Arquivo

Posts Tagged ‘Ínstantons’

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 26 jun 2009; \26\UTC\UTC\k 26 2 comentários


Anúncios

Dualidades – Parte 2 (Supersimetria)

segunda-feira, 20 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 1 comentário

Vamos continuar com minha tentativa, que ser tornará cada vez mais impossível, de fazer essa introdução sobre dualidades em forma de divulgação científica.


 

Na última vez falamos sobre monopolos magnéticos e seu papel em teorias duais. Chegamos a uma teoria que tem um monopolo bem comportado, a teoria de Yang-Mills-Higgs, mas fechamos o post com dois problemas: as correções quânticas ao limite BPS e o erro do spin. Vamos tentar consentar isso.

Primeiro, vamos discutir sobre uma extensão da proposta de dualidade. Nós vimos que a dualidade eletromagnética é como se fosse uma raiz quadrada da simetria de conjugação de carga. No entanto, isso pode ser estendido se introduzirmos um termo na teoria de Yang-Mills-Higgs chamado termo-\theta. Não há nada que impeça a introdução desse termo: ele não quebra nenhuma simetria nem torna a teoria mal definida. Ele é o responsável pela quebra da simetria CP, assunto que foi prêmio Nobel esse ano. O fato desse termo ser muito pequeno é um problema em aberto na nossa compreensão do modelo padrão das partículas fundamentais, chamado problema de CP forte. Apesar de muito pequeno, esse termo é interessante porque ele parametriza os vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs. O vácuo da teoria de YMH é algo bem complexo e uma das entidades mais estudadas em física teórica. Esse termo mistura diversos desses vácuos através de tunelamentos quânticos por ínstantons. Quando se leva em consideração a física dos ínstantons, percebe-se que esse termo \theta é periódico. Quando se junta essa periodicidade à dualidade eletromagnética, a simetria fica estendida a um grupo que é conhecido na matemática como SL(2,Z). Esse grupo vive aparecendo na matemática quando se estuda números complexos e no youtube tem um vídeo bonito sobre elas:

No que se refere aos monopolos magnéticos esse termo resulta em duas mudanças. Primeiro, ele muda as cargas magnéticas e elétricas, o que é conhecido como efeito Witten. Além disso, esse grupo, diferentemente da dualidade eletromagnética usual, é de ordem infinita. Isso quer dizer que em vez de só trocar monopolos por bósons vetoriais, podemos aplicar ele infintas vezes gerando cada vez estados novos, chamados dyons, porque eles vão ter carga elétrica e magnética. O argumento de Sen, que falei no post anterior, diz respeito justamente ao espectro desses dyons.

Esse grupo também aparece como simetrias de teorias definas num toróide. Isso é bem importante em teoria de supercordas quando se calcula amplitudes de espalhamentos. Podemos importar essa idéia e imaginar que a teoria com monopolos é uma teoria numa dimensão superior, onde essa simetria do toróide é manifesta. Essa discussão pode ser levada adiante e ela desemboca nas dualidades em teoria de supercordas e teoria M onde há naturalmente uma dualidade SL(2,Z), mas isso fica para outro post (até porque eu teria que estudar mais para contar a história decentemente). Vamos, por enquanto, ficar só com a idéia de que podemos começar a escrever a teoria numa dimensão superior e ver seu efeito em quatro dimensões.

Vou fazer uma pausa nessa idéia de dimensões superiores e discutir uma outra idéia que é objeto de muitos estudos em física teórica: supersimetria. A supersimetria é uma simetria proposta que resulta na existência de um parceiro para cada partícula existente. Esses parceiros supersimétricos nunca foram observados, mas há muito gente procurando e vai ter muito mais quando o LHC começar a funcionar definitivamente. Esses parceiros são desejáveis porque eles cancelam quase todas as correções quânticas das partículas usuais. Isso cancela divergências que, de outra forma, tornariam teorias quânticas mais difíceis de serem bem definidas. Num nível não perturbativo, nem todas as correções se cancelam, mas até isso é interessante. A idéia é que talvez a supersimetria proteja o limite de BPS fazendo com que ele seja exato inclusive na teoria quântica, possibilitando uma teoria quântica com dualidade eletromagnética.

Quando temos uma teoria supersimétrica, não é mais exatamente correto falar em partículas. Mas sim no multipleto contendo a partícula e seu parceiro supersimétrico. Podemos imaginar inclusive teorias com multipletos bem grandes onde não há apenas duas partículas que sejam parceiros mas mais partículas. Isso chama-se supersimetria extendida. Há várias formas de se estender consistentemente esse multipleto. A forma mais econômica, ie, com o menos número de parceiros, é quando as massas obedecem uma igualdade que tem exatamente a mesma forma do limite BPS. Hum…. só que em vez de cargas magnéticas temos agora objetos topológicos escritos em termos das condições de contorno dos campos. Se você se lembrar da discussão sobre monopolos de Dirac, você vai ver que isso é uma excelente idéia, pois desde o início, a carga magnética era um objeto topológico. Mas mais do que isso, sendo essa uma propriedade da supersimetria, ela é válida inclusive na teoria quântica.*

Vamos agora juntar as duas idéias: começemos com uma teoria supersimétrica numa dimensão superior e reduzamos às nossas quatro dimensões. Por exemplo, se começarmos com uma teoria supersimétrica de Yang-Mills em seis dimensões, obtemos uma teoria de Yang-Mills-Higgs em quatro dimensões com supersimetria extendida (dobrada, o que é chamado \mathcal{N}=2). Essa teoria tem então monopolos magnéticos! Mais do que isso, podemos mostrar que a lei e conservação topológica que falei anteriormente é exatamente o limite BPS. 🙂 Fantástico. Essa idéia pode ser aplicada em diversas situações, inclusive em sistemas mais simples na mecânica quântica tradicional. Vale a pena dar uma lida:

Supersymmetry algebras that include topological charges. D Olive, E Witten – Phys. Lett. B, 1978

Perceba que um dos problemas que tínhamos no início do post foi resolvido. O outro persiste porque, ao se estudar detalhadamente o multipleto supersimétrico, percebe-se que o monopolo e o bóson vetorial ainda vão ter spins diferentes. Isso não tira o interesse na teoria. Muito pelo contrário, essa teoria tem várias surpresas que foram descobertas por Witten e Seiberg (um review pedagógico: L Alvarez-Gaume, SF Hassan – Arxiv preprint hep-th/9701069, e certamente eu vou fazer um post sobre essas teorias mais detalhado no futuro).

Como resolver o segundo problema? Se fomos até seis dimensões, por que não continuar? Se usarmos a mesma idéia de começar com a teoria de Yang-Mills supersimétrica em dez dimensões e olharmos para a teoria de Yang-Mills-Higgs que ela implica em quatro, veremos que o monopolo e o bóson vetorial agora tem o mesmo spin, ambos dentro de um multipleto extendido \mathcal{N}=4. Isso é muito interessante, não só pelo resultado, mas porque essa teoria de SYM em dez dimensões é o limite de interações fracas da teoria de supercordas! Veja como a teoria de supercordas vive reaparecendo. A teoria de supercordas, mesmo que ela não seja a teoria final, tem um papel explicador tão grande que é difícil levar a sério as pessoas que dizem que ela está errada. Nos próximos posts vamos explorar mais essa teoria e ver o que ela nos ensina sobre dualidades eletromagnéticas.


Referências:

Notas:
* (Edit: 20/10/08) Ok, eu não estou sendo completamente sincero aqui, até porque a teoria não é completamente supersimétrica: o vácuo de monopolo só preserva metade das supersimetrias. O limite BPS nesses modelos é uma igualdade entre uma massa e uma quantidade topológica. O problema é que essa teoria é interagente, então a massa recebe correções quânticas dos campos massivos. Só que esses campos massivos vão a zero no infinito, como já sabíamos desde o trabalho de Yukawa, e então eles não podem introduzir correções quânticas nas cargas topológicas (condições de contorno da teoria). No entanto, há uma correção, que vem de uma anomalia. Agora, explicar isso nos levaria mais adiante do que eu gostaria… veja o artigo do Witten e Olive para ver que, mesmo pessoas muito inteligentes não perceberam isso de primeira.

Eu acho que, para o propósito desses posts, vale mais a pena pegar a idéia de que sob uma dualidade eletromagnética leis de conservação de Nöther, ie. aquelas que só são válidas quando as equações de movimento são obedecidas, são trocadas por leis de conservação topológicas. E vice-versa.

Espinores, Lorentz e algumas besteiras

sábado, 11 out 2008; \41\UTC\UTC\k 41 Deixe um comentário

O Leonardo, no post sobre o prêmio Nobel citou muito brevemente sobre o papel dos ínstantons em teorias quânticas. Ínstantons são soluções clássicas da teoria de Yang-Mills euclidiana com ação finita. Em geral, procura-se por soluções que sejam auto duais ou anti auto duais. Mas isso não é estritamente necessário. Em grupos grandes, como SU(4) é fácil ver que existem soluções sem dualidade bem definida que são ínstantons, só considerar dois mergulhos de SU(2) (não tem ínstantons na teoria do Maxwell) que comutem, um auto dual e um anti dual. Se tais soluções existem para SU(2) é algo que eu desconheço. Se alguém conhecer, por favor, coloque no comentário.

Ínstantons são interessantes por um monte de razões fenomenológicas. O grande nome associado a essas idéias é o de ‘t Hooft. Meu objetivo aqui não é falar de ínstantons, contudo. Eis um bom review para quem quiser:

Stefan Vandoren, Peter van Nieuwenhuizen. Lectures on instantons

Note que ínstantons são definidos no espaço euclidiano. Quando se considera excitações de campos espinoriais sobre esse background, pode-se encontrar todo tipo de confusão entre álgebras de Clifford em espaços euclidianos e espaços lorentzianos. Acho que vale a pena lembrar que SO(1,3) (ou SO(3,1)) é muito diferente de SO(4). A começar que no caso Lorentziano, o grupo não é compacto e logo não tem representações unitárias com dimensão finita. Então, quando se busca representações de SU(2)\times SU(2) o que se está fazendo é tomando representações de SO(4) e não do grupo de Lorentz (pelo menos não unitárias). Com espinores não é diferente. É um resultado bem bonitinho, que usa um monte de resultado de álgebra, que as propriedades das álgebras de Clifford \mathcal{C}(m,n) dependem do número |m-n|(mod\, 8). Ninguém então deve esperar que o caso 2(mod\, 8) tenha algo a ver com 4(mod\, 8).

Na verdade, há algo mais interessante. Para se construir a álgebra de Clifford, não temos que considerar os grupos SO(1,3) ou SO(3,1), mas sim seu grupo de recobrimento Spin(1,3) e Spin(3,1). Numa linguagem básica, isso vem a dizer que uma rotação completa não deixa o espinor invariante, mas introduz um sinal. Spin(1,3) e Spin(3,1) são isomórficos, então até aí não há diferença na escolha. No entanto, se adicionarmos reflexões – gerando os grupos Pin(1,3) e Pin(3,1), esses grupos deixam de ser isomórficos. A idéia é similar à rotação, só que agora temos que refletir quatro vezes para que o espinor volte ao seu estado original! Os primeiros a notarem isso foi Yang e Tiomno, no caso de Pin(1,3) duas operações de paridade geram a unidade, enquanto no caso de Pin(3,1) geram menos a unidade (no caso euclidiano, Pin(0,4) é isomorfo a Pin(4,0) )

Se eles fossem isomorfos, poderíamos continuar tendo todo mundo que trabalha com partículas usando Pin(1,3) e todo mundo que trabalha com gravitação usando Pin(3,1). 😆 Mas tudo muda de figura sem esse isomorfismo, porque essa diferença pode ser verificada experimentalmente. Uma questão interessante é se neutrinos são espinores de Majorana, ou seja, se neutrinos são sua própria anti-partícula. Se forem, podemos imaginar um decaimento beta duplo onde o neutrino é emitido numa e absorvido na outra, não havendo neutrino no estado final – algo do tipo 2d\rightarrow 2u + 2e^{-}. É uma reação rara, mas que pode perfeitamente ser procurada experimentalmente seja em decaimentos de núcleos instáveis, seja em reações de partículas tipo K^{+}\rightarrow \pi^{-}+ 2e^{-} (veja, novamente, o post do Leonardo sobre o prêmio Nobel onde ele fala da matriz de CKM). A questão é que espinores de Majorana em teorias que conservem paridade só são consistentes em Pin(3,1). Em teorias euclidianas, a condição de Majorana nem pode ser satisfeita. Veja, por exemplo, o artigo do Nieuwenhuizen acima. Contudo, a definição dele de espinores de Majorana é um pouco fora do comum, embora interessante por si só, já que chama de espinores de Majorana coisas que podem reverter todo esse pensamento.

Então veja que faz diferença! Se você quiser ser bem chato, tem que tomar cuidado ao mudar de \eta^{\mu\nu}=(+,-,-,-) para \eta^{\mu\nu}=(+,+,+,-) e para \eta^{\mu\nu}=(+,+,+,+). Essa assinatura experimental é bem óbvia. Tem outras menos óbvias. Por exemplo, em espaços com topologia não triviais, os dois grupos admitem existência de correntes diferentes. Isso pode não ser relevante em teorias gravitacionais (ou até pode, mas ainda não temos uma determinação experimental), mas pelo menos em teoria de cordas isso é relevante. Na formulação de RNS, há espinores na folha-mundo, que admite todo tipo de topologia estranha, principalmente quando se considera cordas não orientadas. Então, a existência de várias estruturas de spin é relevante. Mas há formulações melhores da teoria de cordas, como a de espinores puros, onde não há espinores na folha-mundo (os espinores puros são espinores no espaço-tempo).

Para maiores detalhes, tem praticamente tudo que eu falei aqui:

M. Berg, C. DeWitt-Morette, S. Gwo, E. Kramer. The Pin Groups in Physics: C, P, and T

E aqui:

John Baez. This week finds in mathematical physics #93 (e várias outras semanas… procure por álgebras de Clifford e espinores na página do Baez)

Mas rapidamente votando ao caso de teorias no espaço-tempo, eu queria fazer uma pergunta, que pode ser muito fácil de ser respondida, mas não estou conseguindo chegar numa conclusão agora: como se faz um aparelho experimental que implementa a conjugação P nas partículas?

%d blogueiros gostam disto: