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Algumas coisas que a física pode dizer sobre o Mercado Financeiro

sábado, 21 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 Deixe um comentário

Em um post deste blog, o Rafael Calsaverini começou a explicar alguns resultados interessantes economia e finanças e como estas podem com a física.

Vou ser um pouco mais generalista neste post já que quero mostrar o que os físicos tem feito para finanças (que criou um novo campo chamado Econofísica), e como esses resultados levaram a mudanças em princípios que eram considerados já bem estabelecidos pelos economistas. Esses fatos experimentais (ou seja, foram dados medidos em mercados reais) são conhecidos na literatura como stylized facts .

Uma crença geral, e que motivaram a evolução das financas nos ultimos trinta anos, é que as séries de retorno de ativo financeiro é normal (ou gaussiana), ou seja, os ativos seguiriam um random walk simples. Esta simples hipotese se prova muito mais profunda quando analisada com cuidado. Cito duas características:

– Retornos passados não afetariam resultados futuros. Ou, melhor dizendo, o mercado é eficiente em informação. Isso significaria que TODA informação conhecida sobre aquele ativo já está incluida em seu preço atual. Isso implica que estudar a série de preços de algum ativo não traria nenhuma vantagem.

– Não existencia de crashs e bubbles (crash seriam quedas muito grandes e rapidas, como a crise de 2008 ou bubbles que é um crescimento explosivo do preço, como aconteceu com a nasdaq em 1998 com as empresas de internet) internas ao modelo. Isso porque uma queda de 15% em um dia seria um retorno de 10 desvios padrão, o que indicaria um evento de probabilidade menor que 0.0000000001%. Uma crise seria um fator externo ao modelo, e portanto não preditivel.

Todo o formalismo construído com base na hipótese da gaussianidade é chamado na literatura de hipótese do mercado eficiente.

Mas observando o funcionamento do mercado, nós sabemos que existem métodos de se fazerem previsões a partir da série de dados (isso vem feito a decadas por traders) e que mesmo fora de crises temos movimentos muito rápidos para serem considerados possíveis em um modelo gaussiano. Outra coisa que é facilmente visível nos dados do mercado, mas que não estava de acordo com o modelo gaussiano é a chamada volatility clustering, que é um efeito onde dias de retornos grandes (ou seja, dias onde o valor do mercado varia muito) tem grande probabilidade de serem seguidos outros dias onde o mercado varia muito.

Esses fatos nos levam a crer que a hipótese do mercado eficiente merecia uma revisão, fato que começou a ser levado a sério com o inicio da década de noventa. A gravação de séries de alta frequencia (ou seja, observar como o mercado se comportava em períodos muito curtos (primeiramente na ordem de minutos, atualmente na ordem de microsegundos) permitiu que nosso conhecimento dos comportamentos dos ativos melhorassem muito, e portanto, que as diferenças entre as distribuições fossem notadas. As séries de retorno, por exemplo, são de bordas mais significativas que a distribuição normal (o que significa que dias de variações extremas se tornem possíveis. Um retorno de 15% agora teria apenas 0.1% de chance de ocorrer). E em especial, o fim da hipótese do mercado eficiente implica que é possível observar as séries de preços e retirar informações delas.

Esses fatos ( que podem ser vistos como resultados experimentais, já que estão baseados fortemente nos dados), nos motivam a buscar modelos que tragam alguns destes comportamentos. Um exemplo disso é o “jogo da minoria” que está sendo explicado na seqüencia de posts do Rafael. E como ele está explicando, essa tentativa de trazer as finanças um comportamento microscópico permite aplicações de modelos já muito bem testados na física, e com isso técnicas de modelagem que conhecemos bem: teorias de campos, mecânica estatística, integrais de trajetória, transições de fase, por exemplo. E aparentemente tem tido resultados interessantes.

Toda essa mudança de paradigma sobre o mercado introduziu uma grande oportunidade de pesquisa: novas técnicas (vindas da matematica, física e engenharia) que eram bem conhecidas em suas areas passaram a serem testadas e utilizadas no mercado (por exemplo o post do Rafael citado no inicio, que fala de modelos de agentes). Obviamente nem todos os resultados são positivos. Em 1998 o LTCM, um grande hedge fund que utilizava técnicas modernas de previsão, quebrou, gerando perdas de bilhões de dolares. Hoje é sabido que eles ignoraram uma hipótese básica de toda essa mudança de paradigma: não consideraram a possibildiade de retonros nao gaussianos.

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Observação: No post sobre fluxos de Ricci, o Daniel comenta brevemente sobre a ligação entre processos de Wiener e Mecanica Quantica. Isso será uma bastante util no próximo post desta série, já que leva a algo que é conhecido como Quantum Finance.

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Feliz Natal

quinta-feira, 25 dez 2008; \52\UTC\UTC\k 52 Deixe um comentário

Um grande Off-Topic, mas feliz natal a todos que lêem esse blog.

Categorias:Ars Physica Tags:

Relatividade Restrita em espaços compactos

domingo, 7 dez 2008; \49\UTC\UTC\k 49 24 comentários

Um post do Rafael na comunidade Física me fez redescobrir esse tema que fiquei interessado alguns anos atrás.

Quase todo estudante de Física deve se perguntar sobre o paradoxo dos Gemeos: de onde vem seus efeitos? É um efeito que se encontra na métrica? Ou é algo mais? 

Essas perguntas são muito interessantes e podem apresentar aspectos da Relatividade Restrita que quase nunca são ditos em cursos. 

Na relatividade restrita padrão, o paradoxo dos gemeos é descrito da seguinte maneira: Temos dois observadores, A e B, onde um fica parado no planeta terra e outro, o gemeo B, vai até um planeta distante e retorna para Terra imediatamente após sua chegada.  Na chegada ambos comparam seus relógios e percebem que o gemeo B é mais novo que o gemeo A.  A resolução tradicional é percebermos que o gemeo B teve que trocar de referencial ao menos uma vez. Isso quebra a simetria do sistema entre os gemeos.

Uma pessoa mais atenta poderia se perguntar: e se estivermos em um espaço com topologia não trivial, ou seja, vivessemos, por exemplo, em um cilindro. Localmelmente o espaço seria plano em cada ponto, mas mesmo assim um observador poderia sair do ponto x, se locomover em linha reta e retornar a esse mesmo ponto. Neste caso, será que existiria uma diferença de idade  entre cada um dos gemeos? Isso pode ser perguntado, já que neste caso não há troca de referencial.

Este problema é um dos primeiros que mostram que temos que nos concentrar na topologia do espaço tempo, e que ela tem um significado importantissimo para a física. 

A resolução deste problema não é complicada, a primeira vista, e neste post falarei da resolução imediata dele. Existem diversas conseqüências de carater mais formal, e falarei delas em um próximo post.

O resultado é : ainda existirá uma diferença de idade entre cada um dos gemeos. A diferença é que, diferentemente do que é dito em alguns lugares, nesse sistema existirá um referencial preferencial. Este referecial é o de onde é feita a compactificação do espaço-tempo.

Para construirmos um espaço compacto (como um cilindro) vamos pegar um espaço \mathbb{R}^2 e identificar as bordas (por exemplo a posição (t,1) com (t,0). Essa identificação é feita por todo os tempos. É isso que dá um carater especial a esse referencial. Cada observador pode fazer um experimento simples e determinar se ele está ou não  em movimento em relação a este referencial: ele solta um raio de luz em cada direção.  Cada raio de luz dará uma volta no universo e voltará para o observador. No entanto, se ele estiver em movimento, os raios de luz retornarão em instantes diferentes. Isso é uma indicação que ele não está no referencial privilegiado.

O interessante é que em nenhum momento saimos da relatividade restrita. O espaço tempo ainda é localmente Minkowski em todos os pontos.

A Crise e os fundos no Brasil

domingo, 26 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 2 comentários

Em um post recente do Daniel sobre a crise, ele comentou sobre como os fundos quantitativos (chamados por ai de quants) americanos estão se saindo na crise atual.

Estes fundos existem no Brasil, apesar de serem muito recentes e em baixa quantidade. Na contagem atual existem sete fundos quantitativos no Brasil, e a maioria deles ainda são muito pequenos (ou seja, a maior parte ainda está com menos de 100 milhões em administração). Mas vale a pena dar uma olhada como as coisas tem saído para eles, e como elas poderão ficar no futuro.

No mes de outubro, a média dos maiores fundos nacionais foi de -256% do CDI (mensal), deixando a média pouco acima do CDI no ano (só 0,42%). Isso mostra como a situação está crítica ao longo dos últimos meses, com uma volatilidade média de 7%.

Podemos então observar como os fundos quantitativos tem se saído: Escolhendo três fundos quantitativos nacionais, a média de rendimento está em 130 % do CDI, com uma volatilidade de 3%a 4 %.  E diferentemente dos fundos tradicionais, não tiveram uma mudança de regime ao longo das ultimas semanas, que causou grandes perdas nos fundos tradicionais.

O grande problema dos fundos quantitativos nacionais é que, por serem muito novos, não administram uma grande quantidade de recursos. Com esse resultado, é de se esperar que atraiam mais atenção do público, mas ainda sofrem um preconceito de serem fundos comandados por ‘maquinas’.

Glossário

CDI: Certificado de Depósito Interbancário. Títulos emitidos por bancos como forma de captação o aplicação de recursos. É a taxa utilizada como referencia por operações financeiras. Por esse motivo fundos medem seu desempenho como uma porcentagem em relação ao CDI do periodo.

Fundo Quantitativo: Fundo de Investimento que utiliza estratégias de maior complexidade matematica para decisões de como aplicar na bolsa. 

Volatilidade: Desvio Padrão da série de retornos do fundo.

Gravidade d=3 [3]

domingo, 26 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 1 comentário

Antes de começar a falar de como podemos descrever essa teoria, vamos entender porque vale a pena estudar ela.

Primeiramente é uma teoria que tem as mesmas bases da Relatividade Geral em d=4, mas com muito menos graus de liberdade, como vimos anteriormente. Na verdade, não temos graus de liberdade locais. Com isso, os únicos graus de liberdade da teoria são os graus de liberdade globais. É ai que a mágica ocorre: com esses poucos graus de liberdade, um efeito que veremos mais para frente se justifica: A equivalencia entre os difeomorfismos e as simetrias globais da teoria. Então um dos grandes problemas da gravidade em d=4, que é a construção de observaveis invariantes por difeormofismos, não existe mais. Ou seja, nós podemos construir uma teoria de gravitação quantica em d=3.

Com essa teoria, apesar de ser muito mais simples que a Gravitação em d=4, podemos agora estudar aspectos fundamentais da teoria: Transições topológicas, problemas do tempo etc…. E com isso ter uma compreensão maior de como seria essa teoria de gravitação quantica em d=4.

Gravidade d=3 [2]

domingo, 19 out 2008; \42\UTC\UTC\k 42 Deixe um comentário

Agora já entendemos que o número de graus de liberdade na teoria da gravitação pura é bastante reduzido. Quais consequencias imediatas isso acarreta?

As eq. de movimento da relatividade Geral são as chamadas Eq. de Einstein. Elas são R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0 (desconsiderando qualquer campo de matéria). Dela, podemos imediatamente descobrir que R=0 e R_{\mu\nu}=0 e portanto o Tensor de Riemann mencionado no post anterior também será identicamente nulo.

Isso poderia passar, para alguém que estudou um pouco de Relatividade Geral, que a teoria de Gravidade em d=3 é uma teoria trivial, já que o espaço seria sempre plano, e portanto sem dinamica. Só que nesse esquema ainda falta um ingrediente importate: A Topologia. As equações de Einstein não determinam a topologia do espaço, e portanto nosso trabalho agora será estudar ‘os graus de liberdade globais’, que surgem na teoria, advindos dos diferentes tipos de topologias.

Isso leva diretamente a primeira descriação desse modelo, que é chamada de Estruturas Geométricas.

Gravidade em d=3

domingo, 12 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 3 comentários

Faz tempo que estou com vontade de voltar a escrever alguma coisa em blog. Aproveitando a fase, vou falar um pouco de coisas que tem surgido na Física por ai.

Porque é interessante estudar gravitação em um número tão baixo de dimensões?

A maioria das pessoas ouvem falar em teorias com dimensões extras. Muitas vezes essas teorias tem a intenção de serem teorias fundamentais, mas isso não ocorre na gravitação em 2+1. Lá estudamos a teoria realmente como um toy model. Alguma vantagem temos em estudar esse toy model?

A gravidade é uma teoria geométrica do espaço. As propriedades de curvatura no espaço estão expressas em uma entidade chamada Tensor de Riemann. Em 4 dimensões, é um resultado bem conhecido que esse tensor tem 20 componentes indepedentes. Como nesse número de dimensões temos 10 equações de movimento para a teoria (as chamadas Eq. de Einstein), ainda temos dez componentes ‘livres’. Agora em tres dimensões uma mágica acontece. O número de componentes do tensor de Riemann é seis, que é o mesmo número de equações de movimento. Isso mostra que propriedades geométricas serão unicamente determinadas pelas equações de movimento.

Esse é um dos motivos da simplicidade da gravidade 2+1. De outro modo, você pode tentar contar o número do ‘gráviton’ da teoria. Para isso determinaremos a quantidade de graus de liberdade locais. Teremos n\frac{n+1}{2}-n componentes, mais suas derivadas temporais, o que resulta em n(n-1). E dessas podemos eliminar n componentes via escolha de coordenadas e n vínculos nas equações de Einstein. Isso da uma quantidade total de n(n-3).

Em d=4 isso são 4 graus de liberdade, e em d=3 são zero! Isso significa que não existem grávitons na teoria em d=3. Isso é outra amostra da simplicidade da teoria, que mais pra frente permite que efetivamente a quantizemos.

No próximo post tento explicar quais consequencias saem dessa simplicidade, o que nos gera efetivamente três manerias de descrever a teoria!

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