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O universo é quântico II, novas divergências em TQC

terça-feira, 5 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 Deixe um comentário Go to comments

Será que existem divergências em teorias quânticas de campos (TQC) em espaços-tempo curvos que não podem ser removidas por renormalização?

Como o título já deve dar a entender, esse segundo post já vai ser sobre um aspecto técnico.

Em cosmologia, o que se quer é calcular o valor esperado em TQC mas para um instante de tempo t, que é um problema diferente de espalhamento. Fazendo uma separação do Hamiltoneano na parte quadrática nos campos mais interação, os valores esperados podem ser calculados usando duas séries de Dyson, uma inserida a frente do operador na interaction picture e outra depois:

\langle \mathcal{O}(t)\rangle = \left\langle \bar{T}\exp \left(i\int^t_{t_0} H_I\right) \mathcal{O}^I(t) T\exp \left(-i\int^t_{t_0} H_I\right) \right\rangle

onde o \bar{T} quer dizer que a ordem temporal é reversa, e do lado esquerdo temos o campo na Heisenberg picture, enquanto que do lado direito temos tudo na interaction picture. Para saber que estado se faz a conta, basta saber qual a condição inicial em t0. Isso é mais complicado que as regras de Feynman usuais, porque agora há propagadores de Feynman, inversa temporal dos propagadores de Feynman, e uma combinação de comutadores que mistura um pedaço da primeira série de Dyson com a segunda, que não são propagadores.

Felizmente, Steven Weinberg descobriu uma versão mais simples:

\langle \mathcal{O} (t) \rangle = \sum_{N=0}^\infty i^N \int^t_{t_0} dt_1 \int^{t_1}_{t_0} dt_2\, \ldots \int^{t_{N-1}}_{t_0} dt_N \; \bigl\langle \mathbf{ad}_{H_N} \,\ldots\, \mathbf{ad}_{H_2} \mathbf{ad}_{H_1}\mathcal{O}^I(t)\bigr\rangle

onde essa aplicação ad é

\mathbf{ad}_{H_i}\mathcal{O} \equiv [H(t_i), \mathcal{O}]

(isto é uma generalização do resultado da análise de que exp(adXA) = Adexp(X)A)

Com a fórmula de Weinberg é mais fácil calcular efeitos de interação em espaços-tempos curvos a qualquer ordem de perturbação em H_I, por exemplo, um campo escalar com \lambda\varphi^4.

A primeira aplicação que o próprio Weinberg encontrou para a fórmula não foi a mais simples, o que levou ele a encontrar um tipo de divergência nova em teoria quântica de campos que até o momento não pode ser removida por renormalização.

Como eu falei no post anterior, a origem das galáxias em cosmologia hoje acredita-se ser a quantização do campo gravitacional. Nós podemos escrever o campo gravitacional como o campo homogêneo e isotrópico \bar{g}_{\mu\nu}(t), FRW, mais uma perturbação, \delta g_{\mu\nu}(\mathbf{x}, t). Existe uma variável invariante de gauge \mathcal{R}(\mathbf{x}, t) que se constrói com a perturbação, que é um escalar por rotações espaciais, pela primeira vez introduzido por James Bardeen. Weinberg considerou a existência de um número N grande de campos escalares e calculou o efeito de 1-loop que esses campos exercem sobre \mathcal{R}. É aplicação da fórmula de Weinberg com duas linhas externas de \mathcal{R} e um loop interno com um campo escalar. O problema que ele encontrou foi que mesmo removendo a divergência infinita do momento integrado pelo loop, sobrava uma divergência no tempo:

\langle \mathcal{R}(t)_k\rangle^\text{1 loop} \propto  t^\nu \log\left( \frac{k}{a(t)\mu} \right)

onde as coordenadas são tais que o final da inflação é para t\rightarrow \infty e \nu>0. Usando tempo conforme \eta, essas divergências aparecem como 1/\eta, o momento em que os modos se tornam maiores que o raio de Hubble é \eta = 0, dentro de uma certa aproximação.

