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Archive for the ‘Mathematics’ Category

Cálculo Exterior para Elementos Finitos…

sábado, 6 mar 2010; \09\UTC\UTC\k 09 Deixe um comentário

ResearchBlogging.org

O artigo Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability trata dum tópico que eu gosto muito: análise numérica feita com ferramentas modernas (e.g., Cohomologia de de Rham e Teoria de Hodge).

Meu interesse sobre esse tipo de tópico começou cedo, quando na graduação eu comecei a lidar com problemas numéricos. A noção de que a estabilidade e convergência do método numérico deveria variar com a particular discretização (“mesh”) escolhida sempre ficou atrás da minha orelha. Mas, naquelas épocas, ainda estando na graduação, pouco era possível se fazer. Mas a vontade de aplicar essas idéias em Lattice Gauge Theory sempre me provocou. :wink:

Um pouco mais tarde, já na pós (mestrado), eu trombei com alguns artigos interessantes que, novamente, morderam essa mesma pulguinha,

Meu interesse por esses artigos era claro: o esquema de discretização deles tenta preservar as simetrias de Lie do problema original. Isso é particularmente importante se o objetivo é simular problemas que envolvem Quebra de Simetria! :idea: :cool:

Um pouco de tempo depois… me aparece o seguinte artigo, A Discrete Exterior Calculus and Electromagnetic Theory on a Lattice; que, mais tarde, seria seguido pelos seguintes artigos: Discrete Differential Geometry on Causal Graphs e Differential Geometry in Computational Electromagnetics.

A idéia, então, era novamente clara: aplicar esse mecanismo de Cálculo Exterior Discreto em Teorias de Gauge! :idea: :cool:

Afinal de contas, quem sabe, não daria pra juntar ambas as idéias: usar Cálculo Exterior Discreto de forma a preservar as simetrias [de Lie] do problema no contínuo :!: O que será que poderia sair daí?! (De fato, não tenho a menor noção, infelizmente nunca tive tempo de voltar e morder essa questão. Mas, taí um problema prum doutorado… :wink: )

Bom, depois de tudo isso, aparece o artigo que motivou esse post — eu tinha que falar alguma coisa a respeito dele.

Na verdade, esse artigo vai mais longe, extendendo o trabalho feito anteriormente, definindo apropriadamente uma Teoria de Hodge para Elementos Finitos, e avaliando as conseqüências para a consistência (“well-posedness of the Cauchy problem”; algo que varia muito com as particularidades da questão em mãos) e estabilidade numérica do problema. Portanto, as técnicas disponíveis agora são muito mais robustas! (O que só me deixa cada vez mais curioso pra saber a resposta das questões acima… :wink: )

É isso aí: a leitura é excelente, a diversão é garantida… e eu não me responsabilizo por noites de sono perdidas (por causa das questões acima)! :twisted:

Referências

  • Arnold, D., Falk, R., & Winther, R. (2010). Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (2), 281-354 DOI: 10.1090/S0273-0979-10-01278-4

Seminário de Física-Matemática de Königsberg…

sábado, 6 mar 2010; \09\UTC\UTC\k 09 2 comentários

ResearchBlogging.org

Königsberg é uma cidade na Alemanha famosa por suas sete pontes. Mas, há outra razão também: 150 anos depois dessas pontes inspirarem Euler, nos idos de 1880, a Universidade de Königsberg possuia um seminário de Física-Matemática, que ajudou a formar a carreira científica de David Hilbert e de Hermann Minkowski.

O simples fato de que esse tipo de seminário existia naqueles tempos é um tributo às reformas (Era Prussiana) no sistema educacional alemão: essas reformas começaram com as idéias de Martinho Lutero, que desejava que todas as pessoas devessem ser educadas para poderem ler e interpretar a Bíblia por si sós, independentemente. Foi esse conceito de educação obrigatória que se tornou o ideal educacional alemão da época.

No século 18, o então “Reino da Prússia” foi um dos primeiros países do mundo ( :!: ) a introduzir educação gratuita e obrigatória. Por volta de 1810, depois das “Guerras Napoleônicas“, a Prússia introduziu o conceito de “certificações estaduais” para professores, o que levantou significativamente o nível da educação naquele país.

O Seminário de Física-Matemática nasceu com Franz Neumann e Carl Jacobi — eles foram patrocinados por Friedrich Wilhelm Bessel, astrônomo e diretor do observatório. Esse foi o primeiro seminário oficial da Prússia a incorporar métodos matemáticos no ensino de Física — um passo com muitas conseqüências: a universidade se tornou o centro duma escola de física-matemática, o que moldou a formação dessa disciplina de modo substancial!

Eis algumas outras conseqüências desse Seminário:

  1. Os atendentes dos seminários, jovens pesquisadores, transferiram as idéias educacionais básicas pra outras universidades, onde elas eram adaptadas e desenvolvidas. Isso é muito análogo ao conceito moderno de pós-doutorado, onde o recém-doutor deixa sua instituição e vai exercer seu primeiro emprego, como pós-doutor, em outra instituição, levando consigo os ensinamentos e idéias adquiridas em sua alma matter;
  2. No contexto científico da Física e da Matemática, o Seminário influenciou fortemente o desenvolvimento de áreas de pesquisa e metodologias; &
  3. Devido a responsabilidade pedagógica e esforço pessoal de Franz Neumann, por mais de 4 décadas, o Seminário tem que ser visto como o começo duma nova disciplina, que pode ser chamada de Física Teórica (ou Física Matemática).

Ainda mais importante que o Seminário, foi o Colóquio semanal, em matemática, estabelecido por Lindemann (em 1884). O Colóquio oferecia um fórum para palestras e diálogos científicos no nível de pesquisa (ao contrário do Seminário, cujo objetivo era mais pedagógico, no sentido de ensinar os tópicos expostos) :!:

Para mais detalhes e maiores diversões… o artigo abaixo é muito gostoso de se ler. :twisted:

Referências

  • Schwermer, J. (2010). Minkowski in Königsberg 1884: A talk in Lindemann’s colloquium Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (2), 355-362 DOI: 10.1090/S0273-0979-10-01291-7

Winter Workshop on Non-Perturbative QFT…

segunda-feira, 18 jan 2010; \03\UTC\UTC\k 03 Deixe um comentário

I’m live tweeting the Winter Workshop in Non-Perturbative QFT. The tweets are being tagged with #wwnpqft and can all be found at,

Have fun! :twisted:

Non-Perturbative QFT…

domingo, 17 jan 2010; \02\UTC\UTC\k 02 3 comentários

O Instituto Não-Linear de Nice vai realizar um Workshop de Inverno sobre QFT não-perturbativa — e eu fui convidado a dar uma palestra. :twisted:

O Workshop começa amanhã e eu já estou no gás todo (apesar da horrível viagem de SP pra Paris)! :wink:

Quem se interessar, minha palestra pode ser vista no seguinte link,

Se for possível, eu vou tentar fazer ou um live blogging (aqui no AP) ou um live tweeting (no meu twitter): não prometo nada mas, fiquem de olho… quem sabe não dá certo?! :wink:

A semana nos arXivs…

quinta-feira, 10 dez 2009; \50\UTC\UTC\k 50 Deixe um comentário


Transcendental Meditation

Transcendental Meditation

Realejo do dia…

terça-feira, 8 dez 2009; \50\UTC\UTC\k 50 Deixe um comentário

y = exp(x)

y = exp(x)

A semana nos arXivs…

quarta-feira, 2 dez 2009; \49\UTC\UTC\k 49 Deixe um comentário


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