Arquivo

Posts Tagged ‘matemática’

As Raízes da Metafísica…

segunda-feira, 22 ago 2011; \34\America/New_York\America/New_York\k 34 1 comentário

Acabei de ler o post The Roots of Metaphysics que trata do Paradoxo de Russell — que tem a mesma natureza do Argumento Diagonal (o fato de que os Reais são incontáveis).

Entretanto, no sentido exposto no texto — “(…) no set of existential statements can entail a universal statement” —, a primeira coisa que veio a minha mente foi o Teorema do Limite Central (e suas “variações sobre o tema”). Ou seja, apesar dos pesares, minha crítica ao texto, ao modo como o problema foi exposto no texto, é que eu não achei que a noção de recursividade ficou exposta de modo claro o suficiente (de modo que se note que ela é o ‘pilar’ por detrás do problema sendo tratado). A analogia feita no texto é a de que enquanto a afirmação “todos os morcegos estão na pia” é universal, a afirmação “há um morcego na pia” é existencial. O problema dessa analogia é que nós já sabemos, a priori, que o número de morcegos é finito (assumindo, claro, que só existem morcegos no nosso planeta), o que faz uma diferença enorme em toda essa brincadeira. Num certo sentido, o problema dessa analogia está no Paradoxo de Banach–Tarski: se fosse possível, através dum corte ao meio, se obter dois morcegos idênticos entre si, a partir dum morcego original, aí sim, essa seria uma analogia bona fide, uma vez que a recursividade estaria então implementada no problema. Aliás, é por essas, e outras, que existem diferentes formulações da Teoria de Conjuntos, como, e.g., Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel (e suas respectivas objeções), assim como Teoria de Topos e Teoria de Conjuntos de Tarski–Grothendieck.

Acho interessante ver que o Paradoxo de Russell é de ~1925… e que, por exemplo, os Teoremas de Incompletude de Gödel são de 1931: quando postos em contexto, acho que as implicações são bem interessantes. :wicked:

No final das contas, esse assunto tem um nome: Meta-Matemática — leia mais sobre isso em Meta Math! The Quest for Omega e Omega and why maths has no TOEs. Ou seja, como devemos usar a matemática pra avaliar a própria matemática?

Num certo sentido, isso me leva a pensar diretamente sobre o conceito de Grupo de Renormalização, Teorias Efetivas e Espaço de Teorias (em física teórica) (ver também Grupo de Renormalização Funcional). Ou seja, em Física existem teorias que são fundamentalmente desconexas (como, por exemplo, a Relatividade Geral e a Mecânica Quântica); entretanto, existe todo um outro conjunto de teorias que estão conectadas via o Grupo de Renormalização: ou seja, existe uma teoria pra explicar cada conjunto de graus-de-liberdade (ie, as variáveis que descrevem uma determinada teoria); entretanto, é possível se rearranjar um conjunto de graus-de-liberdade de modo a se obter as variáveis relevantes para se explicar outra teoria — esse fenômeno leva o nome de Transição de Fase.

Nesse sentido, existem várias escalas relevantes para a Física, que efetivamente formam “ilhas de teorias”, ou “ilhas de verdade” (à la Gödel). Dessa forma, acabamos com um sistema multi-fractal: a auto-similaridade consiste no fato de que toda a estrutura Física se repete nas diversas escalas: Lagrangianos, [quantização via] Integral de Trajetória de Feynman, Renormalização, etc, etc, etc — exceto, claro, por pontos-fixos não-triviais no Fluxo de Renormalização. 😉

O Lamento dum Matemático…

domingo, 21 ago 2011; \33\America/New_York\America/New_York\k 33 1 comentário

Acabei de encontrar esse artigo (PDF), escrito por Keith Devlin, onde a seguinte citação aparece:

“… The first thing to understand is that mathematics is an art. The difference between math and the other arts, such as music and painting, is that our culture does not recognize it as such. Everyone understands that poets, painters, and musicians create works of art, and are expressing themselves in word, image, and sound. In fact, our society is rather generous when it comes to creative expression; architects, chefs, and even television directors are considered to be working artists. So why not mathematicians?”

(Tradução livre: “… A primeira coisa a entender é que a matemática é uma arte. A diferença entre a matemática e as outras artes, como música e pintura, é que nossa cultura não a reconhece [como arte]. Todo mundo entende que poetas, pintores, e músicos criam trabalhos de arte, e se expressam em palavras, imagens e sons. De fato, nossa sociedade é meio generosa quando o assunto é expressão criativa; arquitetos, chefs [de cozinha], e até mesmo diretores de TV são considerados artistas. Então, por que não os matemáticos?”)

Taí uma desses “perguntinhas capiciosas” que têm a capacidade de mudar muita coisa… “Por que não os matemáticos?”

Simetria e Dualidade em Matemática e Física…

quarta-feira, 23 jun 2010; \25\America/New_York\America/New_York\k 25 Deixe um comentário

Lógica Bayesiana

sexta-feira, 13 nov 2009; \46\America/New_York\America/New_York\k 46 6 comentários

Todo mundo conhece a lógica clássica, aquela segundo o qual proposições são julgadas verdadeiras ou falsas através de certos procedimentos de consistência. Mesmo que não conheça as regras da lógica formal, certamente já as usou e saberia reconhece-las. Poucos nunca ouviram o tal exemplo sobre a mortalidade ou não de Sócrates.  A lógica formal nos fornece uma forma de raciocínio: seguindo suas regras básicas eu consigo formas de, de posse de afirmações que eu julgo verdadeiras,  julgar a validade de outras. Mais ainda, na lógica não há espaço para ambiguidade e meia-certeza — o valor de uma proposição é verdadeiro ou falso, fim de papo. E note: ainda que eu não consiga determinar esse valor, está estabelecido desde o princípio que ele é verdadeiro ou falso.

Certamente isso fornece ferramentas úteis mas há uma grande limitação: como eu deveria raciocinar se eu não possuo informação completa sobre algo? A lógica formal não serve para isso. Eu não posso fazer perguntas como: “dado que eu acho a proposição P1 maaais ou menos certa, qual é o valor de P2?”. Há formas de lidar com essa questão de informação parcial? Isso é o que os probabilistas da escola bayesiana se perguntaram e o que eu pretendo dizer aqui é como responder positivamente essa pergunta.

A grande pergunta inicial é: como eu quantifico informação incompleta sobre algo? Em outras palavras, como eu digo a você quão fortemente eu acredito que algo é verdade? Uma vez determinada essa resposta a próxima pergunta é: como eu devo proceder, uma vez estabelecida o valor de uma proposição, para determinar o valor de outra proposição derivada dessa? Essas são as duas perguntas que eu vou tentar explicar como são respondidas pela teoria bayesiana.

Então para começo de conversa vamos estabelecer como se mede o grau de plausibilidade de algo (A. Caticha gosta de chamar de “degree of rational belief”, eu concordo com ele). Para cada proposição vamos criar uma função que associa a cada outra proposição um número real — a princípio irrestrito:

\Phi_{p} : \mathcal{P} \to \mathcal{R}, \forall p\in\mathcal{P}.

Aqui, \mathcal{P} é a coleção de proposições e \mathcal{R} o conjunto dos reais. Ao número \Phi_{P_1}(P_2) vamos chamar plausibilidade de P_2 no ambiente lógico (gerado por) P_1. Ou seja, esse número mede o quanto eu acredito em P_2 assumindo P_1 como “axioma”. Quanto maior o número maior minha crença.

