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Posts Tagged ‘monopólo magnético’

Dualidades – Parte 3 (Muitas supersimetrias)

segunda-feira, 10 nov 2008; \46\America/New_York\America/New_York\k 46 1 comentário

Queria apenas fazer um rápido post de encerramento da série tentando dar mais detalhes do porque a teoria de Super-Yang-Mills com supersimetria \mathcal{N}=4 é uma séria candidata a apresentar dualidade eletromagnética. O primeiro argumento vem do spin. Em \mathcal{N}=4 só existe um multipleto com partículas de spin menor ou igual a 1. Então, não tem como o monopolo e o bóson vetorial serem membros de multipletos de spin diferente. Fazendo uma contagem dos modos zero dos férmions dessa teoria (e existem resultados matemáticos em forma de teoremas de índice para isso), você pode chegar na mesma conclusão.

Claro que só isso não basta para concluirmos que há dualidade. No entanto, a presença de um monte de cargas de supersimetria também faz a teoria muito paupável. Em particular, assumindo que o bóson vetorial exista mesmo na teoria fortemente acoplada, deverá existir dyons na teoria fracamente acoplada frutos da aplicação do grupo SL(2,Z) da dualidade. A estrutura desse grupo (basicamente o fato do determinante ser 1 o que implica que a carga elétrica e magnética são coprimos) faz com que esses dyons sejam estáveis e não decaiam em partículas de cargas mais fundamentais.

Como esses dyons estão na teoria fraca, deveria ser possível encontrá-los semiclassicamente como uma perturbação andando sobre o vácuo de monopolo. É como fazer uma mecânica quântica para uma partícula que anda nas direções do vácuo em que não se gasta energia. Essas direções são chamadas espaço de módulo do vácuo. A supersimetria também restringe bastante a forma desse espaço de módulos. Encontrar o espaço de módulo para o vácuo com carga magnética 1 é simples. Ele é basicamente dado pelo movimento do centro de massa dos dyons e pela energia associada às suas carga elétrica. Esse espaço não é muito interessante, porque a restrição vinda de SL(2,Z) não significa muita coisa aqui, já que qualquer número é coprimo a 1.

Achar o espaço de vácuos para carga magnética 2 não é tão fácil e ele foi encontrado por Atiyah e Hitchin. Por sinal, na página do Hitchin tem um videozinho interessante mostrando como monopolos interagem:

Monopoles in motion

Como todos os outros espaços de módulos de monopolos em teorias supersimétricas, o de carga magnética 2 tem uma estrutura geométrica bem rígida chama Hyper-Kähler e nesse caso ele é assintoticamente uma métrica de Taub-NUT com sinal do termo de massa invertido. É óbvio que, a não ser que você realmente já conheça esse assunto, esses nomes não significam nada. Mas olhando para a cara dessa métrica é fácil reconhecer os termos de interação por trocas de fótons, por troca de dílatons e a energia associada à carga elétrica. Essa análise da métrica assintótica do espaço de módulos é devida a Manton. Por curiosidade, se os dois monopolos bem distantes estiverem parados, a força dos fótons cancela exatamente a dos dílatons.

No caso do vácuo de monopolo com carga magnética dois, a condição de SL(2,Z) diz alguma coisa não-trivial pois apenas números ímpares são coprimos a 2, então só teremos dyons com cargas elétricas ímpares (a menos do efeito Witten). Fazendo uma análise cuidadosa dos estados ligados existentes nessa mecânica quântica supersimétrica sobre esse espaço de módulos específico, Sen conseguiu mostrar que esses são exatemante os dyons que existem, o que é uma indicação poderosa da dualidade. Esses estados ligados dyônicos não existiriam com menos supersimetria, quando o monopolo tem spin diferente do bóson vetorial. É de se imaginar que forças de longo alcance como spin-spin e spin-órbita tenham um papel importante nessa análise.

Bem, isso mais ou menos completa a primeira parte da história. Tem duas direções que me interessam estudar e discutir aqui: ou teorias com \mathcal{N}=2 seguindo a análise de Seiberg e Witten ou entender como essas dualidades estão relacionadas à teoria de supercordas. Eu acho que dá até para fazer os dois juntos. 😛

Dualidades — Parte 1 (Monopolos magnéticos)

segunda-feira, 6 out 2008; \41\America/New_York\America/New_York\k 41 3 comentários

Hoje em dia, um dos tópicos mais quentes da física teórica é o estudo de dualidades. Principalmente aquelas conhecidas como dualidade forte-fraca que relacionam, de modo muitas vezes inesperado, uma teoria no seu regime de acoplamento forte com uma outra teoria no seu regime de acoplamento fraco. A idéia é brilhante, já que teorias quânticas de campos são muito difíceis de serem resolvidas exatamente e o que fazemos, em geral, é adotar métodos aproximativos que só são válidos no regime de acoplamento fraco (mais teoricamente, podemos dizer que a hamiltoniana dual define a teoria fortemente acoplada). Isso também torna essas dualidades muito difíceis de serem provadas rigorosamente, no sentido matemático do termo, pois, apesar de podermos fazer testes computacionais na teoria que tem o acoplamento fraco, dificilmente conseguiremos checar esses testes na teoria dual. Contudo, algumas verificações, em algumas teorias, podem ser feitas. Esses testes são “quase triviais”, já que essas teorias são em geral protegidas por muitas simetrias.

Vou começar uma série de posts sobre dualidades desse tipo, tentando manter o nível mais pé-no-chão possível. Meu objetivo é fazer quase uma divulgação científica baseados nos artigos de revisão do Figueroa e do Harvey. Talvez esse tema renda muitos posts e convido qualquer outro editor desse blog a me interromper e continuar a história ou mesmo a apenas fazer um adendo. Meu primeiro objetivo é explicar as dualidades forte-fracas (conhecida no jargão da física como dualidade S) no seu sentido mais tradicional, como proposto por Montonen e Olive. O objetivo final dessa primeira leva é então expor o argumento de Sen a favor dessas dualidades em teorias de Yang-Mills com o número máximo de supersimetrias (\mathcal{N}=4 SYM). Depois nós veremos em que direção a maré nos leva.


Tudo começa com as equações de Maxwell. As equações de Maxwell são um conjunto de 8 equacões diferenciais não completamente independentes (e isso e um ponto importante) que determina o campo elétrico e magnético dada uma distribuição de cargas e correntes elétricas. É um fato da natureza que campos magnéticos e campos elétricos são diferentes. Campos elétricos são gerados por cargas, enquanto campos magnéticos sao gerados por correntes, que são cargas em movimento. Não existe campo magnético num sistema de cargas estáticas. No entanto, essa é a unica diferença. Se imaginarmos uma região sem cargas ou correntes, o sistema ganha uma nova simetria: podemos trocar o campo elétrico pelo magnético e o magnético por (menos) o elétrico que nada muda na natureza. Isso é chamado dualidade eletromagnética, na sua forma mais infantil, é verdade. Infantil demais para ser útil.

Note que após duas mudanças, não retornamos exatamente para os campos elétricos e magnéticos originais, mas ganhamos um sinal. Na maioria dos sistemas físicos (onde estão envolvidas as forças nuclear forte, eletromagnética e gravitacional, mas não a força nuclear fraca), você pode fazer essa mudança, chamada conjugação de carga, a vontade, pois eles são invariantes. Então, a dualidade eletromagnética é como se fosse uma “raiz quadrada” da simetria de conjugação de carga (geralmente representada pela letra C).

Mas e se insistíssemos na presença de cargas e correntes elétricas, o que seria necessário para termos uma simetria semelhante? Precisaríamos que existissem cargas e correntes magnéticas. Então, sob a dualidade eletromagnética, as cargas e correntes elétricas mudariam para magnéticas e as cargas e correntes magnéticas para (menos) as elétricas. Note que agora o nome “conjugação de carga” faz mais sentido. Mas onde estão essas cargas magnéticas?

Classicamente, adicionar uma carga magnética não faz muita diferença. Pode-se mostrar que com uma redefinição dos campos, você pode sempre fazê-las zero. Mas vamos supor que a descrição clássica só e válida até uma certa escala (o que é bem razoavel, veja aqui). Que para distâncias muito pequenas, as equações de Maxwell recebam algum tipo de correção (no caso, a mecânica quântica). Então, se resolvermos ignorar essas correções, não temos que procurar soluções para as equações de Maxwell no espaço inteiro, mas sim em todos os lugares menos num ponto (espacial, é uma linha de mundo no espaço-tempo) que gera o campo eletromagnético. Pode parecer uma mudança boba, mas faz toda a diferença. Quando se retira esse ponto, é possível que existam cargas magnéticas pontuais que não podem ser redefinidas. Esses são os monopolos magnéticos de Dirac. Se levarmos em conta mais uma vez a realidade quântica da natureza (por exemplo, a quantização do momento angular), podemos mostrar que a carga magnética sempre é um múltiplo do inverso da carga elétrica fundamental. Mais do que isso, se existir uma carga fundamental, por exemplo a carga do elétron, a diferença entre duas cargas elétricas será sempre um múltiplo desse número (isso é quase o que se chama quantização da carga elétrica, mas não exatamente).

Vamos discutir então um pouco as idéias que envolvem o monopolo magnético. Partindo da suposição que haja uma dualidade eletromagnética, as pessoas imaginam que a teoria quântica dos elétrons tenha uma descrição equivalente através de uma teoria quântica de monopolos mangéticos. Mas note que como a carga do monopolo é um múltiplo do inverso da carga do elétron, quando a teoria quântica de elétrons for fraca, a teoria de monopolos será forte e vice-versa. Repetindo o que eu já disse no início, isso é interessante pois só sabemos resolver a teoria quântica de elétrons (ou quase todas as outras) quando ela é fracamente acoplada. Talvez, estudando a teoria de monopolos fracamente acoplada, usando as mesmas técnicas aproximativas, poderiamos tirar conclusões sobre fenômenos quânticos que acontecem quando a interação entre elétrons é forte. O problema é que não parece ser possível escrever essa teoria. Na verdade, é dificil lidar com os monopolos, já que eles sao soluções singulares e várias das suas propriedades físicas são divergentes (i.e., infinitas).

Será que existe algum outro lugar onde surjam monopolos mas onde eles sejam mais bem comportados? A resposta, descoberta por ‘t Hooft e Polyakov, é que sim. E eles surgem em uma generalização da teoria de Maxwell desenvolvida inicialmente por Yang e Mills que usamos hoje em dia para descrever as interações eletrofracas (incluindo o agora tão famoso mecanismo de Higgs para quebra espontânea de simetria). Esse monopolo é mais bem comportado e, em princípio, parece bem diferente do monopolo de Dirac. Mas se voce vai a fundo na teoria, e estuda uma bela área da matemática chamada conexões em fibrados e a topologia associada a eles, você vê que eles são muitos parecidos.

Apesar de ser uma generalização, essas teorias de Yang-Mills têm muitas diferenças em comparação à teoria de Maxwell. Quando a teoria tem suas simetrias espontaneamente quebradas (o que, sobre vários aspectos, é um nome muito ruim, mas tudo bem), as partículas mediadoras dessa interação quântica, o que seria equivalente ao fóton, se tornam massivas. Lembre-se que o fóton não tem massa. Além disso, nas teorias de Yang-Mills, as partículas mediadoras tem carga. Note mais uma vez que isso é diferente do caso do fóton: ele é responsável pela interação entre objetos com carga, mas ele próprio não tem carga.

Se há diferencas, há tambem semelhancas (como eu já tinha adiantado). A regra de quantização de Dirac da carga magnética continua valendo. Mais do que isso, agora somos capazes de calcular explicitamente não só a carga magnética dessas configurações, mas tambem sua massa. Estudando as massas e as cargas dessas configurações, Bogolmo’nyi descobriu que, nessas teorias com monopolos magnéticos de ‘t Hooft-Polyakov, essas quantidade físicas tem que obedecer uma desigualdade que ficou conhecida como limite de Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfeld (BPS).

Uma observação curiosa é que os bósons massivos da teoria com quebra de simetria saturam esse limite. Então esperamos que, se quisermos ter uma teoria com dualidade eletromagnética, temos que ter os monopolos magnéticos também saturando o limite BPS. Essa é a proposta de Montonen e Olive (na verdade, a proposta deles é um pouco mais que só isso, mas eu comento numa outra chance): uma teoria dual não mais entre elétrons e monopolos e sim entre bósons vetoriais massivos e monopolos magnéticos saturando o limite de BPS. É possivel construir uma família de soluções de monopolo que saturam esse limite. As variáveis que classificam os membros dessa familia formam o que se conhece como espaço de módulos, um conceito que ainda voltaremos algumas vezes aqui. Tudo parece estar convergindo para que os problemas se resolvam e para que a teoria dual possa ser escrita. Porém, ainda há um problema: esses bósons tem spin 1 enquanto o monopolo tem spin 0! Nao é possivel fazer a identificação dual com spins diferentes. Na verdade, nesse estágio, temos dois problemas:

  1. Spins diferentes entre bósons e monopolos, impossibilitando a identificação
  2. Correções quânticas podem fazer com que o limite BPS não seja mais saturado, impossibilitando a identificação.

Esses dois problemas tem solução, que reside na introdução de férmions na teoria. Mas não a introdução de qualquer forma: é importante que os férmions e os bósons formem uma teoria com supersimetria. Mas isso fica para o próximo post…


Edit (10/07): O Daniel me passou esse link com outro blog onde o autor dá uma visão bem didática complementando isso que eu discuti. É interessante.

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