Realejo do dia…

sexta-feira, 8 maio 2009; \19\UTC\UTC\k 19 Deixe um comentário Go to comments

Pra quem nunca ‘viu’ os Harmônicos Esféricos, aí vai uma boa pedida,

E, olha só a pegadinha ‘escondida’ nesse post aqui, The physics of singing in the shower. Essencialmente, o autor diz as notas (i.e., os harmônicos) e pergunta qual o tamanho do banheiro.

Esse problema tem nome e se chama “Geometria Espectral“. Essa área de pesquisa nasceu com um trabalho do Kac (o mesmo da fórmula de Feynman-Kac) sob o título É possível se ouvir a forma dum tambor?

A ‘pegadinha’ do problema acima é o seguinte: Não é possível se ouvir a forma dum tambor! Portanto, não é possível se determinar o tamanho do banheiro do autor, de forma única, usando-se apenas os dados que ele deu.😎 Quem quiser ver alguns exemplos disso pode olhar nos seguintes links: Espaços Isospectrais, You Can’t Always Hear the Shape of a Drum.

Agora… quem acha que a coisa acaba aqui… não, tem mais. No frigir dos ovos, o problema se resume a calcular os autovalores do Laplaciano canonicamente definido no espaço que se tem em mãos, quer esse seja um plano, uma esfera, um toro (i.e., uma rosquinha), ou qualquer coisa mais complicada que isso. E, como a gente bem sabe, resolver a Equação de Poisson é o pão-com-mateiga, o arroz-com-feijão, da Física — eu explico: se vc conhece a métrica de Jacobi, com um pouquinho de jogo-de-cintura, vc pode transformar a imensa maioria dos problemas (aqueles onde existe uma Energia Potencial bem definida) de Física de forma que eles se reduzam apenas a solução da Equação de Poisson! E tudo se resume a resolver a Teoria Potencial que a gente acaba tendo em mãos, procurando pelas funções harmônicas do Laplacinao que a gente massageou acima. (Na verdade, andando por esse caminho, rapidinho a gente chega em Cohomologia e Teoria de Hodge.)😈

Bom, mas não era por aí que eu queria enveredar…😉 Eu queria mesmo era falar da Equação de Schrödinger,

i\, \hbar\, \partial_{t} \Psi(x,t) = -\displaystyle\frac{\hbar}{2\, m}\, \nabla^{2}\Psi(x,t) + V(x)\, \Psi(x,t) \; ;

para uma partícula de massa m e x pode, ou não, ser um vetor n-dimensional — não há perda de generalidade pras considerações que eu vou fazer.

Então, fazendo o ‘truque’ que eu mencionei acima, usando a Métrica de Jacobi, nós podemos redefinir a métrica implícita na Eq de Schrödinger como sendo a seguinte,

\mathbf{h} = 2\, \biggl(E + \displaystyle\frac{2\, m}{\hbar}\, V(x)\biggr)\, \mathbf{g} \; ;

onde \mathbf{g} é a métrica original e \mathbf{h} é a nova métrica, que dará origem a uma nova derivada, que vamos chamar de \tilde{\nabla}.

Dessa forma, a gente pode re-escrever a Eq de Schrödinger da seguinte forma (já devidamente separando a parte temporal, usando \Psi(x,t) = \psi(x)\, T(t)),

\tilde{\nabla}^{2}\psi(x) = E\, \psi(x) \; ;

e, como a gente pode ver, tudo se resume a resolver uma Eq de Poisson.😎

Mas é agora que vem um pouco de beleza literária, de liberdade poética, em entender e interpretar a equação acima. Tudo que vc está fazendo, nessas alturas do campeonato, é procurar pela “música intrínseca e natural” do problema quântico que vc tem em mãos — no sentido de estar calculando os harmônicos esféricos desse novo espaço, determinado pela métrica \mathbf{h}! Então, parafraseando a pergunta que abriu esse post, a gente pode dizer: “É possível ouvirmos a forma duma partícula quântica?”😈

E, como a gente viu acima, a resposta é que ‘não’, não é possível se procurar por partículas [quânticas] iso-espectrais, pois vc está fadado a encontrar partículas diferentes que tocam a mesma música.😎

Mais realejo que isso… só dois disso!😎

  1. sábado, 9 maio 2009; \19\UTC\UTC\k 19 às 05:20:44 EST

    @Daniel-san,

    O legal desses posts é que força a gente a fuçar em outros rincões para poder comentar, e a gente sempre acaba aprendendo um pouco mais…😉

    Dito isto, dois comentários e duas perguntas ingênuas:

    C.1: Em relação à ‘pegadinha’ do chuveiro, o espectro do Laplaciano numa variedade Riemanniana compacta sem bordo é capaz sim de determinar o volume da última (ver P. B. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem, Seção 4.9). Não sei se o resultado continua válido para variedades compactas com bordo, ou pior, com esquinas, que é (idealmente) o caso do banheiro.

    P.1: Se a métrica em questão é a métrica de Jacobi, como o elemento de volume associado a essa métrica é relacionado com o elemento volume original, em termos do potencial (tô com preguiça de fazer essa conta…😛 )? O quanto é necessário conhecer do potencial para determinar o volume _total_ na métrica original em termos do volume _total_ na meetrica de Jacobi? Seria possível reduzir este problema a um problema de perturbação de autovalores pela presença do potencial (suponha o caso sem bordo por simplicidade, em virtude de P.1 acima)?

    C.2: O interessante da pergunta do Kac é que, estritamente falando, a sondagem física mais “intuitiva”, ou melhor dizendo, “mundana” do espectro do Laplaciano (os modos normais do tambor, do banheiro, etc.) é feita a partir das soluções da equação de onda cuja parte espacial é o Laplaciano em questão (junto com as condições de contorno), e não a partir da equação de calor correspondente (a forma “Wick-rodada” da equação de Schrödinger, para a qual a fórmula de Feynman-Kac se aplica). Do ponto de vista matemático, a distribuição assintótica dos autovalores superiores do Laplaciano (os “harmônicos superiores”, que determinam o timbre de um instrumento musical, ao passo de que a fundamental determina a altura da nota sendo tocada) é determinada de maneira muito mais precisa por meio da equação de onda do que pelo meio da equação de calor (à Minakshisundaram-Pleijel), conforme demonstrado por Hörmander numa das primeiras aplicações da chamada análise microlocal.

    A última é essencialmente uma vasta generalização do método de fase estacionária, grandemente motivada pelo desejo de compreender globalmente a construção e propagação de singularidades de soluções de EDP’s hiperbólicas com coeficientes variáveis. Nas últimas duas décadas a análise microlocal tornou-se uma ferramenta fundamental no estudo rigoroso de teorias quânticas de campo em espaços-tempos curvos.

    E, finalmente,

    P.2: É possível determinar a classe conforme de uma variedade Riemanniana compacta (i.e. a menos de rescalonamentos de Weyl) a partir do espectro do Laplaciano (possivelmente conforme)?

    []’s.

    • sábado, 9 maio 2009; \19\UTC\UTC\k 19 às 08:05:20 EST

      @ Pedrão,

      Vou responder mais rasteiramente do que de costume, que estou me preparando e numa correria pra poder ter uns 10 dias de paz (a partir de amanhã)…😎

      (1) Exato, quando tudo é “bem comportado”, o mundo funciona às mil maravilhas. Mas, quando eu idealizei o banheiro da pergunta, eu pensei num ‘quadrado’ (ou cubo, como preferir). É bem verdade que o dito-cujo poderia muito bem ser cilíndrico… só pra me sacanear… mas, mesmo nesse caso, vc acaba tendo que se virar com as “esquinas” (‘corners’?) das bordas. Então, preferi uma resposta menos operática…😉

      (2) A Métrica de Jacobi é só uma transformação conforme… então, o volume \sqrt{h\,} só muda de modo conforme… não sei agora a forma exata, from the top of my head, mas o Nakahara tem a fórmula.😉

      (3) Não sei se é possível determinar a classe conforme… mas, em tudo sendo compacto e sem bordas, certamente vc pode comparar os espectros antes e depois duma transformação conforme — i.e., comparar o espectro original com aquele obtido pela Métrica de Jacobi. Minha intuição (i.e., aquele famigerado diabinho que assopra as inverdades na orelha errada…👿 ) me diz que, se é possível se determinar as variedades isoespectrais num determinado caso, alterar tudo por uma mudança conforme não deveria mudar esse resultado original (afinal de contas, é uma transformação ‘suave’, sem ‘pontos singulares’, h = e^{\Phi(x)}\, g). Agora, se a transformação conforme tiver pontos singulares… aí é preciso se dividir o problema em ‘branches’, um para cada intervalo bem comportado.

      []’s.

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