Bem, não faz muito sentido apenas fazer isso. Preciso de algumas regras básicas para essa função. Essas regras devem me garantir que quando eu faço o “limite de certeza absoluta” eu recobre os resultados da lógica formal. Essas regras são chamadas axiomas de Cox e são bem simples e intuitivas. Melhor ainda: elas determinam \Phi_{p} quase univocamente (vamos entender esse quase adiante). Os axiomas de Cox são os seguintes:

A plausibilidade da negação de uma proposição é determinada assim que eu conheço a plausibilidade da própria proposição. Ou seja(2):

\Phi_{A}(\neg B) = F(\Phi_{A}(B)).

Parece razoável: quanto mais acredito em B, menos acredito em \neg B.  Note que há aqui a afirmação implícita de que a função que liga a plausibilidade de uma proposição com a plausibilidade da sua negação é única e independe de qual proposição estamos falando, nem do “ambiente lógico”.

A operação de negação é idempotente – ou seja, se eu aplicar a negação duas vezes, devo recuperar a proposição original(\neg \neg B = B). Essa propriedade nos fornece uma equação funcional para F(\cdot):

\Phi_{A}(\neg \neg B) = \Phi_{A}(B),

F(\Phi_{A}(\neg B)) = \Phi_{A}(B),

F(F(\Phi_{A}(B))) = \Phi_{A}(B).

Ou seja, para todos os valores u pertencentes à imagem de \Phi_{\cdot}(\cdot) devemos ter que:

F(F(u)) = u.

Ou seja, a função F(⋅) é idempotente também. Vamos reservar essa propriedade de F(\cdot) e prosseguir para o segundo axioma de Cox:

A plausibilidade da conjunção de duas proposições A\wedge B dada uma terceira proposição C (ou seja, \Phi_{C}(A \wedge B) ) deve depender apenas da plausibilidade de:

(1) plausibilidade de A dado C: \Phi_{C}(A);
(2) estabelecida a plausibilidade de A, quão plausível é B dado C : \Phi_{C\wedge A}(B).

Ou seja, estou assumindo a existência de mais uma “função universal”:

\Phi_{C}(A \wedge B) = G( \Phi_{C}(A) , \Phi_{C\wedge A}(B) ).

Também parece razoável: quando quero determinar se duas proposições são simultaneamente verdadeiras, estabeleço primeiro a validade da primeira e depois, dada a primeira, estabeleço a validade da segunda. É um pouco mais difícil tirar uma equação funcional para G(⋅ , ⋅) mas não é impossível. Considere a expressão:

\Phi_{B}(A_1 \wedge A_2 \wedge A_3).

Há duas formas diferentes de decompor essa expressão usando a função G(\cdot,\cdot): lembre-se que o conectivo \wedge é  associativo e comutativo e portanto:

\left(A_1 \wedge A_2\right) \wedge A_3 = A_1 \wedge \left(A_2 \wedge A_3\right).

Uma inferência consistente exige que essas duas formas dêem o mesmo resultado(3). Portanto:

G( \Phi_{B}(A_1 \wedge A_2) , \Phi_{B\wedge A_1 \wedge A_2}(A_3) ) = G(\Phi_{B}(A_1) , \Phi_{B\wedge A_1 }( A_2 \wedge A_3) ).

Aplicando novamente a definição de G(\cdot,\cdot):

G( G(\Phi_{B}(A_1),\Phi_{B \wedge A_1 }( A_2)) , \Phi_{B\wedge A_1 \wedge A_2}(A_3) ) = G(\Phi_{B}(A_1) , G(\Phi_{B\wedge A_1 }( A_2),\Phi_{B\wedge A_1 \wedge A_2 }( A_3)) ).

Se isso deve valer para quaisquer proposições então novamente tenho um equação funcional válida para quaiser u, v e w na imagem de \Phi_{\cdot}(\cdot)(4):

G(u,G(v,w)) = G(G(u,v),w).

Ou seja: a função G(⋅ , ⋅) também é associativa.

Um leitor apressado deve se perguntar nesse momento: e daí que você tem duas equações funcionais para essas funções arbitrárias F(⋅) e G(⋅ , ⋅) que você postulou do chapéu? O ponto é que essas duas equações funcionais generalíssimas definem univocamente estrutura de inferência! Sério mesmo. Não to brincando. E você conhece essa estrutura.

O coração da questão deriva de dois teoremas devidos a Cox. Para conseguir o primeiro teorema vamos usar o seguinte resultado (não vou provar aqui porque a prova é extensa e é encontrada na referência [2]).

Teorema da função associativa: dada qualquer função associativa G(u,v), existe uma função monotônica g(⋅) tal que:

g(G(u,v)) = g(u) g(v)

Isso é muito conveniente pois se escrevermos de novo a definição de G(\cdot,\cdot), temos:

\Phi_{C}(A \wedge B) = G( \Phi_{C}(A) , \Phi_{C\wedge A}(B) ),

e usarmos o teorema da função associativa, então obtemos:

g\left(\Phi_{C}(A \wedge B)\right) = g\left(\Phi_{C}(A)\right) g\left( \Phi_{C\wedge A}(B) )\right)

E agora posso simplesmente regraduar minha definição de plausibilidade. Uma vez que g() é monotônica, e portanto vai preservar a ordem com que eu classifico coisas como mais ou menos plausíveis, eu posso redefinir plausibilidade como:

\phi(A|B) = g(\Phi_{B}(A))

Mudei ligeiramente a notação para que o leitor possa apreciar melhor o que acontece com a antiga expressão que define G(⋅ , ⋅) com essa nova definição de plausibilidade:

\phi(A \wedge B | C) = \phi(B|C \wedge A) \phi(A|C)

Mas veja se essa não é a boa e velha regra do produto da teoria de probabilidades!!! Usando a comutatividade de \wedge eu ainda posso notar que:

\phi( B | C \wedge A) = \dfrac{\phi (A|C \wedge B) \phi (B|C)}{\phi (A|C)},

e essa não é nada mais que a regra de Bayes da teoria de probabilidades!

Mas calma, a nova função plausibilidade \phi(\cdot| \cdot) ainda não é uma probabilidade: não basta seguir essas duas regras, há uma série de condições na teoria axiomática de probabilidades para chamar algo com esse nome e a nossa função ainda não satisfaz todas. Tudo bem: ainda nos falta estudar as propriedades de F(\cdot)! Quem sabe isso ajude.

Novamente precisamos criar uma situação em que a demanda por consistência delimite as propriedades da função plausibilidade. Por exemplo temos a seguinte situação(5):

\phi(A \wedge B | C) = \phi(B|C \wedge A) \phi(A|C) =F\left(\phi(\neg B|C \wedge A)\right) \phi(A|C) .

Mas, pela regra do produto que deduzimos acima:

\phi(\neg B |C \wedge A) = \dfrac{\phi(A \wedge \neg B |C)}{\phi(A|C) }

e então:

\phi( A \wedge B | C) =\phi(A|C) F \left( \dfrac{\phi(A \wedge \neg B |C)}{\phi(A|C) }\right)

Mas lembre-se que a conjunção A \wedge B é simétrica, portanto toda essa expressão fica invariante se eu trocar A por B. E assim:

\phi(A|C) F \left( \dfrac{\phi(A \wedge \neg B |C)}{\phi(A|C) }\right)=\phi(B|C) F \left( \dfrac{\phi(B \wedge \neg A |C)}{\phi(B|C) }\right)

Se isso deve valer independente de quais são as proposições A, B e C, então eu posso, por exemplo, escolher uma particular proposição \neg B = A\wedge D. Note que com essa escolha temos as seguintes identidades: A\wedge \neg B = \neg B\neg A \wedge B = \neg A. Então:

\phi(A|C) F \left( \dfrac{\phi(\neg B |C)}{\phi(A|C) }\right)=\phi(B|C) F \left( \dfrac{\phi(\neg A |C)}{\phi(B|C) }\right)

\phi(A|C) F \left( \dfrac{F\left(\phi( B |C)\right)}{\phi(A|C) }\right)=\phi(B|C) F \left( \dfrac{F\left(\phi(A |C)\right)}{\phi(B|C) }\right)

O que finalmente resulta em mais uma equação funcional para F(⋅):

uF \left( \dfrac{F\left(v\right)}{u }\right)=v F \left( \dfrac{F\left(u\right)}{v }\right)

Novamente sem demonstrar, vou simplesmente afirmar que a solução mais geral dessa equação, submetida à condição de idempotência que deduzimos acima, é dada por:

F(u)^\alpha=(1-u^\alpha).

Note que para um \alpha qualquer isso restringe o dominio da função F(⋅), e portanto a imagem da função \phi(\cdot|\cdot), ao intervalo [0,1]. E veja o que acontece então com a regra que define F(⋅):

\phi(\neg A | B) ^\alpha + \phi(A|B)^\alpha = 1

Uma nova regraduação permite definir uma função Pr(A|B) =\phi(A|B)^\alpha com as seguintes propriedades:

  • Pr(A|B)\in[0,1]
  • Pr(A|B) + Pr(\neg A|B) = 1
  • Pr(A_1\wedge A_2|B) = Pr(A_2| B \wedge A_1)Pr(A_1 |B)

Esses não são exatamente os axiomas de Kolmogorov para a teoria de probabilidades mas… close enough para um post de blog. Isso tudo pode ser refinado com o devido grau de rigor matemático para satisfazer os exatos axiomas da teoria da probabilidade.

O que foi obtido com essa massagem matemática toda?

  1. É possível definir um sistema lógico de inferência baseado em informação incompleta e incerteza que atribui uma plausibilidade a cada proposição.
  2. Esse sistema lógico é único, a menos de uma regraduação monotônica da função plausibilidade. Isso faz com que uma ordenação segundo a plausibilidade seja única, uma vez que regraduações monotônicas não alteram essa ordem.
  3. A função plausibilidade satisfaz todas as regras que uma probabilidade legitima deve satisfazer (aqui não provei isso, mas apenas mostrei algumas coisas – para fazer isso rigorosamente precisa-se definir uma “sigma-álgebra de proposições”).

E qual é a utilidade prática disso? Bem… o mundo está cheio de situações de inferência baseada em informação incompleta. Particularmente, todo problema que depende de dados empíricos é, em essência, um problema dessa natureza e todo problema de inferência em ciência é assim. Uma vez que o único sistema de inferência para informação incompleta – como aí mostrado – é aquele que usa as regras  da teoria da probabilidade é razoável se supor que efetivamente usar essas regras explicitamente oferece vantagens sobre os métodos estatísticos ad hoc frequentemente usados, como os métodos de mínimos quadrados e outras formas de fitting de dados. Na verdade esse processo de inferência vai muito além disso – ele oferece ferramentas de modelagem física, de interpretação de modelos, de planejamento de experimentos e ainda mais. Mas disso eu vou tratar em um próximo post.

Notas:

(1) — Se você se interessa por nomes, o que se segue é devido a um certo número de pessoas — Edwin Jaynes, Harold Jeffreys e particularmente Richard Cox.

(2) — Estou usando os seguintes simbolos para os conectivos lógicos:

  • \neg — negação: \neg \mbox{Verdadeiro} = \mbox{Falso}
  • \wedge — o conectivo E (conjunção): \mbox{Verdadeiro} \wedge \mbox{Falso} = \mbox{Falso}
  • \vee — o conectivo OU (disjunção inclusiva): \mbox{Verdadeiro} \vee \mbox{Falso} = \mbox{Verdadeiro}

(3) — Lembre-se: queremos um sistema racional de atribuir um grau de confiança a algo.

(4) — Que pode ser obtida fazendo: u = \Phi_{B}(A_1), v = \Phi_{B \wedge A_1 }( A_2)) e w = \Phi_{B\wedge A_1 \wedge A_2 }( A_3).

(5) Note que eu tinha definido F(⋅) para a função original \Phi_{A}(B). Entretanto fizemos uma regraduação monotônica então nada me impede de abusar da linguagem e redefinir F(x) \to F(g(x)).

Referências:

[1] E. T. Jaynes, Probability Theory, the Logic of Science.
[2] A. Caticha, Lectures on Probability, Entropy, and Statistical Physics — arXiv:0808.0012v1 [physics.data-an]
[3] A. Caticha,  Quantifying Rational Belief — arXiv:0908.3212v1 [physics.data-an]

Genus e o Ensino de Matemática…

sexta-feira, 26 jun 2009; \26\America/New_York\America/New_York\k 26 Deixe um comentário

Quem gosta do problema de classificação de variedades (ver também Variedades Topológicas) certamente já ouviu falar do conceito de genus (como o nome é proveniente duma analogia com a biologia, a tradução mais apropriada deveria ser gênero mas, até onde eu sei, se usa ‘genus’ mesmo 😉 ).

O Hirzebruch e o Ochanine escreveram dois artigos muito interessantes na edição desse mês da Notices:

E quem gosta de Ensino de Matemática também pode se divertir com os artigos abaixo:

É isso aí!

Atualizado (2009-Jun-26 @ 19:10h EDT):

😉

A semana nos arXivs…

quarta-feira, 29 abr 2009; \18\America/New_York\America/New_York\k 18 1 comentário


A semana nos arXivs…

quinta-feira, 2 abr 2009; \14\America/New_York\America/New_York\k 14 Deixe um comentário

Os melhores livros de divulgação

domingo, 29 mar 2009; \13\America/New_York\America/New_York\k 13 29 comentários

Que tal uma lista de utilidade pública com alguns dos melhores livros de divulgação? 🙂

Bom, naturalmente que a lista será parcial. Vai ser baseada na experiência pessoal dos editores do blog, mas a vantagem é que você pode usá-la como ponto de partida se quer algumas sugestões de leitura leve para as férias, ou então se você gostou de alguns dos livros da lista, há potencial de gostar dos demais. 🙂 Volte sempre para checar atualizações na lista! 😉

Não vamos tentar fazer uma resenha de cada livro que ficaria muito longo, você pode ver essas resenhas por ai na Internet, no site das editoras e livrarias. Ah, e a lista não tem nenhuma ordem em especial, certo?

Vamos lá:

Disponível em português:

  • A Dança do Universo, Marcelo Gleiser
  • DNA: O Segredo da Vida, James D. Watson
  • Uma breve história do tempo, Stephen W. Hawking
  • Como a mente funciona, Steven Pinker
  • A falsa medida do homem, Stephen Jay Gould
  • O mundo assombrado pelos demônios, Carl Sagan
  • QED: A Estranha Teoria da Luz e da Matéria, Richard P. Feynman
  • O que é uma lei física?, Richard P. Feynman
  • Einstein para principiantes, Joseph Schwartz, Michael McGuinness
  • Os Três Primeiros Minutos, Steven Weinberg
  • O Universo Inflacionário, Alan H. Guth
  • Será que Deus joga dados?, Ian Stewart
  • O Quark e o Jaguar, Murray Gell-Mann
  • As aventuras e descobertas de Darwin a bordo do Beagle, Richard Darwin Keynes
  • O que é Matemática?, Richard Courant e Herbert Robbins
  • O último teorema de Fermat, Simon Singh
  • História da Matemática, Carl Boyer, Uta C. Merzbacher. Não é divulgação, mas é excelente e acessível.
  • História química de uma vela, Michael Faraday
  • Cronologia das ciências e das descobertas, Isaac Asimov
  • A Filha de Galileu, Dave Sobel

Apenas em inglês:
Estes você pode comprar na Amazon.com, ou na Barnes & Noble. Você só pagará o livro, frete e a taxa de câmbio. Não há imposto cobrado de importação para livros.

