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Teoria de Campos de Cordas

sexta-feira, 10 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 Deixe um comentário Go to comments

Há duas semanas atrás aconteceu um bom workshop no Simons Center for Geometry and Physics sobre String Field Theory (Teoria de Campos de Cordas). As palestras foram interessantes, mas infelizmente não foram gravadas. Eu tinha por idéia fazer um live blogging, mas obrigações não me permitiram assistir uma porcentagem relevante das palestras e o live blogging perdeu o sentido.

Simons Center for Geometry and Physics Workshop on String Field Theory 2009

A primeira palestra foi dada por Barton Zwiebach e ele apresentou o panorama atual de desenvolvimento da Teoria de Campos de Cordas. Foi uma palestra muito similar à que ele deu em Santa Barbara no encontro Fundamental Aspects of Superstring Theory e pensei em comentar sobre ela aqui no blog.

Há várias versões do que as pessoas entendem por Teoria de Campos de Cordas: SFT no cone de luz, SFT de fronteira, SFT covariante. Ele, no talk que apresentou, focou somente em SFT covariantes. Nessas teorias se escolhe CFTs para servir de background (sim, essas ainda não são teorias background independent) da seguinte forma:

(CFT)_{matter}\otimes (CFT)_{ghost}

de tal forma que a carga central total seja zero. Essas são CFT no sentido estrito que possuem um espaço de Hilbert \mathcal{H}_{CFT} (estados da CFT). Em geral, se trabalha com um subespaço próprio desse espaço de Hilbert que possuam boas propriedades algébricas \mathcal{H}\subset \mathcal{H}_{CFT}. Um campo de cordas é então \Psi\in\mathcal{H} e a teoria é definida por um princípio de ação S(\Psi):\mathcal{H}\rightarrow \mathbb{R}. Também se pode construir SFT a partir de um BCFT que descrevem cordas que formam superfícies de Riemann com fronteiras (cordas abertas). De forma geral:

\mathcal{H} = \mathcal{H}_O \oplus \mathcal{H}_C.

O fato curioso é que um teoria de campos de cordas abertas parece ser suficiente. Existem muitas versões de SFT de cordas. O primeiro a escrever um ação de SFT foi o Witten em 1986 para corda bosônica aberta. Depois disso, em 1992, o próprio Zwiebach concluiu a construção de uma SFT para corda bosônica fechada. O primeiro a escrever uma ação para uma SFT da supercorda foi Nathan Berkovits (do IFT-Unesp) em 1995 para o setor NS que depois foi generalizada para corda heterótica por outros. Como o interesse atual em SFT é encontrar soluções clássicas analíticas, ninguém dá muita atenção ao setor R da supercorda. Uma formulação via espinores puros não apresentaria essa distinção.

Vamos então ver um pouco como é a forma da ação para as SFT mais simples. Para a SFT de cordas bosônicas abertas, a ação é algo do tipo:

S(\Phi)=-\frac{1}{g^2}\left[\frac{1}{2}\langle \Phi,Q\Phi\rangle + \frac{1}{3}\langle \Phi,\Phi\star\Phi\rangle\right]

Há várias propriedades algébricas interessantes nessa teoria, vou me concentrar na do produto estrela. Note que essa é uma teoria de gauge, bem simples, mas com soluções muito complicadas. As equações de movimentos são:

Q\Phi+\Phi\star\Phi = 0

que podem ser entendidas como um conjunto infinito de equações diferenciais quadráticas acopladas. Voltando ao produto estrela, em geral se escolhe um espaço de Hilbert onde esse produto seja associativo. Isso, contudo, não é o caso geral. No caso geral, surge uma estrutura que os matemáticos chamam de álgebra A_{\infty} que justamente controla essa não associatividade.

Já escrever a ação para uma corda fechada, é mais complicado. Vamos tentar entender o porquê já no caso linear Q\Psi = 0. A ação óbvia seria \langle \Psi, Q\Phi\rangle, mas \Psi tem número fantasma 2, Q tem número fantasma 1 e isso não soma 6 como deveria na esfera, por exemplo. Há propostas de como lidar com isso, mas isso em geral estraga a invariância de gauge. Pelo menos aquela entendida usualmente através de uma álgebra de Lie. Nessas teorias sugem então o conceito de álgebras de Lie homotópicas e álgebras L_{\infty}.

