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Dirac: Férmions e Vínculos (e outras coisas)

domingo, 26 abr 2009; \17\UTC\UTC\k 17 1 comentário

Uma das coisas interessantes sobre a história da mecânica quântica é que Schroedinger escreveu a equação de Klein-Gordon, perfeitament relativística, antes de escrever a equação que leva seu nome, que na mecânica quântica é sua versão não relativística. Ele não levou muito a sério a equação relativística porque, na sua interpretação, ela descrevia estados com probabilidade negativa.

Obviamente, em teoria quântica de campos não há problema, pois ela não descreve a evolução de um estado quântico mas sim a evolução de um operador que age sobre um estado. No entando, a interpretação errada levou Dirac a desenvolver uma nova teoria para “consertar” a equação de Klein-Gordon. Em teoria quântica de campos, a teoria de Dirac é tão boa quanto a de Klein-Gordon, só que falam de campos diferentes.

A teoria de Dirac é baseada numa ação:

S=-i\int d^4x\,\psi_A^*\gamma^0\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi^A = i\int d^4x\,\psi_A^*\frac{\partial}{\partial t}\psi^A - \psi_A^*\gamma^0\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}\psi^A

onde \psi^A e \psi_A^* são campos independentes. Essa ação é bem diferente do que normalmente se você porque ela é uma ação de primeira ordem em derivadas. Esse problema, junto com o problema das quantização de teorias de gauge, levou Dirac a considerar a quantização de sistemas vinculados. Vamos ver como isso funciona. Os momentos associados a \psi^A e \psi_A^* são:

p_A=-i\psi_A^*
p^{A*}=0

Note que não é possível inverter essa relação para escrever uma hamiltoniana, pois não tem “velocidade” nenhuma nessa relação. Dirac então chamou essas relações de vínculos primários

Bem, podemos então tentar formar uma hamiltoniana com o que temos. Dirac chamou isso de (densidade) hamiltoniana canônica:

\mathcal{H}_C=i\psi_A^*\gamma^0\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}\psi^A

Por causa do vínculo, essa hamiltoniana não gera evoluções temporais. A argumentação não é complicada, a idéia é introduzir multiplicadores de lagrange para suprir o déficit de variáveis que seriam necessárias para inverter das velocidades para os momentos.

Numa visão mais geométrica que será necessário para minha conclusão posterior, isso quer dizer que precisamos introduzir mais variáveis para tornar o mapa entre o espaço tangente e cotangente um-para-um. A hamitoniana que gera evoluções temporais foi chamada de hamiltonana total por Dirac:

\mathcal{H}_T=i\psi_A^*\gamma^0\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}\psi^A-\lambda^{A*}(p_A+i\psi_A^*)-\lambda_Ap^{A*}

onde \lambda^{A*} e \lambda_A são os multiplicadores de lagrange. A evolução temporal dos vínculos, usando os parênteses de Poisson canônicos \{p_A,\psi^B\}=-\delta_A^B e \{p^{A*},\psi_B^*\}=-\delta_B^A:

i\lambda_A=-i\frac{\partial}{\partial x^k}\psi_A^*\gamma^0\gamma^k
\lambda^{A*}=0

Por serem condições de consistência, Dirac chamou esses vínculos de secundários. Em princípio, poderíamos continuar com as condições de consistência, mas quero seguir em frente.

Uma coisa interessante de se notar é que o sistema de vínculos primários tem parênteses de Poisson não nulo. Dirac classificou esse tipo de vínculo como de segunda classe e ele deu uma prescrição completa para tratar esses casos, que consiste na substituição dos parênteses de Poisson por parênteses de Dirac. Há inclusive uma história engraçada aqui: Dirac reconhece o trabalho onde introduziu esses parênteses (brackets, em inglês) como sua maior criação. Muitas pessoas confundem essa declaração com o formalismo de “bras” e “kets” da mecânica quântica, que não tem nada a ver.

Geometricamente, vínculos de segunda classe definem superfícies que são por si só simpléticas e logo, admitem uma estrutura de espaço de fase. O parêntese de Dirac nada mais é que a forma simplética induzida na superfície. Sua expressão é:

\{F,G\}_D=\{F,G\}_P-\{F,\phi_A\}(C^{-1})^A_B\{\phi^B,G\}

onde C=\{\phi_A,\phi^B\}_P e \phi=0 representa os vínculos. Depois de subsitutir os parênteses de Poisson por parênteses de Dirac podemos tornar os vínculos fortes, ie, subsitutir sua expressão inclusive na ação.

Para o conjunto de vínculos primários isso implica:

\{\psi^A,\psi^B\}_D=0
\{\psi_A^*,\psi^B\}_D=-i\delta_A^B
\{\psi_A^*,\psi_B^*\}_D=0

O resto pode ser determinado mas não importa, porque ao tornar o vínculo forte, o resto pode ser resolvido trivialmente com p^{A*}=0 e \lambda^{A*}=0. Daí podemos proceder com a quantização, subsituindo os parênteses de Dirac por \{\cdot,\cdot\}\rightarrow \frac{[\cdot,\cdot]}{i} de forma que:

[\psi^{\dagger},\psi]_+=\mathbf{1}
\mathcal{H}=\psi^{\dagger}\gamma^0\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}\psi

Esse é o procedimento padrão para ações de primeira ordem, que sempre é o caso para campos de spin semi-inteiro. Mas… nesse caso, ele não é tão necessário assim. Se você olhar a ação de Dirac como uma ação já no espaço de fase, esse resultado é trivial.

Uma ação no formalismo hamiltoniano é normalmente escrita como:

\int \mathbf{p}\, d\mathbf{q} - H\,dt

mas isso é uma expressão local quando a estrutura simplética é dada por \mathbf{\omega}=d(\mathbf{p}\, d\mathbf{q})=d\mathbf{p}\wedge d\mathbf{q}. Essa é a forma usual da estrutura canônica dado pelo teorema de Darboux. Mas olhe a ação de Dirac como uma ação no espaço de fase com uma estrutura canônica diferente, dito:

\mathbf{\theta}=i\int d^3x\,\psi^*_A\, d\psi^A\Rightarrow \mathbf{\omega}=d\mathbf{\theta}=i\int d^3x\, d\psi_A^*\wedge d\psi^A

que é perfeitamente equivalente aos parênteses de Dirac determinados acima. Isso é o que termos topológicos na ação costumam fazer: como eles não dependem da métrica, não influenciam no tensor momento-energia, e logo não alteram a hamiltoniana. Contudo, eles mudam a estrutura canônica.

Não estou dizendo que a prescrição de Dirac seja inútil, às vezes é complicado ver a estrutura canônica, mas às vezes é fácil como na ação do campo de Dirac. Um outro caso interessante é a ação de Wess-Zumino-Witten. Em 0+1D, ela é particularmente simples se escrita em termos de ângulos esféricos:

S=-s\int\,(1-\cos\theta) d\phi

Você vê que ela é uma ação de primeira ordem, tal como a de Dirac que trabalhamos acima. Ela também muda a relação simplética entre as variáveis e faz com que elas passem a obedecer uma álgebra de spin para as variáveis \mathbf{S}=s(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta), o que é bem interessante para aplicações em matéria condensada.

Dirac também deu uma prescrição para os vínculos de primeira classe, isto é, aqueles que não definem superfícies com estrutura simplética. Em todos os casos úteis que se conhece, esse tipo de vínculo gera simetrias de gauge. Apesar de correta, ela é simplista demais para ser útil nos casos mais complicados. Hoje em dia, as pessoas entendem a prescrição de Dirac como uma versão infantil do formalismo BRST hamiltoniano, que consiste em introduzir novas variáveis, chamadas fantasmas, e reescrever a ação na forma:

S = \int P_i\, dQ^i - H_{BRST}dt - \{\Psi,Q_{BRST}\}

onde as variáveis canônicas (Q,P) consistem nas variáveis canônicas originais (q,p) mais os fantasmas e seus momentos conjugados (c,p(c)) e (b,p(b)). \Psi é conhecido como férmion fixador de gauge e H_{BRST} e Q_{BRST} são a hamiltoniana BRST e a carga BRST para as quais existem prescrições de como serem construídas. Em casos simples, como YM, dá para encontrar suas expressões de forma explícita. Em casos mais complicados, como em alguns modelos de teoria de cordas, elas são uma expressão infinita.


Mudando um pouco bastante de assunto… vocês se lembram de um avião que caiu aqui perto em Buffalo (NY) em fevereiro desse ano? Achei a explicação (não-oficial) para o ocorrido é muito interessante: gelo!

Todo mundo aprende na escola que a água congela a 0^oC, mas a história é um pouco mais complicada. Essa é a temperatura que fica termodinamicamente mais favorável estar no estado de gelo que água líquida, mas isso não basta para que a água congele. Se não houver nucleação, isto é, a criação de uma interface entre diferentes fases, o cristal não vai se formar. O problema é que para água pura, a temperatura de nucleação homogênea é em torno de -42^oC. Diz-se então que a água está em sobrefusão. Um colega que estuda física do clima me disse que há muitas nuvens, cujas gotículas de água são muito puras, nesse estado.

O que parece que ocorreu no caso desse acidente, é que o avião passou pela nuvem nesse estado meta-estável e serviu de ponto de perturbação para que os cristais de gelo se formassem. Com a asa completamente coberta de gelo, a aerodinâmica foi comprometida e o avião caiu.

Não sei até que ponto a explicação é verdadeira, mas é bem bacana. Não que o acidente seja bacana, não me interpretem mal. Foi muito triste: quase 50 pessoas morreram. Mas a explicação física é.


Você sabe como calculadoras representam números negativos? Assim:


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