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Gödel, Escher, Bach…

sábado, 20 jun 2009; \25\America/New_York\America/New_York\k 25 1 comentário

Quem nunca ouviu falar do excelente livro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (ver também Gödel, Escher, Bach; By Douglas R. Hofstadter)?

Pois bem, o MIT OCW tem um curso inteiro baseado no livro, MIT OCW: GEB. E os vídeos podem ser encontrados aqui, GEB: Video Lectures.

Diversão garantida! 😈

Giroscópio (Física Divertida)

domingo, 26 out 2008; \43\America/New_York\America/New_York\k 43 9 comentários

Inspirado em uma das brilhantes e divertidíssimas aulas do Prof. Walter Levin, que você pode assistir em vídeos disponibilizados pelo MIT, no site do MITOCW, baixar no iTunes, ou mesmo assistir no youtube; falarei de um divertido “brinquedo”, que na verdade possui inúmeras aplicações, tendo como original aplicação o auxílio em navegações (veja mais sobre giroscópios aqui).

Abaixo a aula do Prof. Levin disponibilizada no youtube

A parte da aula na qual o tema giroscópio é abordado começa em 14:40 (eu recomendo assistir a aula inteira, excelente!). Note que quando o eixo da roda segurada em mãos é mudado, imediatamente surge uma força de oposição, tornando difícil continuar a girar o eixo da roda (sistema).

Abaixo um vídeo rápido que ilustra o experimento apresentado na video aula anterior (os vídeos não são relacionados):

Primeiramente lembremos o que seria o produto vetorial. Quando fazemos o produto vetorial entre dois vetores \vec A e \vec B obtemos um terceiro vetor \vec C perpendicular aos dois vetores anteriores. O módulo desse vetor é dado por

C = ABsen\theta

Onde A e B são os módulos dos vetores \vec A e \vec B, e \theta o ângulo entre esses vetores. Antes de começarmos a discutir o modelo para o experimento mostrado nos vídeos anteriores, falaremos de torque. No dia-a-dia aplicamos torques em diversas ocasiões, quando abrimos uma porta, quando subimos em uma escada apoiada em uma parede, quando usamos uma chave-de-fenda para desparafusar alguma coisa, etc. Podemos dizer que o torque mede a tendência de colocarmos objetos a girar, quando aplicamos uma força \vec F em um determinado ponto, à uma distância r (chamada braço) de um ponto de referência, de modo que o módulo do torque seja dado por

\tau = rFsen\theta

Torque causado por uma força F. Repare que a intensidade do torque depende do "braço de aplicação" da força, e do ângulo deste com a força aplicada. Note que o módulo do torque é máximo quando a força aplicada for perpendicular ao braço.

Torque causado por uma força F. Repare que a intensidade do torque depende do "braço de momento", e do ângulo entre este e a força aplicada. O módulo do torque também depende do ângulo formado entre estes dois vetores, sendo máximo quando a força aplicada for perpendicular ao braço.

Precisamos também de outro vetor importante, também um momento, que é associado à rotação, o chamado momento angular, esse vetor será especialmente difícil de justificar sem conceitos aprendidos no ensino superior, mas podemos tentar justificar de maneira razoável, o que seria fisicamente esse vetor.

O grande conflito é deixar de lado a concepção de que velocidade angular é um escalar, como apontado na grande maioria dos livros de ensino médio, na verdade é um vetor sempre perpendiular à velocidade tangencial e ao raio, como pode ser visto na figura abaixo.

Velocidade angular, perpendicular ao raio do movimento circular, e à velocidade tangencial.

Velocidade angular, perpendicular ao raio do movimento circular, e à velocidade tangencial.

