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Mecânica Estatística ou “como jogamos informação fora?”

quarta-feira, 25 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 Deixe um comentário Go to comments

Uma pergunta me intriga mais que qualquer outra: como jogamos fora informação? Como selecionamos que pedaço de informação é mais crítico que outro?  Não estou me referindo a técnicas de memorização nem a interpretação de texto. Estou falando de física.

Uma grande área da física denominada Física Estatística é muitas vezes descrita como o estudo de como partimos da dinâmica microscópica de um sistema físico e descobrimos como ele se comporta macroscópicamente no limite termodinâmico – ou seja, no limite de muitos e muitos graus de liberdade. Quando fazemos isso partímos de um espaço de configurações com um certo número (grande) de graus de liberdade microscópicos:

\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}\}      N\rightarrow\infty,

para um diagrama de fases macroscópico com um número pequeno de variáveis:

\{\theta_{1},\ldots, \theta_{p}\}.

É fácil ver que quantidade de informação que pode ser armazenada por p-variáveis, localizadas num volume \Omega_{p} p-dimensional, é da ordem de \log_{2}(\Omega_{p}) bits e portanto aproximadamente linear em p. Isso levanta a seguinte questão: para onde foi toda a informação contida nas variáveis x_{k} ???

Se as variáveis \theta_{k} são uma descrição macroscópico (N\rightarrow\infty) suficiente, a informação contida em x_{k} é tremendamente redundante?

Isso parece ser parte da resposta. Imagine novamente o exemplo que explorei no meu último post, da moeda lançada para cima. Naquela ocasião eu descrevi o espaço de configurações microscópico da moeda como uma série de atratores, caracterizados “macroscópicamente” por uma variável binária “cara” ou “coroa”. Para o que nos interessa com relação a várias perguntas macroscópicas, basta saber a que face para cima cada configuração corresponde. A mesma redução tremenda da quantidade de informação necessária é observada: a informação contida numa quantidade aparentemente infinita de órbitas possíveis para o moeda é resumida em apenas um mero bit: “cara” ou “coroa”.

Um sistema de spins (sem desordem – modelo de Ising) é algo similar. Da quantidade enorme de informação que podemos armazenar nas 2^N possíveis configurações de uma rede de spins (lembre-se sempre que no limite termodinâmico N\rightarrow\infty), apenas dois parâmetros interessam macroscópicamente para determinar todos os estados  macroscópicos – os acoplamentos K e H (alternativamente – a temperatura e o campo magnético, entropia e magnetização, ou qualquer outro par de variáveis termodinâmicas desse sistema).

O grupo de renormalização quando aplicado ao modelo de Ising oferece alguma luz: K e H são os dois únicos acoplamentos associados a operadores relevantes no ponto crítico desse modelo. Meu conhecimento limitado sobre o assunto entretanto não me permite enxergar mais do que isso…😦 Eu ainda tenho muito o que estudar sobre isso (inclusive referências são bem vindas).

Então as perguntas são: como determinamos p – o número de variáveis adequadas para o tratamento microscópico de um sistema microscópico qualquer – e como, sabendo p, determinamos quais variáveis são as adequadas?

Na teoria de vidros de spin um problema similar surge. É fácil no modelo de Ising chutar quais são as variáveis relevantes macroscópicamente pelo feeling que temos de sistemas magnéticos: a energia livre tem dois mínimos que podem ser selecionados com a aplicação de um campo magnético. Em sistemas desordenados é beeeeem mais complicado. A energia livre tem um número infinito de mínimos, nem todos eles estáveis e pontos críticos – pontos em que um mínimo se multiplica em dois ou mais mínimos – ocorrem em continuamente para todos os valores abaixo de uma certa temperatura. A técnica de réplicas oferece uma forma de encontrar o parâmetro de ordem: a distribuição de overlaps. Note que o parâmetro de ordem é uma função, com infinitos graus de liberdade. Ela carrega bem mais informação que os dois acoplamentos do modelo de Ising.

Claro! Um vidro de spin é muito menos redundante. Há uma estrutura muito mais complexa de estados estáveis, que precisa de um número muito maior de parâmetros macroscópicos.

