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Posts Tagged ‘mecânica quântica’

Erwin Schrödinger: vivo ou morto…

quinta-feira, 11 ago 2011; \32\UTC\UTC\k 32 3 comentários

No dia 12 de Agosto de 1887 nascia o bebê Erwin Schrödingerironicamente, até o momento do nascimento, a mãe dele não sabia se ela estava grávida ou não. 😈

[N.B.: Pra quem achou a piadinha acima infâme… tem uma melhor ainda hoje: Nova animação da Pixar: Start UP, a história de um velhinho que queria levantar sua empresa com bolhas da internet. tá-dá-tush… :mrgreen:]

Criação de partículas pelo vácuo pode ter sido demonstrada em laboratório

quinta-feira, 26 maio 2011; \21\UTC\UTC\k 21 6 comentários

Um dos conceitos mais difíceis de digerir na mecânica quântica relativística é o fato de que afirmar que “ali há uma partícula” é algo relativo. É devido a este fenômeno que um universo em expansão cria partículas espontaneamente, processo que acredita-se hoje deve ter sido o responsável por popular o nosso universo com prótons, elétrons, fótons, e todo o resto da matéria. É também esse o mesmo fenômeno da radiação Hawking que todo buraco negro emite. Esse efeito pode ter sido observado pela primeira vez em laboratório por Chris Wilson da Universidade Chalmers de Tecnologia de Gothenburg, Suécia, e colaboradores no RIKEN, Japão, New South Wales em Sidney e Michigan em Ann Arbor, EUA[4].

Em poucas palavras, o que eles observaram foi que um espelho se movendo no vácuo com aceleração não uniforme e velocidade próxima da luz, emite luz a uma taxa proporcional ao quadrado da velocidade do espelho em relação ao vácuo.

Este efeito foi previsto em 1970 pelo físico-matemático Gerald More e é mais conhecido como efeito Casimir dinâmico. Na prática, é quase impossível mover um espelho rápido o suficiente para criar uma taxa de partículas apreciável. Por exemplo, um espelho oscilando na frequência de 1 GHz com uma amplitude de 1 nm teria uma velocidade 10 milhões de vezes menor que a velocidade da luz, produzindo apenas um único fóton por dia, mas exigiria 100 MW de potência e o sistema inteiro deve estar a menos de 10 mK de temperatura[1]. Para uma comparação, uma usina de carvão produz cerca de 400-700 MW de potência elétrica.

O esquema realizado por Chris Wilson consistiu em usar uma guia de onda[5] com um SQUID preso em uma das extremidades. O SQUID é um dispositivo eletrônico cuja indutância pode ser finamente calibrada. A presença do SQUID no final da guia resulta em uma probabilidade alta de uma onda eletromagnética ser refletida no ponto próximo ao SQUID. Alterando a indutância do dispotivo, esse ponto pode ser deslocado no espaço. Desse modo, eles obtiveram um espelho que se move a velocidades de até 5% da velocidade da luz. Eles observam então a potência irradiada dentro da guia de luz quando o espelho efetivo começa a se mover. Algumas correlações entre voltagens previstas teoricamente são também comparadas com as medidas experimentais para ter certeza que o efeito é mesmo a criação de partículas no vácuo. Esse esquema experimental foi pela primeira vez proposto por Astrid Lambrecht, Instituto Max Planck de Óptica Quântica, Marc-Thierry Jaekel e Serge Reynaud da Ecole Normal[3].


Esquema experimental para demonstração do efeito Casimir dinâmico. Crédito da Figura: Ref. [2].

Criação de partículas pelo vácuo

Nesse outro post eu tentei explicar em termos simples como o conceito de partícula depende do observador: um estado que é vácuo para um observador A, será repleto de partículas como visto por um outro observador B que se move com aceleração constante em relação a A. No caso do efeito Casimir dinâmico, a condição de contorno dos campos muda no tempo devido a uma força externa, similar ao caso do efeito Casimir. Em termos simples, os valores de comprimento de onda admissíveis ao campo eletromagnético vão mudando a medida que a guia de onda muda de tamanho. Como os fótons são aqueles estados de comprimento de onda fixo do sistema, a medida que a guia de onda muda de tamanho ocorre surgimento de novos comprimentos de onda e o observador detecta novos fótons dentro da cavidade, mesmo quando esta incialmente encontrava-se no vácuo.

Referências e notas

  1. C. Braggio et al. 2005 Europhys. Lett. 70 754 doi: 10.1209/epl/i2005-10048-8.
  2. J. R. Johansson, G. Johansson, C. M. Wilson, F. Nori, Phys. Rev. A 82, 052509 (2010), doi: 10.1103/PhysRevA.82.052509.
  3. Astrid Lambrecht, Marc-Thierry Jaekel, Serge Reynaud. Phys. Rev. Lett. 77, 615–618 (1996), doi: 10.1103/PhysRevLett.77.615
  4. C.M. Wilson et al., arXiv:1105.4714 [quant-ph].
  5. Uma guia de onda é um dispositivo para guiar a direção de propagação de uma onda, forçando uma onda a propagar-se no seu interior, como por exemplo a fibra óptica, ou uma cavidade de metal.

Quem colapsou a função de onda do universo?

segunda-feira, 28 mar 2011; \13\UTC\UTC\k 13 2 comentários

Como ninguém perguntou no último post 😦 faço eu aqui a pergunta. Existe uma dificuldade conceitual na idéia da origem da estrutura do universo.

Para explicar o problema, deixe-me considerar o caso dos fótons da radiação cósmica de fundo. A temperatura média observada desses fótons é 2.73 K. Essa média é obtida da seguinte forma: o satélite recebe um conjunto de fótons vindos da direção n da abóboda celeste. Cada fóton recebido por unidade de tempo tem uma temperatura diferente; mas somando todos os fótons ao longo de um tempo t suficientemente longo, é possível determinar com uma precisão menor que 1 mK qual a temperatura dos fótons vindo daquela direção, chamemo-la T(n). Como eu disse, prever o valor exato da função T(n) é impossível porque requer saber exatamente qual a posição da Terra em relação ao ponto exato no espaço onde ocorreu o último espalhamento Compton que o fóton sofreu antes de chegar no satélite. No lugar disso, se faz a média T0 sobre todos os pontos da esfera celeste, ou seja, sobre todas as direções n. Essa média independe da direção. Esse é o valor 2.7 K. Nós podemos definir o desvio da média: ΔT(n)=T(n) – T0. A média do desvio da média é zero, mas não é zero a média do produto de dois ΔT(n), isto é o desvio padrão da média. Isso é análogo em mecânica quântica ao fato que a média da posição X pode ser zero, enquanto o mesmo não vale para X2.

A idéia proposta por Mukhanov e Chibisov é que essa média do céu é igual a mesma média obtida em mecânica quântica para a mesma variável. A dificuldade conceitual é que essas duas médias tem significados diferentes. A da mecânica quântica (MQ) significa o seguinte: você prepara o universo para ter início quando o tempo é zero em um estado \Psi, e mede a temperatura dos fótons na direção n em 12 bilhões de anos depois, o que te dará um valor T(n). Você então precisa colocar o universo novamente no estado \Psi no início e medir novamente T(n) 12 bilhões de anos depois, que vai lhe dar outro valor, e assim por diante. Uma série de medidas em vários universos diferentes é a média da MQ. Já a média utilizada na teoria clássica é de um mesmo universo sobre diferentes direções. Poder-se-ia questionar que quando a função de onda do nosso universo colapsou, a distribuição do campo gravitacional congelou em uma configuração específica da mecânica quântica. Essa configuração, tirada uma média sobre o espaço, é que constitui os observáveis astronômicos, e não a média sobre todas as possíveis realizações das flutuações do campo gravitacional, que é a média da física quântica. Mais objetivamente, como, quando e por que as probabilidades quânticas, como o emaranhamento, deixaram de ser flutuações quânticas do campo gravitacional e passaram a ser flutuações clássicas de intensidade do campo gravitacional? Será que toda vez que eu observo um fóton na radiação cósmica de fundo, eu colapso a função de onda de todo o universo? 🙂

Além da incerteza, primeira parte

terça-feira, 23 jun 2009; \26\UTC\UTC\k 26 9 comentários

Werner Heisenberg em 1927

Werner Heisenberg em 1927

Werner Karl Heisenberg (1901-1976) foi um homem de conquistas: descobriu a primeira formulação matemática da mecânica quântica através de pura indução física desconhecendo as ferramentas matemáticas que estava introduzindo e desempenhou papel central na interpretação física do formalismo matemático quando tinha apenas 23 a 25 anos; foi a pessoa mais jovem a ocupar uma posição de professor titular (mais alto posto hierárquico acadêmico) na Alemanha em 1927; recebeu sozinho o prêmio Nobel em 1932 então com 30 anos — um dos mais jovens laureados da história. Embora seus trabalhos de 1925-1927 da formulação da mecânica quântica por si só seriam mais do que qualquer físico poderia esperar como legado científico, Heisenberg ainda foi um dos primeiros (1928) a estudar a física do estado sólido quântica com seus alunos Felix Bloch e Rudolf Peierls, desenvolveu o primeiro modelo de magnetismo da matéria com base no spin do elétron (1928) e o primeiro modelo da força nuclear forte (1932). A partir de 25 anos, líder do Instituto de Física Teórica da Universidade de Leipzig, Heisenberg orientou diversos alunos e pós-doutores que realizaram trabalhos célebres e solidificaram o desenvolvimento da física quântica: Bloch e Peielrs, Guido Beck, Gian-Carlo Wick, Victor Weisskopf, Fritz Sauter, Carl Friedrich von Weizsäcker, Hans Euler e Edward Teller.

Heisenberg também foi um dos poucos acadêmicos célebres que permaneceu na Alemanha durante o regime nazista. Junto com Max von Laue e Max Planck, exerceu uma das primeiras resistências acadêmicas ao regime — infrutífera. Ele, Otto Han e Weizsäcker, lideraram o polêmico projeto da bomba atômica nazista, o episódio de maior escrutínio e controvérsia histórico da vida de Heisenberg.

Após a segunda guerra, Heisenberg dedicou-se a reconstrução da física na Alemanha. Um de seus principais feitos políticos foi a co-fundação e direção de 1958 até 1970 do Instituto de Física e Astrofísica Max Planck, que se tornou um dos mais importantes centros mundiais de física.

Este ano, uma iluminadora biografia foi publicada pelo seu biógrafo David Cassidy: Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and The Bomb. O propósito desta publicação é triplo: primeiro, reescrever a biografia técnica de Cassidy Uncertainty de forma acessível a quem não tem treinamento específico em física e matemática; segundo, escrever a biografia em um tom mais de romance do que um texto histórico-técnico (embora as referências estejam presentes dentro do padrão acadêmico) e elaborar os detalhes do contexto histórico (político e econômico) de toda a vida de Heisenberg; e terceiro, atualizar a biografia em face a duas novas fontes de material. Em 2002, o arquivo de Niels Bohr em Copenhague liberou uma série de cartas particulares não-enviadas escritas por Bohr recontando a visita de Heisenberg em 1941 a Copenhague ocupada pelos nazistas — motivado pelo interesse do público na peça de teatro ficcional Copenhague — , e em 2003, a família Heisenberg decidiu tornar pública a correspondência de Heisenberg a familiares. Os dois últimos objetivos alcançados pela obra a fazem de uma agradável e informativa leitura, não apenas da trajetória de Heisenberg mas da física teórica nos anos 1920-1930 e da vida acadêmica e educação na Alemanha pré, entre e pós guerra.

Anos formativos

Família Heisenberg. Esq./dir.: Werner, Annie (mãe), August (pai) e Erwin.

Família Heisenberg, por volta do final de 1918. Esq./dir.: Werner, Annie (mãe), August (pai) e Erwin.


O triunfo intelectual de Heisenberg e dos físicos alemães antes da 2a Guerra Mundial foi provavelmente um produto da sociedade em que eles viveram. Como contado por Cassidy, na Alemanha das primerias duas décadas do século XX, as escolas e universidades eram públicas. Heisenberg estudou na segunda maior escola pública de Munique, Maximillians Gymnasium, a primeira sendo Luitpold Gymnasium (atual Albert Einstein Gymnasium. Advinhe quem estudou lá…). Todos os professores do ginásio alemão eram doutores em suas disciplinas, lecionavam tipicamente em duas (p.ex. doutores em matemática também lecionavam física), eram contratados para uma carga horária que excedia muito o tempo em sala de aula para incluir atendimento extra-classe aos alunos mas primordialmente pesquisa acadêmica — isso mesmo, o ginásio funcionava como as universidades de pesquisa. Os professores eram avaliados pelo diretor da escola tanto em desempenho em sala de aula como publicações. O pai de Werner, August Heisenberg, era um professor escolar no Altes Gymnasium na cidade de Würzburg onde Werner nasceu, doutor em filologia grega pela Universidade de Munique, até assumir a cátedra de filologia de grego clássico na sua alma mater em 1910. Essa era a única cátedra acadêmica na Alemanha de grego naquela época: August estava no topo da sua profissão.

August incentivou desde cedo suas crianças, Erwin e Werner. Acompanhava de perto o desempenho escolar dos filhos, presenteava-os com livros técnicos, propunha problemas de grego, alemão e matemática que iam além das tarefas escolares, ensinou-os música clássica e a tocar piano, violino e celo — a família se reunia a noite para sessões de música — e a jogar xadrez. Werner era especialmente feliz nos problemas de matemática e no xadrez. Quando tinha 17 anos, costumava jogar sem tabuleiro (de memória) com um amigo do movimento da juventude. Certa vez, quando Heisenberg e seus camaradas do movimento subiam uma trilha de uma montanha jogando xadrez sem tabuleiro, Heisenberg, segundo contou mais tarde este seu amigo, teria encontrado um tabuleiro no chalé onde passariam a noite no alto da montanha e de sua memória extraiu todo o jogo. Aparentemente, nessa idade Werner era capaz de bater quase todos os seus conhecidos no jogo. Provavelmente por ser tão bom em xadrez, dedicava várias horas ao jogo, de modo que ao ingressar na Universidade de Munique foi proibido por seu professor Arnold Sommerfeld de continuar jogando: “desperdício de talento” 🙂

Movimento da Juventude

Uma das atividades mais importantes na vida de Werner foi sua participação no movimento da juventude alemã. A origem do movimento começa com a introdução dos Escoteiros (Boys Scouts), a organização inglesa, na Alemanha, onde se denominaram Pfadfinder (literalmente: desbravadores de caminhos). Após a primeira guerra, garotos adolescentes ex-membros dos Pfadfinder decidiram reviver as atividades mas sem nenhuma liderança adulta. Nascia o movimento da juventude. Werner aos 17 anos, então na última série do ginásio, foi escolhido como líder de um desses grupos, organizado por alunos do Max-Gymnasium. O grupo Heisenberg teve cerca de dez membros (incluindo o líder). Eles mais tarde se reassociaram de forma independente a outros grupos do mesmo movimento. Em agosto de 1919, o movimento da juventude na Alemenha e na Áustria consistia de cerca de 250 crianças. Eles organizaram uma publicação própria, Der Weisse Ritter (O cavaleiro branco), onde publicavam ensaios que definiam a filosofia do movimento. O adolescente Heisenberg chegou a publicar ao menos uma vez no periódico.

As atividades do movimento da juventude consistiam em explorar montanhas, praticar esportes como natação e ski, acampar, fazer luais e outros encontros musicais, e viver longe dos centros urbanos por longos períodos de até um mês — isso incluía, portanto, pesca, caça, coleta de frutas, e outras atividades exercidas pelas crianças na faixa etária de 12 a 19 anos, tudo sem supervisão de um adulto. A postura política do movimento era a de não-envolvimento na política adulta, considerada demagoga e menos nobre, da valorização do modo de vida dos escoteiros em contato com a Natureza e das tradições germânicas nas artes e identidade nacional.

Heisenberg formou laços de amizades que duraram quase toda a sua vida com seu grupo. Enquanto estava longe deles, sentia-se só e depressivo, principalmente nos seus anos em Göttingen e Copenhague. Sua pesquisa em física foi marcada por períodos de intenso trabalho intercalados por atividades do movimento. Quando saia com seus garotos, Heisenberg não pensava em física. Isso parece ter sido crucial para balancear a mente do jovem com a abstração do trabalho técnico que estava fazendo. Ele continuaria essa vida mesmo após tornar-se professor em Leipzig aos 25 anos, encerrando-a apenas em 1934 por força do estado nazista. Os seus amigos do Grupo Heisenberg também se tornaram acadêmicos em outras áreas. Um deles, de nome Kurt Pflügel, tinha longas discussões filosóficas com Werner. Mais tarde em sua autobiografia (A Parte e o Todo, Ed. Contraponto), Werner associaria Kurt a uma de suas primeiras influências intelectuais.

É talvez importante ressaltar que o movimento da juventude a qual nos referimos dos anos 1920 (uma das ressurreições do Wandervogel germano) não tem ligação com a Juventude de Hitler. Esta segunda foi fundada em 1922, era organizada pelos adultos do NSDAP e em 1926 foi absorvida pela Sessão de Assalto (SA, Sturmabteilung). Diferente do movimento apolítico dos novos Pfadfinder, a juventude hitlerista era política — e centrada nisso. O movimento da juventude consistia em algumas centenas de garotos, enquanto a juventude hitlerista em 1930 era formada por cerca de 25 mil garotos. Em 1934, o governo nazista passou uma lei tornando ilegal todos os grupos de jovens independentes, marcando o fim do Grupo Heisenberg e de todas as unidades dos novos Pfadfinders.

Em grande parte, von Weizsäcker substituiu os laços de amizade desfeitos com os Pfadfinders durante o regime nazista.

Instituto de Sommerfeld

Arnold Sommerfeld em 1923

Arnold Sommerfeld em 1923


Durante o colégio, Heisenberg manteve-se avançado nos estudos principalmente de matemática, concetrado na teoria de números. Aos dezessete, ele já havia submetido um artigo para publicação sobre a equação de Pell, que foi rejeitado pelo jornal mas sem desmotivar o autor. Ao qualificar como aluno da Universidade de Munique para a primavera de 1920, a primeira atividade de Werner foi tentar ingressar no grupo de pesquisa matemática de Ferdinand von Lindemann. O final da entrevista foi marcado por Heisenberg comentando que estava estudando Espaço, tempo e matéria de Hermann Weyl ao que Lindemann respondeu “Nesse caso você está perdido para a matemática”.

A próxima escolha foi Arnold Sommerfeld, chefe do Instituto de Física Teórica. Quando Heisenberg comentou que estava lendo Weyl, a resposta de Sommerfeld foi diferente: “você está muito exigente consigo.”. Impressionado, Sommerfeld aceitou Heisenberg em estado probatório, mesmo sem o rapaz ter passado pelos cursos básicos. Depois do primeiro ano, Sommerfeld admitiu Heisenberg integralmente.

Sommerfeld acompanhava de perto seus alunos. Desde o primeiro ano, eles eram incumbidos de atividades de pesquisa: preparavam seminários e revisavam artigos do professor. Os primeiros artigos de Heisenberg sobre espectroscopia atômica e efeito anômalo de Zeeman surgiram das atividades dos seminários.

Heisenberg foi um aluno disciplinado, pontual as aulas de 9 da manhã de Sommerfeld, diferente de seu colega de classe mais avançado, Wolgang Pauli. Pauli era um boêmio, chegava atrasado nas aulas, trabalhava fervorosamente até a noite quando ia para os cabarés onde ficava até de manhã.

A fundação da mecânica quântica

Bohr, Heisenberg e Pauli em 1934 ou 1936, na cafeteria do Instituto Bohr. Em 1927, os três se reuniram em Copenhague para um intenso trabalho de elaboração das implicações da mecânica quântica. Os trabalhos iniciavam tipicamente as 9 da manhã e terminavam a meia-noite. Destes debates, surgiu o artigo do princípio da incerteza e um artigo seguinte de Bohr que fundavam a interpretação de Copenhague.

Bohr, Heisenberg e Pauli em 1934 ou 1936, na cafeteria do Instituto Bohr. Em 1927, os três se reuniram em Copenhague para um intenso trabalho de elaboração das implicações da mecânica quântica. Os trabalhos iniciavam tipicamente as 9 da manhã e terminavam a meia-noite. Destes debates, surgiu o artigo do princípio da incerteza e um artigo seguinte de Bohr que fundavam a interpretação de Copenhague.

Em julho de 1925, após longo período de isolamento em Göttingen iniciado em abril, Heisenberg apresentou ao seu supervisor Max Born que estava aquém do que seu assistente concebia, um artigo com o título Reinterpretação da cinemática e das relações da mecânica na teoria quântica com um resumo longe de modesto:

O presente artigo procura estabelecer uma base para a teoria da mecânica quântica fundada exclusivamente em relações de quantidades em princípio observáveis.

Leia mais…

Os artigos da fundação da mecânica quântica, comentados

domingo, 24 maio 2009; \21\UTC\UTC\k 21 2 comentários

Nota: este post recebeu edições desde a primeira edição. Esta versão (v3, 27/05/09) espero que esteja mais correta!

Estou devagarzinho lendo a nova biografia do Werner Heisenberg do David Cassidy publicada este ano e estou reservando para quando acabar um post dedicado a quem considero a figura histórica mais interessante da física da primeira metade do século 20. Enquanto isso, eu fiz uma rápida pesquisa com relação a fundação da mecânica quântica. Como vocês devem saber, o Heisenberg é considerado o inventor da teoria. A citação do seu prêmio Nobel em 1932 diz “pela criação da mecânica quântica”. Qual foi a contribuição de Heisenberg, e a de outros cientistas para a teoria que talvez seja a mais básica e fundamental da física atual? Vamos aos artigos, para saber a história.

O primeiro conjunto de artigos relevantes até 1925 pode ser encontrado no livro: Sources of Quantum Mechanics, B. L. van der Waerden, da Dover.


1. W. Heisenberg, Z. f. Physik 33 (1925). Recebido em julho 29, 1925.

Esse artigo é o divisor de águas. Antes dele, a expressão mecânica quântica já era utilizada, mas hoje em dia nós chamaríamos a teoria antecedente de pré-quântica. O Heisenberg ilustra bem, no início desse artigo, a problemática da teoria até então: você começa com a equação clássica F = ma, resolve para as órbitas e identifica as constantes do movimento, e então força que essas constantes do movimento sejam um múltiplo inteiro de h:

J = \int \mathbf{p} \wedge d\mathbf{q} = nh

Essa idéia encontra várias dificuldades, entre elas uma descoberta por Heisenberg quando era aluno de graduação: o efeito anômalo de Zeeman (o espectro dos átomos na presença de um fraco campo magnético) requer que o momento angular do elétron no átomo seja um múltiplo semi-inteiro ímpar: 1/2, 3/2, 5/2 … em contradição com o modelo de Bohr-Sommerfeld. Bohr e Sommerfeld em 1922 achavam que Heisenberg estava indo na direção incorreta (cf. D. Cassidy, Beyond Uncertainty, p. 99), e que não fazia o menor sentido utilizar números semi-inteiros. Como sabemos hoje em dia, Heisenberg estava certo, porque o spin do elétron é semi-inteiro ímpar. Mas momento angular antes deste artigo de 25 de Heisenberg não era um operador hermitiano em um espaço linear.

Heisenberg argumenta que é necessário construir uma teoria completamente nova, onde posição, momento, enfim, observáveis físicos, são incorporados desde o início, sem nenhuma alusão a teoria clássica. Ele infere da regra

E_n - E_m = h \nu_{nm}

do espectro do átomo de hidrogênio, que o quadrado do campo elétrico \mathbf{E}^2 não pode ser dado pela expressão clássica, mas sim por um produto que nós reconhecemos imediatamente como a regra do produto de matrizes (cf. as eq. (5)–(8) do artigo). Ele propõe generalizar a regra, e com isso introduz a forma matricial de X e P, e faz uma aplicação ao oscilador harmônico. Ele obtém (pela primeira vez?) o espectro de energia do oscilador harmônico quântico (eq. 27). Foi da inferência do que a combinação de freqüências implicava para o produto de dois campos elétricos que Heisenberg descobriu a representação matricial da mecânica quântica!

Heisenberg não tinha a menor idéia o que era uma matriz. Fica claro isso no artigo dele. Ele faz uma nota explícita de que sua nova regra para os observáveis físicos é não-comutativa. Também parece que nesse artigo que o enfoque sobre a distinção entre observável e não-observável entrou na mecânica quântica.

Heisenberg recebeu o prêmio Nobel essencialmente por causa deste artigo.


2. M. Born, P. Jordan, Z. f. Physik 34 (1925). Recebido em 27 setembro 1925.
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 109 (1925). Recebido em 7 de novembro de 1925.
M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Z. f. Physik 35 (1925). Recebido em 16 novembro de 1925.

Nesses três artigos, a mecânica quântica é elaborada. No primeiro e no segundo, Born e Jordan e de forma completamente independente, Dirac, explicam como as regras de Heisenberg dizem respeito a uma teoria em que os observáveis físicos são tratados como matrizes auto-adjuntas, isso inclui a posição, momento, energia, etc. Eles derivam a condição de quantização canônica: [q,p] = i\hbar. Esses artigos contém a essência básica do formalismo físico matemático da teoria como se entende hoje em dia.

O terceiro artigo elabora os métodos da teoria para mais de um grau de liberdade, introduz o conceito de momento angular e demonstra que os auto-valores de J_z podem ser inteiros (como na teoria anterior) mas também semi-inteiros ímpares, de acordo com o modelo de Heisenberg para o efeito Zeeman anômalo. O artigo conclui com a aplicação a mecânica estatística de osciladores harmônicos e deduz a lei de emissão de Planck para corpo negro.

Não está claro para mim, no entanto, que nesse momento eles saibam que os resultados de medidas de um observável devem ser os auto-valores da matriz infinita. Nos dois artigos de Born & Jordan eles já enunciam que na nova teoria, observáveis são matrizes (e não os valores das entradas da matriz), mas a diagonalização das matrizes é vista de forma operacional, para caracterizar as transições entre estados (que eles chamam de saltos quânticos).

3. W. Pauli, Z. f. Physik 36 (1926). Recebido em 27 de janeiro de 1926.
P. A. M. Dirac, Proc. Roc. Soc. A 110 (1926). Recebido em 22 de janeiro de 1926.

O problema do átomo de hidrogênio é resolvido dentro da nova teoria. Isso demonstra que a teoria é completa, sem referência aos métodos de quantização de Bohr-Sommerfeld como adendos a solução clássica.


4. E. Schrodinger, Phys. Rev. 28 6 (1926). Recebido 3 de setembro de 1926.

Inspirado na formulação de de Broglie, Schrodinger propõe que todas as partículas são na verdade ondas físicas. Fazendo as atribuições da dualidade onda-partícula de de Broglie, ele deriva a sua equação para o átomo de hidrogênio apenas para o caso estacionário (eq. 16). A partir do fato de que ele quer que a onda não vá para o infinito, as condições de contorno impõe que se olhe portanto para a parte discreta do espectro de energias. Ele interpreta a função de onda para o átomo de hidrogênio como uma distribuição no espaço para a carga do elétron (p. 1066), após admitir que a interpretação física da função de onda no caso geral é problemática porque a função de onda é sobre o espaço de configurações e não do espaço real. Ele elabora a generalização do formalismo e obtém a famosa equação de Schrodinger para o caso de estados não-estacionários (eq. 32). Schrodinger faz poucas menções a mecânica quântica de Heisenberg, mas é claro do artigo que sua intenção é propor uma alternativa, ele diz na p. 1050 que sua teoria permite uma localização definitiva do elétron no espaço (que é interpretado como uma onda física). A razão desse comentário é que na formulação de Heisenberg não há órbita para o elétron.

O artigo da Phys. Rev. é uma compilação de dois outros artigos mais extensos escritos por Schrodinger para a Ann. der Physik, como ele cita no artigo. A publicação alemã foi recebida em janeiro de 1926. Uma tradução dos originais para o inglês eu achei em E. Schrodinger, Collected papers on wave mechanics. Nos originais da Ann. Physik, Schrodinger trata vários outros problemas, inclusive obtém as funções de onda do oscilador harmônico e seu espectro. Também na mesma compilação há o artigo E. Schrodinger, Ann. der Physik 79 4 (1926), recebido 18 de março de 1926, onde Schrodinger, imediatamente após publicar seus artigos sobre sua teoria quântica, demonstra que ela é matematicamente equivalente a de Heisenberg-Born-Jordan-Dirac. Ele mostra que não apenas é possível começar do formalismo da função de onda e construir as matrizes infinitas, como a recíproca, concluindo que nenhuma das duas pode ser superior. Ele não tenta uma explicação para a diferença física entre as duas abordagens, mas deixa claro que ele entende o aparente paradoxo (início do artigo). Como no artigo de 1926 de Max Born (o próximo item), Born fala que talvez a teoria de Schrodinger seja mais fundamental porque ele conseguiu resolver o problema de espalhamento na formulação de Schrodinger mas não na de matrizes, é patente que Born não conhecia ainda este último trabalho do Schrodinger que demonstrava a equivalência das duas. Isso indica que Born naquele momento estava tentando reintepretar a teoria de Schrodinger em luz a filosofia de Copenhague já aderida por ele, Heisenberg, Jordan, Dirac e Bohr, mas ainda não entendia que as duas teorias eram na verdade a mesma teoria matemática.


Os próximos dois artigos podem ser encontrados no livro: Quantum Theory and Measurement, Wheeler e Zurek (eds), Princeton University Press.

5. M. Born, Z. f. Physik 37 (1926).

A teoria de Schrodinger e de Heisenberg dão os mesmos resultados para o espectro de energia do átomo de hidrogênio, mas a interpretação física das duas é completamente diferente. Born analisa nessa breve correspondência a colisão entre partículas na teoria de Schrodinger e propõe que a função de onda \psi pode ser reinterpretada como uma densidade de probabilidade de posição do elétron. Após o primeiro rascunho do artigo ser enviado para publicação, Born corrigiu o erro e notou que o correto é \vert\psi\vert^2 ser interpretado como a probabilidade de posição. Dessa forma, o elétron não possui uma órbita, mas apenas probabilidades diferentes para observar sua posição.

Born recebeu o Prêmio Nobel por causa dessa rápida nota.

A palavra probabilidade já estava sendo usada mesmo por Heisenberg em seu artigo de 1925. Eu não sei quando ela foi introduzida, mas a natureza probabilística da teoria ainda não estava completamente fundamentada. Por exemplo, Born fala explicitamente no início do artigo que ele não associa as transições entre diferentes estados de energias com probabilidades.(Ele diz “a mecânica quântica de Heisenberg foi aplicada exclusivamente a estados estacionários e amplitudes de vibrações associadas a transições (eu evito propositalmente a expressão probabilidade de transição)”, porém nos artigos de 1925 eles insistem que os elementos de matrizes devem ser interpretados como probabilidades de transição. Levando em conta os artigos de 1925, essa coloção de Born não está clara.)


6. W. Heisenberg, Z. f. Physik 43 (1927).

Escute o próprio (em inglês com sotaque alemão 🙂 ) explicar a origem desse artigo.

Heisenberg argumenta que embora a teoria esteja matematicamente estabelecida, falta compreender o significado físico da posição e momento dentro do novo formalismo. Ele elabora uma bela discussão inicial, claramente inspirado no estilo de Einstein do artigo de relatividade de 1905, sobre o fato de que o significado de posição e velocidade de um móvel só faz sentido em termos do instrumento de medição. Ele argumenta que a transferência de momento de um fóton para o elétron é indicativo de que com uma melhor localização da posição de espalhamento (que requer menor comprimento de onda do fóton, devido ao critério de Rayleigh) há uma maior indeterminação na velocidade do elétron (que será atingido por um fóton de maior momento, e portanto, devido ao efeito Compton, tem uma região muito ampla de momento para adquirir). Ele conclui que o princípio da incerteza é a interpretação física da regra de quantização canônica [q,p]= i\hbar. Ele apresenta a idéia de que a interpretação de probabilidade da função de onda não é devido a uma incerteza puramente experimental do espaço de fases — e cita que aparentemente Dirac pensava assim; certamente era o caso de Einstein –, e sim é intrínseco da teoria porque ela impede fisicamente que exista a trajetória do elétron. Ou seja, há uma incerteza inerente física do produto da posição e momento que não é devido a estatística clássica. Ele deriva rigorosamente as relações de incerteza para momento e posição e também energia e tempo partindo da quantização canônica (cf. sec. 2 do artigo, eq. 3a-6). A interpretação de Copenhague da teoria é explicitamente apresenta no artigo, e eu diria que de forma completa.

Em vista desse artigo, Max Born audaciosamente anunciou mais tarde naquele ano durante a conferência de Solvay que “consideramos a mecânica quântica como uma teoria completa quais hipóteses físicas e matemáticas não estão mais suscetíveis a modificação”.

Heisenberg principiou a formulação física da nova teoria em 1925 e em certo sentido a finalizou em 1927.


Ainda me falta entender alguns detalhes:

  1. Quem percebeu que os observáveis deveriam ser auto-adjuntos? (Born e Jordan, 1925, item 2)
  2. Embora Heisenberg tenha defendido no artigo de 1927 com a descoberta do princípio da incerteza que a teoria tem probabilidades intrínsecas independentes da mecânica estatística, quem introduziu a noção de transições de probabilidades que Heisenberg já faz uso no artigo da descoberta da representação matricial da teoria de 1925?
  3. Quem introduziu o conceito de que \psi representa o estado do sistema?
  4. Quem introduziu o formalismo de espaços de Hilbert?
  5. Quem anunciou que o resultado de medidas de um observável é o espectro do operador?

Para o item 4, talvez tenha sido von Neumann no seu livro Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Comentários do von Neumann no seu livro parecem indicar que foi Dirac (Proc. Roc. Soc. 113 (1926)) e independente dele, Jordan (Z. f. Physik 40 (1926)), que introduziram o item 3.

Atualização 06/10 : Bohr, H. Kramers e J. Slater introduziram a interpretação probabilística para o formalismo da mecânica quântica em Phil. Mag. 47 785-802 (1924). Uma reprodução se encontra no Sources. Um comentário mais completo desse artigo fica para o futuro.

Vendo efeitos quânticos com os olhos

quinta-feira, 26 fev 2009; \09\UTC\UTC\k 09 Deixe um comentário

Um grupo de físicos propôs um esquema experimental que permite visualizar com os olhos um par de fótons emaranhados quanticamente.

A mecânica quântica é uma teoria que tem até hoje uma certa dificuldade de ser aceita por algumas pessoas devido ao fato de ser bastante estranha, vamos dizer assim, comparada aos fenômenos macroscópicos. Embora uma bola pulando constantemente elasticamente contra uma parede nunca pode ser encontrada do outro lado sem destruir o obstáculo, no problema análogo em mecânica quântica onde uma partícula se choca com uma parede constantemente há uma probabilidade de você encontrar a partícula do outro lado sem desturir o obstáculo. Esse é o chamado efeito de tunelamento quântico, que é fundamental para as reações nucleares ocorrerem (p.ex. as reações nucleares em que núcleos emitem elétrons só são possíveis porque o elétron tunela através da parede representada pela atração eletrostática dos prótons).

Outro fenômeno curioso da mecânica quântica é o emaranhamento. Uma definição exata de emaranhamento ainda é assunto de disputa, mas a idéia básica é que um sistema físico S é dividido em partes, digamos A e B, e há conhecimento sobre todo o sistema S que não pode ser reduzido a soma do conhecimento sobre os estados de A e B. Em outras palavras, como parece ter sido observado pela primeira vez por von Neumann, na mecânica quântica conhecimento sobre as partes não garante conhecimento sobre o todo!

Pois bem, feixes de luz emaranhados já são conhecidos faz um tempo. Mas emaranhamento de luz se concentrou, até hoje, em utilizar poucos (e muitas vezes um único) fótons. Todavia semana passada um grupo da Universidade de Genebra e de Bristol propuseram um esquema experimental onde feixes macroscópicos de luz são emaranhados. A diferença? Você pode ver estes com os olhos!

O arranjo experimental consiste em primeiro criar um par de fótons emaranhados e passá-los por um material onde outro feixe de luz incide na mesma freqüência e devido a processo descoberto por Einstein de emissão estimulada, vários novos fótons são produzidos no mesmo estado emaranhado original. Isso produz um feixe macroscópico de luz em estado emaranhado que então pode ser visto a olho nu. Os feixes emaranhados A e B podem ser então direcionados a dois observadores, cada um com o seu filme Polaroid, e eles podem checar que a determinação da polarização entre eles está 100% correlacionada.

Eu não sei quão viável a idéia é e também não entendo os detalhes do artigo original. Também o artigo não foi revisado por pares ainda, ou aceito para publicação. Porém pelo menos um físico que entende bem do assunto, Seth Lloyd do MIT comentou positivamente a respeito do trabalho.

Esse trabalho também é interessante devido ao fato de que o mecanismo proposto preserva a natureza quântica do estado de luz de dois fótons para um conjunto grande de fótons. Resolver esse tipo de problema é um dos maiores desafios para a realização de computadores quânticos úteis. O que acontece é que já foi possível realizar computação quântica com poucos átomos, núcleos ou fótons (e.g. o caso do computador quântico de ressonância magnética da IBM que sabe fatorar o número 15), mas a dificuldade de escalar esses sistemas para sistemas grandes que possam realizar computação similar aos computadores eletrônicos é um dos desafios da física e engenharia atuais.

Para saber mais

  • Assista ao vídeo do colóquio Convite a Física “Emaranhamento, Realismo e Não-Localidade”, Paulo A. Nussenzveig. (não-técnico, espero…)
  • Um artigo técnico introdutório.

Os princípios de Fermat, de Hamilton e de Feynman

domingo, 30 nov 2008; \48\UTC\UTC\k 48 21 comentários

Quando dizem que o lema dos físicos da interpretação de Copenhague da mecânica quântica é “cale a boca e calcule” eu fico ofendido 😦 Para mim, o propósito da física teórica é encontrar um conjunto mínimo de princípios fundamentais a partir dos quais os resultados dos experimentos se tornem evidentes. A física teórica é uma busca por uma explicação dos fenômenos naturais, e não um simples ajuste de equações com parâmetros aos dados.

Veja por exemplo o princípio de Fermat: a luz se propaga pela trajetória de menor tempo possível. Esta simples hipótese unificou todas as leis da óptica geométrica: com ela, e apenas com ela, é possível demonstrar que a luz se propaga em linha reta em meios homogêneos, que o ângulo de reflexão é igual ao de incidência e que vale a fórmula de Snell-Descartes1.

Minimização da ação

Vista como uma função3 S de uma curva x, a trajetória que respeita as leis de Newton é aquela na qual S é o menor valor possível. Na figura, a trajetória da partícula seria aquela no fundo da parábola.

O princípio de Fermat acabou por ser muito poderoso na Física. Na mecânica clássica, por exemplo, suponha que nos perguntamos qual a trajetória que uma partícula descreve no mundo real para ir de um ponto a até um ponto b. William Rowan Hamilton descobriu no século 19 que, sobre todas as possíveis trajetórias que ligam dois pontos, o movimento que se realiza na Natureza é aquele que faz a soma das diferenças entre a energia cinética e a energia potencial ser a menor possível ao longo da trajetória. Isto é, se p é um ponto de uma curva x(t) que liga os pontos a e b, e V(p) é a energia potencial no ponto p, e definimos a quantidade

S[x(t)] = \displaystyle\sum_p \left(\frac{1}{2}m v^2 - V\right)

onde a soma é sobre todos os pontos da curva x, a trajetória x que a partícula realizará será aquela em que S assume o menor valor possível! As leis de Newton estão encapsuladas no princípio da Natureza manter S sempre em um ponto de mínimo!

A quantidade S é chamada de a ação clássica. A matemática Emmy Nöther descobriu que se podemos realizar uma transformação nas curvas do espaço que leva a curva x(t) na curva x'(t’) de tal forma que S[x] = S[x’] — ou seja, a ação clássica é invariante por essa transformação –, então existirá uma quantidade que se conserva associada a essa transformação. Por exemplo, se x'(t)=x(t)+a, onde a é uma constante qualquer, o que significa que estamos deslocando a origem do sistema de coordenadas, e S[x’]=S[x] então o teorema de Nöether diz que a quantidade p = mv se conserva. Por isso entendemos que a homogeneidade do espaço é a explicação de porque o momento se conserva nas leis de Newton. Uma das mais belas conseqüências do teorema de Nöther é que se deslocamos o tempo t’=t+a e a ação permanece invariante, então a quantidade

E = \frac{1}{2}mv^2 + V (1)

é uma constante do movimento. Vemos então que a invariância das leis da Física — uma linguagem bonita para a idéia de que S[x] é a lei física em questão — no tempo é a razão pela qual existe a quantidade chamada energia (que se conserva)1. O teorema de Nöther fornece uma fórmula fechada para calcular a expressão da quantidade que se conserva dada a transformação de simetria da ação clássica.

Para ir do ponto a ao ponto b, a particula fareja diferentes possibilidades.

Para ir do ponto a ao ponto b, a partícula fareja diferentes possibilidades.

E a física teórica vai avançando a medida que começamos a fazer mais perguntas. A próxima que podemos fazer é: como uma partícula sabe qual a trajetória que minimiza S? Será que não existe um mecanismo físico por trás da minimização da ação clássica, e portanto, da validade das leis de Newton? Seria ótimo se existisse algo assim: ao ir do ponto a ao ponto b, a partícula pode “farejar” diferentes trajetórias, porém os desvios da trajetória que respeitam as leis de Newton interferem entre si destrutivamente, enquanto aqueles trechos de trajetória ao longo da curva que respeita as leis de Newton intereferem construtivamente, igual como acontece quando ondas interagem. O fenômeno de interferência de ondas é convenientemente descrito por números complexos, então vamos associar para cada trajetória uma “onda”,

\phi(x) = \exp(i S[x]/\hbar) (2)

Em física tornou-se convenção chamar \phi(x) da amplitude de probabilidade da trajetória x, e definir que a probabilidade associada é o módulo ao quadrado do número complexo (2), P = \vert\phi\vert^2. A constante \hbar é introduzida para que o argumento da exponencial seja um número sem unidades, portanto essa constante só depende do nosso sistema de unidades, e será ajustada experimentalmente.

Pensando nestes termos, a amplitude de probabilidade de uma partícula sair do ponto a e chegar ao ponto b farejando todas as trajetórias possíveis, será a soma

K(b,a) \sim \displaystyle\sum_{x(t)} \exp(i S[x(t)]/\hbar) (3)

e eu usei o símbolo ~ ao invés da igualdade porque estamos fazendo aqui algo esquemático apenas. Desse modo, poderíamos tentar reformular a mecânica da seguinte forma:

Para se movimentar de um ponto a a um ponto b, as partículas caminham sobre todas as trajetórias possíveis, com cada trajetória associada a uma amplitude de probabilidade dada por (2).

Essa não é a mecânica clássica, mas a mecânica quântica. Ela foi formulada — ou descoberta se preferir — assim por Richard Feynman, e a equação esquemática (3) é o que se chama a soma sobre as histórias da partícula, ou a integral de trajetória. Para dar sentido matemático a (3), é necessário dividi-la por uma constante A que normaliza as probabilidades.

É então possível demonstrar, utilizando uma técnica matemática conhecida como aproximação do ponto de sela, que se S/\hbar for um número muito maior que o número 1 (digamos, 1011), então a maioria das curvas que estão na soma se cancelam com uma precisão da ordem do número \hbar, e o único termo que contribui é aquela trajetória em que S é um mínimo. E voilà temos a física de Newton! 🙂

Inicialmente, Feynman introduziu a eq.(3) inspirado por esta linha de raciocínio. Na época, a mecânica quântica era formulada inteiramente em termos da função de energia, e Feynman estava curioso para saber como a ação clássica entrava no formalismo da mecânica quântica. Um dos primeiros casos analisados por Feynman utilizando a fórmula (3) foi o notório problema da dupla fenda2.

Hoje sabe-se que a fórmula de Feynman é um caso particular da mecânica quântica, aquele em que a energia depende apenas quadraticamente nos momenta, e sistemas importantes fogem desse caso particular, como os férmions. No caso geral é necessário considerar que o momento é independente da função de trajetória (até então estávamos assumindo que a velocidade no ponto p é tangente a curva naquele ponto) e somar sobre não apenas as curvas x mas também sobre os momenta p, e nesse caso a soma não é, necessariamente, sobre a função da ação clássica.

A integral de trajetória tornou-se uma ferramenta fundamental da física teórica. Várias das descobertas das propriedades das teorias que descrevem as forças fundamentais (o Modelo Padrão) foram cálculos com integrais de trajetória (renormalização por exemplo). Essa vantagem das integrais de trajetórias na teoria quântica de campos ficam evidentes a outro método bastante usado na quantização de campos, a quantização canônica, que estabelece uma condição de quantização em tempos iguais, sendo assim claramente não covariante por transformações de Lorentz. Enquanto que no método de integrais de trajetória, a covariância de Lorentz é manifesta. Por esse e outros motivos, as integrais de trajetórias foram e continuam sendo um dos melhores métodos de quantização, e que ainda deverá ser bastante utilizando ainda nos futuros trabalhos de Física teórica, principalmente em Teoria Quântica de Campos e Física de Partículas.

Post escrito em colaboração com Leandro Seixas.

Notas

  1. Para os detalhes, consulte o R. P. Feynman et al. Lições de Física de Feynman, Vol. 2, Editora Bookman
  2. R. P. Feynman e A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill. Este livro está esgotado faz décadas. Eu tive a sorte tremenda de encontrar, por acaso, uma cópia em estado novinho em folha na Livraria da Física, quando eles receberam uma única cópia do livro que estava perdida no galpão da McGraw-Hill de São Paulo!
  3. Diz-se que S é um tipo especial de função chamado funcional porque o argumento de S não é um número real porém uma função, a curva x(t): x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3 e S:\mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}, onde \mathcal{F} é o conjunto de todas as curvas regulares x(t).
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