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Archive for setembro \30\America/New_York 2009

Buracos negros de laboratório

quarta-feira, 30 set 2009; \40\America/New_York\America/New_York\k 40 Deixe um comentário

Analogia em Física

Não é só a boa prática de didática que se vale das analogias. A física também faz bom uso dessa idéia. Você sabia que é possível, por exemplo, estudar as leis de Newton debaixo d’água usando circuitos elétricos? Bom, mais ou menos. Acontece que a equação que descreve a quantidade de carga elétrica presente em um circuito com um capacitor, resistor e uma bobina (um indutor) é a mesma associada ao movimento de uma massa presa a uma mola na presença de um meio que provoca resistência. É claro que os símbolos presentes nessa equação nesses dois casos representam elementos da realidade diferentes. No movimento massa-mola, a função que aparece na equação é a posição da massa, e os coeficientes da equação são dados pela massa, a constante da mola e a viscosidade do fluido. No caso do circuito, a função é carga elétrica no capacitor e os coeficientes estão relacionados a bobina, capacitância e resistência do circuito. Em física se diz que o circuito é um análogo do sistema massa-mola imerso em um fluido.

Mais especificamente, a equação que descreve o movimento de uma massa m presa a uma mola de constante k levando em conta a resistência do fluido é
m\ddot{x} + \beta \dot{x} + k x = 0
Já a carga elétrica Q em um capacitor de capacitância C em um circuito formado por um indutor de indutância L e resistência R satisfaz a equação
L \ddot{Q} + R\dot{Q} + Q/C = 0.

Se as equações são as mesmas, então as soluções das equações também são as mesmas. O objetivo de estudar análogos é encontrar sistemas que são fáceis de serem construídos em laboratórios e suscetíveis ao controle do experimentador que sejam análogos de um sistema difícil de ser estudado em laboratório. Dessa forma, como as equações são as mesmas, isso permite ao menos dar uma confiança indireta, uma evidência, de que se uma certa teoria não foi testada em um certo regime apenas, mas descreve muito bem outros aspectos da Natureza, então se for possível encontrar um análogo que seja fácil de reproduzir em laboratório daquele regime não-testado, será possível ao menos verificar que as soluções matemáticas da teoria de fato admitem (ou não) um determinado comportamento. Se usarmos um circuito para representar uma massa presa a uma mola em um fluido, não seremos capazes de testar se as leis de Newton descrevem corretamente o movimento da massa mas se assumirmos que ela descreve, podemos testar as soluções da teoria de Newton.

Claro que no caso da teoria de Newton essa tarefa é trivial, porque nós podemos testar a teoria de Newton diretamente. Basta colocar uma massa presa a uma mola dentro de um tubo transparente cheio de água e usar um cronômetro para medir o deslocamento em função do tempo da massa. É quando a teoria que temos não nos permite testes em laboratórios que os análogos se tornam realmente importantes.

Construindo buracos negros em laboratórios

Imagem em raios X colorida artificialmente do satélite Chandra da NASA de Sagitário A*, o buraco negro no centro da Via Láctea.

Imagem em raios X colorida artificialmente do satélite Chandra da NASA de Sagitário A*, o buraco negro no centro da Via Láctea.

Um grupo de Dartmouth College nos Estados Unidos, Paul Nation, Miles Blencowe e Alex Rimberg junto com E. Buks de Technion em Israel, mostrou como construir um análogo de um buraco negro. Nesse caso não apenas é possível obter equações análogas ao horizonte de eventos como também o processo de criação de pares de partículas-antipartículas do vácuo que provoca a radiação Hawking! Como a radiação Hawking de buracos negros é muitíssimo fraca, associada a uma temperatura da ordem de 10-10K, é improvável que seja possível medi-la diretamente e logo análogos se tornam preciosos.

O análogo proposto pelo grupo funciona da seguinte forma. Primeiro, você considera uma série de vários elementos de circuitos supercondutores em série chamados de SQUIDs. Esses elementos são usados para medir variações minúsculas em campos magnéticos, campos que podem ser tão pequenos quanto 10-18 T — para uma comparação, o campo magnético da Terra é da ordem de 50×10-6 T. Além disso, você passa um pulso eletromagnético de microondas que vai se propagar através da cadeia de SQUIDs. Se você tiver um número suficientemente grande de SQUIDs em cadeia — da ordem de 2 mil –, você pode aproximar a equação que descreve a variação da corrente ao longo do circuito por uma equação que descreve algo parecido com uma onda. Uma vez que temos uma equação desse tipo, é possível escreve-la em uma forma que representa a equação de movimento de um campo escalar na presença de um campo gravitacional. Isso é possível graças ao fato de que, devido ao princípio da equivalência, um campo gravitacional é equivalente a uma geometria do espaço e do tempo. Sendo assim, quando você escreve a equação de movimento de uma onda em um dado espaço-tempo, essa equação vai depender da geometria — o movimento da película vibrante de um tambor depende se você curva ou não o material. Paul Nation mostrou que essa equação de onda para a corrente elétrica no circuito interpretada como a equação de um campo escalar na presença de um campo gravitacional, coincide com uma “fatia” da equação de um campo escalar na presença de um buraco negro. Essa fatia corresponde a coordenada do tempo como medido por um observador que cai em direção ao buraco negro.

É o pulso eletromagnético que se propaga ao longo da cadeia que define o “horizonte de eventos”. Nesse caso, as flutuações quânticas do campo eletromagnético permitem a criação de um par de fótons que acompanha o pulso. Esse par de fótons que se propagará ao longo da cadeia representa o análogo da radiação de Hawking.

Infelizmente ainda não é possível montar o equipamento proposto porque até o presente momento o número máximo de SQUIDs que podem ser colocados em cadeia é da ordem de centenas. Aparentemente é impossível no presente momento construir uma cadeia tão comprida quanto a necessária para realizar a idéia (não me pergunte por quê…).

Uma vantagem imediata da realização do circuito de SQUIDs é que a temperatura da radiação Hawking produzida é da ordem de 100 mK, e como SQUIDs são operados a poucos mK, o efeito é muito superior a qualquer flutuação térmica presente no circuito, o que é importante porque a radiação Hawking é quase-térmica, portanto difícil de ser distinguida a qualquer temperatura maior que a temperatura do buraco negro. Como é igualmente possível medir os dois fótons da radiação (o que está fora do horizonte e o que está dentro), é possível distinguir experimentalmente o sinal da radiação Hawking de um sinal espúrio fazendo medidas correlacionadas de dois fótons com a mesma freqüência. Isso permite descriminar claramente a radiação Hawking de qualquer outro fenômeno térmico ocorrendo no material.

Além disso, o grupo notou que existe um limite controlável do experimento em que a fase de propagação da onda através da cadeia pode tornar-se quântica. Em última análise, todo o sistema é descrito pela mecânica quântica, mas mantendo um certo limite sobre as freqüências utilizadas, é possível manter o valor do fluxo do campo magnético através do SQUID essencialmente clássico. Isso corresponde em termos da mecânica quântica a manter a dispersão do valor médio do fluxo do campo muito pequena em comparação ao valor do campo. Mas se essa dispersão (a flutuação quântica) for próxima ao valor médio, a aproximação clássica deixa de valer e as correções da mecânica quântica se tornam relevantes. Dessa forma é possível reintroduzir flutuações quânticas no parâmetro que define a equação de onda que é o análogo do campo gravitacional. Assim, é possível introduzir um análogo de flutuações quânticas do campo gravitacional e testar a robustez do cálculo de Hawking (que despreza as flutuações quânticas do campo gravitacional). Isso no sentido de que é possível parametrizar livremente o tamanho dessas flutuações e responder a seguinte pergunta: podem os desconhecidos efeitos quânticos da gravitação alterar substancialmente a validade da conta da radiação Hawking? Se sim, quão grande esses efeitos devem ser para invalidar o tratamento clássico do campo gravitacional? Essas são ambas perguntas bem interessantes para entender melhor a gravidade.

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Feliz Aniversário, Fermi…!

terça-feira, 29 set 2009; \40\America/New_York\America/New_York\k 40 Deixe um comentário

Hoje é aniversário de Enrico Fermi — parabéns! :mrgreen:

Um dos grandes jugernautas da Física, Fermi obteve grandes sucessos teóricos e experimentais também.

Ele também foi eleito uma das 100 personalidades mais importantes do século [passado] pela revista Time, The Time 100: Fermi.

😈

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 25 set 2009; \39\America/New_York\America/New_York\k 39 Deixe um comentário


A Física da Psicologia Humana

quinta-feira, 24 set 2009; \39\America/New_York\America/New_York\k 39 6 comentários

Talvez interesse para vocês, principalmente para os nossos leitores que são professores colegiais de física — ou mesmo quem quer falar de física para o público –, essa seguinte palestra do Steven Pinker


The Stuff of Thought, áudio MP3 na iTunes U, grátis, The RSA, 1h25min.

onde ele fala logo no início, entre outras coisas, sobre a física da psicologia humana.

O que é, exatamente? Entende-se hoje que o comportamento humano é o produto da evolução das espécies. Todos os animais superiores são dotados de instintos natos que constituem um conjunto de teorias físicas do mundo. Para ilustrar, vou usar dois outros exemplos diferentes da palestra (que você encontra no Como a Mente Funciona do Pinker), e que não estão ligados a linguagem. O primeiro é a conservação da massa. Todo mamífero tem escrito no cérebro essa suposição sobre a matéria. Quando Bambi vê uma leoa distante andando perpendicularmente a sua linha de visão e a imagem da leoa é obstruída por uma rocha, Bambi sabe que há um leão atrás da rocha, mesmo que esse tenha desaparecido do campo de visão. Essa é uma suposição básica sobre o universo que os mamíferos inteligentes fazem. O cérebro dos animais superiores foi dotado dessa suposição porque aqueles que não a tinham ficavam despreocupados quando um predador se escondia e consequentemente eram presa mais fácil. O DNA associado a esse comportamento foi portanto desfavorecido na população. Outro exemplo é a lei da gravitação. Quando um humano se encontra na beira de um precipício, o cérebro automaticamente reconhece o perigo e injeta na corrente sangüínea (não ligo para você novo acordo ortográfico!) os hormônios necessários para reação adequada: os movimentos musculares são drasticamente desacelerados, de fato, podem até congelar por um tempo. Essa injeção hormonal é involuntária, não depende se você já aprendeu ou não a lei da gravidade na escola: o cérebro pressupõe que objetos não permanecem no ar sem sustentação. A origem evolutiva do medo inato de altura é bem óbvia.

As leis físicas supostas pelo cérebro humano não precisam ser corretas ou precisas. Elas são o produto direto de tentativa e erro da evolução. Aprendendo qual é a física da psicologia, os psicólogos podem testar a teoria mostrando situações a seres humanos em que a física da psicologia é explicitamente violada. Os mais notórios exemplos são as ilusões de óptica. Como a imagem que se forma na retina é bidimensional, informação do mundo tridimensional é perdida. Ainda assim, o cérebro reconstrói a informação de profundidade. Isso só é possível porque há uma série de suposições sobre a propagação de raios de luz (perspectiva) e conservação da massa. Violar parte desses pressupostos permite aos psicólogos criar parte das ilusões ópticas (existem ilusões de óptica de outros tipos, como aquelas associadas a tentativa do cérebro de preencher padrões da região de visão central na visão periférica).

Nessa palestra da RSA, e também no livro homônimo (no Brasil: Do que é feito o pensamento, Cia. das Letras), Pinker explora como uma análise cuidadosa da gramática das línguas revela alguns desses pressupostos que o cérebro humano faz sobre o mundo. É a física da psicologia e da linguagem.
Eu deixo o Pinker falar sobre parte do que eles tem apreendido sobre o comportamento humano. Um dos aspectos interessantes da palestra é a observação de que, na gramática, tempo é tratado “como uma dimensão do espaço”. Isso remete a construção da linguagem com base em analogias, coisa que o Pinker explora brevemente no Como a Mente Funciona (e explica nessa palestra também).

Ao ensinar física newtoniana, eu creio que as explorações dessa área da psicologia podem ser interessantes para alunos de colégio, para verem como a física é útil em outras ciências de uma forma inusitada. Porque nesse caso não é que modelos matemáticos da física estão sendo usados para descrever o disparar de um neurônio, e sim a noção de teorias físicas entra para entender alguns dos aspectos do comportamento humano. 🙂

Segundo lugar no Prêmio ABC!

domingo, 20 set 2009; \38\America/New_York\America/New_York\k 38 7 comentários

Estava eu aqui, a trabalhar num artigo sobre espaços-tempo 6-dimensional que decaem espontaneamente para 4-dimensões… quando resolvi dar uma olhada no meu twitter e descobri uma maravilha,

O Ars Physica ganhou o 2º Lugar no Prêmio ABC de Blogs Científicos! 😈

(Ver mais sobre o Prêmio ABC no link Prêmio ABC para blogs científicios (UPDATE 11/09/2009).)

Eu gostaria de agradecer a todos os blogs e blogueiros participantes, assim como os envolvidos com o prêmio e com a tabulação dos resultados, e, claro, a todos os que votaram, tanto no Ars como no geral — excelente trabalho pessoal! 🙂

Quem quiser continuar lendo, pode seguir o link abaixo… 😉
Leia mais…

O realejo do dia…

domingo, 20 set 2009; \38\America/New_York\America/New_York\k 38 2 comentários

A semana nos arXivs…

quarta-feira, 16 set 2009; \38\America/New_York\America/New_York\k 38 Deixe um comentário

Realejo do dia (de amanhã)…

segunda-feira, 14 set 2009; \38\America/New_York\America/New_York\k 38 Deixe um comentário

Realejo do dia…

segunda-feira, 14 set 2009; \38\America/New_York\America/New_York\k 38 2 comentários

Realejo do dia…

domingo, 13 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 Deixe um comentário

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 11 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 3 comentários


Ilusão

Ilusão

O realejo do dia…

quinta-feira, 10 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 Deixe um comentário

O realejo do dia…

terça-feira, 8 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 Deixe um comentário

“Life is a comedy for those who think… and a tragedy for those who feel.”Horace Walpole

(“A vida é uma comédia praqueles que pensam… e uma tragédia praqueles que sentem.”)

Pra quem gostou da citação, aí vão mais algumas: citações de Horace Walpole. 🙂

O problema da seta do tempo

segunda-feira, 7 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 19 comentários

Por que podemos ir da esquerda para a direita, mas não temos acesso ao passado? Por que girar um objeto no espaço não causa os mesmos paradoxos que imaginar matar o seu avô?

O problema da seta do tempo é um dos mais célebres problemas fundamentais da Física. Ele deve ter sido percebido pela primeira vez na mecânica de Newton, quando notou-se que tipicamente os sistemas mecânicos conhecidos admitem uma inversão temporal. O que isso quer dizer? Se temos a equação de Newton,

\mathbf{F}(\mathbf{v},\mathbf{x},t) = m\mathbf{a}

e uma de suas soluções

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (t)

então temos automaticamente outra solução:

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (-t)

Isso significa que a equação de Newton não consegue distinguir passado do futuro: se eu tenho uma solução que leva uma condição inicial x_0, v_0, t_0 em x,v,t, é também solução do sistema percorrer o trajeto de x,v, t até x_0, v_0, t_0.

A primeira lei da Natureza descoberta que faz diferença entre passado e futuro é a segunda lei da Termodinâmica, quando enunciada da seguinte forma:

Se considerarmos um sistema físico em equilíbrio, i.e. estamos olhando para um conjunto de observáveis desse sistema X que independem do tempo, então existe uma função S convexa dos valores dessas variáveis tal que se permitimos um ou mais elementos do conjunto X variar, o sistema atingirá equilíbrio novamente de tal forma que S é um máximo com respeito aos valores acessíveis de X.

O que essa afirmação quer dizer é o seguinte. Suponha que você tem um gás dentro de um recipiente de volume total V. Nós dizemos que o volume acessível ao gás é V. O gás poderia ocupar um volume menor, porque não existe nada impedindo isso de acontecer (nenhum vínculo). Existe um vínculo que impede o gás de ocupar um volume maior que V que são as paredes do recipiente. A segunda lei da Termodinâmica diz que o gás ocupará um volume V’ que deve ser tal que a função S(V) é um máximo em V’ dado o vínculo de que V' \leq V. Para um gás, S(V) \propto \log V, então é possível mostrar que o máximo de fato ocorrerá para V' = V. Para resolver esse problema de maximização, é necessário introduzir uma variável extra, conjugada ao volume V, que é conhecida como multiplicador de Lagrange. Essa variável é o que se chama a pressão.

A segunda lei da Termodinâmica é na verdade uma afirmação mais forte que a que eu coloquei nesse texto, mas para o problema da seta do tempo, as demais propriedades da função S não me importam. E é isso mesmo que você está pensando, S é a entropia.

Por que essa lei parece ter algo a ver com a seta do tempo, se em Termodinâmica não existe a variável tempo? É porque se uma vez você permite S aumentar de valor, então os estados com entropia menor agora são fisicamente inacessíveis devido a convexidade de S. Por exemplo, uma função convexa é o logarítmo, então se supormos que para um gás S(V) = \log(V) , uma vez que o volume acessível ao gás V satisfaça V \leq V', o gás sempre será encontrado ocupando um volume V’, e nunca menor.

Durante as décadas de 1860 e 1870, Ludwig Boltzmann e Josiah Willard Gibbs começaram a conectar a termodinâmica com as leis da mecânica, dentro da disciplina que se chamou a Física Estatística. A peça chave para fazer essa conexão foi proposta por Boltzmann. Mas hoje em dia nós entendemos o significado dessa peça chave graças ao trabalho de Edwin Jaynes. Felizmente já há um bom post de blog sobre isso aqui. Boltzmann mostrou que aquela quantidade de informação total contida na descrição de um sistema satisfaz

- \frac{d}{dt} H( \{p_i\}) = -\frac{d}{dt} \sum_i p_i \log p_i \geq 0

Esse é o celebrado Teorema H. Esse teorema hoje pode ser demonstrado de forma genérica como conseqüência direta da mecânica quântica. É tentador identificar a quantidade acima como a entropia, e mais ainda, concluir que o problema da seta do tempo está resolvido porque o teorema supostamente nos diz que a entropia sempre aumenta no tempo. Porém, isso é incorreto em diversos níveis, de diferentes formas.

Uma inconsistência, a mais famosa, foi apontada pelo colega e professor de Boltzmann, Johann Loschmidt. Suponha que existe uma solução da equação de Newton para os constituintes do sistema que leva-o do estado i para o estado f, e suponha que a entropia só depende do estado do sistema, então se S(f) > S(i) e se existe reversibilidade temporal, há uma solução da mesma equação de Newton que leva o sistema de f para i e portanto viola a segunda lei da Termodinâmica. Não há violação do teorema H, e sim da segunda lei da Termodinâmica, pois o teorema H também admite que a informação perdida de um sistema diminua no tempo (ao invés de crescer) se você permite reversibilidade temporal na mecânica. Isso deveria ser óbvio do fato de que você pode tomar dt \rightarrow -dt. Isso levou Loschmidt a apontar que o teorema H não é equivalente a segunda lei da Termodinâmica.

O mito de que a segunda lei da Termodinâmica pode ser “provada” a partir de uma mecânica reversível continuou. Em 1971, E. T. Jaynes encontrou a recíproca do paradoxo de Loschmidt: é possível satisfazer a segunda lei da Termodinâmica e violar o teorema H.

O paradoxo de Loschmidt pode ser facilmente generalizado para a mecânica quântica. Se temos um sistema no tempo t_i descrito por uma matriz de densidade \rho_i e em t_f por \rho_f e uma evolução temporal que satisfaz o teorema H que leva o sistema do estado inicial \rho_i para o estado final \rho_f, supondo que existe um operador anti-unitário anti-linear T que representa a ação t \rightarrow -t, então ao aplicar T a equação do teorema H obtemos uma solução que leva T \rho_f T^{-1} como estado inicial para T \rho_i T^{-1} como estado final. Se de fato a entropia é uma função de estado, uma dessas soluções do teorema H viola a segunda lei da Termodinâmica.

