Edição de fevereiro.

terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 Deixe um comentário Go to comments

O título é um pedido de desculpas por ter estado tão ausente nessas ultimas semanas, mas nem sempre dá para aparecer por aqui. Então, esse vai ser um post com diversos assuntos, motivado por conversas com colegas ao longo do último mês, a maioria no orkut. Então, nessa edição temos:

  1. História da física (parte 2) – Anomalias
  2. A história do Jim Simons, Renaissance Tech e Stony Brook
  3. Partícula num aro (parte 2) – Mecânica quântica
  4. Rapid communications: pós-graduações no EUA e conferência sobre supercordas

Há algum tempo, um colega me perguntou sobre a relação de laços de Wilson e anomalias. Eu não conhecia a relação e, na verdade, ela nem chega a ser muito profunda. Em vista da oportunidade, deixa eu contar o que são anomalias de uma forma semi-técnica, aborando um pouco da história envolvida.

Tudo começou com um cálculo que foi tentado por Tomonaga onde ele calculou perturbativamente em 1 loop o propagador do fóton \langle J_{em}^{\mu} J_{em}^{\nu} \rangle. Há dois fatos experimentais inequívocos sobre o fóton (que na verdade é um só): ele não tem massa e é trasnversal, ie, há apenas dois estados de polarização. O problema dessa conta é que as quantidades definidas na ação de Maxwell, quando interpretadas quanticamente não são as quantidades medidas. São parâmetros livres, que na verdade são divergentes. As quantidades medidas dependem das interações. Quando elas são levadas em consideração, essas divergências deixam de existir e a ação quântica efetiva passa a ser função de quantidades finitas. Essa é a idéia do que se chama renormalização: em teorias renormalizáveis a ação quântica efetiva tem a mesma expressão funcional quando renormalizada ou não, mas os limites são tomados em pontos diferentes.

Bem, deixando os detalhes técnicos de lado, Tomonaga encontrou uma massa para o fóton e um estado não transveral, correções indesejadas que não podiam ser renormalizadas (Tomonaga, naquela época, usava o curioso termo “amalgamado”). Não demorou muito para as pessoas entenderem o papel das simetrias no cálculo das correções quântica. Bem, o importante para história é que essas inconsistências levou Tomonaga e seus colaboradore, Fukuda e Miyamoto a examinarem o próximo diagrama mais simples: um triângulo, ie \langle J_{\pi}J_{em} ^{\mu}J_{em}^{\nu} \rangle em 1 loop. Novamente, o resultado parecia não preservar invariância de gauge e, algo novo, o acoplamento com um pseudovetor U_{\mu} era diferente de com um pseudoescalar \partial_{\mu}U, o que é inconsistente com a equação de Dirac (na camada de massa \partial_{\mu}(\overline{\psi}\gamma_5\gamma^{\mu}\psi)=-2m\overline{\psi}\gamma_5\psi). Novamente eles perceberam que o problema estava na relação das simetrias com as integrais divergentes que apareciam durante a conta.

Esse trabalho, depois de algum tempo, chegou aos ouvido de Steinberger, em Princeton, através de Yukawa. Eles então decidiram aplicar o então recente método de Pauli-Villars para refazer as contas. E, como os leitores envovidos nessa área devem saber, o resultado foi invariante de Lorentz e invariante de gauge. Contudo, a diferença no acoplamento entre pseudoescalar e do pseudovetor continuava diferente. Em linguagem moderna: há uma anomalia quiral! Eles não sabiam muito o que fazer com esse resultado na época e a melhor sugestão no fim do artigo era esperar pela detecção experimental da reação \pi^0\rightarrow 2\gamma. Acho que poucas pessoas adotariam essa postura hoje em dia :D, mas o importante é que esse decaimento do pi-zero, na época chamado de Neutretto, de fato existe.

O problema, claro, não é simples e demorou até 1951 para Schwinger publicar uma nova forma de ataque ao problema. Num artigo que considero muito bonito “On Gauge Invariance and Vaccum Polarization”, Schwinger notou pela primeira vez com clareza que era necessário que os métodos de resolução das funções de Green fossem a todo instante invariantes de Gauge para que o resultado também fosse. Ele mostrou que a auto-energia do fóton, de fato, cancela na camada de massa e tudo parecia feliz. Mas ele também encontrou que o acoplamento para o pseudovetor e o pseudoescalar eram iguais. Um resultado que parece contrariar a existência de uma anomalia quiral. Schwinger justamente introduzia linhas de Wilson para fazer um “point-spliting” da corrente divergente. Vou deixar comentários extras para o final.

Mas outros muitos anos se passaram, e apesar dos problemas, as pessoas continuaram a usar teorias quânticas de campos para descrever a fenomenologia das interações fracas, que era o assunto quente da época. Em 1963, Rosenfeld, estudando a propriedade dos neutrinos na teoria V-A esbarrou no mesmo problema do diagrama triagular e fazendo a conta de forma a manter a invariância de gauge, ele calculou pela primeira vez a expressão da anomalia quiral, mas não deu prosseguimento à análise do resultado. Nessa época, teorias quânticas de campos não estavam muito em alta. Existiam outras teorias com pretensão de substituí-la, como a teoria de Regge e o programa da matriz-S. Existiam também teorias que pretendiam descrever teoria quântica de campos de uma forma não-perturbativa, como a teoria de álgebras de correntes.

Foi meio natural que as pessoas que trabalhavam com álgebras de correntes tentassem verificar seus resultados perturbativamente com TQC, e várias dessas pessoas deram contribuições determinantes para a criação das teorias modernas de gauge. Em particular, Gell-Mann e Levy, na década de 60, escreveram um artigo analisando as “PCAC” (putz… nem interessa! :roll:, na prática quero dizer \partial_{\mu}j_5^{\mu}=f_{\pi}m_{\pi}^2\pi(x) ) num modelo sigma linear. Na teoria quântica de campos que eles montaram, essa relação era realizada classicamente. É modelinho muito interessante com simetria SO(4) e quebrada espontaneamente. Esse trabalho se tornou uma leitura obrigatória em vários dos centros importantes de teoria quântica de campos na época. Em Stony Brook, B. Lee começou a estudar a renormalização dessa teoria e escreveu um pequeno livro influente sobre o assunto. Um aluno de doutorado de Utretch, G. ‘t Hooft, conheceu Lee na escola de verão de Carsège e resolveu aplicar os métodos para teorias de gauge. Deu no que deu. :twisted:

Depois disso, não demorou muito para Adler e, indendentemente, Bell e Jackiw entenderem a origem das anomalias como simetrias da ação clássica que não existem na ação efetiva quântica e escrevê-la como é conhecida hoje em dia. Vale notar no artigo do Bell e Jackiw, durante a batalha para entender quando a anomalia aparecia ou não nas contas, o seguinte comentário que vai no coração da questão:

Since the integral is linearly divergent a shift of variable picks up a surface term.

:) Que seja. Essa história, claro, não termina por aqui e tem muito mais coisa interessante. Mas fica para outro dia.

Antes de terminar, deixa eu só fazer um comentário sobre a conta do Schwinger. Eu acho que quem entendeu o que estava acontecendo foi o Adler. Schwinger, na sua ânsia justificada de preservar a invariância de gauge, considerava apenas derivadas covariantes na equação de conservação da corrente. Isso gera um termo extra igual a menos a anomalia. Ele também regularizava a corrente usando laços de Wilson, o que, naturalmente, preserva a invariância de gauge e introduz um termo igual a mais a anomalia. E assim, ambos se cancelam. Acontece.


Semana passada, o Jim Simons veio aqui na universidade conversar com os alunos durante o colóquio. Claro que colóquio com o Jim Simons não fica limitado aos alunos, mas lota o auditório. Foi razoavelmente interessante, ele contou sobre sua trajetória. Posso reproduzir um pouco do que ouvi e do que minha memória não fez questão de perder. Eu sei que tem leitores e editores aqui diretamente interessados em análise do mercado financeiro e, se infelizmente não posso dar muitos dados técnicos, pelo menos poderei contar uma história de sucesso.

O colóquio, que foi atípico, teve o título oficial de “Matemática, Bom Senso e Boa Sorte”. Para quem não sabe, O Jim Simons foi diretor do Instituto de Matemática de Stony Brook na década de 60, quando ele ainda não era o 178-ésimo homem mais rico do mundo. Ele hoje é dono da Renaissence Technologies, um fundo de investimento muito bem sucedido. Simons, que é o mesmo das “formas (teoria) de Chern-Simons”, nunca se afastou da universidade e investe muito dinheiro aqui. Ele, há alguns anos, quando o DOE resolveu cortar fundos dos laboratórios nacionais, manteve o BNL funcionando com dinheiro do seu bolso. Recentemente, ele doou quase 100 milhões para a construção do Simons Center for Geometry and Physics:

Simons Center for Geometry and Physics

Durante o colóquio ele anunciou mais uma doação de 20 milhões para o departamento de física. Isso só para citar as grandes doações. O Simons também mantém diversos programas aqui dentro, como um centro de formação em física de aceleradores, um programa para jovens do ensino médio em física de laser, entre outras coisas. O Brasil tem várias pessoas acima dele na lista da Forbes: o Antônio Ermírio de Moraes, Joseph Safra, o Eike Batista e o Jorge Paulo Lemann. O Safra recentemente fez algo semelhante com o IINN que já foi citado várias vezes aqui no blog. O Lemann também mantém programas de colaboração entre o Brasil e a universidade de Harvard, que se não é ideal, pelo menos é bom (ele doou um dinheiro para construção, em SP, de um escritório para organizar essas colaborações). Os demais, eu não sei estão associados à algum projeto desse porte. Mas se não estão, deveriam.

A parte matemática do título é então antiga. Naquela época, Simons era um recém doutor em matemática com um emprego em Princeton cuja carga horária deveria ser dividida metade para matemática e a outra metade para decifrar códigos da Guerra Fria. Só que um dia ele resolveu dar uma declaração para um jornalista dizendo que ele estava usando todas as metades da matemática agora e que só depois iria usar a metade para decifração de códigos de guerra. Bem, não é preciso muita imaginação para saber o que aconteceu com ele no mesmo dia. Despedido de Princeton, ele foi contratado para ser diretor (e efetivamente montar) o recém criado Insituto de Matemática de Stony Brook, um emprego que, para ser sincero, ninguém queria. Ele topou e começou um grupo que deu grandes frutos. Hoje, o programa de pós-graduação de Stony Brook normalmente aparece entre os top 5 do país. Durante sua estada aqui como diretor ele também manteve colaboração com o Yang no Instituto de Física. Os dois foram dos principais responsáveis por criar a ponte entre a física e a matemática das teorias de gauge (conexões de fibrados).

Agora vem a parte boa sorte. Naquela época, Simons investiu dinheiro com um amigo que trabalhava com câmbio e, por sorte, ganhou uma bolada de alguns milhões. E milhões de dólares naquela época era muito mais do que hoje. Milionário de uma hora para outra, ele resolveu mudar de direção na vida. Se esse colega dele podia ganhar dinheiro, ele também poderia. Matemático que era, ele e um outro professor daqui de Stony Brook começaram a tentar criar modelos para investir em câmbio. A realidade é que não deu muito certo, mas Simons conta que naquela época era tão fácil ganhar dinheiro, que ele rapidamente multiplicou seu dinheiro por um fator de 10 (e ele conta que isso nem chegou a impressionar muita gente).

Bom senso é a última parte. A década de 80 veio e ganhar dinheiro ficou um pouco mais difícil. Nesse ponto, ele decidiu novamente investir somente na construção de modelos. Com a ajuda de outro matemático (que me esqueci o nome, acho que ele não está mais na Renaissance Tech, parece que ele não conseguia trabalhar muito bem em equipe), ele abandonou completamente o tipo de investimento que fazia antes para só fazer investimentos baseados nos resultados desses modelos de mercado. Dessa vez deu certo. Hoje em dia, a Renaissance Tech conta com uma equipe composta basicamente de Ph.D.s e se orgulha de ter, mantidas as devidas proporções, um ambiente de trabalho acadêmico num fundo de investimento. Nem todos matemáticos, claro. Parece que hoje em dia há muito cientista da computação, já que além de criar modelos eles tem que lidar com a análise de 3 TB de dados por dia e tomar as decisões antes dos concorrentes. Se há alguma diferença do meio acadêmico real é que o resultado das suas idéias está alí, na sua frente, tudo reduzido a quanto dinheiro você ganhou ou perdeu.

No que volta à matemática. Simons recentemente voltou a trabalhar com matemática. Ele certamente é o aluno mais rico do mundo nessa área :P. E está trabalhando ativamente com o Dennis Sullivan, aqui mesmo em Stony Brook. Interessante, não?


Há algum tempo atrás, eu e Leandro escrevemos sobre a mecânica clássica de uma partícula num aro e como se pode aprender bastante sobre física com esse modelo simples. O post teve uma repercussão ótima e me motiva a fazer uma segunda parte. Vamos agora estudar a mecânica quântica de uma partícula no aro e vamos ver que podemos aprender também uma miríade de coisas através de analogias. Esse post vai ser um pouco mais alto nível, mas com certeza tem seu público.

Vou começar com uma lagrangeana bem geral:

L=\frac{M}{2}\dot{\phi}^2+A\dot{\phi}

Note que o segundo termo, sendo uma derivada total não influencia a equação de movimento que é simplesmente M\ddot{\phi}=0, onde M é o momento de inércia e \phi é uma variável angular.

Duas coisas devem ser notadas, para um determinado tempo inicial e final, há infinitas soluções para as equações de movimento, classificadas por um número inteiro (o número de voltas que ela dá no círculo). Isso é uma consequência da topologia não-trivial, ou mais especificamente, do grupo fundamental não-trivial, do círculo. Esse é o tópico que quero falar.

Além disso note que apesar de não mudar as equações de movimento, o momento canônico e a hamiltiana se alteram:

p =m\dot{\phi}+A;\qquad H=\frac{1}{2M}(p-A)^2

e é por isso que a mecânica quântica desse exemplo é tão bacana. Quantizar o sistema corresponde a tornar \phi,p operadores num espaço de Hilbert tal que [\phi, p]=i. O estado da partícula será então descrito por uma função de onda que obedece à equação de Schrödinger H\psi=E\psi. Para p ser uma quantidade mensurável, é necessário que ele seja auto-adjunto. Certamente, se escolhermos uma representação em que p=-i\partial_{\phi} ele será hermitiano. Porém, para ser auto-adjunto ele temos que definir condições de contorno do tipo \psi(\phi+2\pi)=e^{i\xi}\psi(\phi) onde diferentes escolhas de \xi correspondem à situações físicas distintas que pode, em princípio, serem diferenciadas por experiências de espalhamento. Vale a pena fazer a conta da matriz-S para verificar isso por si próprio, é supreendente a importância das condições de contorno.

Vamos começar com o caso \xi=0. A solução do espectro nesse caso é simples:

\psi_m=e^{im\phi};\qquad E_m=\frac{1}{2M}(m-A)^2;\qquad m\in\mathbb{Z}

Se você conhece o efeito Aharanov-Bohm, vai notar que A nada mais é que um fluxo magnético de valor \theta=2\pi A. Inclusive, fazendo conexão como tópico anterior, acho que as primeiras pessoas a notarem a hoje óbvia descrição desse efeito através da holonomias de conexões em fibrados foi justamente Yang e Simons. Mas voltando, note que a ação correspondente a A será:

S_{top}=\int_{t_1}^{t_2}A\dot{\phi}=\theta\frac{\Delta\phi}{2\pi}

que só depende das posições iniciais e finais. Essa ação também conta quantas vezes a partícula deu a volta no círculo. Como é comum escrever \theta para o fluxo magnético, esse tipo de termo ficou conhecido como termo \theta, sobre o qual já falei várias vezes aqui.

Note ainda que \theta múltiplo de 2\pi não afeta o espectro e que para \theta múltiplo ímpar de \pi, o espectro é simétrico por paridade.

Uma pessoa mais ousada arriscaria dizer: “Esse termo A eu tiro com uma transformação de gauge (classicamente: trasnformação canônica) da solução”. Você pode até tentar, só que aí suas condições de contorno vão corresponder a \xi=-\theta que, como eu argumentei, é fisicamente distinta.

Um outro método de quantização é o de integral de trajetórias. Nesse caso, a ação do termo topológico fatora e a função partição euclidiana fica escrita como:

Z=\sum_{Q=-\infty}^{\infty}e^{i\theta Q}\int_{\phi(0)-\phi(T)=2\pi Q}\mathcal{D}\phi\,e^{-\int_0^T d\tau M\dot{\phi}^2/2}

para baixas temperaturas (ie, longos tempos euclidianos), só o estado de menor energia importa. Se considerarmos M\rightarrow 0, o estado de menor energia fica duplamente degenerado e esse estado passa a ser igual a uma partícula de spin 1/2. Não estou dizendo que essa é a origem do spin, não há nenhuma simetria SU(2) nesse problema, mas um modelo parecido com esse pode e é utilizado como uma teoria efetiva para (quasi-)partículas de spin 1/2 e, além disso, partículas de spin 1/2 são fermions e a origem das duas possíveis estatísticas em 3 dimensões – férmions e bósons – tem tudo a ver com esse tipo de análise topológica.

Termos \theta se multiplicam na física e eu acho que esse pequeno exemplo deu para ilustrar várias de suas características:

  • Realiza representações irredutíveis unitárias do grupo fundamental do espaço-alvo. Bem, não discuti isso, mas é por isso que o termo se chama topológico;
  • Responsável pela interferência quântica entre setores toplógicos. Note que quando escrevi a função partição após rotação de Wick (supondo que ela seja possível), a única superposição quântica residual é devido ao termo topológico;
  • Não afeta as equações de movimento;
  • Muda as condições de quantização do espectro quântico;
  • É um termo periódico, não quantizado contudo;
  • \theta=0,\pi possuem simetrias adicionais;
  • \theta=\pi implica em degenerescência do espectro;
  • Equivalente a uma mudança nas condições de contorno.

Claro que esse não é o único termo topológico possível. Para fazer conexão agora com o primeiro tópico que eu escrevi, no estudo de anomalias é bem relevante a ação de Wess-Zumino-Witten (é o termo de anomalia integrado), que também é um termo topológico. Há muitos outros, mas eles ficam para outra chance. (Se eu for cumprir todas essas continuações, não trabalho mais :P)


Ping-pong rápido:

  1. Eu, quando estava aplicando para os EUA, juntei nessa comunidade do orkut:

    GRE – Física (orkut)

    muita informação sobre o processo de vir estudar aqui com o intuito de ajudar as pessoas que querem mas não encontram ajuda, como foi meu caso. A realidade é que poucos alunos de física no Brasil tentam vir para os EUA. Acho que muitos não tentam não é porque não querem, mas porque não tem informações suficientes. Infelizmente, muita informação que estava na comunidade foi perdida ou está desatualizada. Mais do que isso, os mesmos motivos que estão fazendo a gente se mudar do orkut para o BC e para o AP, estão me motivando, junto com um colega brasileiro que também é doutorando aqui em Stony Brook, a criar um fonte mais acessível para essas informações. Manterei vocês atualizados. No entanto, eu sei que alguns colegas e leitores daqui estudam no exterior e, então, eu “convoco” vocês a divulgar mais as informações, de forma organizada, como é o processo de aplicação para ajudar as pessoas mais novas e incentivá-las a ir atrás de uma boa formação profissional.

  2. Está acontecendo no KITP/UCSB uma conferência sobre supercordas com vários cursos bacanas de coisas realmente modernas e atualizadas nessa área.

    Para quem quiser ver as palestras: Fundamental Aspects of Superstring Theory

    É uma conferência longa com várias palestras didáticas. Além disso, ela está comemorando o octagésimo aniversário do Stanley Mandelstam que teve um papel proeminente para o desenvolvimento dos primórdios dessa teoria.

Até a próxima.

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  1. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 07:13:37 EDT | #1

    Pô Rafa… eu só queria continuar escrevendo meu post… assim vc me obriga a vir aqui comentar! :wink:

    EXCELENTE post! :idea: :cool:

    Só alguns comentários ping-ponguísticos…

    (1) Há ligações fortes entre anomalias, quebra de simetria (sua partícula num círculo) e “termos de superfície” — foi essa a grande sacada do Schwinger! E, só pra dar uma águinha na boca… “termos de superfície = não-localidade”. :twisted:

    (2) O B. Lee tinha uma “rixa pessoal” com o C. Hagen (de Guralnik-Hagen-Kibble)… e foi ele largamente o responsável por renomear para “Higgs” o que era até então conhecido como “Guralnik-Hagen-Kibble-Higgs-Brout-Englert”. :wink:

    (3) Aliás, ainda nesse aspecto, existe uma ligação forte entre “quebra de simetria” (à la Guralnik-Hagen-Kibble) e “enumeração de soluções [para uma dada QFT]“. Mas, isso me parece estar perdido… as pessoas não costumam pensar em quebra de simetria como sendo soluções distintas (diferentes álgebras de operadores) duma QFT. Tudo culpa dos “termos de superfície”… :cool:

    (4) Na medida do possível pra mim, e se vcs precisarem de ajuda, eu topo dar uma colaborada com esse projeto de vcs, pra melhorar as informações disponíveis sobre “aplicações para o exterior”. :wink:

    []‘s!

  2. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 09:46:16 EDT | #2

    Rafael,

    Pergunta “meio-de-leigo” sobre o primeiro tópico, mas com tom de provocação… ;-)

    O fato de que as anomalias têm sua origem em termos de superfície seria, por acaso, a origem das chamadas “condições de consistência de Wess-Zumino” que as primeiras têm que satisfazer? Pergunto isso porque é bem sabido que essas condições têm uma interpretação cohomológica, tal qual você sugeriu no seu último tópico… Ou não tem nada a ver?

  3. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 11:07:09 EDT | #3

    E, Daniel,

    Acho que você queria dizer “…soluções distintas (diferentes _representações_ da álgebra de operadores)”

    (tradução: “Meu, de novo esta estória!!!” :-P)

    []‘s…

  4. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 11:07:55 EDT | #4

    Rafael, muito bom o post.

    Sobre o porquê dos alunos brasileiros não tentarem entrar num doutorado nos EUA. Acho que o principal causa não é somente falta de informação. A maioria dos alunos sabem que não é fácil entrar num doutorado aí, e conhece as próprias limitações, por isso eu acho que mesmo com mais informações, o número de brasileiros fazendo doutorado aí não devem aumentar tanto assim. Além disso tem o alto custo que você mesmo disse num dos tópicos da comunidade GRE-Física. É alto demais para os padrões dos estudantes brasileiros.

    Eu mesmo vou terminar o mestrado em setembro, mas não vou nem tentar um doutorado fora. É caro demais pra uma coisa que eu tenho poucas chances.

  5. Leonardo
    terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 15:24:02 EDT | #5

    Coincidentemente, eu estava pensando nesse problema da partícula em um aro em MQ esse fim de semana para uma aula que acabei de dar no curso de MQ da pós sobre integrais de trajetória.

    A integral K(\theta_1,\theta_2) pode ser feita exatamente nesse problema (já que a L é quadrática). Dá para pensar em colocar uma fonte externa e por o aro para girar com freqüência \omega e estudar a quebra espontanea de simetria :)

    Pareceu-me que a partícula em um aro é equivalente ao que acontece com os instantons e vácuo-\theta da QCD, cada um dos vácuos sendo uma espécie de transformação de gauge de outro. Bem interessante o post mesmo.

    E ai, descobriu-se um sistema de MQ não-relativística com quebra espontânea de simetria? Será uma transição de fase quântica?

  6. Henrique
    terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 16:18:02 EDT | #6

    Legalzinha a história do Simons. É da Wiki? Qual seria a fonte por favor?

    Parabéns pelo texto. Achei divertida a sua maneira de explicar. Teria sido um belo colóquio de final de tarde. Curioso.

  7. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 17:28:16 EDT | #7

    Algumas coisas que eu esqueci de dizer… e outras que aparecem nos comentários seguintes ao meu… ;-)

    (1) Rafa: O Antônio Ermírio de Moraes, desde “sempre”, administra (e doa e faz outros tipos de contribuições) o Hospital Beneficência Portuguesa em SP. Não sei como os números se comparam, etc… mas, pelo menos, é mais um dado pra ser considerado.

    (2) Pedrinho: Exato, são representações — é que eu estou no meio de 2 posts (em ‘draft’) e, quando vi esse aqui do Rafa, fiquei todo felizinho e acabei comendo bola. :razz: Mas, de qualquer forma, o que eu considero realmente importante é o fato de que essas soluções representam QFTs distintas, i.e., teorias diferentes. :wink:

    (3) Leo: Num dos ‘drafts’ que eu estou escrevendo (e já tô coçando pra não postar e ir completando ao longo da semana :wink: ), eu resolvo a MQ duma partícula num aro, incluindo as quebras de simetria, etc. :cool: Quanto aos θ-vácuo, eu recomendo fortemente a leitura dos seguintes artigos: arXiv:hep-th/9612079 e arXiv:0710.1256 (de fato, o segundo artigo é mais “legível” do que o primeiro, porém o primeiro trata os θ-vácuo de modo explícito). De qualquer forma, até onde eu sei :wink: , os diferentes θ-vácuo (i.e., valores distintos de θ) são inequivalentes — logo, não são conectados por transformações de gauge. De fato, eles vivem em regiões disconexas do espaço de parâmetros, com o θ contando os “winding numbers” que caracterizam cada região dessas. Portanto, pode ficar sossegado que não se descobriu nada de mágico nem de novo… :razz:

    Mas, a propósito, o que é essa tal de “transição quântica de fases” (‘quantum phase transition’)?

    []‘s.

  8. Leonardo
    terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 18:59:59 EDT | #8

    grande Daniel

    Os vácuos são inequivalentes no sentido que você falou, concordo. Mas são equivalentes em outro sentido: são todos estados de mínima energia cuja diferença é uma transformação de gauge que mantém a equação de Gauss invariante. O artigo que descobriu isso foi este do Jackiw e Rebbi:

    http://prola.aps.org/abstract/PRL/v37/i3/p172_1

    Na analogia com o modelo de Schwinger na parametrização do campo escalar de sine-Gordon, o que acontece é que cada vácuo é fisicamente distinto mas você passa de um para outro por uma translação de 2 \pi no potencial, que o mantém invariante! Digo isto porque o potencial é na forma

    \cos(\phi)

    e cada zero do co-seno é um vácuo-\theta (no modelo de Schwinger!)

    A partir de algum momento, alguém começou a chamar essas transformações de gauge entre diferentes vácuos de “large gauge transformations” (de onde veio isso?)

    o que é essa tal de “transição quântica de fases”

    Se eu entendi direito, é quando ao variar um parâmetro na Hamiltoneana do sistema, ocorre uma mudança no estado fundamental a temperatura zero. Parece que ocorreria ai na partícula quântica presa a um aro, com um campo gravitacional, no jeito que o Leandro e Rafael mostraram classicamente. O estado fundamental deixa de ser único e vira degenerado. Parece quando um ponto crítico bifurca!

  9. terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:09:54 EDT | #9

    Fala Leo! :-)

    (1) θ-vácuo: eu entendo perfeitamente o que vc está falando (até porque já discuti isso com o Jackiw :wink: ). O truque está exatamente nisso que chamam de “large gauge transformations”: o que isso significa é que essas transformações de gauge não são locais (o que é um ‘very big deal’ :razz: )! Ou seja, sua transformação de gauge, essencialmente, inclui um “termo de superfície”… que é exatamente a quantidade necessária pra vc ‘pular’ entre os diversos ramos disconexos da varidade de vácuo (ou ‘moduli space’ da teoria, pra ser mais mUdeRno :wink: ). Então, no sentido estrito do termo, essas não são transformações de gauge… e foi por isso que, historicamente, elas foram chamadas de “large gauge transformations”: o “large” é pra indicar a “não-localidade” que vc incorpora com o termo de superfície que vc absorve na transformação.

    Pra mim, pessoalmente, essas coisas são sempre “explicadas” dum modo confuso… mal feitas mesmo. E eu conheço muita gente que se perde e se confunde com isso… é por isso que eu sou chato mesmo com esse tipo de construção: não é só uma questão de nomenclatura… é um problema que a nomenclatura sendo usada, no caso, esconde toda a problemática que está por detrás da questão! Em particular, nesse caso em específico, a nomenclatura esconde o fato de que não há nenhum “gauge” em lugar nenhum: vc tem que incorporar um termo de superfície pra ‘pular’ entre folhas desconexas da variedade de vácuo (moduli space). Pra mim, isso é uma questão séria… principalmente quando vc começa a pensar em termos de ínstantons/sólitons, soluções (anti-)auto-duais, SYM, e assim por diante.

    Mas, aguenta as pontas aí… um dos meus drafts (o que lida com esse assunto) está quase pronto… :wink:

    (2) “transição quântica de fases”: ou seja, traduzindo o que vc falou acima (e, claro, assumindo que essa seja a definição correta — o que eu acredito que seja mesmo :cool: ), vc muda um parâmetro da Hamiltoniana e o estado de vácuo muda, i.e., o vácuo depende dos parâmetros da Hamiltoniana… o que é equivalente a dizer que a variedade do vácuo (o ‘moduli space’ da teoria) é folheada por algum parâmetro da Hamiltoniana de modo que cada folha é disconexa das outras. Na versão mais ‘punk’ desse problema, esse tal parâmetro (análogo ao ângulo θ do θ-vácuo) é chamado de “modular parameter, τ“. :razz:

    Esse, então, é o tipo de “transição de fase” associado diretamente ao ‘moduli space’ da teoria, i.e., o número de fases é o número de soluções da teoria (claro, a menos de ‘mirror symmetries’ e ‘modular symmetry’ que conectam esse parâmetro τ dentro duma mesma fase, i.e., parâmetros τ que classificam soluções numa mesma folha da variedade de vácuo).

    Eu confesso que fico :shock: , :cry: e :mad: de ver tanta confusão sendo causada por causa de mal entendidos sendo propagados historicamente. :evil:

    []‘s.

  10. Leonardo
    quarta-feira, 18 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 10:54:31 EDT | #10

    é, Daniel, o que você diz provavelmente é o caso. Também achei estrahno a nomenclatura de “gauge transformation”, mas só para ficar claro foi nesse sentido ai com essa nomenclatura que pode levar a má interpretações que eu me referi no post anterior :)

  11. quarta-feira, 18 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 12:11:27 EDT | #11

    @ Leo,

    Eu saquei… quer dizer, depois que vc explicou, eu entendi. É que, depois que a gente se acostuma com um determinado conjunto de definições/propriedades/etc, essas “outras” coisas ficam completamente sem sentido… infelizmente pra mim, “essas outras coisas” são o mainstream! :-P

    Mas, “acabei de acabar”, :wink: , o post que tanto falei: Fluxo de Ricci, Flutuações Quânticas e Geometria. :smile:

    []‘s!

  12. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 00:55:05 EDT | #12

    Pedro, talvez, nunca parei para pensar. Mas eu falei sobre esse termo quando você coloca um cutoff de momento mesmo. Daí vem o termo de superfície porque o regularizador destrói a simetria explicitamente. Esse termo de superfície não vai embora quando você joga o cutoff embora e fica como uma anomalia. Essa é toda a idéia. Nada a ver com WZ, em princípio ao mesmo, que é o que eu acho que você estava pensando.

    Claro que você sabe que existem diversos métodos de regularizar. Hoje em dia ninguém usa cutoff. As pessoas usam o método do ‘t Hooft (a regularização dimensional dele). Eu acho meio ad hoc o tratamento de férmions, mas deve haver alguma verdade matemática, porque a conta dá certo.

    Um método bacana (ainda diagramático, nada cohomológico… esse sim é bacana mesmo!) é você regularizar por redução dimensional. Nesse método a anomalia está no contratermo. Eu acho isso tão “quantico”, se é que você me entende. :P

    Anomalias é um assunto gigantesco e fazer as contas para escrever esses posts dá trabalho…

    Henrique, a fonte foi o Simons mesmo. Pessoalmente.

  13. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 05:22:54 EDT | #13

    Rafael,

    eu acho que a origem da anomalia no contexto de um particular esquema de regularização não tem muita importância. O que acho importante, tal como você e o Daniel, é que ela _tem_ a forma de um termo de superfície. Há maneiras de relacionar termos de superfície (= “formas exatas”) a violações de identidades decorrentes das equações clássicas de movimento (= “identidades de Ward anômalas”) de maneira puramente cohomológica, por exemplo dentro do formalismo de Batalin-Vilkovisky, que é um assunto que eu ando estudando em detalhe há algum tempo, daí minha curiosidade.

    Quanto ao tratamento de férmions com regularização dimensional, tudo se reduz ao problema de se encontrar potências complexas das funções de Green do operador de Dirac. Para as funções de Green avançada e retardada, isso também foi feito por Marcel Riesz, curiosamente em resposta a uma pergunta feita por Maurice Fréchet (o mesmo dos espaços e derivadas de Fréchet), numa conferência em Paris em julho de 1937, em relação a potências complexas do gradiente 8O . O resultado é descrito na página 5 do mesmo artigo do M. Riesz que eu citei na discussão subseqüente ao seu post sobre regularização dimensional. A fórmula para o propagador de Feynman é análoga.

    Em relação ao fato de que a anomalia está no contratermo se usarmos regularização dimensional (eu entendi direito?) e, suponho, MSS ou MMSS, convém notar que anomalias são de natureza diferente da da quebra espontânea de simetria (viu Daniel? ;-) ), pois são um fenômeno de ultravioleta (curtas distâncias), ao passo que a última é um efeito de infravermelho (longas distâncias). Em particular,
    apesar de serem um termo de superfície, elas são locais, _sim_! – justamente por estarem contidas nos contratermos. Esse fato é de fundamental importância inclusive para teoria quântica de campos em espaços-tempos curvos, especialmente Yang-Mills.

    []‘s a todos!

  14. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 05:30:09 EDT | #14

    Ah, outra pergunta, só para clarear possíveis confusões: o tal termo de superfície aparece no espaço de momentos on no espaço de configurações? Se for o primero caso, não há contradição com localidade, mas aí não deve haver mesmo nenhuma relação com as condições de consiência de Wess-Zumino e pode esquecer a minha primeira pergunta… :-P

  15. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 07:07:09 EDT | #15

    Um método em específico não, mas eles estão todos relacionados, se você entende um, pode conectar aos outros.

    Em relação ao fato de que a anomalia está no contratermo se usarmos regularização dimensional (eu entendi direito?) e, suponho, MSS ou MMSS

    Regulariação dimensional, não. Se você fizer a conta, a anomalia está no gráfico mesmo. Redução dimensional, que é particularmente útil para quando você tem teorias supersimétricas. A anomalia vai estar num contratermo de um operador composto. Mas a renormalização de operadores compostos não é muito simples, e se você insistir em me perguntar como fixar a parte finita, eu vou ter que te dizer que não faço a menor idéia, mas acho que ninguém faz.

  16. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 08:04:22 EDT | #16

    @ Pedro, Rafael,

    Vou esperar a resposta pra última pergunta do Pedro (logo acima desse último comentário do Rafael) pra me manifestar… na verdade, essa dúvida dele, agora, também é a minha. :wink:

    []‘s.

  17. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 08:16:46 EDT | #17

    PS: Só uma cutucadinha… eu acho que anomalias e quebra de simetria se encontram na divisa entre UV e IR… ou seja, quando vc divide o espectro de energia num determinado ponto, vc estabelece ao mesmo tempo um cutoff UV pra um lado e um cutoff IR pro outro.

    Por exemplo, as chamadas Anomalias Globais, no meu entendimento, não têm cara de “efeito UV”. Por outro lado, a anomalia de gauge não tem cara de “efeito IR”. :razz: :wink:

    Como esse assunto é meio “emaranhado” — pelo menos pra mim ele o é —, eu prefiro pensar em anomalias como sendo apenas um problema entre as simetrias da Ação e da Medida [da Função de Partição] (i.e., é uma simetria que está preente na Ação mas não na Medida).

    Então, como toda conta de anomalia que eu já vi inclui algum método de regularização… eu confesso que, dado tudo que está aqui, meu entendimento sobre anomalias não é aquilo que eu queria que fosse. Mas (baseado em várias discussões que já tive sobre esse tema), também não sei o quão melhor é o entendimento alheio… :razz:

    @ Pedro: Essa referência para o Hollands é ótima — um artigo excelente. :smile:

    []‘s.

  18. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 08:24:18 EDT | #18

    Em momento, como eu tinha dito.

  19. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 08:58:34 EDT | #19

    @ Rafa,

    É verdade… eu tinha entendido quando li pela primeira vez; depois, com a pergunta (e os outros comentários) do Pedro, me confundi um tanto… e, agora, a luz! :smile:

    []‘s.

  20. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 09:06:48 EDT | #20

    Esse lance de analizar anomalia como um problema da medida funcional (feito pelo Fujikawa aqui em Stony Brook) é interessante também, mas você também precisa regularizar de alguma forma, até onde eu sei.

  21. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 10:10:48 EDT | #21

    É verdade… o negócio é que eu não me incomodo com renormalização, mas regularização… regularização sempre me deixa com os dois pés pra trás… :-(

    []‘s.

  22. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 10:38:17 EDT | #22

    Rafael, Daniel,

    peço desculpas pela confusão causada pela minha primeira pergunta (inclusive em mim mesmo) e evidenciada pela última. É que eu tenho o hábito “herege” de pensar QFT sempre em espaço de configuração (Epstein-Glaser, Steinmann).

    Em relação a anomalias globais, eu acho que a denominaçao é por vezes um pouco infeliz. Por exemplo, anomalias de escala e o fluxo do grupo de renormalização podem ser entendidos de maneira local. Creio que o mesmo se dá com simetrias rígidas. Anomalias de gauge e gravitacionais, de fato, possuem tanto aspectos locais como globais. As identidades de Ward-Takahashi e de Slavnov-Taylor se referem aos aspectos locais, e anomalias devido a “large gauge transformations” podem ser também por causa de alguma identidade algébrica _local_ que é satisfeita “off shell” e, portanto, não pode ser corrigida quanticamente, que é o caso das anomalias gravitacionais estudadas por Álvarez-Gaumé e Witten.

  23. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 11:35:45 EDT | #23

    Pedrinho,

    Pára com isso, bixo… não tem do que se desculpar… até porque, mesmo que seja meio repetitivo, é sempre bom repetir os detalhes das coisas complicadas da vida… assim, depois, elas deixam de ser complicadas… ;-)

    Enquanto o seu hábito herege é pensar em termos de espaço de configuração… atualmente, o meu é pensar em termos de espaço de fases (o que é uma quimera entra a sua heresia e a do Rafa :cool: ).

    Quanto as anomalias propriamente ditas… eu penso de modo parecido: Gauge e Gravitacional são anomalias “reais”… o resto… ;-)

    Agora, entretanto, está surgindo um movimento bem forte pra se fazer teoria de perturbação on-shell… e os resultados são bastante interessantes. Eu gostaria de ver uma análise de anomalias desse tipo, via perturbações on-shell… só pra ver o que acontece…

    []‘s.

  24. Leonardo
    quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 16:00:19 EDT | #24

    Olha, eu não sei o que seriam essas condições de Wess-Zumino, mas deixa eu fazer uma pergunta que talvez esteja relacionada com a pergunta do Pedro:

    1. A anomalia quiral é um efeito puramente quântico, e o resultado é aquele termo de superfície: integral 1.

    2. Os instantons são soluções puramente clássicas, com número de volta não-nulo, integral 2

    Será só coincidência que integral 1 = integral 2? Ou existe alguma relação matemática mais profunda ai? Isso sempre me deixou interessado porque a integral 1 é obtida de um cálculo puramente quântico para férmions (na presença de um campo clássico/quântico externo de gauge), a 2 de um puramente clássico para bósons de gauge.

    Não sei se esta cohomologia (do grupo de gauge?) seria a resposta para a conexão desses dois cálculos aparentemente distintos.

    Outra coisa: qual a questão ai com a anomalia de escala e grupo de renormalização? Para mim é a mesma coisa que a quiral, uma vez que a corrente de escala clássica não é conservada,

    \langle \partial^\mu J_\mu \rangle = -\mathcal{A}(x)
    :P

    • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 19:50:49 EDT | #25

      Só pra mostrar que, agora, temos “threaded comments”, i.e., é possível se responder cada comentário separadamente… estão habilitados até 5 níveis de “threading”. ;-)

      Leo, diquinha: “winding numbers” e “instanton counting” têm tudo a ver, Instantons (Wikipedia). :cool:

      []‘s.

      • Leonardo
        quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 19:56:07 EDT | #26

        Será que a pergunta não ficou clara? :)

        Claro, contar instantons ou o número de voltas é a mesma coisa. Mas isso não responde a pergunta: porque a integral do número de voltas é a mesma que a anomalia.

        • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:21:14 EDT | #27

          Conhece o método de Fujikawa? Então, para aquela medida ser bem definida, ela tem que ser regularizada. Ela é regularizada introduzindo um operador de Dirac “ao quadrado”. No limite que M\rightarrow \infty você tem que recuperar a anomalia. Mas, você pode provar que essa quantidade não depende de M, e no limite M\rightarrow 0, somente os modos zero importam. E o número de modos zero é o número de ínstantons.

          Existe uma pergunta muito, muito interessante em matemática: o que os modos zero de um operador diferencial sobre uma variedade tem a ver com a topologia da variedade? No lado da física é justamente essa relação que você acabou de “redescobrir”, no lado da matemática eles chamam de teorema de índice.

          Far reaching…

          • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:32:59 EDT | #28

            E um outro nome pra uma relação bem bacana obtida a partir dum Teorema de Índice é… Quantização de Dirac! :smile:

            Um outro nome pro mesmo fenômeno é Quantização Topológica — Leo, se vc der uma olhada nesse artigo linkado, vai achar a resposta que vc quer… :wink: :cool:

            Dois outros artigos interessantes, que usam o “Euler Character” pra quantizar um determinado sistema:

            Topological quantization of the harmonic oscillator; &
            Phase Transitions and Moduli Space Topology (na verdade, não sei se coloquei essa relação com o Euler Characteristic nesse artigo, ou se a deixei apenas na tese… mas, de qualquer maneira, fica a dica :wink: ).

            Uns bons lugares pra começar a ler sobre iss:

            Gauss–Bonnet theorem;
            Generalized Gauss-Bonnet Theorem;
            Atiyah-Singer Index Theorem.

            E, se vc olhar com carinho, vai poder sentir um cheiro de Pontryagin Duality… que é um dos temas sobre os quais eu quero escrever já há tempos… :wink:

            Mas… agora é hora de ir jantar… a fome já tá batendo forte…! :smile:

            []‘s.

          • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:38:26 EDT | #29

            @Dan,

            Mais ou menos né, o caso de ínstantons é mais simples (tem aquela indepedência de M, que eu disse)… no caso de sólitons (por exemplo, os monopolos), que é o que você se refere, esse teorema é um pouco modificado porque você não consegue compacificar o espaço, então tem um termo de superfície. Aí, se esse termo de superfície contribuí ou não, depende do sóliton (por exemplo, em sólitons em dimensão espacial ímpar eles tem que contribuir, porque anomalias em dimensões ímpares zera… monopolos N=2 na teoria de Seiberg-Witten é um exemplo.).

          • Leonardo
            quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:45:20 EDT | #30

            Rafael, vou mastigar isso depois para tentar entender. Esses modos zero que você se refere teriam algo a ver com a versão euclidiana da conta do método de Fujikawa?

        • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:52:28 EDT | #32

          @ Leo,

          Os “modo zero” são o kernel do operador diferencial da equação de movimento do sistema em questão.

          []‘s.

  25. quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 20:41:05 EDT | #33

    @ Rafa,

    Exato…! :wink:

    É que eu ainda tô no pique do [agora] penúltimo post… com a observação tácita de que “tudo que precisar ser “bem comportado”, o é”. :cool:

    []‘s!

    • quinta-feira, 19 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 21:03:30 EDT | #34

      Mas se eles forem bem comportados assim, eles perdem a simetria de gauge deles… e toda a motivação física (dualidade S, por exemplo) cai por terra.

      Eu acho…

      (Ei, professor Girafales, olha o Daniel bagunçando a ordem das respostas colocando o comentário dele em outro thread. :P Brincadeira, hein…)

  1. quarta-feira, 18 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 às 12:07:29 EDT | #1

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