O momento angular é uma grandeza importante, ainda mais quando ela for conservada (de maneira análoga ao momento linear), de forma que possamos explorar as simetrias do problema. A definição do momento angular é dada por

\vec L = \vec I \cdot \vec \omega

Onde \vec I é o momento de inércia\vec \omega é a velocidade angular. Vale ressaltar que que para um sistema de muitas partículas pontuais, o momento angular total é igual à soma dos momentos angulares de cada partícula constituinte do sistema analisado. Outra maneira de representar o momento angular é da seguinte maneira

\vec L = \vec r \times \vec p

Onde \vec p é o momento linear, e \vec r é a distância do momento à origem. Agora podemos começar a descrição do experimento realizado nos vídeos acima. Abaixo uma figura ilustrativa do problema.

A figura ilustra o modelo teórico para o experimento, uma roda de massa M, e raio R. O braço de tamanho r é fixado ao centro geométrico da roda (centro), e a roda é considerada homogênea, de modo que seu centro geométrico coincida com seu centro de massa.

A figura ilustra o modelo teórico para o experimento, uma roda de massa M, e raio R. O braço de tamanho r é fixado ao centro geométrico da roda (centro), e a roda é considerada homogênea, de modo que seu centro geométrico coincida com seu centro de massa.

A roda de massa M e raio R, é fixada ao braço de comprimento r, bem em seu centro. Consideramos a distribuição de massa do sistema como sendo homogênea, e desprezamos a massa do suporte no qual a roda é fixada, de maneira que o centro de massa do sistema coincide com o centro da roda.

As forças atuando no sistema quando a roda é colocada a girar com velocidade angular constante, são, seu peso atuando verticalmente, e que causa um torque, em relação ao ponto P, que faz com que a roda despenque, e o momento angular, perpendicular à roda, causada devido à rotação da mesma.

A primeira análise do sistema ilustrado pela figura acima deve causar espanto, pois a força peso aos olhos desatentos é a única atuando no sistema, de modo que seja impossível que a roda permaneça girando, entretanto, observamos que isso realmente acontece, nos experimentos mostrados nos vídeos, por quê?

A resposta vem abaixo, na verdade não existe força resultante na vertical, pois um torque atuando no ponto P, de mesma intensidade que o peso Mg da roda permite que ela permaneça girando sem despencar. Veja ilustração abaixo

Sistema em equilibrio, a roda da bicicleta permanece girando sem despencar, pois um torque de mesma intensidade que a força peso Mg da roda é aplciada no ponto P, de modo que a resutlante das forças seja nula no sistema na direção vertical.

Sistema em equilíbrio, a roda da bicicleta permanece girando sem despencar, pois um torque de mesma intensidade que a força peso Mg da roda é aplicada no ponto P, de modo que a resultante das forças seja nula no sistema na direção vertical.

Já demos uma motivação para um modelo no qual a roda possa permanecer girando sem despencar, mas e como explicar a rotação no plano horizontal (precessão)? Essa discussão não é tão simples, mas é muito interessante. O aluno interessado deve assistir à aula-video do Prof. Levin, onde poderá ver que a frequência de precessão \omega_{pr} é dada por

\omega_{pr} = \frac{Mgr}{I\omega}

Analisando a equação acima, podemos perceber que quando o torque é aumentado a frequência de precessão aumenta, e se o momento angular aumentar a frequência de precessão diminui. O momento angular pode ser variado, se mudarmos a distribuição de massa do sistema, ou se mudarmos a velocidade angular (de giro) da roda. O período de precessão é dado pela seguinte relação, já conhecida pelos bons alunos de ensino médio

T_{pr} = \frac{2\pi}{\omega_{pr}}

Eu não vou estragar o prazer de vocês interessados alunos de verem a brilhante discussão que o Prof. Walter Levin faz. Ele explica a precessão da roda, e as “forças que surgem” quando ele tenta segurar a roda, depois que ela é posta a girar e tem seu eixo levemente  rotacionado. Já adianto que tem a ver com a conservação do momento angular, o sistema tem a tendência de permanecer girando, e quando rotacionamos seu eixo, essa tendência surge como uma força de oposição à que estamos fazendo.

Uma referência bibliográfica que recomendo a leitura é a do volume 1 de Feynman Lectures in Physics, seções 20-2 à 20-4. Na verdade recomendo ler os três volumes inteiros! 😉

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