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Alternativas a unificação

quarta-feira, 25 mar 2009; \13\UTC\UTC\k 13 3 comentários

O princípio vingente para descrever a física de partículas nas escalas de tamanho de 10-13 cm (1 GeV) até 10-15 cm (100 GeV) é o de que há uma simetria na lei de evolução temporal, quer dizer, certas transformações que mantém as leis da física invariantes. Há dois conjuntos distintos de transformações independentes que constituem o que se chama o Modelo Padrão da física, e em matemática esses conjuntos são denotados por SU(3) e SU(2)\times U(1). O conjunto U(1) e.g. consiste nas transformações em que um número complexo z é multiplicado por uma fase complexa:

z' = e^{i \theta} z .

Há um teorema, devido ao Sheldon Glashow e Murray Gell-Mann que diz que todas as simetrias admissíveis para teorias onde há uma corrente que se conserva (que no eletromagnetismo é a condição da conservação da carga elétrica) são um entre os conjuntos que os matemáticos chamam de grupos de Lie simples que podem ou não serem combinados também com o conjunto de transformações chamadas de U(1). Graças ao matemático Élie Cartan, há uma classificação completa (uma lista) de todos os grupos de Lie simples. A lista é infinita porém enumerável e é muito útil porque permite os físicos teóricos terem uma tabela completa de todas as teorias físicas que fazem sentido. Mas também é muito frustrante: embora o princípio de simetria de conservação das cargas descreve muito bem o mundo subatômico, há uma quantidade infinita de possibilidades de teorias e não há nenhuma racionalização disponível que permita decidir por que o Modelo Padrão escolheu SU(3) e SU(2)\times U(1). Ou dito de forma diferente: há algo de especial nessas simetrias?

Talvez não. Talvez todos os grupos de Lie simples existam na Natureza de forma independente do Modelo Padrão, porém ainda não foram observados. John Donoghue e Preema Pais recentemente mostraram que dentro deste cenário é possível haver unificação de todas as forças fundamentais (excetuando-se a gravitação) (arxiv:0903.3929). A idéia básica é que há uma teoria subjacente que não daria nenhum privilégio para SU(2) e SU(3), mas geraria toda a cadeia de simetrias SU(N), com infinitos férmions e interações. Porém, se todas essas interações tiverem uma origem comum, é possível simultaneamente ajustar que estas forças se tornam todas iguais em magnitude numa certa escala de energia próxima a escala de Planck e ao mesmo tempo há uma hierarquia entre as forças: SU(4), p.ex., o próximo grupo depois do SU(3), é confinante (como a QCD) na escala de pelo menos 1 TeV, e os próximos grupos são confinantes em escalas mais altas. Desse modo, a massa dos estados ligados, os hádrons destas forças, seriam maiores que 1 TeV. Todas as partículas geradas por essa cascata de simetrias são mais pesadas que qualquer partícula do atual do Modelo Padrão, portanto não estão excluídas.

Esse é um exemplo de como hoje em dia a noção de unificação na física vem ganhando novas janelas. Em 98, Arkani-Hamed, Dimopoulos e Dvali notaram que se há dimensões extras espaciais no universo então é permitido que a constante da gravitação universal seja bem maior do que o observado em 3 dimensões. Em unidades de energia, a constante de Newton é a massa de Planck que é 1019 GeV, mas com o número adequado de dimensões extras grandes é possível trazer a massa de Planck para 103 GeV, que é próxima da escala de energia da unificação eletrofraca (246 GeV), e portanto ambas as escalas (gravitacional e força fraca) seriam iguais. Esta é uma outra noção de unificação.

Uma das mais bonitas e interessantes, ao meu ver, é a motivada pelas descobertas das dualidades em teorias de campos: a propriedade que alguns sistemas físicos descritos por teorias de campo tem de que o mesmo sistema físico pode ser descrito por diferentes teorias de campo. A informação que eu tenho é que essa idéia surgiu mais ou menos nos anos 70 nos trabalhos do Sidney Coleman, Jorge Andre Swieca e outros, mas ganhou notoriedade mais tarde com os trabalhos do Witten e Maldacena. É como se cada teoria de campo fosse uma escolha diferente de coordenadas (o Rafael já postou sobre isso no blog aqui, aqui e aqui.). Nesse caso a unificação pode ser de uma natureza diferente: talvez o que nos parece uma teoria desconexa com simetrias que não conversam entre si, sem nenhuma unificação, é na verdade apenas uma escolha ruim de coordenadas de uma teoria onde há realmente uma unificação, só que evidente apenas em outro sistema de coordenadas (quero dizer campos). No caso do exemplo do Donoghue e Pais, seria interessante saber se um universo com todos os grupos de Lie simples de simetrias seria dual a uma descrição usando apenas poucos campos, ou mesmo uma teoria gravitacional.

