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Quem colapsou a função de onda do universo?

segunda-feira, 28 mar 2011; \13\UTC\UTC\k 13 Deixe um comentário Go to comments

Como ninguém perguntou no último post😦 faço eu aqui a pergunta. Existe uma dificuldade conceitual na idéia da origem da estrutura do universo.

Para explicar o problema, deixe-me considerar o caso dos fótons da radiação cósmica de fundo. A temperatura média observada desses fótons é 2.73 K. Essa média é obtida da seguinte forma: o satélite recebe um conjunto de fótons vindos da direção n da abóboda celeste. Cada fóton recebido por unidade de tempo tem uma temperatura diferente; mas somando todos os fótons ao longo de um tempo t suficientemente longo, é possível determinar com uma precisão menor que 1 mK qual a temperatura dos fótons vindo daquela direção, chamemo-la T(n). Como eu disse, prever o valor exato da função T(n) é impossível porque requer saber exatamente qual a posição da Terra em relação ao ponto exato no espaço onde ocorreu o último espalhamento Compton que o fóton sofreu antes de chegar no satélite. No lugar disso, se faz a média T0 sobre todos os pontos da esfera celeste, ou seja, sobre todas as direções n. Essa média independe da direção. Esse é o valor 2.7 K. Nós podemos definir o desvio da média: ΔT(n)=T(n) – T0. A média do desvio da média é zero, mas não é zero a média do produto de dois ΔT(n), isto é o desvio padrão da média. Isso é análogo em mecânica quântica ao fato que a média da posição X pode ser zero, enquanto o mesmo não vale para X2.

A idéia proposta por Mukhanov e Chibisov é que essa média do céu é igual a mesma média obtida em mecânica quântica para a mesma variável. A dificuldade conceitual é que essas duas médias tem significados diferentes. A da mecânica quântica (MQ) significa o seguinte: você prepara o universo para ter início quando o tempo é zero em um estado \Psi, e mede a temperatura dos fótons na direção n em 12 bilhões de anos depois, o que te dará um valor T(n). Você então precisa colocar o universo novamente no estado \Psi no início e medir novamente T(n) 12 bilhões de anos depois, que vai lhe dar outro valor, e assim por diante. Uma série de medidas em vários universos diferentes é a média da MQ. Já a média utilizada na teoria clássica é de um mesmo universo sobre diferentes direções. Poder-se-ia questionar que quando a função de onda do nosso universo colapsou, a distribuição do campo gravitacional congelou em uma configuração específica da mecânica quântica. Essa configuração, tirada uma média sobre o espaço, é que constitui os observáveis astronômicos, e não a média sobre todas as possíveis realizações das flutuações do campo gravitacional, que é a média da física quântica. Mais objetivamente, como, quando e por que as probabilidades quânticas, como o emaranhamento, deixaram de ser flutuações quânticas do campo gravitacional e passaram a ser flutuações clássicas de intensidade do campo gravitacional? Será que toda vez que eu observo um fóton na radiação cósmica de fundo, eu colapso a função de onda de todo o universo?🙂

  1. quarta-feira, 30 mar 2011; \13\UTC\UTC\k 13 às 08:59:07 EST

    Isso não é algo similar ao problema de ergodicidade? A dificuldade é: eu calculo um tipo de média (sobre um “ensemble quantico” de universos preparados no mesmo estado) e o que eu meço é outra média (diferentes medidas sobre um único universo)? Eu não posso argumentar que sob condições bastante verossímeis (um processo markoviano, estacionário, ou que pelo menos seja medido em escalas de tempo muito menores do que a escala de tempo da não-estacionariedade dele, etc…) essas duas médias são iguais? Em outras palavras: se por alguma razão as diversas medidas podem ser consideradas i.i.d., essa dificuldade não existe.

