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Origem do universo e a seta do tempo

quinta-feira, 8 abr 2010; \14\America/New_York\America/New_York\k 14 10 comentários

Uma palestra interessante do Sean Carroll sobre o problema da seta do tempo, em novembro de 2009 na Universidade de Sidney:

http://sciencestage.com/v/21993/the-origin-of-the-universe-and-the-arrow-of-time.-sean-carroll.html

Parte do que se tornou o mais recente livro do Sean. 🙂

Sean acredita que é possível demonstrar a segunda lei da Termodinâmica, no sentido de que a entropia deve crescer no tempo. Um ovo sempre vira um omelete, ele diz, mas não o inverso. No entanto, o ovo veio da galinha, mas de onde veio a entropia baixa do universo que permitiu ele aumentar em entropia com o passar do tempo?

Mas eu fiquei confuso com o argumento do Sean. Primeiro, ele diz que é possível demonstrar a segunda lei da Termodinâmica. Mas logo em seguida, ele diz:

“[Boltzmann] explica porque se você começar com menor entropia você vai para maior entropia. Mas claramente deixa uma pergunta sem resposta: por que o sistema começou com baixa entropia? (…) É fácil prever usando apenas as idéias de Boltzmann que começando hoje a entropia amanhã será maior. É impossível usando apenas as idéias de Boltzmann dizer porque a entropia era menor ontem. De fato, (…) como as leis da física são invariantes por reversão temporal, você pode provar que a entropia era maior ontem, do mesmo modo que você pode provar que ela será maior amanhã.”

Carroll parece está concordando, no final, com o conhecido paradoxo de Loschmidt (como eu falei neste outro post.), ou, de forma mais transparente na minha opinião, com o fato que, até onde eu saiba, a única equação que parece mostrar uma característica de crescimento no tempo para a entropia é o enunciado do teorema H, e esta equação é também simétrica por inversão temporal, tendo portanto duas possíveis soluções para qualquer processo físico: aumento de entropia ou diminuição de entropia, como função do tempo. A única forma de obter uma única solução para todos os processos físicos, é assumir que não é válida a inversão temporal na equação do teorema H. Contudo, isso está em conflito dentro da minha cabeça com a idéia de que a segunda lei da Termodinâmica pode ser provada.

Além desse argumento confuso, que eu até o momento não consigo concordar, eu tendo a apontar dois outros problemas com essa idéia:

  1. entropia é uma escolha de descrição estatística de sistemas, portanto é estranho dizer que o efeito só aparece por causa de uma escolha de descrição. Em princípio seria possível calcular exatamente a evolução temporal de um gás sabendo as velocidades iniciais e posições de todas as moléculas, e só existiria um único estado microscópico do sistema em cada instante de tempo. É apenas uma questão de escolha de descrição — ou aproximação fisica útil — fazer uma média temporal sobre os estados do sistema e então contar todos os estados possíveis que ele poderia estar, que é a descrição Termodinâmica. Seguindo o raciocínio de E. T. Jaynes, sabemos que essa descrição é de fato a melhor inferência estatística possível de ser feita dada um conjunto de conhecimento a priori e isso independente até mesmo da validade da Termodinâmica — i.e. de quão boa é essa aproximação estatística para a dinâmica do sistema. É muito difícil para mim acreditar que a seta do tempo desapareceria se nós tivéssemos um computador suficientemente poderoso para calcular a dinâmica de um gás ideal…
  2.  

  3. por que a gravitação parece desconsiderar essa simetria de inversão temporal? Pelo princípio de inversão temporal, para cada buraco negro, deve haver um buraco branco no universo, mas isso não é observado. O universo está em expansão com {\dot{H} < 0} e se {\dot{H} > 0} não ocorreria apenas uma inversão temporal como a positividade da energia de um gás ideal — que não é um teorema, mas um preconceito teórico bem razoável — seria violada. Em termos de teorias de campo em universos em expansão, isso se traduziria numa teoria que viola a unitariedade, com um sinal negativo para a energia cinética.

Contudo um ponto de encontro: eu acho que posso concordar com a questão reformulada da seguinte forma: porque existe uma condição de contorno para a equação do teorema H de que o valor inicial da entropia é menor que o final? Isso é apenas uma reformulação do problema.

O problema da seta do tempo

segunda-feira, 7 set 2009; \37\America/New_York\America/New_York\k 37 19 comentários

Por que podemos ir da esquerda para a direita, mas não temos acesso ao passado? Por que girar um objeto no espaço não causa os mesmos paradoxos que imaginar matar o seu avô?

O problema da seta do tempo é um dos mais célebres problemas fundamentais da Física. Ele deve ter sido percebido pela primeira vez na mecânica de Newton, quando notou-se que tipicamente os sistemas mecânicos conhecidos admitem uma inversão temporal. O que isso quer dizer? Se temos a equação de Newton,

\mathbf{F}(\mathbf{v},\mathbf{x},t) = m\mathbf{a}

e uma de suas soluções

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (t)

então temos automaticamente outra solução:

\mathbf{x}(t) = \boldsymbol{\gamma} (-t)

Isso significa que a equação de Newton não consegue distinguir passado do futuro: se eu tenho uma solução que leva uma condição inicial x_0, v_0, t_0 em x,v,t, é também solução do sistema percorrer o trajeto de x,v, t até x_0, v_0, t_0.

A primeira lei da Natureza descoberta que faz diferença entre passado e futuro é a segunda lei da Termodinâmica, quando enunciada da seguinte forma:

Se considerarmos um sistema físico em equilíbrio, i.e. estamos olhando para um conjunto de observáveis desse sistema X que independem do tempo, então existe uma função S convexa dos valores dessas variáveis tal que se permitimos um ou mais elementos do conjunto X variar, o sistema atingirá equilíbrio novamente de tal forma que S é um máximo com respeito aos valores acessíveis de X.

O que essa afirmação quer dizer é o seguinte. Suponha que você tem um gás dentro de um recipiente de volume total V. Nós dizemos que o volume acessível ao gás é V. O gás poderia ocupar um volume menor, porque não existe nada impedindo isso de acontecer (nenhum vínculo). Existe um vínculo que impede o gás de ocupar um volume maior que V que são as paredes do recipiente. A segunda lei da Termodinâmica diz que o gás ocupará um volume V’ que deve ser tal que a função S(V) é um máximo em V’ dado o vínculo de que V' \leq V. Para um gás, S(V) \propto \log V, então é possível mostrar que o máximo de fato ocorrerá para V' = V. Para resolver esse problema de maximização, é necessário introduzir uma variável extra, conjugada ao volume V, que é conhecida como multiplicador de Lagrange. Essa variável é o que se chama a pressão.

A segunda lei da Termodinâmica é na verdade uma afirmação mais forte que a que eu coloquei nesse texto, mas para o problema da seta do tempo, as demais propriedades da função S não me importam. E é isso mesmo que você está pensando, S é a entropia.

Por que essa lei parece ter algo a ver com a seta do tempo, se em Termodinâmica não existe a variável tempo? É porque se uma vez você permite S aumentar de valor, então os estados com entropia menor agora são fisicamente inacessíveis devido a convexidade de S. Por exemplo, uma função convexa é o logarítmo, então se supormos que para um gás S(V) = \log(V) , uma vez que o volume acessível ao gás V satisfaça V \leq V', o gás sempre será encontrado ocupando um volume V’, e nunca menor.

Durante as décadas de 1860 e 1870, Ludwig Boltzmann e Josiah Willard Gibbs começaram a conectar a termodinâmica com as leis da mecânica, dentro da disciplina que se chamou a Física Estatística. A peça chave para fazer essa conexão foi proposta por Boltzmann. Mas hoje em dia nós entendemos o significado dessa peça chave graças ao trabalho de Edwin Jaynes. Felizmente já há um bom post de blog sobre isso aqui. Boltzmann mostrou que aquela quantidade de informação total contida na descrição de um sistema satisfaz

- \frac{d}{dt} H( \{p_i\}) = -\frac{d}{dt} \sum_i p_i \log p_i \geq 0

Esse é o celebrado Teorema H. Esse teorema hoje pode ser demonstrado de forma genérica como conseqüência direta da mecânica quântica. É tentador identificar a quantidade acima como a entropia, e mais ainda, concluir que o problema da seta do tempo está resolvido porque o teorema supostamente nos diz que a entropia sempre aumenta no tempo. Porém, isso é incorreto em diversos níveis, de diferentes formas.