Dualidades – Parte 3 (Muitas supersimetrias)

segunda-feira, 10 nov 2008; \46\UTC\UTC\k 46 1 comentário

Queria apenas fazer um rápido post de encerramento da série tentando dar mais detalhes do porque a teoria de Super-Yang-Mills com supersimetria \mathcal{N}=4 é uma séria candidata a apresentar dualidade eletromagnética. O primeiro argumento vem do spin. Em \mathcal{N}=4 só existe um multipleto com partículas de spin menor ou igual a 1. Então, não tem como o monopolo e o bóson vetorial serem membros de multipletos de spin diferente. Fazendo uma contagem dos modos zero dos férmions dessa teoria (e existem resultados matemáticos em forma de teoremas de índice para isso), você pode chegar na mesma conclusão.

Claro que só isso não basta para concluirmos que há dualidade. No entanto, a presença de um monte de cargas de supersimetria também faz a teoria muito paupável. Em particular, assumindo que o bóson vetorial exista mesmo na teoria fortemente acoplada, deverá existir dyons na teoria fracamente acoplada frutos da aplicação do grupo SL(2,Z) da dualidade. A estrutura desse grupo (basicamente o fato do determinante ser 1 o que implica que a carga elétrica e magnética são coprimos) faz com que esses dyons sejam estáveis e não decaiam em partículas de cargas mais fundamentais.

Como esses dyons estão na teoria fraca, deveria ser possível encontrá-los semiclassicamente como uma perturbação andando sobre o vácuo de monopolo. É como fazer uma mecânica quântica para uma partícula que anda nas direções do vácuo em que não se gasta energia. Essas direções são chamadas espaço de módulo do vácuo. A supersimetria também restringe bastante a forma desse espaço de módulos. Encontrar o espaço de módulo para o vácuo com carga magnética 1 é simples. Ele é basicamente dado pelo movimento do centro de massa dos dyons e pela energia associada às suas carga elétrica. Esse espaço não é muito interessante, porque a restrição vinda de SL(2,Z) não significa muita coisa aqui, já que qualquer número é coprimo a 1.

Achar o espaço de vácuos para carga magnética 2 não é tão fácil e ele foi encontrado por Atiyah e Hitchin. Por sinal, na página do Hitchin tem um videozinho interessante mostrando como monopolos interagem:

Monopoles in motion

Como todos os outros espaços de módulos de monopolos em teorias supersimétricas, o de carga magnética 2 tem uma estrutura geométrica bem rígida chama Hyper-Kähler e nesse caso ele é assintoticamente uma métrica de Taub-NUT com sinal do termo de massa invertido. É óbvio que, a não ser que você realmente já conheça esse assunto, esses nomes não significam nada. Mas olhando para a cara dessa métrica é fácil reconhecer os termos de interação por trocas de fótons, por troca de dílatons e a energia associada à carga elétrica. Essa análise da métrica assintótica do espaço de módulos é devida a Manton. Por curiosidade, se os dois monopolos bem distantes estiverem parados, a força dos fótons cancela exatamente a dos dílatons.

No caso do vácuo de monopolo com carga magnética dois, a condição de SL(2,Z) diz alguma coisa não-trivial pois apenas números ímpares são coprimos a 2, então só teremos dyons com cargas elétricas ímpares (a menos do efeito Witten). Fazendo uma análise cuidadosa dos estados ligados existentes nessa mecânica quântica supersimétrica sobre esse espaço de módulos específico, Sen conseguiu mostrar que esses são exatemante os dyons que existem, o que é uma indicação poderosa da dualidade. Esses estados ligados dyônicos não existiriam com menos supersimetria, quando o monopolo tem spin diferente do bóson vetorial. É de se imaginar que forças de longo alcance como spin-spin e spin-órbita tenham um papel importante nessa análise.

Bem, isso mais ou menos completa a primeira parte da história. Tem duas direções que me interessam estudar e discutir aqui: ou teorias com \mathcal{N}=2 seguindo a análise de Seiberg e Witten ou entender como essas dualidades estão relacionadas à teoria de supercordas. Eu acho que dá até para fazer os dois juntos. 😛

Dualidades – Parte 2 (Supersimetria)

segunda-feira, 20 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 1 comentário

Vamos continuar com minha tentativa, que ser tornará cada vez mais impossível, de fazer essa introdução sobre dualidades em forma de divulgação científica.


