A semana nos arXivs…

segunda-feira, 24 ago 2009; \35\UTC\UTC\k 35 Deixe um comentário Go to comments


E, pra fechar em ressonância com o “Physics Mix Tape”, nada melhor que Klein 4,

😈

Essa idéia do A. Kempf é bastante interessante, baseada em três ingredientes: Geometria Diferencial, Geometria Espectral e Teoria da Informação.

O insight é que um cutoff UV é equivalente a um valor máximo para o espectro do Laplaciano, i.e., o espectro “acaba” em algum lugar. Dessa forma, é possível se utilizar algumas técnicas de Teoria da Informação (sampling theory) pra se reconstruir as funções (i.e., campos) no espaço-tempo em questão.

Algumas referências úteis são,

  1. terça-feira, 25 ago 2009; \35\UTC\UTC\k 35 às 11:02:30 EST

    É de bom alvitre ressaltar que o argumento nesse artigo do Kempf se refere a assinatura _Riemanniana_, o que traz a meu ver problemas sérios de interpretação física, posto que a correspondência “espaço Euclideano \Leftrightarrow espaço-tempo de Minkowski” dada pela rotação de Wick da métrica em geral _não existe_ em espaços-tempos curvos, mesmo se a métrica for analítica.

    Maios precisamente, no último caso (por exemplo, soluções estacionárias das equações de Einstein), a rotação de Wick pode ser feita _localmente_ (V. Moretti, Commun. Math. Phys. 212 (2000) 165-189). A existência global de uma “rotação de Wick” está intimamente ligada à existência de uma complexificação global de uma variedade Riemanniana analítica (\mathcal{M},g). Pode-se provar (o que é um resultado bastante profundo, devido a Grauert, Remmert, Bishop e Narasimhan) que tal complexificação existe numa vizinhança tubular da diagonal \Delta^2(\mathcal{M})\doteq\{(p,p)\in\mathcal{M}^2:p\in\mathcal{M}\} em $\mathcal{M}^2$ naturalmente identificada com a “parte real” \mathcal{M}. Esta vizinhança, dotada da estrutura complexa supracitada, é denominada “tubo de Grauert” de \mathcal{M}. Em geral, o tubo de Grauert não é completo – quando o é (o que é equivalente à existência de uma complexificação _global_ de \mathcal{M}), tal fato parece implicar uma rigidez considerável à geometria de (\mathcal{M},g), até porque isto só foi provado até agora para espaços homogêneos e simétricos.

    A relação deste problema com o da existência de uma “rotação de Wick global” vem do fato de que o tubo de Grauert, por ser uma vizinhança tubular, é um subconjunto do fibrado (co)tangente de \mathcal{M}. Uma “rotação de Wick global” de (\mathcal{M},g) vai ser uma seção global sobre uma subvariedade de codimensão 1 de \mathcal{M}.
    Só isto já implica que o espaço-tempo precisa ser no mínimo estavelmente causal, o que automaticamente exclui hipersuperfícies de tempo igual com topologia variável. Note ainda que o problema de complexificação só foi estudado no contexto Riemanniano (e, mesmo lá, há uma miríade de questões em aberto – por exemplo, a classificação das obstruções geométricas / topológicas à existência de uma complexificação global). No contexto Lorentziano, não há praticamente _nada_ feito.
    E, no caso não-analítico (e.g. cosmologia, especialmente com “back-reaction”), pode esquecer: nem localmente temos rotação de Wick. Mais precisamente (tentando dirimir possíveis objeções à linha de raciocínio exposta acima), podemos fazê-lo pontualmente em relação à métrica por meio de uma escolha de função tempo global em espaços-tempos estavelmente causais, mas na prática tal “rotação de Wick” é _inútil_ pois não fornece uma maneira livre de ambigüidades (devido a eventuais singularidades a serem contornadas no âmbito holomórfico, mesmo se tudo for C^\infty; lembrar também que pólos e singularidades essenciais em mais de uma variável complexa não mais são isolados) de relacionar as funções de Green do Laplaciano e do operador de onda por “continuação analítica”, nem mesmo localmente.

    Uma possibilidade mais “modesta” seria aplicar a análise proposta neste artigo do Kempf a superfícies de Cauchy, mas aí esbarramos no fato de que em geral não é possível comparar o espectro em superfícies de Cauchy diferentes (e.g. novamente no caso de métricas Lorentzianas não-estacionárias).

    Resumo da ópera: sou _bastante_ cético com relação à interpretação _física_ da anãlise proposta no artigo do Kempf, pois não há como relacionar de maneira unívoca esta análise a algum análogo Lorentziano para espaços-tempos curvos.

  1. No trackbacks yet.

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: