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Supercordas em AdS

terça-feira, 29 dez 2009; \53\UTC\UTC\k 53 Deixe um comentário Go to comments

Introdução

Faz muito tempo que queria falar sobre um dos tópicos mais quentes da física teórica contemporânea: a dualidade AdS/CFT ou dualidade de Maldacena, que foi quem a descobriu em 1997. Essa dualidade diz que uma certa teoria de supercordas é completamente equivalente a uma teoria de gauge. A teoria de gauge em questão é Super Yang-Mills com 32 geradores fermiônicos de simetria. 16 dessas transformações formam 4 espinores de Weyl e seus conjugados complexos, o que é quatro vezes a quantidade mínima de geradores de geradores de supersimetria e por isso essa teoria é conhecida como {\mathcal N}=4 SYM.

Teoria de cordas é uma teoria quântica de campos para mapas entre superfície de Riemann (bidimensionais) e o espaço-tempo. No caso de teoria de supercordas esse mapa tem como contra-domínio um super-espaço-tempo, onde ações invariantes por translações são teorias com invariância supersimétrica. Existe ainda o que alguns chamam de corda girante, que é uma teoria para mapas entre super-superfícies de Riemann e o espaço-tempo. É um tópico em qualquer introdução à teoria de supercordas mostrar que, após um procedimento conhecido como projeção GSO, essa teoria também tem supersimetria no espaço-tempo (veja, por exemplo, os excelentes livros do Polchinski).

O coração da teoria de supercordas é um procedimento para obter as equações de movimento da teoria no espaço-tempo em função das propriedades quânticas da teoria bidimensional muito mais simples. A teoria de supercordas prevê a existência de uma série infinitas de campos, mas em particular prevê a existência de um campo de spin 2 sem massa. Falar em um spin é um pouco complicado em teoria de supercordas, já que uma dessas equações de movimento só tem solução num espaço de 10 dimensões. E em 10 dimensões você tem que especificar 4 spins para caracterizar um campo completamente (além da massa, claro!). Vamos dizer então que é previsto um campo tensorial de rank 2 simétrico e sem traço, que é naturalmente associado à gravitação já que ele se acopla ao tensor momento-energia.

A dualidade AdS/CFT diz que aquela teoria de campos 4 dimensional que falei acima, é equivalente a essa teoria de campos 10 dimensional que a teoria de supercordas descreve com uma teoria de campos 2 dimensional. Ou seja, nessa dualidade há 3 teorias quânticas de campos envolvidas e isso é uma confusão sem tamanho. Nessa dualidade, a teoria de supercordas é especificamente para mapas entre superfícies de Riemann e super-espaços cuja parte bosônica AdS_5 \times S^5. Nesse post eu vou tentar explicar então o que é essa teoria de quântica de campos 2 dimensional, que acredite ou não, é o que menos se vê nos 13412327365 reviews que existem sobre esse assunto na internet.

Relacionado a esse tema, você também pode ler essas notas que eu redigi sobre teoria de supercordas em background Ramond-Ramond.

Geometria

A maneira mais simples de entender o que é esse espaço 10 dimensional que é o contra-domínio dos mapas é entendê-lo como certas superfícies mergulhadas num espaço maior. A parte S^5 é uma esfera 5 dimensional que pode ser definida algebricamente como o lugar geométrico de um espaço 6 dimensional definido pela equação:

(X^1)^2 + (X^2)^2 + (X^3)^2 + (X^4)^2 + (X^5)^2 + (X^6)^2 = R^2

podemos, por exemplo, colocar coordenadas esférias do tipo:

X^1 = R\cos\psi
X^2 = R\sin\psi\cos\xi
X^3 = R\sin\psi\sin\xi\cos\zeta
X^4 = R\sin\psi\sin\xi\sin\zeta\cos\theta
X^5 = R\sin\psi\sin\xi\sin\zeta\sin\theta\cos\phi
X^6 = R\sin\psi\sin\xi\sin\zeta\sin\theta\sin\phi

A idéia para AdS é a mesma, mas a superfície é dada por:

- (X^1)^2 - (X^2)^2 + (X^3)^2 + (X^4)^2 + (X^5)^2 + (X^6)^2 = - R^2

A parametrização mais usual é chamada coordenadas de Poincaré:

X^1 = \frac{1}{2u}(1+u^2(R^2+\vec{x}^2-t^2))
X^2 = Ru t
X^3 = \frac{1}{2u}(1+u^2(-R^2+\vec{x}^2-t^2))
\vec X = Ru \vec x

O leitor interessado por facilmente verificar que a métrica final, usando essa parametrização específica é:

ds^2 = \frac{u^2}{R^2}\, [-dt^2+(d\vec{x})^2]+R^2\frac{du^2}{u^2}+R^2d\Omega_5^2

onde d\Sigma_5^2 é a métrica típica para coordenadas esféricas. Agora faz u = e^{\phi}\Rightarrow du/u = d\phi:

ds^2 = \frac{e^{2\phi}}{R^2}\, [-dt^2+(d\vec{x})^2]+R^2(d\phi)^2+R^2d\Omega_5^2

Essa é a forma mais comum vista da métrica de AdS_5\times S^5 em trabalhos de teoria de cordas mas não é solução das equações de Einstein no vácuo e logo não pode ser um background consistente para teoria de supercordas se não houvesse nenhuma fonte. Contudo, na supergravidade em 10 dimensões há campos que podem servir como fontes de campo gravitacional. Importante para esse caso, é o campo Ramond-Ramond. No caso de supergravidade IIB, que tem essa solução, o campo de Ramond-Ramond é um biespinor com índices de mesma quiralidade. O campo Ramond-Ramond nesse caso é:

P^{\alpha\hat{\beta}}=\frac{(4\pi)^{1/4}(\gamma^{01234})^{\alpha\hat{\beta}}}{R^{1/2}}

Vamos indicar como se mostra isso explicitamente. Um biespinor pode ser decomposto da seguinte forma:

P^{\alpha\hat\beta}=(\gamma^m)^{\alpha\hat\beta}F_m + \frac{1}{3!}(\gamma^{mnp})^{\alpha\hat\beta}F_{mnp}+\frac{1}{2\cdot 5!}(\gamma^{mnpqr})^{\alpha\hat\beta}F_{mnpqr}

E cada uma das formas tem uma ação tipo Maxwell, por exemplo, para a 5-forma:

\frac{1}{2\cdot 5!}\int \,\sqrt{-g}\,F_{mnpqr}F^{mnpqr}\,d^{10}x

O leitor pode então escrever o tensor momento-energia de cada uma dessas formas e verificar que a métrica é solução para as equações de Einstein.

Existe uma representação para a álgebra de Clifford em que a matriz gamma acima é numericamente idêntica à matriz unidade e vamos chamá-la de \eta_{\alpha\hat\beta}. Como o objetivo desse post é realmente ensinar o que está acontecendo, vamos construir essa representação. Uma base para vetores em AdS_5\times S^5 se transforma por SO(4,1)\times SO(5) como deve ter ficado óbvio da definição algébrica desses espaços. Então a álgebra de Clifford é um produto direto entre duas álgebras 5 dimensionais que são geradas pelas seguintes matrizes de Dirac:

\Gamma^a = \sigma^a\otimes\mathbb{I}_4\otimes\tau^1\qquad \Gamma^{a^{\prime}} =\mathbb{I}_4\otimes\sigma^{a^{\prime}}\otimes\tau^2

O leitor pode então escrever a representação matricial para essas matrizes partindo da sua presentação favorita para matrizes de Pauli \tau e matrizes de Dirac \sigma de SO(4,1) e verificar que no caso de AdS_5 \times S^5, diferentemente de Minkowski, há um membro da álgebra de Clifford que mistura os dois tipos de índices fermiônicos e que esse membro é numericamente igual à unidade numa certa representação.

Ação de Green-Schwarz-Metsaev-Tseytlin

Agora que vem a discussão interessante: como esses campos determinam a teoria de cordas, isto é, a teoria quântica de campos 2 dimensional. A parte da métrica é simples: é a ação de Polyakov que hoje em dia já é tão comum:

S_g=\frac{\sqrt{\lambda}}{2\pi}\int\, d^2\sigma\, \sqrt{g}g^{ij}\partial_iX^M\partial_jX^NG_{MN}

onde G_{MN} é a métrica de AdS_5\times S^5 descrita acima. A maneira mais usual de se encontrar essa ação na literatura é introduzindo os pullbacks dos vielbeins J^a = dX^M e^a_M. O problema é como acoplar o campo de Ramond-Ramond. Para a corda girante isso não é possível. A forma intuitiva do termo é partir do operador de vértice:

\int\,d^2z d_\alpha P^{\alpha\beta} d_{\beta}

e covariantizar esse termo. Mas o problema é que na corda girante os termos d_{\alpha} são operadores não locais que não podem entrar na ação diretamente. Na supercorda não há esse problema, pois esses campos se acoplam aos parceiros supersimétricos de X^M, vamos ver como.

A primeira coisa é generalizar o o pullback do vielbein para o pullback de um supervielbein J^A=dZ^M E^A_M. Pode-se acoplar consistentemente uma 2-superforma B_{AB}, cujo field strengh é H_{ABC} = \nabla_{[A}B_{BC]}+T_{[AB}^{\;\;\; D}B_{D|C]}. Para um background Ramond-Ramond constante, isso quer dizer H_{a\alpha\beta}=T_{a\alpha}^{\;\;\;\hat{\beta}}B_{\beta\hat{\beta}}. Esse campo não é completamente arbitrário numa teoria de supergravidade, ele obedece vínculos que fixam H_{a\alpha\beta}=-T^{\;\;\; b}_{\alpha\beta}\eta_{ab}=-(\gamma_a)_{\alpha\beta}. Uma bonita demonstração desse fato pode ser encontrado aqui usando a condição de nilpotência do operador BRST da teoria de supercordas. Nesse mesmo artigo, usando a holomorficidade desse operador, os autores mostram que T_{a\alpha}^{\;\;\;\hat\beta}=-(\gamma_a)_{\alpha\beta}P^{\beta\hat\beta}. Juntando esses fatos, temos um campo de background:

B_{\alpha\hat{\beta}}=\frac{1}{2}P_{\alpha\hat{\beta}}^{-1}=\frac{1}{2}\frac{R^{1/2}}{(4\pi)^{1/4}}\eta_{\alpha\hat{\beta}}

A ação total, conhecida como ação de Green-Schwarz-Metsaev-Tseytlin, após redimensionar os campos para aborver os fatores de R é simplesmente:

S=\frac{\sqrt{\lambda}}{2\pi}\int\, d^2\sigma \left(\sqrt{g}g^{ij}J_i^aJ^b_j\eta_{ab}+\frac{\epsilon^{ij}}{2}\eta_{\alpha\hat \beta}J_i^{\alpha}J_j^{\hat\beta}\right)

Essa ação é bem interessante. Nota-se primeiramente que ela pode ser entendendida como um modelo sigma para um super-coset de álgebras. Eu vou explorar essa abordagem num próximo post. Também é possível mostrar que ela não permite uma quantização no cone-de-luz, tal como a ação de Green-Schwarz para a supercorda em Minkowski. Também comentarei isso num próximo post.

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