    O que eu quero dizer é: você tem uma variável x(t) e está calculando duas médias. Uma é a empírica:

    \displaystyle \left\langle x \right\rangle= \frac{1}{|S|} \sum_{t \in S} x(t)

    onde S é o conjunto de amostras retirados do um certo processo estocástico em tempos diferentes e a outra é a teórica:

    \displaystyle E[x] = \int \mathrm{d}x \;x\; p(x_t = x | x_0)

    E a pergunta é: quando \langle x \rangle converge para E[x]? Quando |S| é grande, \langle x \rangle converge para algo como (warning: matemática bastarda e imprecisa):

    \displaystyle\left\langle x \right\rangle_{\star}= \int \mathrm{d}p(t) \; \mathrm{d}p[x_t | x_0]\; x(t)

    uma média sobre os caminhos possíveis que inclui o peso do caminho x(t) e a probabilidade da medida ser feita no tempo t. Uma forma dessa integral ser igual à integral lá em cima é se em diferentes instantes t e t’, x(t) e x(t’) sejam independentes e identicamente distribuidos. Isso deve ser aproximadamente correto se p(t) for bem concentrado em uma escala de tempo muito menor do que a escala de tempo típica do processo x(t) (se ele tiver alguma).

    Isso faz sentido pra você ou eu to só falando besteira?😛 É muito provável que eu esteja falando besteira.

    Claro que minha argumentação usa principalmente processos estocásticos clássicos como exemplo, mas eu acho que não deve ser difícil escrever isso em termos de teoria quantica de campos.

    Um outro ponto é que eu estou disposto a fazer uma interpretação bayesiana da mecânica quântica: eu não acho que a única possível interpretação para a probabilidade que se calcula em mecânica quântica é a de frequencia de experimetos repetidos sobre sistemas idênticos. Eu ainda acho que a interpretação como grau de confiança de que o resultado seja x é válida. O modelo quântico é uma prescrição para calcular a probabilidade posterior. Mas não sei até onde isso ajuda a clarificar a questão.

    (* desculpe as multiplas edições, eu estava procurando uma notação boa… e ainda não achei! :P)

    • quarta-feira, 30 mar 2011; \13\UTC\UTC\k 13 às 10:51:14 EST

      Oi Rafael,

      A ergodicidade é parte importante da questão sim. A diferença entre E\left[x\right] e \langle x\rangle é o que se chama variância cósmica (dai veio o nome daquele blog…). No caso da radiação cósmica de fundo, as correlacões em cima da abóboda celeste são expandidas em esféricas harmônicas e é possível demonstrar com um análogo ao teorema ergódico que para valores do multipolo l de P_l suficientemente grande (l >10 é suficiente para precisão atual), a diferença das médias vai a zero.

      Mas isso é apenas parte do problema; a parte de como a amostra clássica de distribuição de intensidade pode ser comparada com uma variável experimental que é uma média sobre uma única realização de todas as possíveis. O problema que eu quis levantar no post é como se faz a igualdade:

      \langle A \rangle_\text{QFT} = E[A] \qquad (1)

      onde do lado esquerdo você tem a média da MQ e do lado direito você tem a média que vai ser usada nas equacões da Relatividade Geral (clássicas) que vai ser comparado com \langle x\rangle.

      Existe um detalhe que eu esqueci de mencionar nisso tudo. Os observáveis dependem do tempo, como o campo gravitacional. A Eq. (1) só é utilizada em um instante de tempo específico: quando você escreve o observável A como uma transformada de Fourier, a igualdade é válida somente para os modos que tem um comprimento de onda maior que o raio de Hubble naquele instante. Durante a inflação o raio de Hubble é aproximadamente constante, então é um tempo universal para todos os comprimentos de onda. Na teoria clássica, quando isso acontece para as componentes invariantes de gauge do campo gravitacional essas componentes se tornam constantes no tempo. Neste instante se iguala a distribuição clássica a quântica.
      Depois da inflação, o raio de Hubble cresce. Os comprimentos de onda também crescem, mas o raio de Hubble cresce mais rápido. Assim, esses modos que foram expulsos do raio de Hubble durante a inflação se tornam novamente menores que o raio de Hubble cerca de 100 mil anos depois, e se usa física clássica para evoluir os efeitos das perturbações depois da reentrada.

      O raio de Hubble representa aproximadamente uma barreira causal, igual ao horizonte de eventos de um buraco negro. Existe associado a ele uma entropia, igual ao do buraco negro, proporcional a área da esfera com esse raio. De alguma forma, a geometria da inflação poderia estar trabalhando em esconder os graus de liberdade da gravidade de dentro do raio de Hubble para as componentes que estão fora, e de alguma forma, provocando uma descoerência dos modos que estão fora. Mas eu não sei como se pode ver isso na Hamiltoneana das flutuações.

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