Isso tudo que eu falei é uma coisa muito superficial e muito geral. Eu não sei como responder a pergunta que eu coloquei para uma dinâmica qualquer. Eu percebo que o grupo de renormalização tem algo a dizer sobre isso, eu percebo que a teoria de réplicas tem algo a dizer sobre isso, percebo que a teoria da informação tem muito a dizer sobre isso, mas não consigo enxergar nenhum princípio agregador que torne universal a técnica de encontrar o menor número de variáveis que representa adequadamente um sistema macroscópico.

As vezes eu acho que a resposta já existe e eu estou aí vacilando. A falta de uma formação mais sólida em mecânica estatística mais moderna, sistemas dinâmicos e teoria da informação me atrapalha – até 1 ano atrás eu nem imaginava estar trabalhando com essas coisas.

Talvez não. Talvez a resposta não exista ainda. Se não existir é uma boa chance de se fazer contribuições interessantes à física estatística e à teoria da informação.

  1. quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 01:12:57 EST

    @ Rafa,

    Já tá na minha hora de ir pra cama… mas, o safado do “energético” que eu tomei acho que ainda está me segurando na ativa… meu metabolismo poderia se decidir duma vez por todas: já tomei essas coisas e dormi em seguida.😛

    Eu acho que algumas referências são em ordem, portanto, já vou listar tudo de saída (e assumir que as referências nelas citadas também estão contando😉 ):

    Quebra Espontânea de Simetria em Mecânica Clássica;
    Os princípios de Fermat, de Hamilton e de Feynman;
    Um pouco de história da física;
    Comparando transições de fase em TQC e sistemas estatísticos;
    Transições de fase em TQC e Sistemas Estatísticos (Parte 2); &
    Regularização dimensional.

    O “sumo” dessas discussões que interessa pra essa sua pergunta aqui é o seguinte: “Como é que os graus-de-liberdade” se “transformam” dinamica e continuamente (ou não😉 ), i.e., como é que vc começa com um conjunto e termina com outro — como um conjunto se transforma no outro?

    O segredo disso tudo está nos tais limites “Termodinâmico” e “infinitas partículas (campo)”: afinal de contas, primeiro vc faz o número de partículas tender a infinito e depois vc faz o tamanho da caixa tender a infinito. O nome técnico disso é D-Module (que é a versão matematicamente rigorosa da Função de Partição) — note, entretanto, que essa construção leva em consideração as condições de contorno do particular problema em questão (uma vez que elas alteram a forma dos operadores diferenciais D). Portanto, se vc conseguir determinar a Função de Partição (resp. D-Module), vc tem todas as informações do sistema, inclusive como o “order parameter” muda ao longo das transições de fase do sistema (uma vez que são as diferentes fases que codificam os diferentes estados entrópicos do sistema).

    Mas, antes de seguir por essa via… eu quero salientar alguns pontos que considero importantes (além de estarem intimamente relacionados com suas colocações aqui😉 ).

    Mais especificamente, deixa eu fazer uns comentários relacionados com o conteúdo do post Fluxo de Ricci, Flutuações Quânticas e Geometria.😎

    Veja, *toda* QFT, pra ser bem definida, precisa duma escala de energia ⇒ essa escala automaGicamente determina um “lattice cutoff” *natural* da teoria, aquele dado pela escala de comprimentos correspondente ao inverso da escala de energia dada: esse é o “canonical lattice” da QFT em questão. É aqui que entra o Grupo de Renormalização: o objetivo é aumentar essa escala de energia (resp. diminuir a escala de comprimentos) continuamente, tendendo ao infinito. Porém, como eu mostro no meu post e como vc já deve estar imaginando, esse “fluxo do grupo de renormalização” é *altamente* não-trivial ⇒ logo o “ajuste” desse “canonical lattice” de acordo com as escalas dadas é não-trivial. E, como vc já adiviinhou nessas alturas do campeonato, esse ajuste em termos das escalas *corresponde* aos limites “termodinâmico” e de “infinitas partículas”.

    Portanto, nesse sentido, pra responder essa sua pergunta é preciso que tenhamos um bom entendimento do Fluxo do Grupo de Renormalização da teoria em questão (QFT ou Mecânica Estatísica, tanto faz😉 )! ⇒ Logo, já dá pra adivinhar que essa “dinâmica dos graus-de-liberdade” (i.e., a “dinâmica da entropia”) *tem* alguma coisa a ver com esse fluxo do grupo de renormalização.