 

Na última vez falamos sobre monopolos magnéticos e seu papel em teorias duais. Chegamos a uma teoria que tem um monopolo bem comportado, a teoria de Yang-Mills-Higgs, mas fechamos o post com dois problemas: as correções quânticas ao limite BPS e o erro do spin. Vamos tentar consentar isso.

Primeiro, vamos discutir sobre uma extensão da proposta de dualidade. Nós vimos que a dualidade eletromagnética é como se fosse uma raiz quadrada da simetria de conjugação de carga. No entanto, isso pode ser estendido se introduzirmos um termo na teoria de Yang-Mills-Higgs chamado termo-\theta. Não há nada que impeça a introdução desse termo: ele não quebra nenhuma simetria nem torna a teoria mal definida. Ele é o responsável pela quebra da simetria CP, assunto que foi prêmio Nobel esse ano. O fato desse termo ser muito pequeno é um problema em aberto na nossa compreensão do modelo padrão das partículas fundamentais, chamado problema de CP forte. Apesar de muito pequeno, esse termo é interessante porque ele parametriza os vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs. O vácuo da teoria de YMH é algo bem complexo e uma das entidades mais estudadas em física teórica. Esse termo mistura diversos desses vácuos através de tunelamentos quânticos por ínstantons. Quando se leva em consideração a física dos ínstantons, percebe-se que esse termo \theta é periódico. Quando se junta essa periodicidade à dualidade eletromagnética, a simetria fica estendida a um grupo que é conhecido na matemática como SL(2,Z). Esse grupo vive aparecendo na matemática quando se estuda números complexos e no youtube tem um vídeo bonito sobre elas:

No que se refere aos monopolos magnéticos esse termo resulta em duas mudanças. Primeiro, ele muda as cargas magnéticas e elétricas, o que é conhecido como efeito Witten. Além disso, esse grupo, diferentemente da dualidade eletromagnética usual, é de ordem infinita. Isso quer dizer que em vez de só trocar monopolos por bósons vetoriais, podemos aplicar ele infintas vezes gerando cada vez estados novos, chamados dyons, porque eles vão ter carga elétrica e magnética. O argumento de Sen, que falei no post anterior, diz respeito justamente ao espectro desses dyons.

Esse grupo também aparece como simetrias de teorias definas num toróide. Isso é bem importante em teoria de supercordas quando se calcula amplitudes de espalhamentos. Podemos importar essa idéia e imaginar que a teoria com monopolos é uma teoria numa dimensão superior, onde essa simetria do toróide é manifesta. Essa discussão pode ser levada adiante e ela desemboca nas dualidades em teoria de supercordas e teoria M onde há naturalmente uma dualidade SL(2,Z), mas isso fica para outro post (até porque eu teria que estudar mais para contar a história decentemente). Vamos, por enquanto, ficar só com a idéia de que podemos começar a escrever a teoria numa dimensão superior e ver seu efeito em quatro dimensões.

Vou fazer uma pausa nessa idéia de dimensões superiores e discutir uma outra idéia que é objeto de muitos estudos em física teórica: supersimetria. A supersimetria é uma simetria proposta que resulta na existência de um parceiro para cada partícula existente. Esses parceiros supersimétricos nunca foram observados, mas há muito gente procurando e vai ter muito mais quando o LHC começar a funcionar definitivamente. Esses parceiros são desejáveis porque eles cancelam quase todas as correções quânticas das partículas usuais. Isso cancela divergências que, de outra forma, tornariam teorias quânticas mais difíceis de serem bem definidas. Num nível não perturbativo, nem todas as correções se cancelam, mas até isso é interessante. A idéia é que talvez a supersimetria proteja o limite de BPS fazendo com que ele seja exato inclusive na teoria quântica, possibilitando uma teoria quântica com dualidade eletromagnética.

Quando temos uma teoria supersimétrica, não é mais exatamente correto falar em partículas. Mas sim no multipleto contendo a partícula e seu parceiro supersimétrico. Podemos imaginar inclusive teorias com multipletos bem grandes onde não há apenas duas partículas que sejam parceiros mas mais partículas. Isso chama-se supersimetria extendida. Há várias formas de se estender consistentemente esse multipleto. A forma mais econômica, ie, com o menos número de parceiros, é quando as massas obedecem uma igualdade que tem exatamente a mesma forma do limite BPS. Hum…. só que em vez de cargas magnéticas temos agora objetos topológicos escritos em termos das condições de contorno dos campos. Se você se lembrar da discussão sobre monopolos de Dirac, você vai ver que isso é uma excelente idéia, pois desde o início, a carga magnética era um objeto topológico. Mas mais do que isso, sendo essa uma propriedade da supersimetria, ela é válida inclusive na teoria quântica.*

Vamos agora juntar as duas idéias: começemos com uma teoria supersimétrica numa dimensão superior e reduzamos às nossas quatro dimensões. Por exemplo, se começarmos com uma teoria supersimétrica de Yang-Mills em seis dimensões, obtemos uma teoria de Yang-Mills-Higgs em quatro dimensões com supersimetria extendida (dobrada, o que é chamado \mathcal{N}=2). Essa teoria tem então monopolos magnéticos! Mais do que isso, podemos mostrar que a lei e conservação topológica que falei anteriormente é exatamente o limite BPS. 🙂 Fantástico. Essa idéia pode ser aplicada em diversas situações, inclusive em sistemas mais simples na mecânica quântica tradicional. Vale a pena dar uma lida:

Supersymmetry algebras that include topological charges. D Olive, E Witten – Phys. Lett. B, 1978

Perceba que um dos problemas que tínhamos no início do post foi resolvido. O outro persiste porque, ao se estudar detalhadamente o multipleto supersimétrico, percebe-se que o monopolo e o bóson vetorial ainda vão ter spins diferentes. Isso não tira o interesse na teoria. Muito pelo contrário, essa teoria tem várias surpresas que foram descobertas por Witten e Seiberg (um review pedagógico: L Alvarez-Gaume, SF Hassan – Arxiv preprint hep-th/9701069, e certamente eu vou fazer um post sobre essas teorias mais detalhado no futuro).

Como resolver o segundo problema? Se fomos até seis dimensões, por que não continuar? Se usarmos a mesma idéia de começar com a teoria de Yang-Mills supersimétrica em dez dimensões e olharmos para a teoria de Yang-Mills-Higgs que ela implica em quatro, veremos que o monopolo e o bóson vetorial agora tem o mesmo spin, ambos dentro de um multipleto extendido \mathcal{N}=4. Isso é muito interessante, não só pelo resultado, mas porque essa teoria de SYM em dez dimensões é o limite de interações fracas da teoria de supercordas! Veja como a teoria de supercordas vive reaparecendo. A teoria de supercordas, mesmo que ela não seja a teoria final, tem um papel explicador tão grande que é difícil levar a sério as pessoas que dizem que ela está errada. Nos próximos posts vamos explorar mais essa teoria e ver o que ela nos ensina sobre dualidades eletromagnéticas.


Referências:

Notas:
* (Edit: 20/10/08) Ok, eu não estou sendo completamente sincero aqui, até porque a teoria não é completamente supersimétrica: o vácuo de monopolo só preserva metade das supersimetrias. O limite BPS nesses modelos é uma igualdade entre uma massa e uma quantidade topológica. O problema é que essa teoria é interagente, então a massa recebe correções quânticas dos campos massivos. Só que esses campos massivos vão a zero no infinito, como já sabíamos desde o trabalho de Yukawa, e então eles não podem introduzir correções quânticas nas cargas topológicas (condições de contorno da teoria). No entanto, há uma correção, que vem de uma anomalia. Agora, explicar isso nos levaria mais adiante do que eu gostaria… veja o artigo do Witten e Olive para ver que, mesmo pessoas muito inteligentes não perceberam isso de primeira.

Eu acho que, para o propósito desses posts, vale mais a pena pegar a idéia de que sob uma dualidade eletromagnética leis de conservação de Nöther, ie. aquelas que só são válidas quando as equações de movimento são obedecidas, são trocadas por leis de conservação topológicas. E vice-versa.

Dualidades — Parte 1 (Monopolos magnéticos)

segunda-feira, 6 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 3 comentários

Hoje em dia, um dos tópicos mais quentes da física teórica é o estudo de dualidades. Principalmente aquelas conhecidas como dualidade forte-fraca que relacionam, de modo muitas vezes inesperado, uma teoria no seu regime de acoplamento forte com uma outra teoria no seu regime de acoplamento fraco. A idéia é brilhante, já que teorias quânticas de campos são muito difíceis de serem resolvidas exatamente e o que fazemos, em geral, é adotar métodos aproximativos que só são válidos no regime de acoplamento fraco (mais teoricamente, podemos dizer que a hamiltoniana dual define a teoria fortemente acoplada). Isso também torna essas dualidades muito difíceis de serem provadas rigorosamente, no sentido matemático do termo, pois, apesar de podermos fazer testes computacionais na teoria que tem o acoplamento fraco, dificilmente conseguiremos checar esses testes na teoria dual. Contudo, algumas verificações, em algumas teorias, podem ser feitas. Esses testes são “quase triviais”, já que essas teorias são em geral protegidas por muitas simetrias.

