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Pensamentos não tão aleatórios sobre teoria quântica de campos

sexta-feira, 17 abr 2009; \16\America/New_York\America/New_York\k 16 15 comentários

Edição: corrigida a referência de quem calculou as correções 1-loop para a RG.

Uma das coisas que tira o meu sono é uma característica da teoria quântica de campos de que apenas certas Lagrangeanas fazem sentido. Por exemplo, essa aqui faz pleno sentido como uma teoria clássica:

\mathscr{L}_f + \mathscr{L}_s + g \bar{\psi}\psi \phi (1)

onde o primeiro termo é a Lagrangeana de um campo fermiônico livre \psi e o segundo é a mesma coisa para um campo escalar livre \phi. Essa Lagrangeana não faz sentido físico como uma teoria quântica, porque ela prevê que a taxa de reação do espalhamento de dois bósons \phi é infinita (observe que esse espalhamento a 1 loop contém um loop de férmions que é uma integral imprópria sem limite). É um bom exemplo de como apenas requerer que todos os termos de uma Lagrangeana sejam renormalizáveis não é suficiente para que a teoria quântica só contenha observáveis físicos finitos. A teoria pode ter sentido se adicionarmos um novo termo na Lagrangeana: \lambda \phi^4 .

Em princípio esse fenômeno deve estar relacionado com o fato de que a Hamiltoneana na teoria quântica é escrita na forma

H = H_0 + V (2)

onde tanto H0 como H devem ser um elemento da álgebra de Lie do grupo de Poincaré. Isso impõe condições não-triviais sobre V. O problema é que, se você quer ser bem superficial, pode convencer-se que essas condições são satisfeitas supondo algum tipo de “suavidade” para V — que é a palavra mágica dos físicos que não querem falar de matemática –, e que V pode ser escrito como uma integral de um escalar de Lorentz

\int d^3 x \mathscr{H}(\mathbf{x},t) (3).

Porém só isso não pode ser toda a história, porque (1) satisfaz (3), e no entanto não é uma teoria física.

Então, a pergunta que não me faz dormir é a seguinte: como a teoria quântica de campos já sabia que toda interação (1) requer \phi^4? Em outras palavras, onde está essa informação na formulação relativística e quântica da teoria? Ou ainda: há alguma forma de saber que apenas a Lagrangeana com Yukawa + \lambda \phi^4 faz sentido físico, que não seja através da análise das divergências dos diagramas de Feynman da teoria?

Algo que já é sabido algum tempo é que todas teorias quânticas de campos podem ser feitas finitas, basta escrever a Lagrangeana certa. Por exemplo, a Relatividade Geral (RG) quantizada por si só prevê efeitos infinitos a primeira ordem de perturbação. Mas não a seguinte Lagrangeana, onde apenas o primeiro termo corresponde a teoria clássica da RG:

-\frac{M_P^2}{16\pi} R - \alpha_1 R^2 - \alpha_2 R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}

que foi computada pela primeira vez por De Witt [Phys Rev 162 1967]. Essa Lagrangeana permite calcular observáveis finitos na teoria quântica da gravitação em primeira ordem em qualquer escala de energia menor que M_P.

Eu me pergunto se essa informação, sobre a existência dos dois últimos termos, já não estava de alguma forma contida na teoria quântica de campos. Talvez toda a série de potências já esteja. Se toda essa série de potências tem alguma simetria que permite determinar cada um dos termos possíveis, parece-me natural perguntar se essa mesma simetria não permite fixar relações entre os coeficientes. Por exemplo, ao escrever a Hamiltoneana de Dirac com coeficientes arbitrários, podemos relacionar os coeficientes impondo a simetria de Lorentz. É análogo a escrever

\alpha_1 \nabla^2 + \alpha_2 \partial_t^2

e deduzir que, no caso desta expressão ser invariante de Lorentz, então \alpha_1/\alpha_2 = -1.

Eu sonho…. 🙂

Realejo do dia…

sexta-feira, 17 abr 2009; \16\America/New_York\America/New_York\k 16 2 comentários

  1. Alexander the Great was a great general.
  2. Great generals are forewarned.
  3. Forewarned is forearmed.
  4. Four is an even number.
  5. Four is certainly an odd number of arms for a man to have.
  6. The only number that is both even and odd is infinity.

Therefore, all horses are black.

😆

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