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Teorias de Gauge: passado e futuro…

quarta-feira, 11 mar 2009; \11\America/New_York\America/New_York\k 11 7 comentários

Em outubro e novembro de 1994 muitos acreditaram que o epitáfio das Teorias de Gauge estava escrito (pelo menos no que diz respeito a sua aplicação em Topologia Diferencial 😉 )… Mas, a estória não começa aí. Nos idos de 1984 S. K. Donaldson encontrou uma conexão profunda, porém misteriosa, entre Yang-Mills e Topologia Diferencial 4-dimensional. O trabalho, entitulado Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds (ver também An application of gauge theory to four-dimensional topology), segundo M. Atiyah, simplesmente

“(…) stunned the mathematical world.”

Passados 10 anos desse trabalho, aparece um rumor, dizendo que um conjunto de equações propostas por E. Witten havia tornado essa conexão obsoleta em Topologia — claro, era um exagero. 😎

Atualmente conhecidas como Teoria de Gauge de Seiberg-Witten (ver mais em A Revolution in Mathematics, The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology e Introduction to Seiberg-Witten Theory and its Stringy Origin), essa equações realmente representam um atalho pra várias resultados em Teorias de Gauge e rapidamente demonstram novos resultados importantes — elas mesmas são parte duma Teoria de Gauge e iluminam aspectos das equações de Yang-Mills usadas por Donaldson.

Ao invés de tornar Teorias de Gauge obsoletas, as equações de Seiberg-Witten tornaram as teorias de Gauge ainda mais interessantes e robustas.

O Passado das Teorias de Gauge…

Se valendo do trabalho de M. H. Freedman sobre variedades 4-dimensionais topológicas, a teoria de gauge de Donaldson mostrou que a classificação diferenciável de variedades 4-dimensionais suaves é muito diferente de sua classificação a menos de homeomorfismos. Combinado com o trabalho de Freedman, o resultado foram estruturas diferenciáveis exóticas em espaços Euclidianos 4-dimensionais que não aparecem em outras dimensões.

Teorias de Gauge versam sobre conexões (ou derivadas covariantes), A, num fibrado principal sobre uma variedade 4-dimensional suave, X, orientável e provida duma métrica Riemanniana, com um grupo de Lie compacto, G. As conexões de interesse são as chamadas instantons, as soluções das equações de Yang-Mills que são anti-self-dual, definidas da seguinte maneira: Seja ∗ o operador estrela de Hodge, definido pela orientação e pela métrica Riemanniana em X. Dessa forma, F^{A} é a curvatura da G-conexão A. Portanto, a parte self-dual da curvatura é,

F^{A}_{+} = \displaystyle\frac{1}{2}\, \bigl(F^{A} + \ast F^{A}\bigr)

e a equação de Yang-Mills anti-self-dual é dada por,

\ast F^{A} = -F^{A} \Longleftrightarrow F^{A}_{+} = 0 \; .

Instantons são os mínimos do funcional de Yang-Mills, \mbox{YM}[A] = \int_{X} |F^{A}|^{2}. Quando o grupo G = U(1) (i.e., no caso Abeliano, no Eletromagnetismo [clássico]), a equação anti-self-dual é linear e os instantons são completamente descritos pela Teoria de Hodge. Quando G = SU(2) (i.e., no caso não-Abeliano, para a Força Fraca), a equação é não-linear, elíptica no espaço das conexões módulo automorfismos do fibrado (i.e., transformações de gauge). O espaço de soluções dessas equações — o moduli space de instantons menos transformações de gauge — é, genericamente, uma variedade suave de dimensão finita, M. Porém, essa variedade é usualmente não-compacta, em parte por causa da invariância conforme das equações, e essa falta de compacticidade leva a vários problemas nas aplicações topológicas da teoria de gauge. Notem que aqui, assim como anteriormente, também é possível se usar Teoria de Hodge para atacar esse problema, porém é preciso usar Teoria de Hodge Não-Abeliana, como feita, e.g., em Higgs bundles and local systems ou em “Nonabelian Hodge Theory” (Proceedings of the International Mathematical Congress, Kyoto, 1990, 747-756) — e, como vcs já podem imaginar, existem conexões com Quebra Espontânea de Simetria e Transições de Fase (principalmente quando se nota que transições de fase quânticas é algo intimamente ligado com moduli spaces em Física 😉 ).

Em 1981–82, Donaldson teve a idéia de que a topologia algébrica do moduli space M contém informação sobre a estrutura diferencial de X. No começo, isso foi uma total surpresa para os topologistas. Mesmo depois da Teoria de Gauge já estar bem estabelecida como uma ferramenta em topologia, não havia um entendimento conceitual de como e porque os instantons estavam relacionados com a estrutura de variedades 4-dimensionais. No começo, Donaldson demonstrou que conexões em superfícies algébricas complexas com curvatura anti-self-dual são o mesmo que fibrados holomórficos estáveis no sentido dado pela teoria de invariantes geométricos. Mais ainda, os invariantes de instantons são não-triviais para superfícies algébricas. Isso estabeleceu uma forte ligação entre entre Teorias de Gauge e Geometria Algébrica. Topologia Diferencial em 4-dimensões passou a ser vista como sendo muito próxima de Geometria Complexa.

O Futuro das Teorias de Gauge…

Para escrever as equações de Witten sobre uma variedade Riemanniana suave, orientável e 4-dimensional X, é preciso se escolher uma estrutura de \mbox{Spin}^{c}, i.e., um lift do frame bundle de SO(4) para \mbox{Spin}^{c}(4) = \mbox{Spin}(4){\times}_{\pm 1} U(1). Associado a essa estrutura estão os fibrados V_{\pm} de spinores positivos e negativos e um complex determinant line bundle L = \mbox{det}(V_{\pm}). Mais ainda, há um mapa canônico \sigma\, :\; V_{+}\times V_{+} \rightarrow \Lambda_{+}^{2} definido via a parte sem traço dum elemento em V_{+}\otimes V_{+} considerado como um endomorfismo de V_{+}.

Uma conexão U(1), A, em L, juntamente com a conexão de Levi-Civita da métrica Riemanniana, induzem uma derivada convariante \Gamma(V_{+}) \rightarrow \Gamma(V_{+}\otimes T^{*}X). Compondo com a multiplicação de Clifford, \Gamma(V_{+}\otimes T^{*}X)\rightarrow \Gamma(V_{-}), se define um operador de Dirac, D_A:\; \Gamma(V_{+}) \rightarrow \Gamma(V_{-}). Dessa forma, as equações de Witten para uma conexão A e um spinor positivo \phi\in \Gamma(V_{+}) são:

D_A \phi = 0 \; ;

F^{A}_{+} = i\, \sigma(\phi,\phi) \; .

Essas equações são invariantes sob automorfismos do fibrado L, mas não são invariantes por simetria conforme. As soluções, chamadas de monopólos, são os mínimos do funcional,

\displaystyle\int_{X} \bigl(|F_{+}^{A} - i\, \sigma(\phi,\phi)|^2 + |D_{A}\phi|^2\bigr) \; .

O espaço de monopólos módulo automorfismos do fibrado (transformações de gauge) é, genericamente, uma variedade suave, e é sempre compacto. Compacticidade segue da fórmula para o Weitzenböck do operador de Dirac combinada com teoria elíptica tradicional. Mais, se a curvatura escalar da métrica Riemanniana for não-negativa, todas as soluções das equações do monopólo têm \phi=0 e, portanto, são U(1) instantons.

A compacticidade dos moduli spaces dos monopólos os torna muito mais simples de se trabalhar do que os moduli spaces de instantons. Essa é a razão principal que o torna o método de Witten muito mais simples do que o de Donaldson. Apesar dos moduli spaces de instantons e monopólos parecerem conter as mesmas informações, os monopólos estão amarrados muito mais intrinsecamente à geometria Riemanniana de X. Isso inspira esperança para o desenvolvimento dum approach combinatórico para teorias de gauge.

É possível se definir invariantes de estruturas diferenciáveis, e.g., se contando o número de pontos em moduli spaces 0-dimensional (será que alguém sabe como relacionar essa construção com transição de fases quânticas? 😉 ). Esses invariantes são triviais para variedades que admitem ou uma métrica Riemanniana com curvatura escalar positiva ou uma decomposição em termos duma soma conecta suave na qual ambas as parcelas têm formas de intersecção que não são negativa-definida.

As Origens Físicas…

Yang-Mills é uma teoria clássica de campos com simetria conforme cujos estados fundamentais são instantons. Um pouco de prática com Teorias Quânticas de Campos sugere uma receita para torná-las em Teorias de Campos Topológicos, cujas funções de correlação são os invarianes de instanton de Donaldson. Como eles são invariantes da estrutura diferenciável, é possível se variar a métrica Riemanniana usada sem afetar os invariantes. Witten mostra como, estudando uma família de métricas g_{t} = t\, g_{0}, onde t > 0 é um parâmetro real, leva naturalmente ao aparecimento das equações de monopólo. Para t pequenos, a aproximação clássica para teorias quânticas de campos coincide com a definição dos invariantes de instanton de Donaldson. Por outro lado, para grandes t, os estados de vácuo quânticos da teoria, parametrizados por uma variável complexa u, se tornam relevantes (será que alguém disse “transições de fase quânticas”? ou θ-vácuos? 😉 ). Dessa forma, a teoria quântica naturalmente implica na consideração da família de curvas elípticas,

y^2 = (x^2 - 1)\, (x - u) \; .

Para um u genérico, a curva elíptica é suave, mas ela se degenera para uma curva racional quando u = \pm 1.

Para uma grande classe de variedades, toda informação topológica da teoria dos instantons pode ser extraída se estudando as funções elípticas apropriadas em vizinhanças infinitesimais dos pontos \pm 1 no plano-u. A razão é que para esses valores especiais do parâmetro certas partículas na teoria quântica — os monopólos — se tornam sem massa (“massless”), apesar delas terem massa na teoria clássica. As equações dos monopólos parecem detectar as partes mais simples da teoria de Donaldson, que é tudo que existe em variedades simples. Porém, há variedades como o plano projetivo complexo, onde simplesmente não há monopólos, e para as quais a teoria de Donaldson tem outra parte mais complicada. Na descrição da teoria quântica de campos, essa parte é detectada via integração sobre o plano-u, uma vez que para essas variedades há mais no plano-u do que é possível se ver ao redor dos pontos especiais \pm 1.

Dado o enorme impacto da equação de monopólos U(1) sobre a topologia de espaços 4-dimensionais, há granes expectativas. Teoria de Gauge está mais ativa e motivante do que nunca. 😈

Referências…

Tamas Hausel, & Michael Thaddeus (2002). Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system Inventiones Mathematicae, 153 (1), 197-229 arXiv: math/0205236v1

Atiyah, M. (1988). Topological quantum field theories Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Scientifiques, 68 (1), 175-186 DOI: 10.1007/BF02698547

Edward Witten (1994). Monopoles and Four-Manifolds Math. Res. Lett., 1, 769-796 arXiv: hep-th/9411102v1

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