    De fato, até onde eu conheço desse problema, realmente não há uma solução — até porque, o grupo de renormalização e seu fluxo são “bestas” altamente não-lineares e complicadas ⇒ é natural se esperar que não vá haver uma espécie de “resposta fechada” pra coisa. (Palavras chave: pontos-fixo do fluxo do grupo de renormalização, complemento UV duma teoria, quebra de simetria, transição de fase, etc.)

    Porém, o que minha pesquisa atual parece indicar (e que eu coloquei no post acima) é o seguinte: pense em termos do “espaço de parâmetros” — conforme vc fluí o grupo de renormalização, a função β da teoria em questão determina um fluxo no espaço de parâmetros. E, nesse sentido, pode-se estudar quais tipos de fenômenos dinâmicos (no sentido de “sistemas dinâmicos”) acontecem no espaço de parâmetros. Em particular, eu estou interessado em “catástrofes” e “linhas de Stokes” (como eu citei naquele post). Veja, quando há uma “catástrofe”, vc efetivamente tem a possibilidade de *reduzir* a dimensionalidade do espaço em questão!😯 E me diz, agora, se isso não soa como um “rearranjo dos gaus-de-liberdade”!💡😎:mrgreen:

    IMHO, é assim que as coisas acontecem… mas, isso é só palavrório… é preciso que as contas corroborem essa verborrogia.🙄😉

    Por outro lado, veja o seguinte: no meio de todas essas perguntas, o que nós estamos *realmente* fazendo é buscando por uma definição *intrínseca*, *fundamental*, para Entropia! A idéia de que S = k_B\, \log(\Omega) é apenas algo “efetivo”… uma noção mais fundamental, mais *básica*, vai vir duma definição intrínseca… algo como “Volume do ‘moduli space’ da teoria em mãos módulo dualidades”, o que claramente vai variar duma fase para outra: essa é uma definição que “conta os estados fundamentais da teoria” (i.e., as *soluções* da mesma) porém leva em consideração o fato de que há uma repetição nessa contagem: soluções relacionadas por dualidades (mirror symmetry, modular symmetry, AdS/CFT, etc) representam o mesmo “estado”. É exatamente isso que eu tentei fazer em arXiv:0809.2778 [hep-th]. Mas, como vc vê, a estória contado no meu post linkado acima é bem mais completa (e precisa virar um artigo *rápido*!😛 ).

    E, só pra adicionar um pouco mais de tempero nessa estória toda…➡ veja, o famigerado “Landscape” *sempre* existiu em QFT, no sentido de que quando vc constrói uma QFT de 0-dim até n-dim, vc percebe que sua teoria tem P^{k\, P^{n}} soluções, onde P\rightarrow\infty (e representa o número de pontos na sua dimensão — essencialmente determinado pela sua escala de energia, i.e., pelo seu “canonical lattice”) e k é o número de soluções da teoria 0-dimensional (n, claro, é a dimensão da QFT desejada) — para uma referência sobre essa contagem, dê uma olhada no Road to Reality, seção 16.7. Então, fica claro que o número de soluções tende a infinito muito rapidamente… e nós precisamos dar significado nisso.

    Em QFT, parte desse significado vem através de Regras de Superseleção — outra parte vem da identificação de que, dentro duma mesma fase, todas as soluções são identificadas. Ou seja, nós construimos classes de equivalência de fases: dentro da mesma fase, todas as soluções são equivalentes. Dessa forma, se vc tem 3 soluções (i.e., Ginzburg–Landau theory, que nada mais é do que scalar electrodynamics com um potencial quártico, como feito em quebra espontânea de simetria — veja também Phases of \mathcal{N} = 2 Theories In Two Dimensions), efetivamente vc acaba com 3 fases na sua teoria.

    Dessa forma, vc “reduz” todos aquele infinito contido em P^{k\, P^{n}} (sem esquecer que P\rightarrow\infty) a um número bem maleável e inteligível: no caso do exemplo citado, 3.

    Isso tudo posto, é *importantíssimo* vc notar o seguinte: num certo sentido, eu estou “implicitamente” assumindo uma relação direta entre Teoria de Cordas e QFT, e “traduzindo” os resultados duma na outra. Porém, isso não é nem um pouco _imediato_. Mais ainda, vc vê que, através do uso apropriado das quebras de simetria e das fases, eu estou dando um sentido bem claro (e *finito*!) para o infâme ‘Landscape’! (Além de te mostrar, por “A + B”, que algo semelhante e análogo *já* existe em QFT e, portanto, também existe em qualquer sistema de Mecânica Estátistica no “limite termodinâmico”.)

    Bom, chega… já falei demais e definitivamente já passou da minha hora de ir pra cama… (e isso tudo tem que aparecer num artigo!😛 )

    []’s.

    • quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 09:11:05 EST

      (…) Então, fica claro que o número de soluções tende a infinito muito rapidamente… e nós precisamos dar significado nisso.

      Tá bom Daniel-san, me dá mais um mês que eu te mando o post que eu prometi…

      []’s…

      • quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 09:19:15 EST

        @ Pedrão,

        Confesso que a curiosidade está batendo forte…😎

        Agora tenho que correr pra pegar o ônibus!😛
        😉

        []’s

      • quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 11:35:20 EST

        @ Rafa,

        Só pra fazer um comentário que talvez seja um pouco mais palatável… e também dar um cutução no Pedrinho…😉

        Pense em termos de Espaço de Fases: num sistema mecânico usual, vc tem lá suas trajetórias possíveis no Espaço de Fases. Aí, vc “upgrade” esse seu sistema mecânico para um Estatístico, aumentando o número de “cópias” do sistema mecânico original. Bom, agora, seu Espaço de Fases têm “volumes” como “trajetórias”, onde esse “volume” essencialmente conta o número de “cópias” que vc colocou do sistema original.

        Agora… pra vc tirar ou o “limite de campos” ou o “limite termodinâmico”, é preciso que “as coisas tendam ao infinito”… já sacou o que vai acontecer?!

        Não só seu Espaço de Fases vai passar a ter dimensão infinita, mas seu “volume” (que correspondia a uma fração do Espaço de Fases e contava o número de “soluções” do seu sistema — i.e., num certo sentido, representava a sua “vacuum manifold” do sistema estatístico, i.e., o “moduli space” desse sistema estatístico) também vai passar a ter dimensão infinita!

        Ou seja, vc tem *mesmo* um número infinito de soluções!

        “E agora, José?!”😉

        []’s.

        • quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 18:44:42 EST

          @ Rafa,

          E a provocação final: Se vc der uma lida em Quantum Physics: A Functional Integral Point of View, vc vai perceber que os chamados “Constructive QFT” (aqueles que tentam construir modelos de QFT matematicamente rigorosos) sempre aparecem, no final, com uma QFT que tem uma solução *única*.

          “E agora, José?!”

          Deixo uma diquinha:

          Spontaneous Breakdown of Symmetry in Axiomatic Theory (em particular, a seção 4, pg. 515😉 ).

          A verborrogia é que, e.g., no tomo do Glimm-Jaffe (acima) eles definem de modo matematicamente rigoroso apenas a solução que possui uma série perturbativa na constante de acoplamento! Ou seja, nesse contexto, só é passível de tratamento rigoroso aquela solução que tem um “limite (na constante de acoplamento) *bem comportado*”; as outras soluções, claro, como não são “bem comportadas”, não são passíveis dum tratamento mais matematicamente rigoroso — mas, nem por isso são menos Físicas.😉
          😛

          []’s.

  2. quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 às 08:53:52 EST

    @ Rafa,

    Lembrei dum artigo que acho que cai como uma luva nessa discussão:

    Conformal invariance and 2D statistical physics.

    Vale a pena ler. Só uma nota: as pessoas falam em “invariância conforme” quando tratam de transição de fases e/ou fluxos do grupo de renormalização pela seguinte razão: nos pontos-fixos do fluxo do grupo de renormalização não há escalas definidas; portanto, tem que haver invariância de escala ⇒ logo, invariância conforme (sim, eu sei que simetria de escala e simetria conforme não são *exatamente* a mesma coisa… mas, estou abusando da linguagem mesmo assim😉 ).

    Em HET, além de se pedir simetria conforme, muitas vezes também se pede SUSY. A razão disso é pra simplificar a vida do autor: contas e raciocínios ficam *bem* mais enxutos e diretos.😉

    Agora, se vc estiver “feeling strong”, eu também recomendo os seguintes artigos (que, IMHO, estão relacionados pelas tangentes😉 ):

    Why are solitons stable?;
    Remarks on Chern-Simons theory; &
    Monopoles and three-manifolds.

    Diversão garantidíssima,😈 !

    []’s.

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