Vou começar uma série de posts sobre dualidades desse tipo, tentando manter o nível mais pé-no-chão possível. Meu objetivo é fazer quase uma divulgação científica baseados nos artigos de revisão do Figueroa e do Harvey. Talvez esse tema renda muitos posts e convido qualquer outro editor desse blog a me interromper e continuar a história ou mesmo a apenas fazer um adendo. Meu primeiro objetivo é explicar as dualidades forte-fracas (conhecida no jargão da física como dualidade S) no seu sentido mais tradicional, como proposto por Montonen e Olive. O objetivo final dessa primeira leva é então expor o argumento de Sen a favor dessas dualidades em teorias de Yang-Mills com o número máximo de supersimetrias (\mathcal{N}=4 SYM). Depois nós veremos em que direção a maré nos leva.


Tudo começa com as equações de Maxwell. As equações de Maxwell são um conjunto de 8 equacões diferenciais não completamente independentes (e isso e um ponto importante) que determina o campo elétrico e magnético dada uma distribuição de cargas e correntes elétricas. É um fato da natureza que campos magnéticos e campos elétricos são diferentes. Campos elétricos são gerados por cargas, enquanto campos magnéticos sao gerados por correntes, que são cargas em movimento. Não existe campo magnético num sistema de cargas estáticas. No entanto, essa é a unica diferença. Se imaginarmos uma região sem cargas ou correntes, o sistema ganha uma nova simetria: podemos trocar o campo elétrico pelo magnético e o magnético por (menos) o elétrico que nada muda na natureza. Isso é chamado dualidade eletromagnética, na sua forma mais infantil, é verdade. Infantil demais para ser útil.

Note que após duas mudanças, não retornamos exatamente para os campos elétricos e magnéticos originais, mas ganhamos um sinal. Na maioria dos sistemas físicos (onde estão envolvidas as forças nuclear forte, eletromagnética e gravitacional, mas não a força nuclear fraca), você pode fazer essa mudança, chamada conjugação de carga, a vontade, pois eles são invariantes. Então, a dualidade eletromagnética é como se fosse uma “raiz quadrada” da simetria de conjugação de carga (geralmente representada pela letra C).

Mas e se insistíssemos na presença de cargas e correntes elétricas, o que seria necessário para termos uma simetria semelhante? Precisaríamos que existissem cargas e correntes magnéticas. Então, sob a dualidade eletromagnética, as cargas e correntes elétricas mudariam para magnéticas e as cargas e correntes magnéticas para (menos) as elétricas. Note que agora o nome “conjugação de carga” faz mais sentido. Mas onde estão essas cargas magnéticas?

Classicamente, adicionar uma carga magnética não faz muita diferença. Pode-se mostrar que com uma redefinição dos campos, você pode sempre fazê-las zero. Mas vamos supor que a descrição clássica só e válida até uma certa escala (o que é bem razoavel, veja aqui). Que para distâncias muito pequenas, as equações de Maxwell recebam algum tipo de correção (no caso, a mecânica quântica). Então, se resolvermos ignorar essas correções, não temos que procurar soluções para as equações de Maxwell no espaço inteiro, mas sim em todos os lugares menos num ponto (espacial, é uma linha de mundo no espaço-tempo) que gera o campo eletromagnético. Pode parecer uma mudança boba, mas faz toda a diferença. Quando se retira esse ponto, é possível que existam cargas magnéticas pontuais que não podem ser redefinidas. Esses são os monopolos magnéticos de Dirac. Se levarmos em conta mais uma vez a realidade quântica da natureza (por exemplo, a quantização do momento angular), podemos mostrar que a carga magnética sempre é um múltiplo do inverso da carga elétrica fundamental. Mais do que isso, se existir uma carga fundamental, por exemplo a carga do elétron, a diferença entre duas cargas elétricas será sempre um múltiplo desse número (isso é quase o que se chama quantização da carga elétrica, mas não exatamente).

Vamos discutir então um pouco as idéias que envolvem o monopolo magnético. Partindo da suposição que haja uma dualidade eletromagnética, as pessoas imaginam que a teoria quântica dos elétrons tenha uma descrição equivalente através de uma teoria quântica de monopolos mangéticos. Mas note que como a carga do monopolo é um múltiplo do inverso da carga do elétron, quando a teoria quântica de elétrons for fraca, a teoria de monopolos será forte e vice-versa. Repetindo o que eu já disse no início, isso é interessante pois só sabemos resolver a teoria quântica de elétrons (ou quase todas as outras) quando ela é fracamente acoplada. Talvez, estudando a teoria de monopolos fracamente acoplada, usando as mesmas técnicas aproximativas, poderiamos tirar conclusões sobre fenômenos quânticos que acontecem quando a interação entre elétrons é forte. O problema é que não parece ser possível escrever essa teoria. Na verdade, é dificil lidar com os monopolos, já que eles sao soluções singulares e várias das suas propriedades físicas são divergentes (i.e., infinitas).

Será que existe algum outro lugar onde surjam monopolos mas onde eles sejam mais bem comportados? A resposta, descoberta por ‘t Hooft e Polyakov, é que sim. E eles surgem em uma generalização da teoria de Maxwell desenvolvida inicialmente por Yang e Mills que usamos hoje em dia para descrever as interações eletrofracas (incluindo o agora tão famoso mecanismo de Higgs para quebra espontânea de simetria). Esse monopolo é mais bem comportado e, em princípio, parece bem diferente do monopolo de Dirac. Mas se voce vai a fundo na teoria, e estuda uma bela área da matemática chamada conexões em fibrados e a topologia associada a eles, você vê que eles são muitos parecidos.

Apesar de ser uma generalização, essas teorias de Yang-Mills têm muitas diferenças em comparação à teoria de Maxwell. Quando a teoria tem suas simetrias espontaneamente quebradas (o que, sobre vários aspectos, é um nome muito ruim, mas tudo bem), as partículas mediadoras dessa interação quântica, o que seria equivalente ao fóton, se tornam massivas. Lembre-se que o fóton não tem massa. Além disso, nas teorias de Yang-Mills, as partículas mediadoras tem carga. Note mais uma vez que isso é diferente do caso do fóton: ele é responsável pela interação entre objetos com carga, mas ele próprio não tem carga.

Se há diferencas, há tambem semelhancas (como eu já tinha adiantado). A regra de quantização de Dirac da carga magnética continua valendo. Mais do que isso, agora somos capazes de calcular explicitamente não só a carga magnética dessas configurações, mas tambem sua massa. Estudando as massas e as cargas dessas configurações, Bogolmo’nyi descobriu que, nessas teorias com monopolos magnéticos de ‘t Hooft-Polyakov, essas quantidade físicas tem que obedecer uma desigualdade que ficou conhecida como limite de Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfeld (BPS).

Uma observação curiosa é que os bósons massivos da teoria com quebra de simetria saturam esse limite. Então esperamos que, se quisermos ter uma teoria com dualidade eletromagnética, temos que ter os monopolos magnéticos também saturando o limite BPS. Essa é a proposta de Montonen e Olive (na verdade, a proposta deles é um pouco mais que só isso, mas eu comento numa outra chance): uma teoria dual não mais entre elétrons e monopolos e sim entre bósons vetoriais massivos e monopolos magnéticos saturando o limite de BPS. É possivel construir uma família de soluções de monopolo que saturam esse limite. As variáveis que classificam os membros dessa familia formam o que se conhece como espaço de módulos, um conceito que ainda voltaremos algumas vezes aqui. Tudo parece estar convergindo para que os problemas se resolvam e para que a teoria dual possa ser escrita. Porém, ainda há um problema: esses bósons tem spin 1 enquanto o monopolo tem spin 0! Nao é possivel fazer a identificação dual com spins diferentes. Na verdade, nesse estágio, temos dois problemas:

  1. Spins diferentes entre bósons e monopolos, impossibilitando a identificação
  2. Correções quânticas podem fazer com que o limite BPS não seja mais saturado, impossibilitando a identificação.

Esses dois problemas tem solução, que reside na introdução de férmions na teoria. Mas não a introdução de qualquer forma: é importante que os férmions e os bósons formem uma teoria com supersimetria. Mas isso fica para o próximo post…


Edit (10/07): O Daniel me passou esse link com outro blog onde o autor dá uma visão bem didática complementando isso que eu discuti. É interessante.

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