Ainda há um certo debate1 com respeito a esse resultado. Até o momento, eu creio que a conta mais convincente foi feita pelo próprio Weinberg em novembro de 2010, usando um método realmente adequado de regularização para espaços-tempos curvos, Pauli-Villars. Por causa da covariância, cut-offs são meio suspeitos. Regularização dimensional também é suspeita, porque do ponto de vista da quantização canônica, a Relatividade Geral é a teoria de uma 3-métrica, e subir o número de dimensões de 3 para 3+\epsilon dentro de integrais de momento pode introduzir modos espúrios, já que as geometrias de 3-métricas são muito diferentes de d>3. A conta que me refiro não envolve \mathcal{R}, mas um campo escalar \varphi. Nesse caso, há um pedaço da correlação renormalizada de dois \varphi que é

\langle \varphi(t)^2_k\rangle^\text{1 loop, 1PI}= - (2\pi)^3 \int^t_{-\infty} dt_1 \; a(t_1)^3 V^{(4)}(\bar{\varphi}(t_1))\; \text{Im}\left[ u^2_k(t_1) u^{*2}_k(t)\right] \int_{q<Q} d^3 q \vert u_q(t_1)\vert^2\;

Essa expressão corresponde ao diagrama de Feynman com inserção de um vértice com quatro linhas de campo escalar, daí o V^{(4)}, e a parte da integração de momento sobre o loop é a integral sobre q. Essa é a parte sem nenhuma divergência ultra-violeta. No método de Pauli-Villars, todas as divergências UV foram isoladas em uma contribuição para a correlação \langle \varphi(t)^2_k\rangle que tem uma dependência em Q fixada para deixar toda a expressão Q-independente.

Nós gostaríamos de poder tomar o limite t\rightarrow \infty em \langle \varphi(t)^2_k\rangle que corresponde ao momento que todos os comprimentos de onda são maiores que o raio de Hubble, mas a expressão é divergente nesse limite. Isso é porque as funções u vão todas para uma constante e a integral no tempo a medida que a inflação acaba diverge violentamente com a^4 (que cresce exponencialmente durante a inflação). Para piorar, a integral do loop apesar de ser UV finita, é IR divergente. E são duas divergências distintas: a do tempo é polinomial, e a IR é logarítmica.

Isso é muito curioso porque se consideramos o problema de um campo escalar \varphi em um espaço-tempo sem gravidade com um potencial que vai até \lambda\varphi^4, essa teoria é perfeitamente finita, mas quando ligamos a curvatura do espaço-tempo obtemos que as correções de 1-loop divergem no tempo mesmo depois de remover divergências UV dos momenta.

Pode ser que essa divergência seja física, no entanto. Em detalhe, a inflação não dura infinito. Nós gostaríamos de obter correlações que são independentes do tempo porque como eu falei no post anterior espera-se que a física para comprimentos de onda pequenos seja irrelevante para a física dos modos de comprimento de onda grande. Isso também, afinal, é o que se aprende com o grupo de renormalização na ausência de espaço-tempo dinâmico. Pode-se dizer que a divergência é física no sentido de que as correlações realmente dependem dos instantes de tempo e você precisa acompanhar a correlação em detalhe a medida que a inflação acaba, o reaquecimento do universo começa, e assim por diante. Em princípio isso não é de todo ruim, porque com medidas precisas de observáveis cosmológicos poder-se-ia então aprender não apenas os valores da distribuição de probabilidade primordial mas toda a evolução primordial do fator de escala.

  1. Veja p.ex. L. Senatore e M. Zaldarriaga, e E. O. Kahya, V. K. Onemli e R. P. Woodard.
  1. Guilherme Pimentel
    quinta-feira, 7 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 às 20:05:47 EST

    Oi Leonardo,

    O proprio Weinberg admitiu que o metodo do Senatore e Zaldarriaga esta correto. O unico problema que eu vejo em dim. reg. eh o perigoso de analisar o infravermelho da teoria – esse ainda eh um debate em aberto… (O Georgi no livro de particulas dele enfatiza esse problema que dim. reg. tem em geral)

    []s

    • quinta-feira, 7 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 às 20:27:57 EST

      Oi Guilherme,

      O que você quer dizer por método do Senatore e Zaldarriaga? No artigo que eu fiz referência nesse post, o Senatore e Zaldarriaga mostraram que usando um cut-off nos loops de um modelo mais simples só com loops do inflaton, a dependência é só Log no cut-off, sem a parte temporal. O que o Weinberg comenta no artigo sobre o trabalho do Senatore e Zaldarriaga não é que a regularização dimensional é “certa”, mas que eles mostraram que há termos nas expansões assintóticas das funções temporais que precisam ser incluídos na conta. Infelizmente, quando se faz isso, o Senatore e Zaldarriaga obtém integrais que não podem ser feitas, então eles lançam mão de um argumento sobre a natureza assintótica da integral. Com isso o argumento deles fica incompleto. Essa é a questão de encontrar um método de regularização adequado para fazer a conta. Em princípio qualquer método é certo se você fizer certo🙂 O problema é que ao usar cada um requer cuidados característicos com os contra-termos, devido a possibilidade de quebrar qualquer simetria do problema. No método de Pauli-Villars nenhuma simetria é quebrada e as integrais podem ser feitas, e ai fica tudo mais transparente. E ai com potenciais mais gerais, pode-se ver que as expressões dependem do tempo, e não são apenas \log(H/\mu), ao contrário do que o Senatore e Zaldarriaga concluem no artigo deles.

  2. Guilherme Pimentel
    quinta-feira, 7 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 às 23:51:32 EST

    Bom mas se eu bem me lembro eles conseguem calcular essas integrais exatamente… o argumento assintotico eh pra achar o resultado sem calcular a integral…

    Nao entendi seu ultimo comentario.. voce ta dizendo que tem efeitos no UV que vao gerar dependencia temporal numa funcao de correlacao depois dela sair do horizonte? Acho que o objetivo todo dessa tecnologia ter sido desenvolvida eh pra mostrar que esse nao eh o caso…

    • sexta-feira, 8 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 às 11:25:09 EST

      As funções de correlação dependem do tempo fora do horizonte, mesmo depois de remover divergências UV. O artigo do SZ realmente foi escrito para tentar argumentar que esse não é o caso. Mas como se vê de forma mais transparente no artigo do Weinberg, de fato as correlações dependem do tempo.

      O SZ não fazem a integral no caso da regularização dimensional, só no caso de um cut-off. Com dim reg eles apelam para uma aproximação assintótica da integral para obter o mesmo resultado com o cut-off. De fato, na conta do SZ a função de dois pontos não depende do tempo. Eu concordo com aquela conta também, eu segui em detalhe aquelas derivações, e eu não vejo nada de errado. Mas eu também segui em detalhe a conta do Weinberg. Eu não sei dizer porque o caso tratado no artigo do SZ não depende do tempo, talvez seja porque a Lagrangeana naquele caso seja especial. No exemplo que eu dei acima, a divergência temporal aparece no termo V^{(4)} que o artigo do SZ não trata.

      No artigo do SZ eles tentam associar as duas divergências. Eles argumentam que o cut-off nos momenta requer um cut-off no tempo, e ai combinam os dois cut-offs para serem o mesmo cut-off de modo a remover qualquer divergência temporal das integrais. É um argumento muito bom, se não fosse pelo fato de que ao colocar um cut-off não fica claro porque eles não introduzem contra-termos que violam a simetria de gauge das perturbações. Mas no exemplo do Weinberg não tem cut-off, ou dim. reg., e a regularização respeita todas as simetrias pela própria construção. E ai remove-se toda a divergência UV, mas sobra a divergência temporal…

      Espero que tenha ficado mais claro agora qual é o meu estado de compreensão desse problema.

  3. Guilherme Pimentel
    sexta-feira, 8 abr 2011; \14\UTC\UTC\k 14 às 15:42:31 EST

    Vou ler o artigo do Weinberg com mais calma depois entao… Mas acho que o “programa” do SZ (eu talvez colabore com eles no proximo artigo deles) eh mostrar que essas dependencias temporais sao todas removiveis quando voce calcula o observavel fisico correto… Ainda nao tenho um bom entendimento do panorama desses loops em inflação, quando eu souber algo mais tento comentar aqui.. []s

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