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Os princípios de Fermat, de Hamilton e de Feynman

domingo, 30 nov 2008; \48\America/New_York\America/New_York\k 48 22 comentários

Quando dizem que o lema dos físicos da interpretação de Copenhague da mecânica quântica é “cale a boca e calcule” eu fico ofendido 😦 Para mim, o propósito da física teórica é encontrar um conjunto mínimo de princípios fundamentais a partir dos quais os resultados dos experimentos se tornem evidentes. A física teórica é uma busca por uma explicação dos fenômenos naturais, e não um simples ajuste de equações com parâmetros aos dados.

Veja por exemplo o princípio de Fermat: a luz se propaga pela trajetória de menor tempo possível. Esta simples hipótese unificou todas as leis da óptica geométrica: com ela, e apenas com ela, é possível demonstrar que a luz se propaga em linha reta em meios homogêneos, que o ângulo de reflexão é igual ao de incidência e que vale a fórmula de Snell-Descartes1.

Minimização da ação

Vista como uma função3 S de uma curva x, a trajetória que respeita as leis de Newton é aquela na qual S é o menor valor possível. Na figura, a trajetória da partícula seria aquela no fundo da parábola.

O princípio de Fermat acabou por ser muito poderoso na Física. Na mecânica clássica, por exemplo, suponha que nos perguntamos qual a trajetória que uma partícula descreve no mundo real para ir de um ponto a até um ponto b. William Rowan Hamilton descobriu no século 19 que, sobre todas as possíveis trajetórias que ligam dois pontos, o movimento que se realiza na Natureza é aquele que faz a soma das diferenças entre a energia cinética e a energia potencial ser a menor possível ao longo da trajetória. Isto é, se p é um ponto de uma curva x(t) que liga os pontos a e b, e V(p) é a energia potencial no ponto p, e definimos a quantidade

S[x(t)] = \displaystyle\sum_p \left(\frac{1}{2}m v^2 - V\right)

onde a soma é sobre todos os pontos da curva x, a trajetória x que a partícula realizará será aquela em que S assume o menor valor possível! As leis de Newton estão encapsuladas no princípio da Natureza manter S sempre em um ponto de mínimo!

A quantidade S é chamada de a ação clássica. A matemática Emmy Nöther descobriu que se podemos realizar uma transformação nas curvas do espaço que leva a curva x(t) na curva x'(t’) de tal forma que S[x] = S[x’] — ou seja, a ação clássica é invariante por essa transformação –, então existirá uma quantidade que se conserva associada a essa transformação. Por exemplo, se x'(t)=x(t)+a, onde a é uma constante qualquer, o que significa que estamos deslocando a origem do sistema de coordenadas, e S[x’]=S[x] então o teorema de Nöether diz que a quantidade p = mv se conserva. Por isso entendemos que a homogeneidade do espaço é a explicação de porque o momento se conserva nas leis de Newton. Uma das mais belas conseqüências do teorema de Nöther é que se deslocamos o tempo t’=t+a e a ação permanece invariante, então a quantidade

E = \frac{1}{2}mv^2 + V (1)

é uma constante do movimento. Vemos então que a invariância das leis da Física — uma linguagem bonita para a idéia de que S[x] é a lei física em questão — no tempo é a razão pela qual existe a quantidade chamada energia (que se conserva)1. O teorema de Nöther fornece uma fórmula fechada para calcular a expressão da quantidade que se conserva dada a transformação de simetria da ação clássica.

Para ir do ponto a ao ponto b, a particula fareja diferentes possibilidades.

Para ir do ponto a ao ponto b, a partícula fareja diferentes possibilidades.

E a física teórica vai avançando a medida que começamos a fazer mais perguntas. A próxima que podemos fazer é: como uma partícula sabe qual a trajetória que minimiza S? Será que não existe um mecanismo físico por trás da minimização da ação clássica, e portanto, da validade das leis de Newton? Seria ótimo se existisse algo assim: ao ir do ponto a ao ponto b, a partícula pode “farejar” diferentes trajetórias, porém os desvios da trajetória que respeitam as leis de Newton interferem entre si destrutivamente, enquanto aqueles trechos de trajetória ao longo da curva que respeita as leis de Newton intereferem construtivamente, igual como acontece quando ondas interagem. O fenômeno de interferência de ondas é convenientemente descrito por números complexos, então vamos associar para cada trajetória uma “onda”,

\phi(x) = \exp(i S[x]/\hbar) (2)

Em física tornou-se convenção chamar \phi(x) da amplitude de probabilidade da trajetória x, e definir que a probabilidade associada é o módulo ao quadrado do número complexo (2), P = \vert\phi\vert^2. A constante \hbar é introduzida para que o argumento da exponencial seja um número sem unidades, portanto essa constante só depende do nosso sistema de unidades, e será ajustada experimentalmente.

Pensando nestes termos, a amplitude de probabilidade de uma partícula sair do ponto a e chegar ao ponto b farejando todas as trajetórias possíveis, será a soma

K(b,a) \sim \displaystyle\sum_{x(t)} \exp(i S[x(t)]/\hbar) (3)

e eu usei o símbolo ~ ao invés da igualdade porque estamos fazendo aqui algo esquemático apenas. Desse modo, poderíamos tentar reformular a mecânica da seguinte forma:

Para se movimentar de um ponto a a um ponto b, as partículas caminham sobre todas as trajetórias possíveis, com cada trajetória associada a uma amplitude de probabilidade dada por (2).

Essa não é a mecânica clássica, mas a mecânica quântica. Ela foi formulada — ou descoberta se preferir — assim por Richard Feynman, e a equação esquemática (3) é o que se chama a soma sobre as histórias da partícula, ou a integral de trajetória. Para dar sentido matemático a (3), é necessário dividi-la por uma constante A que normaliza as probabilidades.

É então possível demonstrar, utilizando uma técnica matemática conhecida como aproximação do ponto de sela, que se S/\hbar for um número muito maior que o número 1 (digamos, 1011), então a maioria das curvas que estão na soma se cancelam com uma precisão da ordem do número \hbar, e o único termo que contribui é aquela trajetória em que S é um mínimo. E voilà temos a física de Newton! 🙂

Inicialmente, Feynman introduziu a eq.(3) inspirado por esta linha de raciocínio. Na época, a mecânica quântica era formulada inteiramente em termos da função de energia, e Feynman estava curioso para saber como a ação clássica entrava no formalismo da mecânica quântica. Um dos primeiros casos analisados por Feynman utilizando a fórmula (3) foi o notório problema da dupla fenda2.

Hoje sabe-se que a fórmula de Feynman é um caso particular da mecânica quântica, aquele em que a energia depende apenas quadraticamente nos momenta, e sistemas importantes fogem desse caso particular, como os férmions. No caso geral é necessário considerar que o momento é independente da função de trajetória (até então estávamos assumindo que a velocidade no ponto p é tangente a curva naquele ponto) e somar sobre não apenas as curvas x mas também sobre os momenta p, e nesse caso a soma não é, necessariamente, sobre a função da ação clássica.

A integral de trajetória tornou-se uma ferramenta fundamental da física teórica. Várias das descobertas das propriedades das teorias que descrevem as forças fundamentais (o Modelo Padrão) foram cálculos com integrais de trajetória (renormalização por exemplo). Essa vantagem das integrais de trajetórias na teoria quântica de campos ficam evidentes a outro método bastante usado na quantização de campos, a quantização canônica, que estabelece uma condição de quantização em tempos iguais, sendo assim claramente não covariante por transformações de Lorentz. Enquanto que no método de integrais de trajetória, a covariância de Lorentz é manifesta. Por esse e outros motivos, as integrais de trajetórias foram e continuam sendo um dos melhores métodos de quantização, e que ainda deverá ser bastante utilizando ainda nos futuros trabalhos de Física teórica, principalmente em Teoria Quântica de Campos e Física de Partículas.

Post escrito em colaboração com Leandro Seixas.

Notas

  1. Para os detalhes, consulte o R. P. Feynman et al. Lições de Física de Feynman, Vol. 2, Editora Bookman
  2. R. P. Feynman e A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill. Este livro está esgotado faz décadas. Eu tive a sorte tremenda de encontrar, por acaso, uma cópia em estado novinho em folha na Livraria da Física, quando eles receberam uma única cópia do livro que estava perdida no galpão da McGraw-Hill de São Paulo!
  3. Diz-se que S é um tipo especial de função chamado funcional porque o argumento de S não é um número real porém uma função, a curva x(t): x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3 e S:\mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}, onde \mathcal{F} é o conjunto de todas as curvas regulares x(t).
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