  • Huygens & Barrow, Newton & Hooke, Vladimir I. Arnold
  • From Galileo to Einstein (aka Biography of Physics), George Gamow
  • Longing for the Harmonies, Frank Wilczek e Betsy Devine
  • Black Holes and Time Warps, Kip Thorne
  • Men of Mathematics, E. T. Bell
  • Einstein’s Legacy, Julian Schwinger
  • Gravity, George Gamow
  • Cosmology: The Science of the Universe, E. Harrison

A semana nos arXivs…

quarta-feira, 18 mar 2009; \12\America/New_York\America/New_York\k 12 Deixe um comentário

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 6 mar 2009; \10\America/New_York\America/New_York\k 10 3 comentários



Quero fazer uns comentários sobre o artigo/entrevista (“Is There a Higgs”) do Brain Cox acima… continue lendo… 😉

Leia mais…

Fluxo de Ricci, Flutuações Quânticas e Geometria…

quarta-feira, 18 fev 2009; \08\America/New_York\America/New_York\k 08 10 comentários

Já faz algum tempo que eu quero escrever sobre esse assunto: flutuações quânticas, fluxo de Ricci, geometria, fluxo do grupo de renormalização e afins. Agora parece ser o momento certo… 😉

De saída, digo que todas as estruturas matemáticas ou físicas possuem as propriedades necessárias pros resultados citados valerem, FAPP. Assim, isso economiza uma série de “observações” que deveriam ser feitas… mas, facilita um tanto a visão geral e o objetivo das construções feitas.

Introdução

Vamos começar definindo um básico de notação: \Sigma e \mathscr{M} são variedades Riemannianas e \phi:\; \Sigma\longrightarrow\mathscr{M} são mapas/funções parametrizadas por um conjunto de constantes de acoplamentos \mathcal{C}; os espaços \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M}) = \{ \phi \; : \; \Sigma\longrightarrow\mathscr{M}\} têm um significado matemático “razoável”, onde não assumimos nenhuma propriedade de regularidade (forte) sobre os mapas \phi; e, por definição, \mbox{dim}(\Sigma) é a dimensão da QFT dada. Vale a pena, ainda por cima, pensarmos em termos dum espaço [formal] \mbox{Act}[\mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})\times \mathcal{C}], onde cada ponto representa um funcional em \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})\times\mathcal{C}, chamado de Ação, S[\phi;\alpha], onde (\phi,\alpha) \in \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})\times\mathcal{C} e S[\phi;\alpha] \in\mathbb{R}. Na verdade, uma QFT é associada naturalmente a uma órbita da Ação clássica S[\phi;\alpha], gerada em \mbox{Act}[\mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})\times \mathcal{C}] por um semi-grupo cuja existência dá um significado físico apropriado ao processo de quantização.

Vamos agora nos lembar que uma QFT (Euclidiana) é totalmente determinada por suas Funções de Green, i.e., pelas correlações induzidas por uma família de densidade de probabilidades (i.e., medidas) em \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M}) também parametrizadas por \mathcal{C}, entre os valores \phi(x_1,\dotsc, x_k) \in \mathscr{M}^k, onde (x_1,\dotsc, x_k)\in\Sigma:

Z[\phi(x_k);\alpha] \equiv \displaystyle\int_{\mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})} \phi(x_1,\dotsc,x_k)\, e^{-S[\phi;\alpha]}\, D_{\alpha}[\phi] \; ;

onde D_{\alpha}[\phi] is a functional measure in \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M}).

Dando uma interpretação geométrica ao cenário acima, mesmo no caso 0-dimensional nós já temos resultados não-triviais, onde \Sigma = p e \phi:\, p\longrightarrow \mathscr{M} tal que p\mapsto \phi(p) e \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M}) = \{\phi:\, p\longrightarrow \mathscr{M} \} \simeq \mathscr{M}. Nesse caso, o funcional Ação se torna uma função escalar (para o caso em questão, nos reais) e usando-se o método de “steepest descent” (ou “stationary phase”) a Função de Partição desse problema (que se reduz a uma integral) se localiza (i.e., tem suas maiores contribuições) nos pontos críticos da Ação — notem que esses pontos críticos variam de acordo com os acoplamentos \alpha sendo considerados; variando-se esses acoplamentos obtém-se toda sorte de fenômeno no espaço de parâmetros \mathcal{C}, como Stokes Phenomena e Lee-Yang Zeros (vejam também Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation e Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model) que acabam gerando fenômenos de catástrofe no espaço de parâmetros \mathcal{C} o que leva à quebra espontânea de simetria e transição de fases. (Mas, quero deixar pra comentar sobre isso mais tarde, pois as ligações com o fluxo de Ricci e do Grupo de Renormalizacão vão ser bem bonitas. 😉 )

Agora um “truque” que eu praticamente não vejo sendo usado: ao invés de se usar \phi\in\mathbb{R}, é bom sempre ter em mente que é possível se usar outros tipos de campos, como \phi\in\mathbb{R}^{n\times n} ou \phi\in\mathfrak{su}(N) — ou seja, seguindo a linha de raciocínio que estamos traçando aqui, basta escolhermos \mathscr{M} de modo apropriado, i.e., ou sendo o espaço de matrizes [Hermitianas] n\times n ou sendo uma variedade do grupo de Lie \mbox{SU}(N). Dessa forma, é praticamente uma extensão trivial se obter os resultados análogos para campos matriciais ou com valores em álgebras de Lie. (Esse caminho nos leva a considerações do tipo Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, e suas extensões em Airy Functions for Compact Lie Groups. Isso mostra que as Funções de Partição podem ser vistas, genericamente, como Funções de Airy generalizadas e, aí, se pode aplicar todo um maquinário de “intersection theory on moduli spaces” para se encontrar todas as possíveis soluções duma determinada QFT… aliás, é assim que se aplica QFT para se classificar variedades. 😉 ) Ou seja, se fizermos \mathscr{M} = \mathcal{H}^{n\times n}, o espaço de matrizes hermitianas n\times n, é possível estudarmos toda uma série de problemas em geometria enumerativa, estabelecendo uma conexão profunda entre QFTs 0-dimensionais e a topologia do ‘moduli space’ de superfícies de Riemann! E, como vcs já podem ter percebido, as diferentes soluções que aparecem nesses problemas de geometria enumerativa e de Teoria da Intersecção estão intimamente ligadas às fases (i.e., quebra espontânea de simetria) que uma determinada QFT tem. Mas, essas ligações são complicadas de serem estabelecidas e não me parece haver literatura a respeito disso (até a publicação da minha tese, 😈 ).

