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Relatividade Restrita em espaços compactos

domingo, 7 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 Deixe um comentário Go to comments

Um post do Rafael na comunidade Física me fez redescobrir esse tema que fiquei interessado alguns anos atrás.

Quase todo estudante de Física deve se perguntar sobre o paradoxo dos Gemeos: de onde vem seus efeitos? É um efeito que se encontra na métrica? Ou é algo mais? 

Essas perguntas são muito interessantes e podem apresentar aspectos da Relatividade Restrita que quase nunca são ditos em cursos. 

Na relatividade restrita padrão, o paradoxo dos gemeos é descrito da seguinte maneira: Temos dois observadores, A e B, onde um fica parado no planeta terra e outro, o gemeo B, vai até um planeta distante e retorna para Terra imediatamente após sua chegada.  Na chegada ambos comparam seus relógios e percebem que o gemeo B é mais novo que o gemeo A.  A resolução tradicional é percebermos que o gemeo B teve que trocar de referencial ao menos uma vez. Isso quebra a simetria do sistema entre os gemeos.

Uma pessoa mais atenta poderia se perguntar: e se estivermos em um espaço com topologia não trivial, ou seja, vivessemos, por exemplo, em um cilindro. Localmelmente o espaço seria plano em cada ponto, mas mesmo assim um observador poderia sair do ponto x, se locomover em linha reta e retornar a esse mesmo ponto. Neste caso, será que existiria uma diferença de idade  entre cada um dos gemeos? Isso pode ser perguntado, já que neste caso não há troca de referencial.

Este problema é um dos primeiros que mostram que temos que nos concentrar na topologia do espaço tempo, e que ela tem um significado importantissimo para a física. 

A resolução deste problema não é complicada, a primeira vista, e neste post falarei da resolução imediata dele. Existem diversas conseqüências de carater mais formal, e falarei delas em um próximo post.

O resultado é : ainda existirá uma diferença de idade entre cada um dos gemeos. A diferença é que, diferentemente do que é dito em alguns lugares, nesse sistema existirá um referencial preferencial. Este referecial é o de onde é feita a compactificação do espaço-tempo.

Para construirmos um espaço compacto (como um cilindro) vamos pegar um espaço \mathbb{R}^2 e identificar as bordas (por exemplo a posição (t,1) com (t,0). Essa identificação é feita por todo os tempos. É isso que dá um carater especial a esse referencial. Cada observador pode fazer um experimento simples e determinar se ele está ou não  em movimento em relação a este referencial: ele solta um raio de luz em cada direção.  Cada raio de luz dará uma volta no universo e voltará para o observador. No entanto, se ele estiver em movimento, os raios de luz retornarão em instantes diferentes. Isso é uma indicação que ele não está no referencial privilegiado.

O interessante é que em nenhum momento saimos da relatividade restrita. O espaço tempo ainda é localmente Minkowski em todos os pontos.

  1. terça-feira, 9 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 16:03:52 EST

    Caio,

    O que eu acho bacana nisso tudo é falar de *órbitas* em Relatividade (Restrita ou Geral) — isso é uma coisa que, me parece, não se faz.

    O livro do Landau tem as órbitas da métrica de Schwarzschild… e eu achei um problema bem legal de ser feito: eu o resolvi com uma aluna do colegial que estava fazendo um projeto para uma bolsa especial que ela tinha ganhado — e foi muito bacana.🙂

    Agora, já que vc mencionou a existência dum referencial privilegiado… vc abriu a porta pruma pergunta: E, se ao invés de usar “[Alexandroff] one-point compactification”, como vc o fez (essencialmente, adicionando um ponto no infinito), compactificação de Penrose (que mantém as propriedades do espaço-tempo, e.g., causalidade)? E se fosse a compactificação de Stone-Čech, mudaria alguma coisa?

    (Eu ahco que resolver as órbitas pruma determinada métrica é mais fácil do que se tratar o problema via compactificações…😉 )

    []’s.

  2. terça-feira, 9 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 17:10:14 EST

    Daniel,

    A questão das órbitas é também muito interessante para as geodésicas _tipo luz_, não só pela produção de múltiplas imagens em óptica geométrica (que, aliás, é um dos jeitos que os astrônomos têm usdo para procurar evidências de uma topologia não-trivial), mas também implica, para a óptica física (i.e. equação de onda), uma “perda” de dispersão da luz, que pode ser total, por exemplo, no unverso estático de Einstein. A perda de dispersão é parcial em Schwarzschild, devido à presença da fotosfera em r=3M (a variedade preenchida pelas órbitas, que tem codimensão 1 no espaço-tempo) – o comportamento dispersivo residual é conhecido como “lei de Price”.

    A compactificação de Penrose, como você mesmo disse, não muda a estrutura causal, o que não ocorre com a compactificação _espacial_ (i.e., das superfícies de Cauchy – compactificação do _espaço-tempo_ num ponto
    leva ao aparecimento de curvas tipo tempo fechadas, o que não ocorre aqui) em um ponto. Logo, assertivas que dependem apenas do caráter causal não são modificadas ao passarmos para a compactificação de Penrose. Mais ainda, essa compactificação resulta numa variedade _com bordo_, sendo que o infinito tipo luz não colapsa num ponto e constitui uma fronteira não-trivial “fora” do espaço-tempo.

    A compactificação de Stone-Cech é um verdadeiro monstrengo, mas é (essencialmente) a compactificação usada, por exemplo, em “loop quantum cosmology”…

    Eu também tinha uns comentários para fazer sobre o caso que o Caio descreveu acima, mas não quero ser estraga-prazeres e vou esperar a seqüência dele…😉

    []’s!

  3. Caio
    terça-feira, 9 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 19:32:22 EST

    Pode comentar, Pedro!

    Fiquei curioso agora!😛

  4. Leonardo
    quarta-feira, 10 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 00:20:32 EST

    De que órbitas vocês estão falando?

    As trajetórias r(t), \theta(t), \phi(t) da métrica de Schwarzschild estão em todos os livros de relatividade geral: Sean Carroll, Weinberg, Misner-Thorne-Wheeler, Hartle, etc. O livro do Carroll inclusive tem uma análise detalhada com gráficos de potencial efetivo, descrição qualitativa de todas as soluções. No vol. 2 do Landau, é um dos primeiros problemas de relatividade resolver a órbita x,t para diferentes formas de força (como força constante).

  5. quarta-feira, 10 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 02:49:37 EST

    @Leo:

    Eu so quis aproveitar o “gancho” do Daniel e chamar a atencao para um aspecto interessante do comportamento da luz quando o espaco-tempo eh espacialmente compacto. Como voce mesmo disse, nao tem nada de novidade no que eu disse no meu primeiro paragrafo acima – a fotosfera no espaco-tempo de Schwarzschild eh preenchida pelas geodesicas _tipo luz_ cuja componente espacial do vetor tangente eh puramente angular (i.e. \dot{r}(t)=0) e tais que r(0)=3M, onde M eh a massa do buraco negro. Essas tres condicoes implicam que r(t)=3M para todo t ao longo da geodesica.

    @Caio:

    Isso significa que voce nao vai escrever o segundo post ateh eu comentar?😛

  6. Caio
    quarta-feira, 10 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 07:27:36 EST

    @Pedro

    Exatamente! =P

  7. quarta-feira, 10 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 10:09:00 EST

    @ Leo,

    Exatamente, é dessa órbitas mesmo que eu estava falando: curvas fechadas numa métrica que seja solução das equações de campo de Einstein.

    Agora, eu, pessoalmente, nunca vi um curso de RG chegar tão longe… e não só explicar e calcular essas órbitas, como também conectar com o problema do “paradoxo dos gêmeos”, extendendo-o para a RG. Que os livros tratam do problema eu sei… mas, feito em aula, com essas observações que eu fiz acima… duvido.

    E, de quebra, quando alguém abre essa porta… já deveria aproveitar e falar em holonomias e suas conexões com a topologia do espaço. Aí sim, a discussão fica robusta.😉

    []’s.

  8. sábado, 13 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 07:22:33 EST

    Pronto, Caio: agora vai dar pr’eu escrever. Desculpe o atraso, esse final da semana foi meio maluco aqui no trampo…:mrgreen:

    E, já que você pediu…😈

    Primeiro, o espaço-tempo cilíndrico ainda é homogêneo. Ou seja, o observador privilegiado não precisa partir do ponto de compactificação espacial, ele pode partir de qualquer lugar (equivalentemente, qualquer ponto da superfície de Cauchy em, digamos, t=0 pode ser tomado como ponto de compactificação espacial).

