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Teorias supersimétricas e funções beta exatas

domingo, 18 jan 2009; \03\UTC\UTC\k 03 Deixe um comentário Go to comments

Bem, voltando de férias e retomando as atividades do blog. Nas férias deu para conhecer um pouco dos Estados Unidos e, quem sabe, até o final do doutorado, dê para conhecer mais. Vamos começar esse semestre com um assunto leve, já que oficialmente eu ainda tenho uma semana de férias.😀

No semestre passado falei em vários posts sobre a maravilha que são teorias supersimétricas. Tinha me planejado até a falar mais, o que teria sido uma parte 4 da minha série de posts, mas não deu tempo. Eu ia falar sobre a interessante estrutura topológica que os vácuos supersimétricos têm e como isso tem tudo a ver com uma simplificação brutal que acontece na integral de trajetórias de teorias com supersimetrias. Talvez volte a falar sobre isso e teorias de campo topológicas em outros posts, mas agora vou pegar esse caminho por outra estrada.

Sem entrar em maiores detalhes algébricos, uma forma simples de entender supersimetria é considerar para cada campo quântico da sua teoria a existência de um outro campo com a estatística oposta. Uma das coisas mais interessantes em teoria quântica de campos é que a interação entre os campos nos leva a considerar processos em que partículas virtuais são criadas e destruídas. Isso faz com que os parâmetros de uma teoria quântica de campos dependam da escala com que se está olhando para ela. Quando temos teorias supersimétricas, as contribuições dos campos originais e daqueles introduzidos com estatística oposta praticamente se cancelam. A exploração desse quase cancelamento requer uma forma diferente de ver a depedência das TQC com a escala. Pelo menos diferente daquilo que está nos livros textos usuais e por isso que acho que esse post é interessante.

Em geral, um parâmetro da teoria sem considerar esses processos virtuais é chamado de parâmetro nu g_B. Já um parâmetro com todas as contribuições quânticas consideradas é chamado renormalizado g_R. Para podermos calcular essas correções, introduzimos parâmetros extras na teoria chamados de parâmetros de regularização M_{R} e vou chamar a escala da teoria de \mu. Tudo que falamos até agora pode ser resumido então na seguinte tabelinha:

M_R\frac{\partial}{\partial M_R}g_R=0
\mu\frac{\partial}{\partial\mu}g_R=\beta(\mu)

A função beta definida acima mostra então como o parâmetro renormalizado evolui com a escala. A primeira equação é um dos pontos de partida para o estudo do grupo de renormalização. Essa é a visão canônica do assunto. Mas, em vez de focar sobre as quantidades renormalizadas, podemos fazer a mesma tabelinha para os parâmetros nus:

M_R\frac{\partial}{\partial M_R}g_B=\beta(M_R)
\mu\frac{\partial}{\partial\mu}g_B=0

É um exercício interessante em teoria de renormalização provar que essa função beta definida na primeira linha da segunda tabela é a mesma da discutida anteriormente (para teorias renormalizáveis).

Voltando às teorias supersimétricas, devido ao quase cancelamento que tinha dito antes não é difícil calcular a dependência de g(M_R). O único lugar onde esse cancelamento não ocorre é nos modos zero desses campos num background de ínstanton. E integrais de trajetórias de modos zeros não passam de integrais usuais que podemos calcular formalmente a medida de integração. Assim, como que um por um passe de mágica usando a tecnologia de ínstantons podemos calcular a função beta de teorias supersimétricas exatamente, isso é, com todas as contribuições perturbativas.

Esse é um resultado difícil de verificar perturbativamente, já que a partir de 3 loops o valor da função beta depende do esquema de regularização (outro exercício interessante :P) e, além disso, esquemas de regularização que preservam supersimetrias são muito desastrosos. Apesar disso, usando esse resultado, pode-se facilmente verificar os fatos conhecidos de que a teoria com \mathcal{N}=2 só tem contribuições à função beta em 1-loop e que a teoria com \mathcal{N}=4 é quanticamente conforme (as quantidades não variam com a escala).

Para quem quiser saber mais detalhes:

V.A. Novikov, M.A. Shifman, A.I. Vainshtein e V.I. Zakharov,

  • Exact Gell-Mann-Low function of supersymmetric Yang-Mills theories from instanton calculus, Nucl. Phys. B 229 (1983) 381
  • Beta function in supersymmetric gauge theories, instantons versus traditional approach, Phys. Lett. B 166 (1986) 329.

Usando técnicas um pouco diferentes, também pode ser interessante ler:

N. Arkadi-Hamed e H. Murayama,

  • hep-th/9707133
  • hep-th/9705189

Divirtam-se.

Categorias:Ars Physica
  1. segunda-feira, 19 jan 2009; \04\UTC\UTC\k 04 às 10:16:50 EST

    Muito bem. Mas (principalmente sendo tu aluno de Stony Brook) poderias referir o papel pioneiro de Grisaru, Rocek e Siegel a entenderem o que é e o que não é renormalizado numa teoria supersimétrica, baseados exclusivamente nas regras de Feynman perturbativas no superespaço. Foram eles os primeiros a demonstrar que a função beta em SYM N=4 é zero!
    Parabéns pelo blogue – sem dúvida o melhor blogue de física, pelo menos em língua portuguesa.
    Um abraço e boa sorte com o doutoramento.

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