Falando em termos de 1-dim QFTs, temos explicitamente a Mecânica Quântica, que não passa de \Sigma = \mathbb{R} para uma linha (tempo) ou \Sigma = S^{1} para MQ num círculo (tempo Euclidiano ou temperatura). Nesse caso, a Função de Partição descreve um processo de Wiener em \mathscr{M} (também conhecido como Movimento Browniano). Dessa forma, como estamos falando de espaços Euclidianos, percebemos que a MQ não passa duma rotação de Wick dum processo de Wiener — pra quem gosta dessa visão (que é menos simples do que parece, claro 😉 ), eu recomendo a leitura do livro Quantum Fluctuations do Nelson.

Geometricamente falando, pode se dizer que no caso de QFT 1-dim (Euclidiana), a Função de Partição “sente” como as flutuações [quânticas] afetam os caminhos aleatórios t\mapsto \phi(t)\in\mathscr{M}, conforme variamos a escala de “comprimentos” \Delta t em \Sigma — dessa forma, estamos lidando com a quantização do fluxo geodésico em \mathscr{M} e podemos fazer a identificação “Geometria Riemanniana de \mathscr{M}\Longleftrightarrow “MQ de partículas teste em \mathscr{M}“! 😎 (Aposto como agora fica mais fácil de se entender a importância da Métrica de Jacobi, usada em arXiv:0809.2778, para transformar um fluxo Hamiltoniano num fluxo geodésico. 😈 )

O Fluxo do Grupo de Renormalização

Os exemplos acima lidam com situações onde as flutuações quânticas podem ser usadas pra medir diferentes aspectos da geometria de (\Sigma,\mathscr{M}), porém, sem afetá-la diretamente. Portanto, a partir de agora, podemos começar a nos perguntar ‘se’ e ‘quanto’ as flutuações quânticas de \phi:\, \Sigma\rightarrow\mathscr{M} podem deformar a geometria do par (\Sigma,\mathscr{M}).

Para atacar tal pergunta, é necessário “controlarmos” tanto os campos, \phi:\, \Sigma\rightarrow\mathscr{M}, quanto as constantes de acoplamento, \alpha\in\mathcal{C}, na medida em que variamos as escalas em \Sigma (que é a única escala significativa numa teoria [quântica] relativística. :wink:)

Ou seja, é preciso reconhecermos duma vez por todas — e logo de saída! 😛 — que um dos ingredientes básicos de qualquer QFT é uma escala de energias. Há vários modos diferentes de se ver isso; e.g., em termos de Wilson Loops, isso está relacionado ao tamanho da curva C que dá sentido à path-ordered exponential (i.e., está relacionado à localidade da holonomia sendo usada); na formulação da QFT em redes (ou seja, em Mecânica Estatística 😉 ), isso tem a ver com as variáveis de bloco escolhidas pra teoria (i.e., com o tamanho dos blocos); falando em termos de OPEs, significa escolher a álgebra de operadores de vértice (VOA) que codifica o comportamento da teoria numa dada escala de energia (i.e., ela codifica as propriedades importantes dum particular complemento ultra-violeta); e, finalmente, alguém pode gritar, lá do fundão: “Grupo de Renormalização”. 🙂 Ou seja, determinar as holonomias da teoria, ou as variáveis de bloco ou o [particular] fluxo do grupo de renormalização (que se deseja tratar no caso em mãos), é tudo a mesma coisa. 😉

Ou seja, é fundamental procurarmos por um conjunto de transformações (fluxo do grupo de renormalização) tais que,

\mbox{RG}_{\ell}\, : \; \mbox{Map}(\Sigma, \mathscr{M})\times\mathcal{C} \longrightarrow \mbox{Map}(\Sigma, \mathscr{M})\times\mathcal{C}

\therefore\qquad\qquad\qquad\;\, (\phi,\alpha) \longmapsto \mbox{RG}_{\ell}(\phi,\alpha) = \bigl(\phi_{\ell};\alpha(\ell)\bigr) \; .

Assim, quando variamos a escala \ell em que medimos a superfície de Riemann \Sigma, podemos domar a energia das flutuações dos campos, ajustando as constantes de acoplamento de acordo. (Só pra constar, vou usar \ell = \Lambda^{-1}, onde \Lambda é a escala de momentos no espectro das flutuações dos campos. Então, quando eu quiser ser mais específico sobre as escalas de energias, eu vou usar \Lambda, caso contrário, usarei \ell.)

Portanto, se temos duas escalas, \Lambda, \, \Lambda', e queremos descobrir o que acontece quando \Lambda\rightarrow\Lambda' (i.e., quando fluímos a teoria duma escala para outra), basta realizarmos a seguinte operação:

S'[\phi';\alpha'] = \mbox{RG}_{\Lambda\rightarrow\Lambda'} S[\phi;\alpha] \; .

Essa é a essência das Teorias Efetivas (ver também Grupo de Renormalização).

Porém, pra que essa construção seja possível, é preciso que o mapa \mbox{RG} satisfaça a propriedade de semi-grupo:

\mbox{RG}_{\Lambda\rightarrow\Lambda''} = \mbox{RG}_{\Lambda\rightarrow\Lambda'} \circ \mbox{RG}_{\Lambda'\rightarrow\Lambda''} \; ; \; \forall\; \Lambda > \Lambda' > \Lambda'' \; ;

ou seja, é possível se fluir um sistema (no sentido do grupo de renormalização) apenas na direção de altas energias (resp. pequenas distâncias) para baixas energias (resp. grandes distâncias).

Falando em termos geométricos, uma QFT é caracterizada por uma ação S[\phi;\alpha] somente se a medida funcional a ela associada — e^{-S[\phi;\alpha]}\, D_{\alpha}[\phi] — se transformar “naturalmente” sob \mbox{RG}:

\displaystyle\int_{\mbox{RG}_{\ell}\{\mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})\}} \exp\{-S[\phi;\alpha]\}\, D_{\alpha}[\phi] = \displaystyle\int_{\mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M})} \exp\{-\mbox{RG}_{\ell}^{*}(S[\phi;\alpha])\}\, \mbox{RG}_{\ell}^{*}\bigl(D_{\alpha}[\phi]\bigr) \; ;

de forma que essa igualdade seja válida no limite \ell\rightarrow 0 (resp. \Lambda\rightarrow\infty).

É importante, porém, sempre se lembrar que \mbox{RG}_{\ell}, apesar do nome, é apenas um semifluxo: com o passar do tempo (i.e., para t\rightarrow +\infty), nós descrevemos um espectro de flutuações de campos para distâncias cada vez maiores, “averaging and integrating out” graus-de-liberdade irrelevantes. Portanto, a validade da fórmula acima no limite t\rightarrow -\infty (resp. \ell\rightarrow0 e \Lambda\rightarrow\infty) é algo altamente não-trivial, uma vez que é muito difícil (quiçá impossível) reverter esse processo (i.e., ir na direção de altas energias e pequenas distâncias). É por essa razão que QFTs são conceitualmente difíceis de serem construídas. 😉

De qualquer maneira, quando é possível se fazer tal construção, a equação acima diz que existe um espaço limite, \lim_{\Lambda\rightarrow\infty} \mbox{RG}_{\Lambda}\{\mbox{Map}(\Sigma, \mathscr{M})\} (i.e., o limite de altas energias dos campos, também chamado de “complemento ultra-violeta” 😉 ), de objetos geométricos que descrevem a QFT em mãos — tipicamente, esses objetos não pertencem ao espaço original, \mbox{Map}(\Sigma, \mathscr{M}) (i.e., os campos iniciais não são os mesmos que os finais, depois que se aplicou um determinado fluxo do grupo de renormalização — os campos renormalizados não são os mesmos que os campos não-renormalizados 😛 ), uma vez que o fluxo de \mbox{RG}_{\Lambda} pode ser altamente singular.