Portanto, infelizmente, nós não podemos compreender a irreversibilidade da Termodinâmica sem assumir uma seta do tempo nas leis microscópicas da física. Isso é um indicativo, em outros, de que o problema da seta do tempo não é um efeito macroscópico.

Existe uma discussão moderna sobre o problema da seta do tempo que tenta transferir esse problema a uma natureza puramente de condição inicial. Você vai encontrar por ai a afirmação de que se for possível explicar porque o universo começou em um estado de “baixa entropia”, então “segue da física de Boltzmann” que o universo aumenta entropia. Naturalmente que isso é incorreto, baseado na idéia falsa de que a segunda lei da Termodinâmica do aumento da entropia pode ser de alguma forma derivada da mecânica. Além do fato que me parece incorreta essa afirmação por causa disso, como fica claro da construção da entropia feita por Jaynes, esta quantidade é “subjetiva” no sentido de que ela não depende do sistema mas de uma escolha de descrição de quem faz inferências estatísticas. O que eu quero dizer com isso é que se eu de fato fosse resolver a evolução temporal do sistema em toda sua glória, eu não precisaria da física estatística para obter a entropia do sistema e aplicar o princípio de maximização da entropia para saber o estado final. Há outra falha que posso apontar, que é a de que a segunda lei da Termodinâmica só é válida quando o número de partículas e o volume do sistema físico é “grande”. É possível demonstrar matematicamente que a probabilidade do sistema ser encontrado em estados que violam a segunda lei da Termodinâmica tende a zero no limite que o número de partículas vai a infinito, mas se você não tomar esse limite, pode existir uma probabilidade não-nula e observável de violar a segunda lei da Termodinâmica. Isso naturalmente só ocorre para sistemas mesoscópicos e microscópicos, onde já se espera que a Termodinâmica não seja válida. Ainda assim, é possível definir passado e futuro, sem se preocupar com o fato de que eventualmente a entropia pode espontaneamente descrescer.

No presente momento não há nenhuma explicação para a natureza da seta do tempo. Também não é possível traduzir o problema em termos de condições iniciais ou de contorno. Todas essas idéias de reduzir o problema da seta do tempo a entropia ou outras coisas na verdade abriga o nosso preconceito de raciocinar em termos de passado e futuro, o próprio conceito que estamos tentando explicar.

A semana (que passou) nos arXivs…

sábado, 5 set 2009; \36\America/New_York\America/New_York\k 36 Deixe um comentário

Por que a equação de Newton é de segunda ordem?

quinta-feira, 3 set 2009; \36\America/New_York\America/New_York\k 36 1 comentário

Edição 04/09: pequenas correções no texto para ficar mais claro e preciso.

Uma pergunta teórica interessante sobre sistemas físicos é entender porque a lei de Newton é uma equação para a aceleração de um móvel e não para, digamos, a taxa de variação da aceleração. É claro, uma resposta é que é um fato empírico: o modelo matemático em que determinamos a aceleração através da equação de Newton sabendo apenas a posição e velocidade é consistente com tudo que se observa na Terra e astronomicamente. Todavia, será que há alguma razão física mais profunda para a lei de Newton ser a determinação da aceleração? Ou dito de outra forma, se permitimos a segunda lei de Newton depender de taxas de variações de aceleração, ou quem sabe ainda da taxa da taxa de variação da aceleração, etc., será que algum princípio físico que prescinde a lei de Newton, como a causalidade, seria violado?

Hoje em dia sabe-se que é possível ver a lei de Newton como conseqüência do fato de que há uma certa função da posição e da velocidade, L(\mathbf{x},\mathbf{v}), cuja área total do gráfico em função do tempo t é tal que a lei de Newton é satisfeita quando essa área é a menor possível, dada a posição inicial e final do móvel — i.e. o que se chama o princípio de mímina ação. Se incluirmos nessa função L também a aceleração, podemos obter uma lei de movimento que determina a variação da aceleração em função da posição, velocidade, aceleração e do tempo. É possível desenvolver uma mecânica análoga a de Newton dessa forma. Aparentemente, foi o matemático russo Mikhail V. Ostrogradsky em 1850 o primeiro a considerar esse tipo de sistema físico. Ele percebeu que assim que alguém permite a entrada da aceleração como variável e não determinada em função da posição e velocidade, a energia do sistema pode ser tão negativa quanto se queira. Por exemplo, uma massa presa em uma mola de constante de Hooke k é descrita pela função L dada por

L = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}kx^2

Podemos considerar como um exemplo de modificação da lei de Newton o sistema

L = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{2}\epsilon^2 a^2

onde a é a aceleração, e poderíamos pensar que como a segunda lei de Newton funciona muito bem, o termo de aceleração em L é “pequeno” de alguma forma. Mas isso não dá certo, porque a energia desse sistema será dada por

E = p_x v - \frac{1}{2} (p_v/\epsilon)^2 -\frac{m}{2}(1+\omega^2)v^2 + \frac{m}{2}\omega x^2

onde p_v e p_x são os momenta associados a posição e velocidade. O momento da variável posição não é proporcional a velocidade nesse caso. Como você pode ver, tomar o limite de \epsilon \rightarrow 0 não é a mesma coisa que obter de volta a forma da lei de Newton onde \epsilon = 0 (Não dividirás por zero! Também é possível ver isso na solução x(t) que depende de \epsilon através de \cos(t/\epsilon)). Nós não podemos enxergar aquela aceleração como uma pequena correção a lei de Newton: ao permitir que ela entre na nossa lei de mecânica como uma variável, estamos mudando radicalmente as leis da Natureza. Em especial, essa energia E pode ser tão negativa quanto se queira, já que p_v^2 é positivo e pode ser qualquer valor (eu posso dar um chute inicial tão grande quanto eu quiser para a massa). Para esse caso de um oscilador harmônico isso pode parecer um fato inofensivo, porém se transferirmos essa conseqüência para um sistema físico como a órbita de um planeta ao redor de uma estrela onde a energia pode ser tomada como negativa, a inexistência de um mínimo para energia significa que o móvel vai continuamente perder energia potencial para ganhar energia cinética, ou em outras palavras, entrará em moto perpétuo (extraindo indefinidamente energia potencial) ou eventualmente colapsará no centro de força (o planeta cai na estrela).

Outra forma de ver o que está acontecendo, é saber que a 2a lei da Termodinâmica pode ser enunciada da seguinte forma: dados os vínculos que um sistema físico tem que satisfazer, como o número de partículas, volume e entropia dados, o sistema repousará no estado em que a energia interna é mínima como função dessas variáveis vinculadas. Sendo assim, a existência de um mínimo para a energia dos constituintes da matéria é uma exigência da Termodinâmica. Podemos dizer que a segunda lei de Newton é uma lei para a aceleração porque se fosse de outra forma, ela seria inconsistente com a segunda lei da Termodinâmica (aplicada aos constituintes da matéria)! (Atenção! Estou me arriscando aqui, pois não vi esse tipo de afirmação na literatura. Mas eu acho que está certo, embora possa estar sendo precipitado…)

A ausência de um limite inferior para a energia também trás outros problemas ligados a causalidade quando passamos a considerar a própria lei da força, por exemplo, quando incluímos as leis de Maxwell na brincadeira (em outras palavras, passamos a aplicar o mesmo raciocínio da função L da mecânica para a função L que determina as leis do eletromagnetismo ou da gravidade). Nesse caso, a existência de um mínimo é o que garante que a aceleração de um móvel no instante t só depende de sinais emitidos em instantes anteriores (ou de sinais posteriores, mas essa segunda solução das equações é fisicamente inaceitável). Sem esse mínimo, você pode ter um movimento que depende do passado e do futuro. Dirac encontrou esse tipo de problema ao tentar calcular a reação da força eletromagnética que um elétron produz em si mesmo — quer dizer, a força que o campo elétrico do próprio elétron realiza sobre ele — porque essa depende de volta da aceleração do elétron.