    O correto seria dizer que o referencial privilegiado é aquele que, dentre _todos_ os referenciais possíveis, e não só os inerciais, que são os considerados do paradoxo dos gêmeos (a menos do famoso “caveat” do ponto de retorno da nave – estritamente falando, o referencial da última é só “inercial por partes”), maximiza _globalmente_ o tempo próprio ao longo da trajetória do observador. Dados dois pontos (eventos) fixos cronologicamente relacionados num espaço-tempo, um observador entre estes eventos em tal referencial, _se existir_ (o que é sempre verdade em espaços-tempos “dinamicamente fechados” com respeito a leis de evolução com velocidade de propagação inferior ou igual a da luz, i.e., espaços-tempos globalmente hiperbólicos), é necessariamente inercial (i.e. geodésico). O ponto é que, em Minkowski, _qualquer_ referencial inercial é maximal no sentido acima (é por _isso_ que se pode dizer que, em Minkowski, não existe referencial inercial privilegiado), uma propriedade que _falha_ se compactificarmos as superfícies de Cauchy.

    Note que, na discussão acima, eu não invoquei o grupo de isometrias do espaço-tempo em nenhum momento! Com isto meu intento é enfatizar que o argumento é extremamente geral e permanece válido mesmo na completa ausência de campos de Killing.

    Em relação ao teste físico para o privilégio do referencial inercial em questão que você propôs,
    isso leva a uma questão que me interessa muitíssimo:
    Considere um observador inercial entre dois pontos cronologicamente relacionados p \ll q em Minkowski (digamos por concreteza que p é a origem e q pertence ao eixo x^0). A região “diamante” I^{+}(p)\cap I^{-}(q) composta dos pontos cronologicamente entre p e q é globalmente hiperbólica como um espaço-tempo por si só, ou seja, é dinamicamente fechada com respeito à lei de evolução ditada, digamos, pela equação de onda (ou as equações de Maxwell, se preferir😉 ). Isto é, qualquer solução da equação de onda em I^{+}(p)\cap I^{-}(q) é unicamente determinada por informação física contida _dentro_ dessa região. Aí vem a pergunta: uma vez que essa lei de evolução é local e causal, a física que deriva dela não _deve_ depender de que maneira mergulhamos isometricamente I^{+}(p)\cap I^{-}(q) num espaço-tempo maior. Por exemplo, em Minkowski podemos efetuar um “boost” em I^{+}(p)\cap I^{-}(q).

    Agora, se o diamante e o “boost” acima forem suficientemente grandes (fisicamente, se esperarmos por um intervalo de tempo suficientemente longo), podemos _mergulhar_ isometricamente o diamante resultante na compactificação espacial, i.e. de maneira tal que _não há_ identificação entre pontos distintos de I^{+}(p)\cap I^{-}(q) em virtude da compactificação (logo sua topologia não muda), mas, por exemplo, o (único!) observador inercial contido nesse diamante acaba por dar uma volta completa no círculo. Neste caso, conforme você disse, a medida dos sinais de luz _vai_ ser diferente de Minkowski!

    Mais precisamente, a imagem do mergulho não é mais da forma I^{+}(p)\cap I^{-}(q), ou seja, pode haver curvas tipo tempo ligando p a q que não estão contidas nessa imagem. Dizemos então que a imagem do mergulho isométrico acima não é “causalmente convexa”. Isso implica que ela _deixa_ de ser globalmente hiperbólica, e passa a ser necessário impôr _condições de contorno_ para que a dinâmica da equação de onda volte a ser bem posta dentro dessa região. A saber, a solução tem que ser _espacialmente periódica_, o que resulta no fato de que os sinais de luz podem ter que eventualmente retornar ao observador. Mais ainda, como o espaço-tempo cilíndrico é globalmente hiperbólico por si só, nenhuma outra condição de contorno é possível.

    Isso tem a seguinte conseqüência (Daniel, essa é pra você😉 ): _nem todas_ as soluções da equação de onda em Minkowski com dados iniciais dentro de I^{+}(p)\cap I^{-}(q) podem ser mergulhadas na compactificação espacial, apesar de serem soluções da _mesma_ equação! Mais em geral, a imagem de um mergulho isométrico de uma região globalmente hiperbólica só também o é se e somente se for causalmente convexa, e _somente_ para tais mergulhos é que hiperbolicidade global e, portanto, a boa postura global de leis dinâmicas locais e causais (em particular, a correspondência biunívoca entre soluções e dados iniciais) têm um caráter _intrínseco_, i.e. independente do espaço-tempo ambiente onde mergulhamos a regição em questão.

    Em particular, se a região for contrátil, sua imagem não mais será causalmente convexa se contiver dois pontos cronologicamente relacionados tais que há duas curvas tipo tempo no espaço-tempo ambiente ligando ambos mas que _não são homotópicas entre si_.

    Bom, é isso. Espero não ter sabotado o segundo post, ainda estou curioso!…😉

    []’s!

  9. sábado, 13 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 07:23:59 EST

    Aaaah! Minhas fórmulas implodiram!😮 Socorro!

  10. sábado, 13 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 07:50:47 EST

    Pedrão,

    Eu acho que consertei o TeX acima… dá uma olhada e vê se eu fiz certo…🙂

    []’s.

  11. sábado, 13 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 15:02:44 EST

    Perfetto, carissimo!

  12. Caio
    sábado, 13 dez 2008; \50\UTC\UTC\k 50 às 17:06:01 EST

    Pedro,

    eu não esperava (e espero) entrar em argumentos como os que você deu. Vamos combinar: Eu escrevo o outro post, ainda numa linguagem mais pé no chão (pra quem está começando) e você entra com os dois pés com um nessa linha? =P

    Mas isso só semana que vem! Só volto a escrever depois da defesa!

    o/

  13. José Antonio
    sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 12:31:16 EST

    Boa tarde,

    Tomar o R^{2} e fazer essa identificação (uma relação de equivalência se não me engano) não é uma compactificação (pois gera um espaço não-limitado). É um espaço compacto se partirmos de um retângulo e usarmos essa identificação.

    • sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 18:31:35 EST

      @ JA,

      Será que vc poderia explicar melhor o que vc quis dizer? Por exemplo, porque essa prescrição de compactificação é tão fundamentalmente (topologicamente) diferente da compactificação por 1-ponto (Alexandroff) — ou qualquer outro tipo de compactificação que vc quiser, e.g., Penrose ou Stone–Čech —, ou melhor, por que é que um retângulo é assim tão diferente de \mathbb{R}^{2}? (Há uma diferença fundamental entre ‘geometria’ e ‘topologia’ e eu acho que isso está ficando perdido no seu comentário… por isso estou pedindo maiores explicações.)

      • José Antonio
        sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:30:29 EST

        Hummmm… é melhor eu responder com outra pergunta

        No seguinte parágrafo:

        Para construirmos um espaço compacto (como um cilindro) vamos pegar um espaço \mathbb{R}^2 e identificar as bordas (por exemplo a posição (t,1) com (t,0). Essa identificação é feita por todo os tempos.

        Eu acho que não entendi, preciso de uma definição detalhada de como é essa relação de equivalência (ou ação, ou o que seja).

        • sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:53:54 EST

          @ JA,

          Acho que foi só uma confusão devido a abuso de linguagem, JA — veja só meu comentário abaixo.
          😎

          []’s.

    • Caio
      sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 18:50:36 EST

      JA,

      mas quando você trabalha no espaço quociente, o resultante é compacto, não?

      Concordo com você que a rigor isso que você falou é o recobrimento universal. Mas não sei de algum efeito que ocorra seja devido a trabalhar nos diferentes recobrimentos neste caso.

      (uma pergunta a vocês: Alguem lembra de algum efeito classico que surja por causa dos recobrimentos? Eu so estou lembrando de efeitos quanticos)

      • sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 19:56:50 EST

        @ Caião,

        Com relação a sua primeira pergunta: Depende — há espaços quocientes com várias propriedades diferentes, e.g., eles podem ser compactos. Veja mais no link abaixo,

        Compatibility with other topological notions.

        Agora, existem espaços quocientes que podem ser até mais exóticos, como orbifolds. Aliás, é possível se ir até mais longe

        Pra finalizar, no que diz respeito à Relatividade Geral, é sempre bom se lembrar que o problema é uma questão em Topologia Diferencial, logo existe uma “simetria” clara no que diz respeito às estruturas geométricas (i.e., estruturas diferenciáveis das variedades em questão): invariância por difeomorfismo. (Na verdade, acho que deveria ser dito covariância… mas, ossos do ofício.😛 ) Mas, voltando a sua pergunta, o fato é, vc pode usar diferentes recobrimentos e não notar nenhum efeito físico.

        []’s.

      • José Antonio
        sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:19:40 EST

        Boa noite,

        Vejamos:

        1) Compactificação de Alexandroff: o exemplo mais famoso é o do plano com o tal ponto no infinito, o espaço resultante é a esfera S^{2} e a função de compactificação é realizada pela projeção estereográfica. Isso obedece à definição formal de compactificação para um espaço topológico X: é um par (Y,f), onde f: X\to Y é uma função injetora tal que a imagem de f é densa em Y. Pois temos uma “cópia” do plano na esfera (a esfera sem um dos pólos) e o fecho na prática consiste em adicionar o pólo, resultando na esfera.

        2) Partindo do R^{2} , podemos pensar na compactificação de uma das dimensões (novamente, projeção estereográfica), com isso, temos no final, algo do tipo S^{1}\times R que não é compacto (é um cilindro infinito)

        3) hummm… se repetirmos o processo de (2) na segunda dimensão, temos no final o toro T^{2} .

        4) Existem exemplos de ações de grupos em espaços topológicos, cujo quociente (ou espaço das órbitas) é compacto: um exemplo importante é o espaço projetivo RP^{n} que pode ser visto como o quociente R^{n+1}/R^{*}.

        • José Antonio
          sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:21:38 EST

          Ops…errata. No último exemplo, o correto é: (R^{n+1} - {0})/R^{*}

          • José Antonio
            sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:23:41 EST

            Oh mein Gott…=P

            (R^{n+1} - {0})/R^{*}

            • sábado, 11 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 23:46:51 EST

              @ JA,

              Antes de mais nada, LaTeX no WordPress não funciona da mesma maneira que no Orkut… em particular, não é preciso nenhum plugin; e, claro, a notação é diferente. A referência é WP LaTeX suport. (Vou corrigir as outras fórmulas nos outros comentários.)

              Isso posto, com respeito ao que vc disse no penúltimo post relevante: sim, é claro que um cilindro não é um espaço compacto. Porém, o problema proposto, assim como a discussão feita pelo Caio (e aquela que se seguiu nos comentários acima), não dizia respeito a direção plana do cilindro, mas sim focava apenas na direção curva. Portanto, nesse sentido, fica claro o que era relevante pra discussão proposta — tanto que, logo no meu primeiro comentário, eu fui direto ao ponto, falando que seria melhor discutir em termos de holonomias (no começo eu falei em ‘órbitas’, mas depois fui direto ao ponto).

              Pra mim, foi isso que causou confusão: como o único ponto não-trivial dessa construção acontece nas direções não-planas, é sem sentido discutir o resto. Mas, agora, acho que entendi seu comentário e a confusão que ele me causou.

              []’s.

  14. domingo, 12 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 10:54:10 EST

    @meu povo,

    Acredito que parte dessa discussão mais recente se deve a uma escolha ligeiramente infeliz de terminologia. O correto é dizer “espaços-tempos _espacialmente_ compactos”, ou seja, cujas superfícies de “tempos iguais” são compactificadas, aí pelo seu método preferido (Alexandrov, quociente, Stone-Cech, etc.). Desta forma, o conceito só se aplica a espaços-tempos que admitem uma função tempo global, conhecidos como espaços-tempos estavelmente causais, que incluem a classe de espaços-tempos globalmente hiperbólicos (i.e., tais que a superfícies de tempos iguais são de Cauchy), até porque não há mudança de topologia de uma “fatia temporal” para outra.

    Notar que a compactificação de Penrose pertence à classe acima somente se a constante cosmológica for negativa (e.g. espaços-tempos anti-de Sitter), do contrário é uma compactificação genuína do espaço-tempo.

  15. José Antonio
    domingo, 12 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 12:28:39 EST

    Boa tarde,

    Alguém conhece uma referência boa (e acessível, ou seja, downloadável) da compactificação do Penrose? No livro dele (TRTR) ele diz brevemente que se trata de pegar o R^{4} e adicionar um “cone de luz” no infinito; depois ele define um espaço de dimensão maior bem específico para mergulhar (se não me engano) o compactificado. Gostaria de entender melhor o processo.

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