisica teorica.

    Isso, por exemplo, bloqueia a divulgacao de certos resultados ao mesmo tempo fisicamente originais e matematicamente rigorosos, que poderiam semear ideias novas em ambos os lados. Um exemplo tipico eh que pouca gente conhece a construcao que Gawedzki e Kupiainen fizeram em 85 do modelo de Gross-Neveu em D=2 com covariancia anomala.

    K. Gawedzki, A. Kupiainen, Gross-Neveu model through convergent perturbation expansions. Commun. Math. Phys. 102 (1985), 1-30.

    K. Gawedzki, A. Kupiainen, Renormalization of a non-renormalizable quantum field theory. Nucl. Phys. B262 (1985) 33-48.

    Esse modelo eh explicitamente perturbativamente nao-renormalizavel, mas eh renormalizavel _nao-perturbativamente_ (o argumento de blocos de spin funciona muito bem aqui porque a serie perturbativa em teorias so com fermions e com cutoffs UV e IR _converge_, gracas ao principio de exclusao de Pauli). Essa construcao realiza de maneira precisa o cenario de renormalizabilidade nao-perturbativa (tambem conhecido como “asymptotic safety”) que o Weinberg tinha proposto em 1979.

    Mas, eu tento manter meu crackpotismo sob controle… nada melhor do que aquela dose de realidade de um bom banho de água fria… faz parte do jogo.😎

    Eh claro… Mas, como ja dizia o sabio, “A base da Ciencia eh o Dialogo”!

    []’s!

  13. sexta-feira, 5 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 07:23:31 EST

    Pedro,

    Concordo em gênero, númbero e grau…! Porém, vou deixar um nugget que venho observando, literalmente, há anos (em alguns casos, tive a chance de interagir pessoalmente e verificar esse fato em primeira pessoa): Via de regra, as pessoas que estão realmente “carregando o piano”, i.e., puxando os limites do conhecimento… esses “tubarões” costumam ser extremamente abertos ao diálogo. Claro, não é sem ‘perks’… mas, como esses são os indivíduos que estão no ‘forefront’ da coisa, eu acho que essa reação é razoavelmente natural: if you want to swim with the sharks or hang with the bid dogs… you need to step up the game… significantly.😉

    Ou seja, se vc tentar debater com essas pessoas (that shall remain nameless for now…😛 ), vc vai passar por “apuros” e “apertos”… mas, a minha experiência é que essa costuma ser uma discussão cientificamente honesta, i.e., a razão pra esse squeeze não é outra que não seja uma busca genuína pela “realidade”. (Ou seja, o componente “ego” sempre me pareceu bem minimizado…)

    O problema costuma estar escondido no segundo escalão… olha só o ditado: “firsts fire firsts; seconds hire thirds and fourths…” Acho que já fica claro, né?😛

    Sim, é verdade que sociologicamente falando, é preciso implementarmos esse diálogo de modo bem mais incisivo na comunidade como um todo. Porém, a idéia de que o problema “vem de cima”, começa com os “pistolões”… é essa que, muitas vezes, eu vejo não ser real…😕

    Quanto a modelos perturbativamente não-renormalizáveis, porém não-perturbativamente renormalizáveis… quisera eu que existem mais e mais exemplos desses: acho que só assim as pessoas finalmente entenderiam o quão importante é a necessidade de formulações não-perturbativas!😛

    Um exemplo semelhante desse que vc citou, no sentido de que o “senso comum” é o de que o modelo não existe, porém é possível se mostrar (dentro do rigor da Física) que não só ele existe, mas também que tem soluções bem não-triviais, é o modelo de interações cúbicas, \phi^3 (onde a idéia é de que como a Ação é não-limitada inferiormente, a teoria não existe): as soluções pra esse modelo, na verdade, são as funções de Airy e Bairy (i.e., Ai, Bi), que são perfeitamente finitas — porém, a representação integral dessas funções (i.e., a Função de Partição) têm que ser extendida para os Complexos, \mathbb{C}… e é aí que começam os problemas…

    Por outro lado, é possível se definir esse modelo não só para campos escalares, mas também para campos matriciais ou de álgebras de Lie (i.e., “matrix-valued fields” e “Lia algebra-valued fields”). E, no caso matricial, vc obtém um Matrix Model que já foi atacado por Kontsevich, ao passo que no caso de álgebras de Lie vc obtém o modelo de gravitação 3-dim que o Witten tratou no ano passado (onde as transições de Hawking-Page não passam de zeros de Lee-Yang).

    Portanto, pode deixar, que naquilo que depender de mim, essa porta para o diálogo sempre estará mais-do-que-aberta!🙂

    []’s.

  14. sexta-feira, 5 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 09:40:46 EST

    Sim, é verdade que sociologicamente falando, é preciso implementarmos esse diálogo de modo bem mais incisivo na comunidade como um todo. Porém, a idéia de que o problema “vem de cima”, começa com os “pistolões”… é essa que, muitas vezes, eu vejo não ser real…😕

    Concordo plenamente com voce no que tange a importancia do “squeeze” desse pessoal – eh _esse_ tipo de pressao que faz a gente produzir e evoluir!😈 – mas a meu ver avessidao ao dialogo ocorre em qualquer nivel de reputacao academica. O vies estatistico aqui eh que tem muito mais gente no segundo escalao que no primeiro; alem disso (ai concordando contigo), poucos sao os que conseguem conversar com os “top dogs” in loco. Eu ja conversei com alguns deles eu mesmo (tambem nao vou citar nomes😉 ), mas encontrei ambos os casos mesmo nesta esfera. Ou seja, o grau de profundidade e influencia das ideias desse pessoal (que eh algo claramente abrangente) pouco tem a ver com o grau de abertura de cada um deles a ideias e linguagem diferentes – os que sao mais abertos, infelizmente, nao parecem ser capazes transmitir _este_ tipo de influencia a comunidade. Mas enfim, esse eh um problema comum a Humanidade como um todo nao eh?😦

    Quanto a modelos perturbativamente não-renormalizáveis, porém não-perturbativamente renormalizáveis… quisera eu que existem mais e mais exemplos desses: acho que só assim as pessoas finalmente entenderiam o quão importante é a necessidade de formulações não-perturbativas!😛

    😎

    Isso foi tambem uma cousa que tive que aprender do jeito dificil na busca desse dialogo, e que mostra, a meu ver, uma diferenca fundamental entre os fisicos e os matematicos: ao contrario dos ultimos, a maioria dos fisicos nao liga para teoremas (ao ponto de frequentemente e deliberadamente ignora-los), eles querem ver exemplos (claro, o ideal _meeesmo_, para todos nos, seria exibir dados de algum experimento, mas “sacume”…). Ao ponto de que se voce tiver um resultado conceitual / estrutural robusto e rigoroso, mas escolher um exemplo ruim, ce ta ferrado: ninguem vai lembrar do teorema, mas todo mundo vai lembrar do exemplo ruim e imediatamente assumir que o teorema esta errado se acontecer de alguem menciona-lo, o que eh um equivoco mas na pratica mata a ideia no berco! Um exemplo caracteristico (so pra uricar o Leonardo😛 ) sao os artigos de Hollands e Wald sobre inflacao:

    • S. Hollands, R. M. Wald, “An alternative to inflation”. Gen. Rel. Grav. 34 (2002), 2043-2055.

    • L. Kofman, A. Linde, V. Mukhanov, “Inflationary theory and alternative cosmology”. JHEP 2002, no. 10, 057.

    • S. Hollands, R. M. Wald, “Comment on Inflation and Alternative Cosmology”. http://arxiv.org/abs/hep-th/0210001

    Ha uma serie de consideracoes conceituais importantes nestes trabalhos, mas a escolha infeliz para o exemplo dado neles foi um erro fatal dos autores: hoje em dia o pessoal de cosmologia ou nao sabe ou nao quer saber das ideias desses trabalhos. Mas acho que isto ja eh assunto para outro post (alquem se habilita?😉 )…

    (…) é o modelo de interações cúbicas, \phi^3 (onde a idéia é de que como a Ação é não-limitada inferiormente, a teoria não existe): as soluções pra esse modelo, na verdade, são as funções de Airy e Bairy (i.e., Ai, Bi), (…)

    Funcionais, voce quer dizer, suponho… Isso quer dizer que o teorema de Bochner-Minlos (que, em particular, da a forma das transformadas de Fourier de medidas Gaussianas em \mathscr{S}') funciona para a “medida de Airy”? Ou eh outra cousa? Como fica isso?

    Bom, acho que vou parar por aqui, que ja to estourando a escala do “off-topic-meter”…😛

    []’s!

  15. sexta-feira, 5 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 às 13:04:09 EST

    Pedrão,

    ́É… estamos drifting a-away!🙂

    Na verdade, no exemplo dos Airy/Bairy acima, eu tinha 0-dim na cabeça…😉 onde tudo funciona via representação integral dessas funções (em Riemann sheets apropriadas).

    Porém, o Kontsevich desenvolveu uma construção chamada de “Airy Module”, que é um D-Module construído a partir da eq diferencial que define Ai/Bi.

    Mas, o resto eu vou deixar pra contar nos “0-dim QFT videocasts” que eu quero fazer!😈

    []’s.

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