Para discutir esse tipo de questão, vamos tomar a Função de Partição como sendo,

Z[\phi_{\Lambda}; \alpha(\Lambda)] \equiv \displaystyle\int_{\mbox{Map}(\Sigma, \mathscr{M})} \exp\bigl\{-\mbox{RG}_{\Lambda}^{*}(S[\phi;\alpha])\bigr\}\, \mbox{RG}_{\Lambda}^{*}\bigl(D_{\alpha}[\phi]\bigr) \; ;

e reescrever a relação anterior em sua forma diferencial,

\displaystyle\frac{d}{d\Lambda} Z[\phi_{\Lambda}; \alpha(\Lambda)] = \biggl\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial\Lambda} - \beta(\alpha(\Lambda))\, \displaystyle\frac{\partial}{\partial \alpha}\biggr\}\, Z[\phi_{\Lambda}; \alpha(\Lambda)] = 0 \; ;

onde \beta(\alpha(\Lambda)) \equiv -\partial\alpha(\Lambda)/\partial\Lambda, é a chamada “função β” da teoria. 😉

Como vcs vêm, a função β pode ser considerada como um campo vetorial (linhas de fluxo) no espaço de parâmetros, \mathcal{C}. A grosso modo, o que isso significa é que se nós re-escalarmos as energias em \Sigma por um fator de e^{\Lambda} e ao mesmo tempo fluirmos no espaço de parâmetros na direção de -\beta por uma quantidade de \Lambda, a teoria obtida tem a mesma forma que a inicial. (Nesse sentido, é sempre bom acompanhar uma discussão como essa com um pouco de Análise Dimensional — quiçá até com um pouco de Teorema π de Buckingham 😉 —, principalmente como feito no artigo Dimensional Analysis in field theory, devidamente comentado em Renormalization as Dimensional Analysis.)

O Fluxo de Ricci e Modelos σ Não-Lineares

[N.B.: A grande vantagem em se estudar Modelos σ não-lineares é que eles servem de “caso teste”, de “modelo de brinquedo”, para teorias de gauge, no sentido de que se considerarmos apenas seus temos cinéticos, já temos uma dinâmica extremamente rica; i.e., não é preciso, necessariamente, haver termos de pontecial pra haver uma dinâmica não trivial — no caso dos modelos σ não-lineares, essa dinâmica é dada pela métrica (não-trivial).]

Um modelo σ não-linear é uma QFT 2-dimensional onde \Sigma é uma superfície Riemanniana 2-dimensional com uma métrica \gamma = \gamma_{\mu\, \nu}\, dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}, e o espaço alvo, \mathscr{M}, é uma variedade Riemanniana com a métrica g = g_{i\, j}\, d\phi^{i}\otimes d\phi^{j}. Particularmente, vamos assumir que \Sigma = T^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2, i.e., o toro plano, com a métrica \gamma_{\mu\, \nu} = \delta_{\mu\, \nu}. Assumindo que os campos sejam diferenciáveis (pelo menos no sentido de distribuições) e que a L^{2}(\Sigma)-norma de d\phi é finita, é possível se definir a Ação clássica dos campos/mapas \phi\,:\; \Sigma\longrightarrow\mathscr{M} da seguinte forma:

S(\phi; a^{-1}\, g) \equiv a^{-1}\, |d\phi|^{2}_{L^{2}(\Sigma)} = a^{-1}\, \displaystyle\int_{\Sigma} \gamma^{\mu\, \nu}\, \partial_{\mu}\phi^{i}\, \partial_{\nu}\phi^{j}\, g_{i\, j}\, d\mu_{\gamma} \; ;

onde d\mu_{\gamma} é o elemento de volume Riemanniano em (\Sigma,\gamma), e a > 0 é um parâmetro com dimensões de comprimento ao quadrado — notem que a métrica a^{-1}\, g(\phi) faz o papel das constantes de acoplamento para os campos da teoria; o que sugere, nesse caso, que o espaço de parâmetros é o cone ∞-dimensional das métricas Riemannianas sobre \mathscr{M}, chamado de \mbox{Met}(\mathscr{M}). Entretanto, como a Ação acima é invariante pelo grupo de difeomorfismos \mbox{Diff}(\mathscr{M}), na verdade temos que \mathcal{C} = \mbox{Met}(\mathscr{M})/(\mbox{Diff}(\mathscr{M})\times\mathbb{R}^{+}), onde \mathbb{R}^{+} denota o grupo de re-escalamentos definido por a\mapsto \lambda\, a\; ;\; \lambda\in\mathbb{R}^{+}. Portanto, \mathcal{C} é o espaço de estruturas Riemannianas em \mathscr{M} módulo re-escalas (globais) de comprimento. Mais ainda, é importante notar que o único parâmetro adimensional da teoria é a razão entre a escala de comprimentos do espaço alvo (i.e., seu raio de curvatura ao quadrado, r^{2}_{\mbox{curvatura}}) e a. Dessa forma, o limite de acoplamentos fracos em teoria de perturbação acontece quando o tamanho da superfície (\Sigma,\gamma) é muito menor que a escala física de comprimentos em (\mathscr{M},g) (também chamado de “limite puntual”). Para entender esse último ponto um pouco mais profundamente, lembre-se que a Ação acima, além de invariante pelo grupo de difeomorfismos, também é invariante por transformações conformes de (\Sigma,\gamma). Seus pontos críticos são funções harmônicas; em particular, os mínimos são funções constantes. Isso implica que, quando a curvatura do espaço alvo (\mathscr{M},g) for pequena em relação à (\Sigma,\gamma) (i.e., no “limite puntual”), a medida \exp\{-S[\phi;a^{-1}\, g]\}\, D_{g}[\phi] fica concentrada/localizada ao redor das funções constantes e, então, podemos controlar as flutuações quasi-Gaussianas — com um pouco de abuso de linguagem, tipicamente se chama esse caso de “teoria de perturbação para a pequeno”, e dizer que a teoria é “renormalizável perturbativamente em termos do parâmetro de escala a.” 😉

[N.B.: Há vários outros termos que poderiam ser adicionados à Ação acima ainda preservando a invariância por difeomorfismos (porém, tipicamente quebrando a invariância conforme). Os mais comuns são: táquion, dilaton e topológico. Mas, nós não vamos considerá-los aqui, para o bem da clareza de exposição. 😎 ]

Devemos notar que tipicamente o espaço \mbox{Map}(\Sigma,\mathscr{M}) é não-linear (i.e., não é um espaço vetorial), e é difícil de se implementar o procedimento do grupo de renormalização num cenário desses. Porém, no limite de de acoplamentos fracos (i.e., no “limite puntual” acima), somente campos que flutuam ao redor de valores constantes são relevantes. Dessa forma, a idéia é a de descrever o Modelo σ não-linear em mãos se extraindo o comportamento das flutuações quânticas dos campos \phi ao redor dum ‘background’ \psi (i.e., “campo médio”), definido pela distribuição do centro-de-massa dum grande número (tendendo ao infinito) de cópias independentes de \phi.

Nesse ponto, pra não matar ninguém de tedius-maximus-totalis, 😉 , vou dar um pulinho… e ir direto pra parte que interessa, pro filezinho: o fluxo do grupo de renormalização para um modelo σ não-linear. 😎 Nas referências abaixo vcs podem encontrar os detalhes mais sórdidos. 😉

Então, essencialmente, o fluxo do grupo de renormalização para modelos σ não-lineares, em 1-loop e 2-loops, é, respectivamente, o seguinte:

  • 1-loop: \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2\, \mbox{Ric}\bigl(g(t)\bigr) + \mathcal{O}(a^{2});
  • 2-loops: \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} g_{i\, k}(t) = -2\, R_{i\, k}(t) - a\, (R_{i\,l\,m\,n}\, R^{l\,m\,n}_{k}) + \mathcal{O}(a^{2});

onde t = -a\, \log(\Lambda/\Lambda') (de tal forma que \Lambda seja o “cutoff” de momento tal que os \phi com momento menor que \Lambda estejam confinados por campos onde \Lambda' representa o termo de massa necessário para a regularização [desse último]), \mbox{Ric} é o tensor de Ricci e R_{a\,b\,c\,d} é o tensor de curvatura de Riemann.

No “limite puntual” (i.e., acoplamento fraco, a\rightarrow 0), ambas as expressões se tornam o Fluxo de Ricci (de R. Hamilton):

\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} g_{a\,b}(t) = -2\, R_{a\,b}(t)\; ,\; g_{a\,b}(0) = g_{a\,b} \; .

Geometricamente, esta é a equação de evolução fracamente-parabólica obtida através da deformação duma métrica Riemanniana, g_{a\,b}, sobre a variedade suave \mathscr{M} na direção do tensor de Ricci R_{a\,b} [dessa variedade \mathscr{M}]. É importante notarmos que esse fluxo, essa evolução, só é fracamente-parabólica no regime infra-vermelho do fluxo do grupo de renormalização (correspondendo ao limite t\rightarrow\infty), enquanto que o limite \Lambda/\Lambda' \rightarrow\infty corresponde ao regime parabólico inverso, t\rightarrow -\infty.

Em particular, o modelo σ não-linear é renormalizável (i.e., existe como uma teoria no contínuo) se, e somete se, começando da métrica nua g, nós podemos fazer o fluxo de Ricci para trás no “tempo” até t = -\infty sem encontrar singularidades — i.e., podemos tomar o limite inverso (tempos negativos) do fluxo de Ricci sem encontrar singularidades. Também é importante notar que se a métrica obtida a partir do fluxo de Ricci desenvolver uma região de alta curvatura, então a correspondência entre “fluxo de renormalização” e “fluxo de Ricci” deixa de existir — nesse caso é preciso se considerar, pelo menos, o termo a\, (R_{i\,l\,m\,n}\, R^{l\,m\,n}_{k}), e o comportamento a grandes distâncias (t\rightarrow +\infty) pode depender fortemente de termos topológicos (adicionados à Ação original). Por outro lado, o desenvolvimento de singularidades quando t diminui implica que não podemos remover o ‘curoff’ ultra-violeta \Lambda (i.e., não há um “complemento UV” para a teoria). A Ação não define uma teoria de campos locais, e o melhor que se pode esperar é uma descrição efetiva válida em alguma escala t_0.

[N.B.: A pergunta que fica, agora, é a seguinte, O que representam essas tais ‘singularidades do fluxo de Ricci’? A resposta pra essa pergunta nos leva ao próximo (e último) assunto a ser tratado nesse post… mas, deixo uma diquinha: “transição de fases” e “quebra espontânea de simetria”. 😈 ]

A Geometria do Fluxo de Ricci e Comentários sobre suas Singularidades

O fluxo de Ricci foi o ponto-de-partida e o exemplo motivador em importantes desenvolvimentos em Análise Geométrica, tendo seu ápice na prova da Conjectura da Geometrização de Thurston e da Conjectura de Poincaré! 😯 Então, isso torna ainda mais impressionante o fato de que fluxos de Ricci aparecem tão naturalmente na análise do grupo de renormalização de modelos σ não-lineares.

O fato geométrico que trabalha nos batidores para tornar toda essa mágica possível é que a função $beta; do fluxo do grupo de renormalização poder ser interpretada como sendo um campo vetorial no espaço de parâmetros, \mathcal{C} da QFT dada. (Alguém aí sussurrou ‘quebra de simetria’? :mrgreen: ) Mais ainda, a função β é dada pela equação que define o fluxo de Ricci,

\beta(t) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} g(t)= -2\,\mbox{Ric}(t) \; .

(A prova disso fica para o leitor interessado… mas também pode ser encontrada nas referências abaixo. 😉 )

O entendimento de como as soluções do fluxo de Ricci se comportam quando elas se aproximam um regime singular (i.e., quando elas vão chegando perto duma singularidade) é um passo chave para o uso do fluxo de Ricci (e.g., na prova da conjectura da geometrização). Mais ainda, de acordo com o que vimos na análise do fluxo do grupo de renormalização para modelos σ não-lineares, fica claro que nesse cenário também a formação de singularidades tem um papel fundamental — nesse caso, as soluções relevantes do fluxo de Ricci são as chamadas “ancient solutions”, aquelas que existem durante um intervalo máximo [de tempo], e correspondem a teorias renormalizáveis.

Uma classificação natural das singularidades pode ser feita com base na duração da existência de sua solução para o fluxo de Ricci e como essa solução escala assintoticamente. É possível também se usar técnicas de Convergência de Gromov-Hausdorff, em particular “point picking“.

Fica claro que o estudo da formação de singularidades é um dos tópicos principais na teoria de fluxos de Ricci, dado que ele provê o entendimento da estrutura das soluções em regimes de alta curvatura — em particular, a análise do “limite de colapso” do fluxo de Ricci é extremamente interessante: o colapso toma a forma duma simetria (“collapsing symmetry”) sob a qual o limite do fluxo de Ricci é eqüivariante (ver também Sistemas Dinâmicos Eqüivariantes, Eqüivariância e Cohomologia Eqüivariante). Esse é o fenômeno análogo à geração duma QFT a partir da quebra espontânea duma simetria. (Sem entrar em detalhes, sob a ação dessa “simetria de colapso”, as soluções limite do fluxo de Ricci passam a ter a estrutura dum Grupóide Riemanniano. 😛 Essa é uma noção familiar na teoria de foliações e no estudo de álgebras C* duma foliação — o que torna tudo ainda mais claro quando lembramos que cada solução duma dada QFT vive em sua própria folha e tem sua própria [representação] da álgebra C* em questão.) Portanto, há grande potencial e relevância em se usar esse tipo de técnica para se estudar o regime UV do grupo de renormalização em QFT.

Referências…

Enquete…

Júbilo…

Diversão garantida… 😈

A semana nos arXivs…

domingo, 15 fev 2009; \07\America/New_York\America/New_York\k 07 Deixe um comentário

A semana nos arXivs…

quinta-feira, 11 dez 2008; \50\America/New_York\America/New_York\k 50 1 comentário


A semana nos arXivs…

domingo, 23 nov 2008; \47\America/New_York\America/New_York\k 47 1 comentário

As últimas três semanas nos arXivs…

quinta-feira, 6 nov 2008; \45\America/New_York\America/New_York\k 45 Deixe um comentário

Por causa da Third New England String Meeting, acabei saindo um pouco da minha rotina semanal de postar sobre os arXivs. Mas, voltando ao tema…

E, agora, para os arXivs…

Diversão garantida… 😈

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 17 out 2008; \42\America/New_York\America/New_York\k 42 1 comentário

Procurando emprego…

segunda-feira, 13 out 2008; \42\America/New_York\America/New_York\k 42 7 comentários

O Ben Webster do Secret Blogging Seminar fez um post bem interessante hoje:

Nesse espírito, posto que também estamos na fase de empregos em Física também, resolvi não só atender ao chamado do Ben, mas também seguir o exemplo:

É preciso notar que os PDFs acima foram feitos em Novembro de 2007. Fora isso, é sempre bom se colocar uma Cover Letter no meio do material que será enviado — a que eu usei está logo abaixo.

Pra quem não sabe direito como começar, uma boa dica é SPIRES Jobs: notem que é possível se fazer várias combinações com as opções dadas pelo SPIRES, e.g., Theory/Math Postdocs em qualquer lugar do mundo. Atualmente, existem grandes vantagens, como acompanhar o link anterior via RSS. Fora isso, a grande maioria das aplicações podem ser feitas online, ou via formulários eletrônicos (onde vc põem todos os seus dados e uploads os documentos necessários), ou via email (onde vc manda tudo anexado, PDFs preferencialmente). De resto, o negócio é fazer o dever-de-casa mesmo: ir pros websites dos lugares pra onde vc quer ir, pesquisar sobre os professores e suas áreas de estudo, contactar (email) aqueles que vc mais gostou, e assim por diante.

Alguns exemplos bem práticos:

Em ambos os casos, o processo é todo eletrônico. É importantíssimo se lembrar que, acima do equador, o ano letivo é transladado de 6 meses (Setembro—Junho; ao invés de Fevereiro—Novembro, como no Brasil). Portanto, não se esqueçam que os deadlines são por volta de dezembro—janeiro (para começar a trabalhar em setembro do ano seguinte). Entretanto, alguns lugares têm adiantado os deadlines; via de regra, é bom manter as seguintes datas em mente: 01, 05 e 15 de novembro; 01, 15 e 31 de dezembro; e 31 de janeiro.

Então, apesar da grande maioria das universidades mundiais anunciarem no SPIRES (link acima), sempre há excessões. Portanto, é importante prestar atenção e ficar ligadão mesmo: esse é um processo meio longo e extremamente estressante e chato — ninguém sai ileso dele. Mas, se vc prestar atenção e não deixar a peteca cair, dá pra levar tudo na boa, sem grandes traumas nem nada. (Por isso que poder fazer RSS das ofertas é essencial! 😉 )

Bom, acho que esse é o ‘grosso’ da coisa… mais detalhes (incluindo as possíveis dúvidas e perguntas) ficam pros comentários. Quem quiser colaborar nesse esforço, é só deixar os links (CV, Proposta de Pesquisa, etc) nos comentários. Pra quem quer fazer o CV em LaTeX, aí vai a dica:

É isso aí… divirtam-se! 😈


Minha Cover Letter de 2007:

Dear Mr./Ms./Dr.,

I am presently a graduate student at Brown University, in the group of Professor G. Guralnik. I am writing in order to apply for a postdoctoral position in your group.

My thesis work focused on deepening the understanding of non-perturbative QFT: its Solution Sets (configuration space); Symmetry Breaking and Phase Transitions; Topology Change. I was able to show that the Solution Sets of QFTs can be studied via topological methods, namely Morse Theory, where the classical solution has one given topology and its quantum corrections are “handles” attached to it. Therefore, the quantum corrections are a sequence of surgeries between the initial and final cobordisms — given by the classical and quantum configuration spaces, respectively. Moreover, using this construction I was able to see more clearly the role played by a polynomial constructed from the potential energy: the ramifications of its discriminant, at the roots of this polynomial, are related to the singularities of the Higgs Bundle built from this theory, making a connection with the Geometric Langlands Conjecture. In fact, each branch [of this ramification] is related to a different solution of the QFT in question having its own topology, distinct from the other ones. Furthermore, I was able to apply such results to Quantum Gravity problems, such as the Bottomless Potential in String Theory (2+1)-dimensional Gravity and the Chern-Simons ansatz in String Field Theory. In addition to these results, I was also able to devise a numerical scheme to handle simulations of Lorentzian QFT, avoiding the so-called “sign problem”. However, although successful in some cases, this method encountered some difficulties that we expect to surpass with the availability of better hardware.

During the course of my studies, I have become interested in Solutions Sets of QFTs, Symmetry Breaking and Phase Transitions, Topology Change, Noncommutative Geometry, Twistor Methods, Quantum Gravity and Structure Formation in Cosmology.

In addition to this letter you will find my Curriculum Vitae and a short research statement. Also, I have arranged for 4 recommendation letters to be sent to you by:

Professor G. S. Guralnik, Brown University, Providence, RI. USA.
Phone: +1 401-863-???? or +1 401-863-????
Email: ?????@het.brown.edu

Professor M. Spradlin, Brown University, Providence, RI. USA.
Phone: +1 401-863-????
Email: ????????@het.brown.edu

Professor A. Jevicki, Brown University, Providence, RI. USA.
Phone: +1 401-863-????
Email: ?????@het.brown.edu

Professor I. Dell’Antonio, Brown University, Providence, RI. USA.
Phone: +1 401-863-????
Email: ???@het.brown.edu

Please do not hesitate to contact me should any questions arise. I look
forward to hearing from you.

Sincerely,

Acesso Livre…

segunda-feira, 6 out 2008; \41\America/New_York\America/New_York\k 41 Deixe um comentário

Hoje em dia, o movimento que visa o acesso livre vai de vento-em-popa e já praticamente dispensa apresentações; principalmente no Brasil, onde a CAPES já até desenvolveu o famoso Portal de Acesso Livre.

Porém, o que muitos não sabem é a história de como tudo isso começou, em meados de 1991, quando Paul Ginsparg (sim, aquele já conhecido pelos férmions de Ginsparg-Wilson) deu início aos arXivs.

A entrevista abaixo é uma das poucas que o Ginsparg já deu, e é excelente, recheadas de ‘causos’:

É importantíssimo também lembrar que sem o TeX, dado de presente e mão beijada para o mundo todo pelo Don Knuth, nada disso teria sido possível — o TeX é uma das primeiras linguagens de markup.

Outro ingrediente importante foi a criação da WWW por Tim Berners-Lee. Como o próprio Ginsparg conta na entrevista, TBL o contactou pessoalmente… e assim os arXivs foram levados dum servidor de FTP para um de WWW… e assim surgiu o primeiro, ❗ , servidor da web no mundo!


N.B.: o servidor da HET Brown foi um dos primeiros também (se não me engano, foi o terceiro), logo em seguida dos arXivs: foi um dos meus predecessores (chamado Stephen Hahn) que o instalou, na sala de número 625 no prédio chamado Barus & Holley, e até pouco tempo atrás (quando eu atualizei e reconfigurei tudo pra rodar via Apache 2.0.63), tudo rodava naquele mesmo servidor original (um verdadeiro rinoceronte 🙂 )! Enquanto isso, no Brasil, o DFMA teve uma das primeiras páginas da USP, assim como o Ciências Moleculares, que certamente foi a primeira página sobre um curso de bacharelado da USP (quiçá do Brasil — ainda me lembro do dia em que instalei o primeiro servidor HTTP no servidor do CM, ainda chamado lnx00, e começamos a brincar com HTML)! Foi nessa mesma época que nasceu o Projeto Sócrates, do qual tive a sorte de participar (mas essa é outra estória).


Bom, essa é a história do Acesso Livre, não só no mundo, mas no Brasil também… que, como vcs vêm, tem tido uma participação bem sólida nisso tudo. 🙂

[]’s.

A semana nos arXivs…

sexta-feira, 3 out 2008; \40\America/New_York\America/New_York\k 40 Deixe um comentário
%d blogueiros gostam disto: