A semana nos arXivs…

quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 Deixe um comentário Go to comments


  1. quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 15:34:33 EST

    Perguntinha: suponha que, ao definirmos a ação efetiva 1PI, a gente trabalhe com um “cutoff” infravermelho na interação – aqui, estou pensando num “cutoff” espacial, i.e., à Epstein-Glaser – mas ponha um “cutoff” UV _nos campos de fundo_ numa escala imediatamente inferior, e aí faça a análise de grupo de renormalização em nível perturbativo com, digamos, a equação de Callan-Symanzik (bom, não tão perturbativo assim, tendo em vista a presença dos campos de fundo, que também fluem pela ação do grupo de renormalização). Como fica a relação com a ação efetiva à Wilson? A primeira seria então apenas uma expansão “semi-clássica” da segunda?

    • quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 17:11:54 EST

      @Pedro,

      Não entendi direito sua pergunta: vc quer 2 cutoffs, um IR e um UV — o IR na interação e o UV no background; porém, o UV é “numa escala imediatamente inferior” à IR? Não ficou claro pra mim o que vc quis dizer…😛

      • quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 17:54:24 EST

        OK, eu devia ter sido mais preciso…

        Como vocês sabem, devido às relações de incerteza um “cutoff” espacial da interação numa escala, digamos, \lambda>1 no infravermelho se manifesta no espaço de momentos como uma forte supressão (e não um “cutoff” completo) da interação em freqüências abaixo da escala \lambda^{-1}. O que eu quero dizer com “escala imediatamente inferior” é que impomos um “cutoff” UV (digamos suave) nos campos de fundo no espaço de momentos para freqüências acima de \lambda^{-1} ou, se você preferir, para freqüências \lambda^{-1+\epsilon} com \epsilon\ll 1. O efeito disto é que esse “cutoff” UV suprime o efeito do campo de fundo “imediatamente abaixo” da escala a partir da qual o “cutoff” IR deixa de ser efetivo e as interações começam a agir.

        A minha pergunta era neste contexto – até porque parece-me que, olhando para QFT do ponto de vista do Wilson, há também uma separação entre campos de fundo (que foram “integrated out”) e campos flutuantes na escala de energia relevante. O próprio método de “background field quantization” usado para calcular a ação efetiva 1PI tem como uma de suas finalidades fixar (completamente?) as constantes de renormalização. Se a gente pôe o “cutoff” UV acima no campo de fundo, não estaríamos justamente absorvendo os efeitos abaixo da escala do “cutoff” UV nas constantes de renormalização, como o Leo disse abaixo? E, neste caso, a expansão em laços não seria justamente uma expansão “semi-clássica” da ação de Wilson na escala \lambda^{-1}?

        Não sei, eu ainda estou aprendendo estas linguagens, e queria ver se estou entendendo direito…

        • quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 22:42:47 EST

          @Pedro,

          Posto o que o Leo já disse — Potencial Efetivo = Ação Efetiva = “partition function = soma de *todos* os 1PI, sobre todos os valores de momento”; Ação à la Wilson = “função de partição = soma somente sobre um determinado conjunto de momentos (não incluindo nada além dum certo ‘cutoff’)” —, vc obteve sua resposta? Eu devo estar sendo meio ‘denso’, mas ainda acho que não entendi o que vc está perguntando…😦

          Aliás, agora que me toquei do que pode ser a origem dessa confusão: o nome “Effective Field Theory”! Ou seja, uma coisa é a construção da chamada Ação Efetiva, outra coisa *completamente*diferente* é a ação numa EFT (i.e., a ação duma effective field theory — que é aquela calculada à la Wilson).

          Um jeito que eu prefiro pra digerir isso é lembrar que, como o Leo bem disse, EFTs são definidas via OPEs ou, melhor ainda, Vertex Operator Algebras (VOA) — o que simplesmente não tem nada a ver com a construção do tal “potencial efetivo”.😉

          []’s.

          • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 03:26:27 EST

            Mais um passinho…

            O exemplo de que eu falei não se refere à ação efetiva 1PI _completa_ – no último caso, eu já tinha entendido a relação à qual você e o Leo se referiram ao ler o post para o qual você passou o link.

            Lembrar que, no meu caso, os “cutoffs” ainda estão lá, eu ainda não estou lidando com a ação efetiva 1PI completa. Mais precisamente, o “cutoff” IR espacial (i.e. no espaço de configurações) na interação na escala \lambda separa o problema IR do problema UV, i.e., eu estou implicitamente assumindo que a renormalização no UV já foi feita (esta separação, por sinal, é uma das virtudes do método de Epstein-Glaser, aka “teoria de perturbação causal”), mas ainda temos o problema de IR, suprimido pelo primeiro “cutoff”, para lidar. Os campos de fundo, por sua vez, tem um “cutoff” UV da maneira que eu descrevi, e a escala \lambda^{-1} ainda tem o papel de parâmetro de fluxo para a ação do grupo de renormalização.

            Repetindo, agora, espero, de maneira mais compreensível: “Pode a expansão em laços da ação efetiva 1PI _truncada na escala \lambda^{-1} da maneira que descrevi_ ser entendida como uma expansão ‘semi-clássica’ da ação de Wilson correspondente _na mesma escala?_”

            É nestas circunstâncias que coloco minha pergunta, pois poderiam, entre outras cousas, fornercer um jeito diferente de lidar com o problema IR de maneira separada do problema UV. O primeiro tem um status físico diferente do segundo, pois afeta a própria definição da teoria de espalhamento (lembrar que LSZ só funciona para teorias massivas!).

            Agora me ocorreu outra pergunta, motivada pela resposta do Leo, mas vou perguntar pra ele abaixo…😉

            []’s!

  2. Leonardo
    quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 16:59:59 EST

    edit: eu não tinha lido o post do link acima que o Daniel passou quando escrevi essa resposta, agora eu vi que muito do que eu escrevi já estava naquele post.

    (Supondo que eu entendi o que você quis dizer com ação a la Wilson: aquela que se obtém da OPE)

    Não é a mesma coisa, na primeira (ação efetiva 1PI) você já somou todos os modos de energia, o cut-off é só uma forma de identificar e separar os termos divergentes dos finitos para renormalizar a ação, inclusive essa ação não depende do cut-off de jeito nenhum, embora termos individuais possam depender. A acao efetiva a la Wilson é uma integração até uma escala de energia \mu — e não sobre todos os modos de energia! –, nesse caso o cut-off é físico, quero dizer, observável, e todos os parâmetros de fato dependem do cut-off com fatores \log(\mu). Mas não é que essas duas coisas não tem relação nenhuma, no review do C.P. Burgess de EFT ele mostra a relação formalmente. Não que aquela expressão que relaciona a ação efetiva no sentido de Wilson em função da ação afetiva no sentido da soma de 1PI seja útil.

    Outra forma de ver a diferença (e o significado físico de cada uma) é que a ação efetiva quântica é o funcional dos valores esperados dos campos em um certo estado que é mínimo no vácuo. Se você pudesse calcular essa ação efetiva exatamente, ela te daria todos os parâmetros da teoria em qualquer ordem de energia, e fazendo derivadas variacionais dela você podia obter qualquer observável exatamente a qualquer ordem de energia, é o que o Daniel adora e chama da famigerada equação de Schwinger-Dyson.

    Já a ação efetiva da OPE na verdade é uma classe infinita de ações, cada uma te dizendo como calcular as regras de Feynman em uma escala \mu usando teoria da perturbação corretamente, já que o parâmetro da perturbação na verdade é a ordem de loops onde não apenas as constantes de acoplamento g aparecem mas também fatores de \log p, e portanto o parâmetro pequeno é na realidade g \log(p/\mu), então essa segunda te diz como fazer a teoria de perturbação *certa*. Ela não te dá informação nenhuma sobre a teoria para escalas maiores que a escala \mu, porque tal informação foi absorvida nas redefinições (renormalização) das constantes de acoplamento dessa ação efetiva.

    • quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 22:31:53 EST

      @Leo,

      Só pra deixar claro, a Ação Efetiva (ou Potencial Efetivo, como preferir) é a Ação Quântica só até a 1ª ordem (1PI).

      Por outro lado, a Função de Partição (aka, Integral de Trajetória de Feynman) é o objeto fundamental em *qualquer* ordem. Analogamente a essa formulação integral duma QFT, existe a formulação diferencial da mesma, via as tais Equações de Schwinger-Dyson (ver mais em QFT Schwinger-Dyson). A relação que elas têm com essa construção da Açāo Efetiva advém da identificação \phi\mapsto -i\, \delta_{J}, que acontece quando se define a Transformação de Legendre pra Ação Efetiva.

      Nesse sentido, essa construção é completamente análoga àquela feita em Mecânica Quântica, com base na identificação p\mapsto -i\, \partial_{x}, que acaba “definindo” a Transformada de Fourier.

      O *mesmo* acontece em QFT, porém o análogo da transformada de Fourier é a chamada “Dualidade Geométrica de Langlands”, que pode ser grosseiramente entendida como uma transformada de Fourier sobre um “grupóide“.

      Aliás, é por *essa* razão acima que eu “adoro” a dita-cuja [das Eqs de Schwinger-Dyson]: elas podem ser usadas como um caminho pra se definir o D-module da QFT em mãos… e, esse tal de “D-module” não passa da Função de Partição do sistema!😈

      Então, como vc vê, não é bem o que vc disse acima… a não ser, claro, que eu não tenha te entendido.

      []’s.

      • quarta-feira, 19 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 22:45:17 EST

        Só um P.S. rapidinho: o objeto chamado de Equação de Dyson nesse tema do Potencial Efetivo é relacionado com as auto-energias em questão.😉

      • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 03:34:26 EST

        @Leo:

        No contexto da minha última resposta para o Daniel acima: lendo com mais cuidado a sua resposta, ocorreu-me outra pergunta: se a gente tem um “cutoff” IR na interação, ao definirmos a ação efetiva 1PI pelo método de “background field quantization” podemos fazê-lo de modo a remover a dependência no “cutoff”? Pois, pelo que entendi, isso é de fato feito no UV.

        []’s!

        • Leonardo
          quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:27:34 EST

          @Pedro:

          Eu diria que sim, um cut-off IR na ação efetiva quântica pode ser sempre removido no final da conta porque a dita cuja é IR-safe. Isso eu digo não baseado em um teorema, mas só intuição física mesmo, uma vez que a ação efetiva quântica te dá o valor esperado da energia, que é um observável físico sem precisar fazer mágica (como integração sobre jatos em seções de choque em teorias com mais de uma partícula de massa zero). Então a questão recai na crença de que observáveis físico são livres de divergências no IR.

          O que eu chamo de “background field gauge” é quando você calcula a ação efetiva quântica em campos que são puro gauge, mas a indepedência dessa quantidade física do cut-off não está associada a nenhuma escolha particular dos campos externos (que na realidade são valores esperados, mas muita gente chama de campo externo clássico…).

          • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:54:34 EST

            De fato, os problemas de IR concernem o espaço de estados, e não os observáveis (locais), que são sempre “IR-safe”. A percepção deste fato é que permite construir as álgebras locais de observáveis em teoria de perturbação usando Epstein-Glaser, conforme feito, por exemplo, por Brunetti e Fredenhagen (Commun. Math. Phys. 208 (2000) 623-661) e,
            mais recentemente, Brunetti, Dütsch e Fredenhagen
            (Adv. Theor. Math. Phys., a aparecer). É por isso que a separação do problema de UV do problema de IR é importante.

            O que o método de “background field quantization” faz, ao que eu compreendo, é transferir toda a parte “c-number” do campo quântico interagente para o campo de fundo, de modo que o valor esperado do primeiro com o campo de fundo resultante seja zero. Ou seja, o campo de fundo é, de fato, o valor esperado no vácuo do campo quântico interagente, e portanto recebe correções quânticas em relação a soluções das equações de movimento em nível clássico. Nesse sentido, você está absolutamente certo: esse “campo de fundo” não é campo externo clássico cousa nenhuma…

            • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 11:08:43 EST

              @Pedro,

              Exato: concordo com esse seu 2o parágrafo (não sei se essa era a pergunta original, mas concordo com essa conclusão😉 ).

              Na verdade, o “background field” é só uma forma de se esconder nossa ignorância (pra variar, as *interações quânticas*) pra debaixo do tapete.😛

              Agora, isso posto, não significa que não existe um certo domínio sobre o que está acontecendo. Eu explico: se vc subdividir a integração sobre os momentos em vários “estágios” (i.e., em várias escalas de energia), um pra cada fase da teoria, é completamente viável se definir uma QFT, numa determinada escala (i.e., para um certo “range of energies”), via uma particular VOA.

              Nesse sentido, no final das contas, vc pode considerar a sua “QFT total” como sendo uma combinação dessas diversas QFTs que obtém pra cada fase.

              Uma das perguntas que, pessoalmente, me intrigam bastante é: “Como acontece o processo físico que ‘transforma’ uma VOA, que define uma dessas fases, em outra, que define uma fase distinta da anterior?” Até onde eu sei, essa pergunta não tem resposta — até porque ela está intimamente ligada a um entendimento mais aprofundado das interações quânticas.

              Anyways, …, just my 2cents.😉

              • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 11:55:10 EST

                Na verdade, minha pergunta original era um pouco diferente – está relacionada com o fato de que, até agora, ninguém foi capaz de incorporar campos de fundo não triviais (por “campo de fundo” entendo aqui o campo ao redor do qual linearizamos as equações de Euler-Lagrange em âmbito perturbativo, e que portanto entram nos propagadores, ou o campo clássico que adicionamos às variáveis de integração funcional, se você preferir) de maneira sistemática no formalismo de Epstein-Glaser. Um passo (um tanto incompleto, devo dizer) nessa direção é o tratamento dado pelo Hollands ao campo de Yang-Mills em espaços-tempos curvos.

                Outro aspecto é que expansões semi-clássicas não tem nada a ver, por si sós, com teoria de perturbação. Em princípio (eu acho), seria possível incorporar todos esses efeitos não-perturbativos (sólitons, ínstantons, etc.), aos quais vocês se referiram, à expansão de laços, _se_ houvesse uma maneira de eliminar a expansão formal na constante de acoplamento separadamente em cada ordem de \hbar.

                O que me leva ao seu penúltimo parágrafo, onde vou agora viajar forte: no cenário que descrevi acima, uma QFT passa a ser descrita como uma deformação da teoria interagente clássica, mas cujas álgebras de observáveis locais têm “star products” definidos apenas localmente (no espaço das configurações de campo de fundo, parametrizados por sua vez pela escala em questão). A sua última pergunta, ao que me parece, fica então refraseada da seguinte forma: “como colar os ‘star products’ locais?”

                Just a bit of food for thought for your 2 cents…😛

                []’s!

                • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 14:37:51 EST

                  @Pedro,

                  Tive que aumentar o ‘threading’ do blog só pra poder responder apropriadamente a esse seu comentário aqui.😉😎

                  Vamos lá, dividindo por parágrafos…

                  (1) Vc tem razão: todos os “backgrounds” usados até hoje são “triviais”.

                  (2) Correto. O problema é que as “séries perturbativas” não são convergentes, mas sim assintóticas (fato que parece pouco apreciado pelo que se ouve nos corredores por aí afora). Então, de fato, se fosse possível se construir — analogamente ao que se faz em PDEs — uma solução em termos duma série de potências (ou, mesmo mais genericamente, numa série qualquer, desde que *convergente*), vc tem razão, seria possível ter todos esses efeitos automaGicamente inseridos na resposta. Porém, isso seria análogo a se definir a medida na Integral de Trajetória de Feynman; assim como é análogo a determinar todas as condições de contorno das Eqs de Schwinger-Dyson. Uma maneira possível de se fazer isso, é se resolver o problema 0-dimensional e se “engineer the dimensions” — isso pode e já foi feito em Mecânica Quântica, por Kontsevich. Mas, pra teorias com um número infinito de graus-de-liberdade (e, portanto, sem o respaldo de algo como Stone-von Neumann), o bixo tem bem mais de 7 cabeças.

                  (3) You hit the nail in the head!🙂 Seria exatamente a questão de se colar esses *-products locais nas regiões de interface entre duas fases distintas. Isso, realmente, me leva a viadjar também… mas, efetivamente, eu não conheço nada a respeito desse tipo de questão no âmbito de Deformation or Geometric Quantization. Porém, eu imagino que deva estar ligado à cohomologia (Cech) da coisa toda.

                  Mais lenha pra essa fogueira…😈

                  []’s.

                  • sexta-feira, 21 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:09:20 EST

                    (2) Quem disse que a teoria precisa ser analítica na constante de acoplamento separamente em cada ordem de \hbar? Eu ficaria contente só com diferenciabilidade – em nível clássico, a maioria das provas de existência e unicidade de soluções para EDP’s hiperbólicas não é por meio de séries de potências (argumentos como Cauchy-Kovalevskaya são empregados apenas em estágios intermediários, e não de maneira absolutamente necessária), e não vejo por que a situação em nível quântico deveria ser melhor. É por isso – aproveitando o gancho para uma pequena crítica – que é preciso cuidado nesse contexto com idéias como “D-Modules” e outros conceitos tais que resultados não-triviais acerca desses objetos fazem uso crucial de analiticidade / holomorfia.

                    (3) De fato. No caso de “star products” em variedades simpléticas (de dimensão finita), de Wilde e Lecomte (seguindo idéias de Omori e outros) mostraram como colar “star products” locais produzidos a partir de um atlas canônico (fornecido, digamos, pelo teorema de Darboux) em cujas cartas locais se reduz ao produto de Weyl-Moyal. Potencialmente, existe uma obstrução no terceiro grupo de cohomologia de Cech (ou, o que neste caso dá na mesma, de de Rham) da variedade, mas eles mostraram que esta obstrução se anula se modificarmos de maneira adequada o “star product”. Um argumento mais geométrico (também no caso simplético) para a colagem (e que, de certa forma, subjaz a parte final do argumento geral do Kontsevich, quando ele cola junto seus “star products” locais) foi dado por Fedosov.

                    []’s.

                    • sexta-feira, 21 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:36:37 EST

                      @Pedro,

                      Eu acho que o nível de threading vai acabar daqui a pouco…😉

                      Em ordem reversa…

                      (3) Exato, eu conheço esses resultados; quando fiz meu comentário acima, estava pensando em termos de QFT (i.e., espaços de fase de dimensão infinita) e não de QM. Até porque, não há transições de fase em QM, o que deve tornar esse trabalho de ‘gluing’ sensivelmente mais simples nesse caso [do que em QFT].

                      (2) Calma, Pedrão, calma…🙂 Eu não estava querendo que as séries fossem analíticas nas constantes de acoplamento (pelo menos não era isso que eu tinha em mente, talvez eu não tenha me expressado direito); aliás, eu até sei de um conjunto de pontos onde ela *não* vai ser: nas transições de fase — apesar que, nesses casos, fenômenos como “Stokes phenomena”, etc, estão envolvidos, e podem ser muito bem tratados do ponto-de-vista de PDEs. (Porém, devem existir “domains of analiticity” com respeito às constantes de acoplamento.) De qualquer modo, vc tem razão com respeito a D-modules e afins… e, de verdade, eu guardo pra mim apenas 2 exemplos de “guia”: a construção do Kontsevich pros D-Modules de funções de Airy; e o artigo do Witten sobre “3-dim gravity revisited” (de 2007, se não me engano).

                      []’s.

      • Leonardo
        quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:34:19 EST

        @Daniel: Não sei se eu entendi perfeitamente o que você quis dizer, mas o que eu chamo de ação efetiva quântica é de fato válida a qualquer ordem, na realidade, é completamente não perturbativa, é a transformada de Legendre do gerador da função de partição — toda informação da função de partição, portanto, está contida na ação efetiva. Porém, você está certo que a soma de 1PI não contém toda a informação da ação quântica não-perturbativa, devido a efeitos como instantons, solitons etc. Então para ser realmente purista é importante diferenciar a ação efetiva quântica da soma de 1PI — todavia a soma 1PI de fato contém toda informação dos diagramas de Feynman da teoria!

        • quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:51:08 EST

          @Leo,

          Vc está correto no seguinte sentido: se vc *definir* a “Ação Efetiva” como sendo a Transformada de Legendre da Função de Partição, ela vai ser um objeto não-perturbativo e válido em todas as ordens. Nesse caso, eu concordo com vc, apesar de haver várias sutilezas envolvidas caso vc queira aplicar essa Transformada de Legendre nas Eqs de Schwinger-Dyson (pra “converter” a Função de Partição em Ação Efetiva).

          Porém, eu não sei se é bem isso que, e.g., o Peshkin-&-Schröder definem como “Ação Efetiva” — mas, posso estar enganado.

          Entretanto, vc tocou num ponto extremamente importante: contribuições de ínstantons/sólitons e afins (i.e., outras contribuições não-perturbativas)! E isso é uma boa parte do argumento que eu fiz acima.

          Então, acho que nós estamos “in sync”.😉

          []’s.

  3. Leonardo
    quinta-feira, 20 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 22:41:45 EST

    Muito bacana quando surge essas discussões assim. Tínhamos que criar mais posts com um tom de início de debate🙂

    • sexta-feira, 21 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 09:46:45 EST

      @Leo,

      Vc quer é “tacar fogo”!😎

      Eu… concordo contigo! Mas, veja, até um post sem grandes pretensões, como esse, tem a possibilidade de causar maiores tumultos. Então, é só o pessoal que lê decidir comentar… que, o resto, como dizem, vira história…😉

      []’s.

    • sexta-feira, 21 ago 2009; \34\UTC\UTC\k 34 às 10:10:27 EST

      May the mayhem begin… and count me in to jump in the fire!

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