Uma inconsistência, a mais famosa, foi apontada pelo colega e professor de Boltzmann, Johann Loschmidt. Suponha que existe uma solução da equação de Newton para os constituintes do sistema que leva-o do estado i para o estado f, e suponha que a entropia só depende do estado do sistema, então se S(f) > S(i) e se existe reversibilidade temporal, há uma solução da mesma equação de Newton que leva o sistema de f para i e portanto viola a segunda lei da Termodinâmica. Não há violação do teorema H, e sim da segunda lei da Termodinâmica, pois o teorema H também admite que a informação perdida de um sistema diminua no tempo (ao invés de crescer) se você permite reversibilidade temporal na mecânica. Isso deveria ser óbvio do fato de que você pode tomar dt \rightarrow -dt. Isso levou Loschmidt a apontar que o teorema H não é equivalente a segunda lei da Termodinâmica.

O mito de que a segunda lei da Termodinâmica pode ser “provada” a partir de uma mecânica reversível continuou. Em 1971, E. T. Jaynes encontrou a recíproca do paradoxo de Loschmidt: é possível satisfazer a segunda lei da Termodinâmica e violar o teorema H.

O paradoxo de Loschmidt pode ser facilmente generalizado para a mecânica quântica. Se temos um sistema no tempo t_i descrito por uma matriz de densidade \rho_i e em t_f por \rho_f e uma evolução temporal que satisfaz o teorema H que leva o sistema do estado inicial \rho_i para o estado final \rho_f, supondo que existe um operador anti-unitário anti-linear T que representa a ação t \rightarrow -t, então ao aplicar T a equação do teorema H obtemos uma solução que leva T \rho_f T^{-1} como estado inicial para T \rho_i T^{-1} como estado final. Se de fato a entropia é uma função de estado, uma dessas soluções do teorema H viola a segunda lei da Termodinâmica.

Portanto, infelizmente, nós não podemos compreender a irreversibilidade da Termodinâmica sem assumir uma seta do tempo nas leis microscópicas da física. Isso é um indicativo, em outros, de que o problema da seta do tempo não é um efeito macroscópico.

Existe uma discussão moderna sobre o problema da seta do tempo que tenta transferir esse problema a uma natureza puramente de condição inicial. Você vai encontrar por ai a afirmação de que se for possível explicar porque o universo começou em um estado de “baixa entropia”, então “segue da física de Boltzmann” que o universo aumenta entropia. Naturalmente que isso é incorreto, baseado na idéia falsa de que a segunda lei da Termodinâmica do aumento da entropia pode ser de alguma forma derivada da mecânica. Além do fato que me parece incorreta essa afirmação por causa disso, como fica claro da construção da entropia feita por Jaynes, esta quantidade é “subjetiva” no sentido de que ela não depende do sistema mas de uma escolha de descrição de quem faz inferências estatísticas. O que eu quero dizer com isso é que se eu de fato fosse resolver a evolução temporal do sistema em toda sua glória, eu não precisaria da física estatística para obter a entropia do sistema e aplicar o princípio de maximização da entropia para saber o estado final. Há outra falha que posso apontar, que é a de que a segunda lei da Termodinâmica só é válida quando o número de partículas e o volume do sistema físico é “grande”. É possível demonstrar matematicamente que a probabilidade do sistema ser encontrado em estados que violam a segunda lei da Termodinâmica tende a zero no limite que o número de partículas vai a infinito, mas se você não tomar esse limite, pode existir uma probabilidade não-nula e observável de violar a segunda lei da Termodinâmica. Isso naturalmente só ocorre para sistemas mesoscópicos e microscópicos, onde já se espera que a Termodinâmica não seja válida. Ainda assim, é possível definir passado e futuro, sem se preocupar com o fato de que eventualmente a entropia pode espontaneamente descrescer.

No presente momento não há nenhuma explicação para a natureza da seta do tempo. Também não é possível traduzir o problema em termos de condições iniciais ou de contorno. Todas essas idéias de reduzir o problema da seta do tempo a entropia ou outras coisas na verdade abriga o nosso preconceito de raciocinar em termos de passado e futuro, o próprio conceito que estamos tentando explicar.

Algumas coisas que a física pode dizer sobre o Mercado Financeiro

sábado, 21 fev 2009; \08\America/New_York\America/New_York\k 08 Deixe um comentário

Em um post deste blog, o Rafael Calsaverini começou a explicar alguns resultados interessantes economia e finanças e como estas podem com a física.

Vou ser um pouco mais generalista neste post já que quero mostrar o que os físicos tem feito para finanças (que criou um novo campo chamado Econofísica), e como esses resultados levaram a mudanças em princípios que eram considerados já bem estabelecidos pelos economistas. Esses fatos experimentais (ou seja, foram dados medidos em mercados reais) são conhecidos na literatura como stylized facts .

Uma crença geral, e que motivaram a evolução das financas nos ultimos trinta anos, é que as séries de retorno de ativo financeiro é normal (ou gaussiana), ou seja, os ativos seguiriam um random walk simples. Esta simples hipotese se prova muito mais profunda quando analisada com cuidado. Cito duas características:

– Retornos passados não afetariam resultados futuros. Ou, melhor dizendo, o mercado é eficiente em informação. Isso significaria que TODA informação conhecida sobre aquele ativo já está incluida em seu preço atual. Isso implica que estudar a série de preços de algum ativo não traria nenhuma vantagem.

– Não existencia de crashs e bubbles (crash seriam quedas muito grandes e rapidas, como a crise de 2008 ou bubbles que é um crescimento explosivo do preço, como aconteceu com a nasdaq em 1998 com as empresas de internet) internas ao modelo. Isso porque uma queda de 15% em um dia seria um retorno de 10 desvios padrão, o que indicaria um evento de probabilidade menor que 0.0000000001%. Uma crise seria um fator externo ao modelo, e portanto não preditivel.

Todo o formalismo construído com base na hipótese da gaussianidade é chamado na literatura de hipótese do mercado eficiente.

Mas observando o funcionamento do mercado, nós sabemos que existem métodos de se fazerem previsões a partir da série de dados (isso vem feito a decadas por traders) e que mesmo fora de crises temos movimentos muito rápidos para serem considerados possíveis em um modelo gaussiano. Outra coisa que é facilmente visível nos dados do mercado, mas que não estava de acordo com o modelo gaussiano é a chamada volatility clustering, que é um efeito onde dias de retornos grandes (ou seja, dias onde o valor do mercado varia muito) tem grande probabilidade de serem seguidos outros dias onde o mercado varia muito.

Esses fatos nos levam a crer que a hipótese do mercado eficiente merecia uma revisão, fato que começou a ser levado a sério com o inicio da década de noventa. A gravação de séries de alta frequencia (ou seja, observar como o mercado se comportava em períodos muito curtos (primeiramente na ordem de minutos, atualmente na ordem de microsegundos) permitiu que nosso conhecimento dos comportamentos dos ativos melhorassem muito, e portanto, que as diferenças entre as distribuições fossem notadas. As séries de retorno, por exemplo, são de bordas mais significativas que a distribuição normal (o que significa que dias de variações extremas se tornem possíveis. Um retorno de 15% agora teria apenas 0.1% de chance de ocorrer). E em especial, o fim da hipótese do mercado eficiente implica que é possível observar as séries de preços e retirar informações delas.

Esses fatos ( que podem ser vistos como resultados experimentais, já que estão baseados fortemente nos dados), nos motivam a buscar modelos que tragam alguns destes comportamentos. Um exemplo disso é o “jogo da minoria” que está sendo explicado na seqüencia de posts do Rafael. E como ele está explicando, essa tentativa de trazer as finanças um comportamento microscópico permite aplicações de modelos já muito bem testados na física, e com isso técnicas de modelagem que conhecemos bem: teorias de campos, mecânica estatística, integrais de trajetória, transições de fase, por exemplo. E aparentemente tem tido resultados interessantes.

Toda essa mudança de paradigma sobre o mercado introduziu uma grande oportunidade de pesquisa: novas técnicas (vindas da matematica, física e engenharia) que eram bem conhecidas em suas areas passaram a serem testadas e utilizadas no mercado (por exemplo o post do Rafael citado no inicio, que fala de modelos de agentes). Obviamente nem todos os resultados são positivos. Em 1998 o LTCM, um grande hedge fund que utilizava técnicas modernas de previsão, quebrou, gerando perdas de bilhões de dolares. Hoje é sabido que eles ignoraram uma hipótese básica de toda essa mudança de paradigma: não consideraram a possibildiade de retonros nao gaussianos.

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Observação: No post sobre fluxos de Ricci, o Daniel comenta brevemente sobre a ligação entre processos de Wiener e Mecanica Quantica. Isso será uma bastante util no próximo post desta série, já que leva a algo que é conhecido como Quantum Finance.

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