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Relatividade Restrita em espaços compactos

domingo, 7 dez 2008; \49\America/New_York\America/New_York\k 49 24 comentários

Um post do Rafael na comunidade Física me fez redescobrir esse tema que fiquei interessado alguns anos atrás.

Quase todo estudante de Física deve se perguntar sobre o paradoxo dos Gemeos: de onde vem seus efeitos? É um efeito que se encontra na métrica? Ou é algo mais? 

Essas perguntas são muito interessantes e podem apresentar aspectos da Relatividade Restrita que quase nunca são ditos em cursos. 

Na relatividade restrita padrão, o paradoxo dos gemeos é descrito da seguinte maneira: Temos dois observadores, A e B, onde um fica parado no planeta terra e outro, o gemeo B, vai até um planeta distante e retorna para Terra imediatamente após sua chegada.  Na chegada ambos comparam seus relógios e percebem que o gemeo B é mais novo que o gemeo A.  A resolução tradicional é percebermos que o gemeo B teve que trocar de referencial ao menos uma vez. Isso quebra a simetria do sistema entre os gemeos.

Uma pessoa mais atenta poderia se perguntar: e se estivermos em um espaço com topologia não trivial, ou seja, vivessemos, por exemplo, em um cilindro. Localmelmente o espaço seria plano em cada ponto, mas mesmo assim um observador poderia sair do ponto x, se locomover em linha reta e retornar a esse mesmo ponto. Neste caso, será que existiria uma diferença de idade  entre cada um dos gemeos? Isso pode ser perguntado, já que neste caso não há troca de referencial.

Este problema é um dos primeiros que mostram que temos que nos concentrar na topologia do espaço tempo, e que ela tem um significado importantissimo para a física. 

A resolução deste problema não é complicada, a primeira vista, e neste post falarei da resolução imediata dele. Existem diversas conseqüências de carater mais formal, e falarei delas em um próximo post.

O resultado é : ainda existirá uma diferença de idade entre cada um dos gemeos. A diferença é que, diferentemente do que é dito em alguns lugares, nesse sistema existirá um referencial preferencial. Este referecial é o de onde é feita a compactificação do espaço-tempo.

Para construirmos um espaço compacto (como um cilindro) vamos pegar um espaço \mathbb{R}^2 e identificar as bordas (por exemplo a posição (t,1) com (t,0). Essa identificação é feita por todo os tempos. É isso que dá um carater especial a esse referencial. Cada observador pode fazer um experimento simples e determinar se ele está ou não  em movimento em relação a este referencial: ele solta um raio de luz em cada direção.  Cada raio de luz dará uma volta no universo e voltará para o observador. No entanto, se ele estiver em movimento, os raios de luz retornarão em instantes diferentes. Isso é uma indicação que ele não está no referencial privilegiado.

O interessante é que em nenhum momento saimos da relatividade restrita. O espaço tempo ainda é localmente Minkowski em todos os pontos.

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