Entrando agora em uma linguagem um pouco mais técnica, o que ocorre é que ao adicionar a aceleração como variável, estamos incrementando o número de graus de liberdade. Na segunda lei de Newton, para cada partícula em 3 dimensões espaciais há 6 graus de liberdade: as coordenadas espaciais e as três componentes da velocidade. A aceleração é determinada imediatamente se você tem essas 6 variáveis através da segunda lei de Newton. Se agora a aceleração também pode variar, o número de graus de liberdade sobe para 9, e é a taxa de variação da aceleração que é determinada por alguma lei de força em função das demais. Essa observação também nos permite voltar a essas teorias com acelerações e poder desenvolver uma técnica que dá sentido físico a elas!

Usando aceleração como um parâmetro pequeno

Para poder usar a aceleração como um parâmetro pequeno na lei de força, é necessário evitar introduzir um novo grau de liberdade. A forma de fazer isso só foi descoberta em 1986 (vide ref. abaixo). Vamos chamar o L normal de Newton (que só depende da posição e velocidade) de L^{(0)} e o pequeno termo de aceleração que deseja-se adicionar de L^{(1)}. Para não introduzir um novo grau de liberdade, deve-se resolver a aceleração em função de posição e velocidde usando L^{(0)} e então inserir essa solução em L^{(1)}. Pode-se continuar esse procedimento a qualquer ordem agora, i.e. posso introduzir a taxa de variação da aceleração na teoria usando uma certa L^{(2)} usando a solução dessa taxa obtida de L^{(0)} + L^{(1)}, e assim por diante. Dessa forma, é possível construir uma lei de força que ainda mantém a estrutura da lei de Newton F = ma, porém a própria força contém a aceleração e talvez até outros termos. Esse procedimento livra a teoria de todas aquelas insanidades de instabilidade de energia, impossibilidade de tomar o limite \epsilon \rightarrow 0, e violação de causalidade (no caso das teorias de campo).

No exemplo da massa presa a mola, o que deve ser feito é substituir a no termo \epsilon a^2 com a solução do movimento massa-mola a = - (k/m)x:

L = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{2}\epsilon^2 (k/m)^2 x^2

Como se pode ver, o efeito de adicionar a aceleração é agora corrigir o valor da constante da mola de k para (1+ k \epsilon^2 / m^2) k . A solução continua sendo o movimento oscilatório massa-mola, e podemos colocar \epsilon = 0 para obter a lei de força de Hooke.

Esse procedimento não é ad hoc. Na verdade, ele é a forma correta de realizar essa conta se você quer construir uma teoria que aproxima de volta a teoria de Newton, como vimos, devido ao fato de que só assim você pode tomar o limite de remover a aceleração e obter a teoria de Newton. É também a forma de preservar a existência de valor mínimo da energia.

Também é possível mostrar o seguinte. Vamos supor que você tem uma teoria para L que não tem nenhum problema de mínimo de energia ou causalidade e que pode ser resolvida exatamente em certas condições, mas que ao fazer uma certa aproximação nessa teoria você obtém uma série de potências na aceleração e suas taxas de variação. Um exemplo concreto de teoria assim é uma conhecida como a teoria de Feynman-Wheeler (vide ref abaixo para os detalhes se quiser). É possível mostrar que ao considerar a teoria aproximada, a solução só reproduz de volta a solução exata (na mesma ordem de aproximação) se você aplicar essa técnica de remover graus de liberdade espúrios.

Agora, um comentário técnico. Eu sei que esse assunto dos problemas de teorias com derivadas mais altas que a primeira no tempo não é amplamente conhecido porque há por ai na literatura coisas interessantes como o tal modelo Lee-Wick, que é um exemplo desse tipo de teoria mas onde o Wise et al. não removem os graus de liberdade espúrios. Pelo contrário, eles mantém esses graus de liberdade lá o tempo inteiro, só que esses são associados a partículas “confinadas” (que só aparecem em loops) e por isso não seriam, em princípio, observáveis. Eu suspeito que isso não resolve o problema, porque nesse caso você viola as regras canônicas de comutação do campo observável já que por consistência você tem que ter [ \phi, \dot{\phi}] = 0.

Citation Needed
Para quem sabe o que é uma Lagrangeana, tudo que falei acima foi muito superficial. Então toma: Jonathan Z. Simon, Phys. Rev. D41, 3720 – 3733 (1990) online.

O realejo do dia…

terça-feira, 1 set 2009; \36\America/New_York\America/New_York\k 36 1 comentário

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