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A semana nos arXivs…
- Information-theoretic natural ultraviolet cutoff for spacetime. (arXiv:0908.3061v1 [gr-qc]) (mais sobre esse artigo depois do corte 😉 )
- Pushing the envelope of general relativity, Solutions to Hořava Gravity
- Higher-Dimensional Algebra VII: Groupoidification
- How to publish a scientific comment: an awfully sad and funny story from a physics professor
- Today in Science History: August 24th
- 6 Bullshit Facts About Psychology That Everyone Believes
- Will Brazil Binge on Oil?
- Groove to the physics mix tape
E, pra fechar em ressonância com o “Physics Mix Tape”, nada melhor que Klein 4,
😈
Essa idéia do A. Kempf é bastante interessante, baseada em três ingredientes: Geometria Diferencial, Geometria Espectral e Teoria da Informação.
O insight é que um cutoff UV é equivalente a um valor máximo para o espectro do Laplaciano, i.e., o espectro “acaba” em algum lugar. Dessa forma, é possível se utilizar algumas técnicas de Teoria da Informação (sampling theory) pra se reconstruir as funções (i.e., campos) no espaço-tempo em questão.
Algumas referências úteis são,
- On Information Theory, Spectral Geometry and Quantum Gravity
- A Covariant Information-Density Cutoff in Curved Space-Time
- Aspects of Information Theory in Curved Space
- Fields over Unsharp Coordinates
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É de bom alvitre ressaltar que o argumento nesse artigo do Kempf se refere a assinatura _Riemanniana_, o que traz a meu ver problemas sérios de interpretação física, posto que a correspondência “espaço Euclideano
espaço-tempo de Minkowski” dada pela rotação de Wick da métrica em geral _não existe_ em espaços-tempos curvos, mesmo se a métrica for analítica.
Maios precisamente, no último caso (por exemplo, soluções estacionárias das equações de Einstein), a rotação de Wick pode ser feita _localmente_ (V. Moretti, Commun. Math. Phys. 212 (2000) 165-189). A existência global de uma “rotação de Wick” está intimamente ligada à existência de uma complexificação global de uma variedade Riemanniana analítica
. Pode-se provar (o que é um resultado bastante profundo, devido a Grauert, Remmert, Bishop e Narasimhan) que tal complexificação existe numa vizinhança tubular da diagonal 
em $\mathcal{M}^2$ naturalmente identificada com a “parte real” 
. Esta vizinhança, dotada da estrutura complexa supracitada, é denominada “tubo de Grauert” de 
. Em geral, o tubo de Grauert não é completo – quando o é (o que é equivalente à existência de uma complexificação _global_ de 
), tal fato parece implicar uma rigidez considerável à geometria de 
, até porque isto só foi provado até agora para espaços homogêneos e simétricos.
A relação deste problema com o da existência de uma “rotação de Wick global” vem do fato de que o tubo de Grauert, por ser uma vizinhança tubular, é um subconjunto do fibrado (co)tangente de
. Uma “rotação de Wick global” de 
vai ser uma seção global sobre uma subvariedade de codimensão 1 de 
.
; lembrar também que pólos e singularidades essenciais em mais de uma variável complexa não mais são isolados) de relacionar as funções de Green do Laplaciano e do operador de onda por “continuação analítica”, nem mesmo localmente.
Só isto já implica que o espaço-tempo precisa ser no mínimo estavelmente causal, o que automaticamente exclui hipersuperfícies de tempo igual com topologia variável. Note ainda que o problema de complexificação só foi estudado no contexto Riemanniano (e, mesmo lá, há uma miríade de questões em aberto – por exemplo, a classificação das obstruções geométricas / topológicas à existência de uma complexificação global). No contexto Lorentziano, não há praticamente _nada_ feito.
E, no caso não-analítico (e.g. cosmologia, especialmente com “back-reaction”), pode esquecer: nem localmente temos rotação de Wick. Mais precisamente (tentando dirimir possíveis objeções à linha de raciocínio exposta acima), podemos fazê-lo pontualmente em relação à métrica por meio de uma escolha de função tempo global em espaços-tempos estavelmente causais, mas na prática tal “rotação de Wick” é _inútil_ pois não fornece uma maneira livre de ambigüidades (devido a eventuais singularidades a serem contornadas no âmbito holomórfico, mesmo se tudo for
Uma possibilidade mais “modesta” seria aplicar a análise proposta neste artigo do Kempf a superfícies de Cauchy, mas aí esbarramos no fato de que em geral não é possível comparar o espectro em superfícies de Cauchy diferentes (e.g. novamente no caso de métricas Lorentzianas não-estacionárias).
Resumo da ópera: sou _bastante_ cético com relação à interpretação _física_ da anãlise proposta no artigo do Kempf, pois não há como relacionar de maneira unívoca esta análise a algum análogo Lorentziano para espaços-tempos curvos.