Nesse ponto, Zwiebach começou a desviar o talk um pouco para discussões sobre quantização BV e sobre as apliações em SFT. Em particular ele notou que a SFT da supercorda, que é baseada num equações de movimento (linearizada) do tipo \eta_0 Q\Phi=0 onde ( \beta , \gamma ) \rightarrow ( \partial\xi , \eta , \phi ) é a bosonização dos fantasmas superconformes, não teve, até hoje, uma fixação de gauge usando esse formalismo e que a fixação de gauge mais usada \xi_0\Psi=0, de fato traz os campos de volta ao espaço de Hilbert pequeno, mas não é natural, nesse sentido. O fato é que a partir do momento que se bosoniza campos na teoria, não há mais expectativa de uma descrição geométrica de quantização BV. Perceba que a equação de movimento, se escrita como \eta_0(e^{-\Phi}Qe^{\Phi})=0 lembra a equação de movimento de um modelo de WZW, e foi por essas linhas que Berkovits escreveu a primeira SFT para supercorda em 1995.

Para finalizar, Zwiebach comentou sobre o trabalho de Martin Schnabl, que foi o primeiro a encontrar uma solução analítica das equações de SFT. Essa solução foi encontrada inspirada nas conjecturas de Sen e em soluções numéricas previamente conhecidas. Segundo Zwiebach, os grandes desafios da área são então:

  • Quais são os campos de cordas permitidos?
  • Como descrever decaimentos de D-branas?
  • Como usar C*-algebras para descrever SFT algebricamente?
  • Existem mais soluções de vácuo?
  • Como é a teoria com independência de background?
  • Como AdS/CFT relaciona as SFT de cordas abertas com as de cordas fechadas?
  • Como fazer uma descrição (super-)geométrica da SFT?

Com o tempo vou comentando sobre os tópicos das outras palestras, mas espero que esse post tenha despertado o gostinho por essa teoria.

  1. José Antonio
    sexta-feira, 10 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 17:05:55 EST

    Como usar C*-algebras para descrever SFT algebricamente?

    Como assim ? Seguindo o caminho das teorias axiomáticas de campos ou via idéias da Geometria Não Comutativa ?
    Se for a segunda possibilidade, o procedimento (que funcionou, adotado pelo Connes) é o seguinte: para cada situação geométrica, topológica, etc… procura-se uma formulação que…como posso dizer ? Em “alto nível” (categórico-funtorial por exemplo), a qual permite a algebrização (via C*-algebras)

    Exemplo (Serre-Swan): a categoria dos fibrados vetoriais sobre uma base compacta M (uma variedade diferenciável) é equivalente à categoria dos módulos projetivos finitamente gerados sobre o anel [; C^{\infty}(M) ;]

    Dito isso:

    Definição : um fibrado vetorial não comutativo é um módulo projetivo finitamente gerado sobre uma C*-algebra A.

    Assim, se trabalha diretamente com esse tipo de módulo, definindo (de forma algébrica) toda a maquinaria da geometria diferencial. Talvez (eu disse talvez…), esse tipo de enfoque capte a estrutura discreta da realidade na escala de Planck (onde o conceito de variedade perde o sentido)

    Como fazer uma descrição (super-)geométrica da SFT?

    Para se poder pelo menos tentar o que descrevi (na verdade, pura especulação) acima, é preciso fazer essa geometrização.

    • sexta-feira, 10 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 18:19:05 EST

      @ JA,

      Sem querer usar um argumento “masômenos”, mas já usando… digo o seguinte: a formulação em termos de álgebras C* feita, e.g., em Local Quantum Physics, não serve para SFT, por diversas razões — em particular, vc pode pensar que “campos” e “campos de cordas” são objetos distintos e, portanto, não modeláveis pela mesma estrutura matemática.

      No quesito geometria comutativa, a coisa também não é assim direta, uma vez que as técnicas de NCG só são ‘diretamente aplicáveis’ para Mecânica Quântica (número finito de graus-de-liberdade).

      Num certo sentido, contar graus-de-liberdade é um bom guia: Mecânica Quântica tem um número finito, Campos Quânticos têm um número infinito [de graus-de-liberdade], e Campos de Cordas… já dá pra inferir, tcherto?😉

      Portanto, nada que é “finitamente gerado” resolve o problema… aliás, nem arranha a superfície.😛

      []’s.

      • José Antonio
        sexta-feira, 10 abr 2009; \15\UTC\UTC\k 15 às 18:50:17 EST

        Não é diretamente aplicável mesmo. O finitamente gerado do teorema de Serre-Swan é no sentido de módulos, foi só um exemplo de como funciona a GNC, e é “pré-dinâmico” (se podemos usar essa palavra)

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