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On the problem of scale invariance

quinta-feira, 3 mar 2011; \09\UTC\UTC\k 09 Deixe um comentário Go to comments

Ou ainda: Sobre o uso de balanças em carpetes. Se você não entendeu o trocadilho do título, desculpa. Mas ele é muito bom para ser desperdiçado.

Todo mundo que já viajou sabe como é o drama de fazer a mala da viagem de volta. A gente termina comprando mais do que pode e a mala termina ficando mais e mais pesada e a conta bancária mais e mais vazia.

Para evitar gastos desnecessários com excesso de bagagem, eu, na minha última viagem, comprei uma balança bem vagabunda, dessas de banheiro, para pesar a mala antes de ir para o aeroporto. Quando coloquei ela em uso no meu quarto, percebi na hora que tinha algo errado com a força medida. Eu não sei o que me levou a imaginar que o problema era o carpete, mas quando coloquei ela no banheiro, onde o chão é ladrilhado, o peso ficou muito mais próximo do esperado e decidi que essa era a forma correta de fazer a medida.

Para uma pessoa normal, essa história pararia por aí. Para uma pessoa neurótica, nem tanto (e essa observação rendeu ótimas divagações com amigos numa viagem ao Bronx). Vejam, isso não faz menor sentido, certo? A balança tem que medir a reação ao contato e, como seu centro de massa não está acelerado, não importa se ela está no ladrilho, no carpete ou em qualquer outro chão: a força de reação é a mesma. Logo, o problema tem que estar na forma como essa reação é medida.

Eu peguei um monte de pesos que tenho aqui em casa e fui fazer uma tabela com os pesos medidos pelo frabricante dos pesos, medido na balança num chão de ladrilho, num chão de carpete e num chão de madeira:

Peso Ladrilho Carpete Madeira
10 9.6 9.4 9.4
15 14.8 13.8 14.4
20 19.8 16.8 19.8
25 26.2 19.8 26.0
30 32.0 23.8 32.4

Assumindo linearidade, o que é provavelmente falso para pesos tão pequenos assim, encontramos o coeficientes:

Ladrilho – 1.035\pm \sigma\cdot 0.021
Madeira – 1.035\pm \sigma\cdot 0.021
Carpete – 0.820\pm \sigma\cdot 0.021

onde \sigma é a incerteza na medida da balança. Eu gostaria de dizer que essa incerteza é por volta de \mathcal{O}(0.1). Mas a medida muda tanto dependendo de tanta coisa que eu vou deixar na ordem de \mathcal{O}(1).

Legal, acho que a observação é válida, certo? Para mostrar como nesses pesos pequenos a balança está longe de ser linear, vamos testar esses coeficientes com meu peso. A razão entre carpete e ladrilho para o meu peso deu 0.643\pm \sigma\cdot 0.005 enquanto a razão dos coeficientes é 0.792\pm \sigma\cdot 0.026. Ou seja, para ser consistente com 1 desvio padrão, deveríamos ter algo como \sigma=5, o que é errado, claro: o problema aqui é a não-linearidade.

Para uma pessoa não tão normal, mas quase, a história pararia por aqui, certo? (Por que, meu Deus, por que?) Para uma pessoa neurótica, nem tanto. Então vamos abrir a balança e ver como funciona.

Essa é uma balança de banheiro bem comum. Essas barras transmitem a força para o sensor que é aquela lingueta na parte central da balança. Isso é um típico sensor de força na forma de um trampolim de piscina: quando uma força é aplicada na ponta, ele flexiona o que faz aumentar o comprimento da sua superfície superior. Isso faz com que a resistência nessa direção aumente. A diferença é bem pequena, mas ela é medida por uma ponte de Wheatstone, amplificada, digitalizada e mandada para o visor.

Se você quiser ler mais como funciona, pode ver esses três bons artigos da Wikipedia:

Bem, e qual é o problema? O problema é que essas barras que transmitem a força não estão soldadas na tampa, mas sim nos quatro pézinhos da balança, que são soltos.

Detalhe do sensor e da ligação do pé com a barra.

No chão rígido, onde a balança é calibrada, os pés suportam todo o peso. Num carpete, os pés afundam nos pelos do tapete e parte da força é suportada pela base da balança que não tem ligação com o sensor:

Claro que o quanto a base e o quanto os pés suportam depende de diversos detalhes, mas você vê que para pesos maiores, como eu, quando a distribuição se torna mais homogênea, a fração de amostragem cai bastante.

A realidade é que balanças sempre dependem do chão que tem embaixo. Eu andei testando o mesmo com uma balança analógica e percebi que o efeito é o oposto! No carpete o valor aumenta. Não vale a pena entrar em detalhes aqui, já que o fenômeno foi descrito a exaustão por outros neuróticos:

J. Pendergast, D. J. C. MacKay. The Secret of Weight Management (outro bom trocadilho, mas o meu é melhor! Esse é o mesmo MacKay que tem um excelente livro online de inferência estatística que recomendo fortemente.)

Ou seja, se você quiser roubar uns quilinhos, seja da mala ou da sua cintura, saiba como é o chão que te aguenta.

Categorias:Ars Physica
  1. sábado, 5 mar 2011; \09\UTC\UTC\k 09 às 07:48:34 EST

    Cara, excelente artigo.

    Fazia tempo que não via algo tão divertido.

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