Arquivo

Posts Tagged ‘Feynman-Kac’

Realejo do dia…

sexta-feira, 8 maio 2009; \19\America/New_York\America/New_York\k 19 2 comentários

Pra quem nunca ‘viu’ os Harmônicos Esféricos, aí vai uma boa pedida,

E, olha só a pegadinha ‘escondida’ nesse post aqui, The physics of singing in the shower. Essencialmente, o autor diz as notas (i.e., os harmônicos) e pergunta qual o tamanho do banheiro.

Esse problema tem nome e se chama “Geometria Espectral“. Essa área de pesquisa nasceu com um trabalho do Kac (o mesmo da fórmula de Feynman-Kac) sob o título É possível se ouvir a forma dum tambor?

A ‘pegadinha’ do problema acima é o seguinte: Não é possível se ouvir a forma dum tambor! Portanto, não é possível se determinar o tamanho do banheiro do autor, de forma única, usando-se apenas os dados que ele deu. 😎 Quem quiser ver alguns exemplos disso pode olhar nos seguintes links: Espaços Isospectrais, You Can’t Always Hear the Shape of a Drum.

Agora… quem acha que a coisa acaba aqui… não, tem mais. No frigir dos ovos, o problema se resume a calcular os autovalores do Laplaciano canonicamente definido no espaço que se tem em mãos, quer esse seja um plano, uma esfera, um toro (i.e., uma rosquinha), ou qualquer coisa mais complicada que isso. E, como a gente bem sabe, resolver a Equação de Poisson é o pão-com-mateiga, o arroz-com-feijão, da Física — eu explico: se vc conhece a métrica de Jacobi, com um pouquinho de jogo-de-cintura, vc pode transformar a imensa maioria dos problemas (aqueles onde existe uma Energia Potencial bem definida) de Física de forma que eles se reduzam apenas a solução da Equação de Poisson! E tudo se resume a resolver a Teoria Potencial que a gente acaba tendo em mãos, procurando pelas funções harmônicas do Laplacinao que a gente massageou acima. (Na verdade, andando por esse caminho, rapidinho a gente chega em Cohomologia e Teoria de Hodge.) 😈

Bom, mas não era por aí que eu queria enveredar… 😉 Eu queria mesmo era falar da Equação de Schrödinger,

i\, \hbar\, \partial_{t} \Psi(x,t) = -\displaystyle\frac{\hbar}{2\, m}\, \nabla^{2}\Psi(x,t) + V(x)\, \Psi(x,t) \; ;

para uma partícula de massa m e x pode, ou não, ser um vetor n-dimensional — não há perda de generalidade pras considerações que eu vou fazer.

Então, fazendo o ‘truque’ que eu mencionei acima, usando a Métrica de Jacobi, nós podemos redefinir a métrica implícita na Eq de Schrödinger como sendo a seguinte,

\mathbf{h} = 2\, \biggl(E + \displaystyle\frac{2\, m}{\hbar}\, V(x)\biggr)\, \mathbf{g} \; ;

onde \mathbf{g} é a métrica original e \mathbf{h} é a nova métrica, que dará origem a uma nova derivada, que vamos chamar de \tilde{\nabla}.

Dessa forma, a gente pode re-escrever a Eq de Schrödinger da seguinte forma (já devidamente separando a parte temporal, usando \Psi(x,t) = \psi(x)\, T(t)),

\tilde{\nabla}^{2}\psi(x) = E\, \psi(x) \; ;

e, como a gente pode ver, tudo se resume a resolver uma Eq de Poisson. 😎

Mas é agora que vem um pouco de beleza literária, de liberdade poética, em entender e interpretar a equação acima. Tudo que vc está fazendo, nessas alturas do campeonato, é procurar pela “música intrínseca e natural” do problema quântico que vc tem em mãos — no sentido de estar calculando os harmônicos esféricos desse novo espaço, determinado pela métrica \mathbf{h}! Então, parafraseando a pergunta que abriu esse post, a gente pode dizer: “É possível ouvirmos a forma duma partícula quântica?” 😈

E, como a gente viu acima, a resposta é que ‘não’, não é possível se procurar por partículas [quânticas] iso-espectrais, pois vc está fadado a encontrar partículas diferentes que tocam a mesma música. 😎

Mais realejo que isso… só dois disso! 😎

%d blogueiros gostam disto: